ATV 03 - Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de 
Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos 
Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
▪ Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
▪ Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
▪ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico da função no Geogebra, a função apresentara 3 raízes, sendo duas de sinal positivo e uma de sinal 
negativo. 
Aplicando o método gráfico, temos: 
 
 
 
 
 
Ou seja, o método gráfico reafirma que as raízes observadas no gráfico. Onde tem-se 3 raízes nos intervalos 
{-5;-4} , {1;2} e {4;5}. 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
f(x) = x3-2x2 - 20x + 30 g(x) = x3-2x2 h(x) = 20x-30 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação 
da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 
𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 
3,15625 -0,038085938 0,03125 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 
 
𝑥29 𝑓(𝑥29) |𝑥29 − 𝑥28| 
3,1622776594012900 -4,85145E-09 1,86265E-09 
 
 
 
 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. 
 
Na calculadora científica, valor encontrado: 
3,1622776601683793319988935444327 
 
Valor calculado pelo método de bisseção: 
3,1622776594012900 
A diferença entre os valores encontrados é de: 0,000000024% 
 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, 
isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
𝜀 (Tolerância) 
Nº mínimo de 
iterações 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 
10−1 2 -2,354305393 -0,000169475 
10−4 3 -2,354242759 -1,38967E-09 
10−9 4 -2,354242758 0 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. 
 
 
 
A raíz da função é -2,3542427583668. 
A raíz encontrada utilizando o método de Newton é -2,354242758. 
A diferença entre os valores é de: 0,0000000155% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando 
sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
Cambria Math 
 
f(x) = x³ - cos(x) 
x³ - cos(x) = 0 
x³ = cos(x) 
f(x) = ∛cos(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No Excel, 
levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 
 
𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 
𝑥5 0,866753875 0,865039927 0,005068762 
𝑥15 0,865474059 0,865474024 1,00946E-07 
𝑥18 0,865474032 0,865474033 3,92683E-09 
𝑥32 0,865474033 0,865474033 9,99201E-16 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas 
para a raiz encontrada (𝑥32). 
 
 
Conforme gráfico, a Raíz da função é 0,8654740342229. 
A raíz encontrada utilizando o método de iteração linear é 0,865474033. 
A diferença entre os valores é de: 0,000000141% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
 O experimento acima provou a utilidade de cada um dos métodos numéricos na prática de determinação de raízes 
de equações de funções lineares e polinomiais complexas. Esses métodos envolvem processos que abordam as 
raízes em cada estágio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luiz Paulo de F. Fernandes Paranavaí, 19 de fevereiro de 2021. 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 
2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987