MAT-3-EO-COMPLETO

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ESTUDO
ORIENTADO
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
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Caro aluno 
O Hexag Medicina é, desde 2010, referência na preparação pré-vestibular de candidatos às 
melhores universidades do Brasil.
Ao elaborar o seu Sistema de Ensino, o Hexag Medicina considerou como principal diferen-
cial em relação aos concorrentes sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas 
e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado.
Você está recebendo o livro Estudo Orientado. Com o objetivo de verificar se você aprendeu 
os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios:
• Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixa-
ção da matéria dada em aula. 
• Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, 
buscando a consolidação do aprendizado. 
• Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade. 
• Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais ves-
tibulares do Brasil. 
• Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, 
preparando o aluno para esse tipo de exame. 
• Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das universi-
dades públicas de São Paulo. 
• Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase 
das universidades públicas de São Paulo 
• Uerj (exame de qualificação): exercícios de múltipla escolha que possibilitam a consolida-
ção do aprendizado para o vestibular da Uerj. 
• Uerj (exame discursivo): exercícios dissertativos que possibilitam a consolidação do apren-
dizado para o vestibular da Uerj.
Visando a um melhor planejamento dos seus estudos, os livros de Estudo Orientado rece-
berão o encarte Guia de Códigos Hierárquicos, que mostra, com prático e rápido manu-
seio, a que conteúdo do livro teórico corresponde cada questão. Esse formato vai auxiliá-lo 
a diagnosticar em quais assuntos você encontra mais dificuldade. Essa é uma inovação 
do material didático. Sempre moderno e completo, trata-se de um grande aliado para seu 
sucesso nos vestibulares.
Bons estudos!
Herlan Fellini
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SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA
GEOMETRIAS PLANA E ESPACIAL
Aulas 17 e 18: Função polinomial do 2º grau 4
Aulas 19 e 20: Equações, inequações e funções exponenciais 16
Aulas 21 e 22: Definição e propriedades dos logaritmos 22
Aulas 23 e 24: Equações, inequações e sistemas de equações logarítmicas 27
Aulas 25 e 26: Funções logarítmicas 34
Aulas 17 e 18: Juros simples e compostos 44
Aulas 19 e 20: Conceitos trigonométricos 49
Aulas 21 e 22: Relações fundamentais da trigonometria 54
Aulas 23 e 24: Transformações trigonométricas 61
Aulas 25 e 26: Equações trigonométricas 69
Aulas 17 e 18: Polígonos 76
Aulas 19 e 20: Áreas dos quadriláteros e razão de semelhanças para áreas 82
Aulas 21 e 22: Área do círculo, setor e segmento circular 102
Aulas 23 e 24: Poliedros e noções de geometria métrica de posição 113
Aulas 25 e 26: Prismas 119
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E.O. AprEndizAgEm
1. (Ufrgs) Dada a função f, definida por f(x) = x² + 9 – 6x, 
o número de valores de x
que satisfazem a igualdade f(x) = –f(x) é:
a) 0. d) 3.
b) 1. e) 4.
c) 2.
2. (PUC-RJ) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = x + 1 
e g(x) = 1 + 2x2.
Os valores de x tais que f(x) = g(x) são:
a) x = 0 ou x = 1.
b) x = 0 ou x = 2.
c) x = 1 ou x = 1 __ 2 .
d) x = 2 ou x = 1.
e) x = 0 ou x = 1 __ 2 .
3. (UERN) Seja uma função do 2º grau y = ax2 + bx + c, 
cujo gráfico está representado a seguir.
A soma dos coeficientes dessa função é:
a) –2. c) –4.
b) –3. d) –6.
4. (Espcex) Uma indústria produz mensalmente x lotes 
de um produto. O valor mensal resultante da venda 
deste produto é V(x) = 3x² – 12x e o custo mensal da 
produção é dado por C(x) = 5x² – 40x – 40. Sabendo que 
o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante 
das vendas e o custo da produção, então o número de 
lotes mensais que essa indústria deve vender para ob-
ter lucro máximo é igual a:
a) 4 lotes.
b) 5 lotes.
c) 6 lotes.
d) 7 lotes.
e) 8 lotes.
5. (Ulbra) Preocupados com o lucro da empresa VXY, os 
gestores contrataram um matemático para modelar o cus-
to de produção de um dos seus produtos. O modelo criado 
pelo matemático segue a seguinte lei: C = 15000 – 250n + n2, 
onde C representa o custo, em reais, para se produzirem n 
unidades do determinado produto. Quantas unidades de-
verão ser produzidas para se obter o custo mínimo?
a) –625
b) 125
c) 1.245
d) 625
e) 315
6. (Ufrgs) Considere as funções f e g tais que f(x) = 4x – 2x2 –1 
e g(x) = 3 – 2x. A soma dos valores de f(x) que satisfazem a 
igualdade f(x) = g(x) é:
a) –4.
b) –2.
c) 0.
d) 3.
e) 4.
7. A receita obtida pela venda de um determinado pro-
duto é representada pela função R(x) = – x2 + 100 x, onde 
x é a quantidade desse produto. O gráfico da referida 
função é apresentado abaixo.
É CORRETO afirmar que as quantidades a serem comer-
cializadas para atingir a receita máxima e o valor máxi-
mo da receita são, respectivamente:
a) 50 e 2.000.
b) 25 e 2.000.
c) 100 e 2.100.
d) 100 e 2.500.
e) 50 e 2.500.
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
HABILIDADES: 13, 15, 19, 20 e 21
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5
AULAS 17 e 18
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8. (UFSM) Um jogador de basquete lança uma bola em 
direção à cesta e ela descreve um arco de parábola. A lei 
que descreve essa parábola é h(t) = – 1 __ 3 t² + 
5 __ 3 t + 2, onde 
t é o tempo decorrido em segundos após o lançamento, 
e h é a altura em metros. Assim, é correto
afirmar:
a) A bola atinge o solo em 5 s.
b) A imagem de h(t) é dada pelo conjunto 
 { y [ R | y ≥ 49 ___ 9 } .
c) O vértice da parábola é o ponto ( 5 __ 2 , 49 ___ 12 ) .
d) Para todo t [ [–6,1], h(t) ≥ 0.
e) A altura máxima atingida pela bola é igual a 7 __ 3 m.
9. Seja f(x) = 3 · ( x – 1 __ 2 ) 
²
 – 4, onde x é um número real 
qualquer. O menor valor que f(x) pode assumir é:
a) –3. c) –5.
b) –4. d) –6.
E.O. FixAçãO
1. A função real representada pelo gráfico é definida por:
a) f(x) = 2x² – x – 1.
b) f(x) = 2x² + 3x – 1.
c) f(x) = x² – 3x + 1.
d) f(x) = 2x² – 3x + 1.
2. (UFPB) Um estudo das condições ambientais na região 
central de uma grande cidade indicou que a taxa média 
diária (C) de monóxido de carbono presente no ar é de 
C(p) = 0,5p + 1 partes por milhão, para uma quantidade 
de (p) milhares de habitantes. Estima-se que, daqui a t 
anos, a população nessa região será de p(t) = 2t² – t + 
110 milhares de habitantes. Nesse contexto, para que a 
taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse o 
valor de 61 partes por milhão, é necessário que tenham 
sido transcorridos no mínimo:
a) 2 anos.
b) 2 anos e 6 meses.
c) 3 anos.
d) 3 anos e 6 meses.
e) 4 anos.
3. (UEG) Em um terreno, na forma de um triângulo re-
tângulo, será construído um jardim retangular, confor-
me figura abaixo.
Sabendo-se que os dois menores lados do terreno me-
dem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele 
tenha a maior área possível, serão, respectivamente:
a) 2,0 m e 4,5 m.
b) 3,0 m e 4,0 m.
c) 3,5 m e 5,0 m.
d) 2,5 m e 7,0 m.
4. Se a função L(x) = 10 · (x – 2) · ( 1 ___ 10 – x ) representa 
o lucro de uma indústria em que x é a quantidade de 
unidades vendida, então o lucro será:
a) mínimo para x = 3.
b) positivo para x ≥ 2.
c) máximo para x = 1 ___ 10 .
d) positivo para 1 ___ 10 < x < 2.
5. (Unisc) O gráfico da parábola cuja função é 
f(x)=40x–10x²+50 mostra a velocidade, em quilô-
metros por hora, de um automóvel num intervalo 
(Dx) de 0 até 5 segundos.
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.
I. A maior velocidade que o automóvel atingiu supera a 
velocidade inicial em 40 km/h.
II. A maior velocidade ocorreu quando o cronômetro in-
dicava x = 2,5 segundos.
III. O automóvel estava parado quando o cronômetro 
indicava x = 5 segundos.
a) Todas as afirmativas estão corretas.
b) Somente as afirmativas II e III estão corretas.
c) Somente as afirmativas I e III estão corretas.
d) Somente as afirmativas I e II estão corretas.
e) Apenas uma das afirmativas está correta.
6. (UFSJ) Um corpo arremessado tem sua trajetória re-
presentada pelo gráfico de uma parábola, conforme a 
figura a seguir.
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Nessa trajetória, a altura máxima, em metros, atingida 
pelo corpo foi de:
a) 0,52 m. c) 0,58 m.
b) 0,64 m. d) 0,62 m.
7. (UFRN) Uma lanchonete vende, em média, 200 san-
duíches por noite ao preço de R$ 3,00 cada um. O pro-
prietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui 
no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 
20 sanduíches.
Considerando o custo de R$ 1,50 para produzir cada 
sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao 
proprietário é:
a) R$ 2,50.
b) R$ 2,00.
c) R$ 2,75.
d) R$ 2,25.
8. (Pucsp) Para abastecer seu estoque, um comercian-
te comprou um lote de camisetas ao custo de 16 reais 
a unidade. Sabe-se que em um mês, no qual vendeu 
(40 – x) unidades dessas camisetas ao preço unitário 
de x reais, o seu lucro foi máximo. Assim sendo, pela 
venda de tais camisetas nesse mês, o percentual de 
aumento repassado aos clientes, calculado sobre o 
preço unitário que o comerciante pagou na compra do 
lote, foi de: 
a) 80%.
b) 75%.
c) 60%.
d) 45%
9. (UFSM) Uma pessoa ingere uma certa substância que 
se concentra em seu cérebro. O gráfico a seguir mostra 
essa concentração em função do tempo t.
Admitindo que a concentração y seja dada por uma fun-
ção quadrática y = at2 + bt + c, é correto afirmar que:
a) a > 0 e b2 – 4ac > 0.
b) a > 0 e b2 – 4ac < 0.
c) a < 0 e b2 – 4ac > 0.
d) a < 0 e b2 – 4ac < 0.
e) a ≠ 0 e b2 – 4ac = 0.
10. (Epcar) O gráfico de uma função polinomial do se-
gundo grau y = f(x), que tem como coordenadas do vér-
tice (5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), também passará 
pelo ponto de coordenadas:
a) (1, 18).
b) (0, 26).
c) (6, 4).
d) (–1, 36).
E.O. COmplEmEntAr
 1. (Insper) No gráfico estão representadas duas fun-
ções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau.
O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é:
a) 
b) 
c) 
d) 
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2. (Insper) O número n de pessoas presentes em uma fes-
ta varia ao longo do tempo t de duração da festa, em 
horas, conforme mostra o gráfico a seguir.
 
Das opções abaixo, aquela que melhor descreve a fun-
ção n(t) é: 
a) n(t) = –10t2 + 4t + 50.
b) n(t) = –10t2 + 40t + 50. 
c) n(t) = –10t2 + 4t.
d) n(t) = –t2 + 40t.
e) n(t) = –10t2 + 40t.
3. (Ufrgs) O gráfico do polinômio de coeficientes reais 
p(x) = ax² + bx + c está representado a seguir.
Com base nos dados desse gráfico, é correto afirmar 
que os coeficientes a, b e c satisfazem as desigualdades:
a) a > 0; b < 0; c < 0.
b) a > 0; b < 0; c > 0.
c) a > 0; b > 0; c > 0.
d) a > 0;b > 0; c < 0.
e) a < 0; b < 0; c < 0.
4. (Fatec) Seja f a função quadrática, de R em R, defi-
nida por f(x) = (k + 3) · (x2 + 1) + 4x, na qual k é uma 
constante real.
Logo, f(x) > 0, para todo x real, se, e somente se:
a) k > –3.
b) k > –1.
c) –3 < k < 1.
d) k < 1 ou k > 5.
e) k < –5 ou k > –1.
5. Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme 
começaram a ser vendidos 20 dias antes da exibição do 
filme, sendo que:
• nos 10 primeiros dias desse período, as vendas fo-
ram feitas exclusivamente nas bilheterias;
• nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simulta-
neamente nas bilheterias e pela internet.
Considere que t representa o tempo, em dias, desde o 
início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em 
milhões, até o tempo t. 
No período de vendas simultâneas nas bilheterias e 
pela internet, a função v(t) é dada por:
v(t) = –0,1t2 + 4t – 10.
O número de ingressos vendidos apenas nos 10 dias 
que antecederam a exibição do filme foi: 
a) 10 milhões. d) 40 milhões.
b) 20 milhões. e) 50 milhões.
c) 30 milhões.
E.O. dissErtAtivO
1. Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas 
da forma f(x) = x² + ax + b definidas para todo x real.
a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo 
y no ponto (0, 1) e é tangente ao eixo x, determine os 
possíveis valores de a e b.
b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções 
quadráticas têm um ponto em comum. Determine as 
coordenadas desse ponto.
2. (UFPR) Considere as funções f(x) = x – 1 e 
g(x) = 2 __ 3 ∙ (x – 1) ∙ (x – 2).
a) Esboce o gráfico de f(x) e g(x) no sistema cartesia-
no abaixo.
b) Calcule as coordenadas (x, y) dos pontos de inter-
seção dos gráficos de f(x) e g(x).
3. (UFBA) Sabendo que os gráficos das funções quadráti-
cas f(x) = x2 − 4x + 3 e g(x) = –x2 – bx + c se intersectam 
em um ponto do eixo x e em um ponto do eixo y, determi-
ne o valor
de b4c.
4. Na figura abaixo, os gráficos das funções reais f e g são 
tangentes. Sabendo que f(x) = x² + 2k e g(x) = 2x + k, calcule 
f(2) + g(3).
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5. (Udesc) Considere a região limitada pela parábola 
y = kx² e pela reta y = ka² sendo k e a números reais 
positivos, sombreada na figura abaixo.
A área desta região é calculada pela expressão A = 4ka
3
 _____ 3 uni-
dades de área. Resolva os itens abaixo explicitando 
seus cálculos com a maior clareza possível.
a) Represente geometricamente e hachure a região 
delimitada pelas parábolas y = x² e y = 12 – 2x².
b) Determine a área da região obtida no item (a).
6. (UFPR) O número N de caminhões produzidos em uma 
montadora durante um dia, após t horas de operação, é 
dado por N(t) = 20 · t – t² sendo que 0 ≤ t ≤ 10. Suponha 
que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N 
caminhões seja dado por C(N) = 50 + 30 · N.
a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de 
operação da montadora.
b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo 
alcançará o valor de 2300 milhares de reais?
7. (PUC-RJ) O retângulo ABCD tem dois vértices
na parábola de equação y = x² __ 6 – 
11 ___ 6 x + 3e dois vértices 
no eixo x, como na figura abaixo.
Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede.
a) Determine as coordenadas do ponto A.
b) Determine as coordenadas do ponto C.
c) Calcule a área do retângulo ABCD.
8. (UFTM) Certa fonte multimídia promove um balé de 
água, luzes, cores, música e imagens. Sabe-se que bom-
bas hidráulicas fazem milhares de litros de água circula-
rem por minuto em alta pressão por canos de aço, dan-
do vida a um show de formas, entre as quais parábolas, 
conforme ilustra a figura.
A trajetória de uma dessas parábolas pode ser descrita 
pela função h(t) = 12t – t², com t ≥ 0, onde t é o tempo 
medido em segundos e h(t) é a altura, em metros, do 
jato no instante t.
Nessas condições:
a) determine, após o lançamento, a altura máxima 
que o jato alcança.
b) construa o gráfico da função, explicando o que 
acontece no instante t = 12 s.
9. (UEL) O óxido de potássio, K2O, é um nutriente usado 
para melhorar a produção em lavouras de cana-de-açú-
car. Em determinada região, foram testadas três dosa-
gens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação en-
tre a produção de cana e a dosagem do nutriente se deu 
conforme mostra a tabela a seguir.
Dose do nutriente
(kg/hectare)
Produção de 
cana-de-açúcar
(toneladas/hectare)
0 42
70 56
140 61
Considerando que a produção de cana-de-açúcar por 
hectare em função da dose de nutriente pode ser descri-
ta por uma função do tipo y(x) = ax² + bx + c, determine 
a quantidade de nutriente por hectare que maximiza a 
produção de cana-de-açúcar por hectare. Apresente os 
cálculos realizados na resolução da questão.
10. (UFRJ) Determine a equação da parábola que passa pelo 
ponto P1 = (0,a) e é tangente ao eixo x no ponto P2 = (a,0), 
sabendo que a distância de P1 a P2 é igual a 4.
E.O. EnEm
1. (Enem) A temperatura T de um forno (em graus cen-
tígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante 
de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a 
expressão T(t) = – t
2
 __ 4 + 400, com t em minutos. Por mo-
tivos de segurança, a trava do forno só é liberada para 
abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°.
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se 
desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?
a) 19,0 d) 38,0
b) 19,8 e) 39,0
c) 20,0
2. (Enem) Um professor, depois de corrigir as provas de 
sua turma, percebeu que várias questões estavam mui-
to difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função 
polinomial f, de grau menor que 3 para alterar as notas 
x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:
• A nota zero permanece zero.
• A nota 10 permanece 10.
• A nota 5 passa a ser 6. 
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A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo 
professor é:
a) y = – 1 ____ 25 x² + 
7 ___ 5 x.
b) y = – 1 ____ 10 x² + 2x.
c) y = 1 ____ 24 x² + 
7 ____ 12 x.
d) y = 4 ___ 5 x + 2.
e) y = x.
3. (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela 
rotação de uma parábola em torno de um eixo z, con-
forme mostra a figura. 
A função real que expressa a parábola, no plano carte-
siano da figura, é dada pela lei f(x) = 3 __ 2 x² – 6x + C, onde 
C é a medida da altura do líquido contido na taça, em 
centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, represen-
ta o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, 
em centímetros, é:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
4. (Enem) Existem no mercado chuveiros elétricos de 
diferentes potências, que representam consumos e cus-
tos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é 
dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o 
quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O 
consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é direta-
mente proporcional à potência do aparelho.
Considerando as características apresentadas, qual dos 
gráficos a seguir representa a relação entre a energia 
consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elé-
trica (i) que circula por ele?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. (Enem) Um posto de combustível vende 10.000 li-
tros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprie-
tário percebeu que, para cada centavo de desconto 
que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais 
por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool 
foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado 
no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado 
por dia com a venda do álcool, então a expressão que 
relaciona V e x é:
a) V = 10.000 + 50x – x2.
b) V = 10.000 + 50x + x2.
c) V = 15.000 – 50x – x2.
d) V = 15.000 + 50x – x2.
e) V = 15.000 – 50x + x2.
6. (Enem) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa 
de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de 
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concreto têm contornos de um arco de parábola e mes-
mas dimensões. Para determinar o custo da obra, um 
engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico 
em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão 
e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, ob-
teve a seguinte equação para a parábola:
y = 9 – x2 sendo x e y medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual 
a 2 __ 3 da área do retângulo cujas dimensões são, respecti-
vamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em 
metro quadrado? 
a) 18 d) 45
b) 20 e) 54
c)
36
7. (Enem) Um estudante está pesquisando o desenvol-
vimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, 
ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A 
temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, 
é dada pela expressão T(h) = –h2 + 22h – 85, em que h 
representa as horas do dia. Sabe-se que o número de 
bactérias é o maior possível quando a estufa atinge 
sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve 
retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de tem-
peratura, em graus Celsius, com as classificações: muito 
baixa, baixa, média, alta e muito alta.
Intervalos de 
temperatura (ºC)
Classificação
T < 0 Muito baixa
0 ≤ T ≤ 17 Baixa
17 < T < 30 Média
30 ≤ T ≤ 43 Alta
T > 43 Muito alta
Quando o estudante obtém o maior número possível 
de bactérias, a temperatura no interior da estufa está 
classificada como: 
a) muito baixa. d) alta.
b) baixa. e) muito alta.
c) média.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ 2017) No plano cartesiano a seguir, estão repre-
sentados o gráfico da função definida por f(x) = x2 + 2, com 
x ∈  e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e 
DMNP.
Observe que B e P são pontos do gráfico da função f e 
que A, B, D e M são pontos dos eixos coordenados.
Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado 
pela união dos dois quadrados, é: 
a) 20. c) 36.
b) 28. d) 40.
2. (UERJ) Observe a função f, definida por:
f(x) = x2 – 2kx + 29, para x ∈ . 
Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da 
função f é 4. Assim, o valor positivo do parâmetro k é: 
a) 5 c) 10
b) 6 d) 15
3. (UERJ) A figura a seguir mostra um anteparo parabólico 
que é representado pela função f(x) = ( – √
__
 3 ____ 3 ) x2 + 2 √
__
 3 x.
α
x0
f(x)
Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma 
trajetória retilínea. Ao incidir no vértice do anteparo é 
refletida e a nova trajetória é simétrica à inicial, em re-
lação ao eixo da parábola.
O valor do ângulo de incidência a corresponde a: 
a) 30°. c) 60°.
b) 45°. d) 75°. 
4. (UERJ) Os gráficos I e II representam as posições S de 
dois corpos em função do tempo t.
gráfico I
V1
t1 t (segundos)O
h
s 
(m
et
ro
s)
t (segundos)2t10
h
V2
gráfico II
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(m
et
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 11
No gráfico I, a função horária é definida pela equação 
S = a1t
2 + b1t e, no gráfico II, por S = a2t
2 + b2t. 
Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das 
curvas traçadas nos gráficos I e II.
Assim, a razão 
a1 __ a2
 é igual a:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 8. 
5. (UERJ) O gráfico abaixo mostra o segmento de reta 
AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até 
B (3, 0).
O produto das distâncias do ponto C aos eixos coorde-
nados é variável e tem valor máximo
igual a 4,5.
O comprimento do segmento AB corresponde a:
a) 5.
b) 6.
c) 3 √
__
 5 .
d) 6 √
__
 2 .
6. (UERJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 
0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme 
representado no sistema de eixos ortogonais:
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas 
com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é
y = –x
2
 ___ 75 + 
2x ___ 5 .
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao 
ponto B, em metros, é igual a:
a) 38.
b) 40.
c) 45.
d) 50.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Em um triângulo equilátero de perímetro igual 
a 6 cm, inscreve-se um retângulo de modo que um de 
seus lados fique sobre um dos lados do triângulo. Ob-
serve a figura:
 
Admitindo que o retângulo possui a maior área pos-
sível, determine, em centímetros, as medidas x e y de 
seus lados.
 2. (UERJ) Um terreno retangular tem 800 m de períme-
tro e será dividido pelos segmentos 
——
 PA e 
——
 CQ em três 
partes, como mostra a figura.
 
Admita que os segmentos de reta 
——
 PA e 
——
 CQ estão conti-
dos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno e 
que a área do paralelogramo PAQC tem medida S. De-
termine o maior valor, em m2, que S pode assumir.
 3. (UERJ) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de 
sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir 
daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia.
Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no pri-
meiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia.
a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das 
frutas como função do dia de colheita.
b) Determine o dia da colheita de maior ganho para 
o fruticultor. 
4. (UERJ) Considere as seguintes funções, relativas a 
uma ninhada de pássaros:
C = 5 + 10 n; C = custo mensal, em reais, para a manu-
tenção de n pássaros.
V = –5 n2 + 100 n – 320; V = valor arrecadado, em reais, 
com a venda de n pássaros, 4 ≤ n ≤ 16.
Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela 
diferença entre os valores de venda V e custo C.
a) Determine os possíveis valores de n, para que haja 
lucro nas vendas.
b) Calcule o valor de n que proporciona o maior lucro 
possível e o valor, em reais, desse lucro. 
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 12
5. (UERJ) A foto a seguir mostra um túnel cuja entrada 
forma um arco parabólico com base AB = 8 m e altura 
central OC = 5,6 m.
Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e 
o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola.
Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 
2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P 
em um determinado ponto do arco parabólico.
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.
6. (UERJ) Observe a parábola de vértice V, gráfico da 
função quadrática definida por y = ax2 + bx + c, que 
corta o eixo das abscissas nos pontos A e B.
A B x
y
V
Calcule o valor numérico de ∆ = b2 – 4ac, sabendo que 
o triângulo ABV é equilátero.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) A trajetória de um projétil, lançado da beira 
de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, 
é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, 
como ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o 
terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto 
ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante 
do lançamento até o instante em que o projétil atinge 
o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima 
do terreno, é atingida no instante em que a distância 
percorrida por P, a partir do instante do lançamento, 
é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o 
projétil quando foi lançado?
a) 60
b) 90
c) 120
d) 150
e) 180
2. (Unicamp) Seja a um número real. Considere as 
parábolas de equações cartesianas y = x2 + 2x + 2 e 
y = 2x2 + ax + 3. Essas parábolas não se interceptam 
se e somente se: 
a)  a  = 2
b)  a  < 2.
c)  a – 2  < 2.
d)  a – 2  ≥ 2.
3. (Fuvest) A função f: R é R tem como gráfico uma 
parábola e satisfaz f(x + 1) – f(x) = 6x – 2, para todo nú-
mero real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando 
x é igual a:
a) 11 ___ 6 .
b) 7 __ 6 .
c) 5 __ 6 .
d) 0.
e) – 5 __ 6 .
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) No plano cartesiano 0xy, considere a parábo-
la P de equação
y = –4x2 + 8x + 12 e a reta r de equação 
y = 3x + 6. Determine:
a) os pontos A e B, de intersecção da parábola P 
com o eixo coordenado 0x, bem como o vértice V 
da parábola P. 
b) o ponto C, de abscissa positiva, que pertence à 
intersecção de P com a reta r. 
c) a área do quadrilátero de vértices A, B, C e V. 
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 13
2. (Unicamp 2017) Sejam c um número real e f(x) = x2 – 4x + c 
uma função quadrática definida para todo número real x. No 
plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de 
y = f(x). 
a) Determine c no caso em que a abscissa e a ordena-
da do vértice da parábola têm soma nula e esboce o 
respectivo gráfico para 0 ≤ x ≤ 4. 
b) Considere os pontos de coordenadas A = (a, f(a)) 
e B = (b, f(b)), onde a e b são números reais com a < b. 
Sabendo que o ponto médio do segmento 
——
 AB é M = (1, c), 
determine a e b.
3. (Unicamp) Uma grande preocupação atual é a polui-
ção, particularmente aquela emitida pelo crescente nú-
mero de veículos automotores circulando no planeta. 
Ao funcionar, o motor de um carro queima combustível, 
gerando CO2, além de outros gases e resíduos poluentes.
a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada 
velocidade constante, emite 2,7 kg de CO2 a cada litro de 
combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogra-
mas de CO2 ele emitiu em uma viagem de 378 km, saben-
do que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso?
b) A quantidade de CO2 produzida por quilômetro 
percorrido depende da velocidade do carro. Suponha 
que, para o carro em questão, a função c(v) que forne-
ce a quantidade de CO2, em g/km, com relação à ve-
locidade v, para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja 
dada por um polinômio do segundo grau. Determine 
esse polinômio com base nos dados da tabela abaixo.
Velocidade (km/h) Emissão de CO2 (g/km)
20 400
30 250
40 200
4. (Unesp) O gráfico representa uma função f que des-
creve, aproximadamente, o movimento (em função do 
tempo t em segundos) por um certo período, de um 
golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das 
abscissas coincidente com a superfície da água.
tempo (segundos)0
1
altura (metros)
-2
-4
a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é 
constituída por segmentos de retas, determine a ex-
pressão matemática de f nos instantes anteriores à 
saída do golfinho da água. Em que instante o golfi-
nho saiu da água?
b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte 
de uma parábola, dada por:
 f(t) = ( - 3 __ 4 ) t2 + 6t – 9.
Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da 
água e a altura máxima, em metros, atingida no salto. 
5. (Unifesp) A concentração C, em partes por milhão 
(ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea após 
t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial 
C(t) = –0,05t2 + 2t + 25. Nessa função, considera-se t = 0 
o instante em que o paciente ingere a primeira dose do 
medicamento. 
Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse 
medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da 
manhã de uma segunda-feira.
a) A que horas a concentração do medicamento na corren-
te sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez?
b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando 
a concentração do medicamento na corrente sanguínea 
de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da se-
mana e horário ele deverá prescrever a segunda dose? 
6. (Unifesp) A densidade populacional de cada distrito 
da cidade de South Hill, denotada por D (em número de 
habitantes por km2) está relacionada à distância x, em 
quilômetros, do distrito ao centro da cidade. A fórmula 
que relaciona D e x é dada por D = 5 + 30x – 15x2. 
a) Um distrito, localizado no centro da cidade de São 
Paulo, tem densidade populacional de 16,5 hab/km2. 
Comparando a densidade populacional do distrito 
que fica no centro da cidade de South Hill com a do 
distrito do centro da cidade de São Paulo, a segunda 
supera a primeira em y%. Calcule y. 
b) Determine a que distância do centro da cidade de 
South Hill a densidade populacional é máxima. Qual 
é o valor dessa densidade máxima? 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. E 3. C 4. D 5. B
6. C 7. E 8. C 9. B
E.O. Fixação 
1. D 2. B 3. A 4. D 5. C
6. B 7. C 8. B 9. C 10. A
E.O. Complementar 
1. C 2. E 3. A 4. B 5. A
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E.O. dissertativo
1.
a) a = ± 2 e b = 1
b) (1, 2)
2.
a) 
b) Os pontos de intersecção entre f(x) e g(x) são 
(1, 0) e ( 7 __ 2 , 5 __ 2 ) .
3. b4 · c = 24 · 3 = 48.
4. f(2) + g(3) = 2² + 2 + 2 · 3 + 1 = 13
5.
a) 
b) A = 32 ___ 
3
 + 64 ___ 
3
 = 96 ___ 
3
 = 32
6. 
a) C(t) = –30t2 + 600t + 50
b) t = 5h
7. 
a) A=(3,-1)
b) C = (8,0)
c) A área do retângulo ABCD é 5 u.a.
8. 
a) A altura máxima que o jato alcança é 36 m no 
instante t = 6 s.
b) Quando t = 12 s, h é igual a zero, ou seja, o jato 
retorna ao solo.
9. xv = 37 · 35/9 ≈ 143,88 kg
10. y = √
__
 2 ___ 
4
 ( x – 2 √
__
 2 ) ² ou y = – √
__
 2 ___ 
4
 ( x + 2 √
__
 2 ) ²
E.O. Enem
1. D 2. A 3. E 4. D 5. D
6. C 7. D
E.O. UErJ 
Exame de Qualificação
1. D 2. A 3. A 4. C 5. C
6. B
E.O. UErJ 
ExAmE discursivo
1. y = √
__
 3 ___ 
2
 e x = 1.
2. 20.000 m²
3. 
a) 160 + 0,4 n – 0,02 n2
b) 11º dia 
4. 
a) n ∈  tal que 5 < n < 13. 
b) 9 filhotes gerando 80 reais de lucro. 
5. 3 m 
6. ∆ = 12 
E.O. Objetivas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. C 3. C
E.O. Dissertativas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) A(–1, 0), B(3, 0) e V = (1, 16)
b) C(2, 12)
c) A = 36 u.a
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2. 
a) c = 2
 Portanto, segue o gráfico de f. 
 
b) 
 a = 1 – √
__
 3 
 b = 1 + √
__
 3 
3. 
a) 75,6 kg
b) 1 __ 
2
 v2 – 40v + 1000
4.
a) f(t) = 2t – 4 para 0 ≤ t ≤ 2; 2 s
b) 4 s; 3 m 
5. 
a) 21 h.
b) 7 horas da terça-feira.
6. 
a) y = 230%
b) Distância: 1 km
 Densidade máxima: 20 hab/km²
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E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-MG) O valor de certo equipamento, comprado 
por R$ 60.000,00, é reduzido à metade a cada 15 meses. 
Assim, a equação V(t) = 60.000 · 2 , onde t
é o tempo 
de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a 
variação do valor desse equipamento. Com base nessas 
informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipa-
mento após 45 meses de uso será igual a:
a) R$ 3.750,00.
b) R$ 7.500,00.
c) R$ 10.000,00.
d) R$ 20.000,00.
2. (Mackenzie) O valor de x na equação ( dXX 3 ___ 9 ) 
2x–2
= 1 ___ 27 é:
a) tal que 2 < x < 3.
b) negativo.
c) tal que 0 < x < 1.
d) múltiplo de 2.
e) 3.
3. (PUC-RJ) A equação 2x2 – 14 = 1 _____ 1024 tem duas soluções 
reais. A soma das duas soluções é:
a) –5.
b) 0.
c) 2.
d) 14.
e) 1024.
4. (IFSUL) O esboço gráfico que melhor representa a 
função real de variável real y = ex+2 é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
5. (UPE) Os biólogos observaram que, em condições ideais, 
o número de bactérias Q(t) em uma cultura cresce expo-
nencialmente com o tempo t, em minutos, de acordo com a 
lei Q(t) = Q0∙ e
kt sendo k > 0 uma constante que depende da 
natureza das bactérias; o número irracional e vale aproxi-
madamente 2,718 e Q0 é a quantidade inicial de bactérias.
Se uma cultura tem inicialmente 6.000 bactérias e, 20 
minutos depois, aumentou para 12.000, quantas bacté-
rias estarão presentes depois de 1 hora? 
a) 1,8 × 104. 
b) 2,4 × 104. 
c) 3,0 × 104. 
d) 3,6 × 104. 
e) 4,8 × 104. 
6. O número real a satisfaz a sentença 32a – 1 < 1 ____ 
9a + 1
 se, 
e somente se:
a) a < 4.
b) 4 ≤ a < 1.
c) a < – 1 ___ 4 .
d) 1 ___ 4 < a < 0.
e) a > 4.
7. O conjunto solução da inequação ( 1 __ 2 )
 x – 3
 ≤ 1 __ 4 é:
a) (–∞, 5].
b) [5, +∞).
c) [–5, +∞).
d) [4, +∞).
e) (–∞, –5].
EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
HABILIDADES:
3, 4, 5, 19, 20, 21, 22, 
23, 24, 25 e 26
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6
AULAS 19 e 20
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8. Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x, a solução da inequação 
f(x) > g(2 – x) é:
a) x > 0.
b) x > 0,5.
c) x > 1.
d) x > 1,5.
e) x > 2.
9. (UFES) O conjunto solução, em R, da inequação 
3x – 3 >(1/9)x + 3 é:
a) {x ∈ R | x > –3}.
b) {x ∈ R | 0 < x < 1}.
c) {x ∈ R | x > 1}.
d) {x ∈ R | x < 1}.
e) {x ∈ R | x > –1}.
10. (PUC-RS) O domínio da função definida por 
f(x) = √
______
 2x – 1 é:
a) (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
b) [0; +∞).
c) (-∞; 0].
d) (1; +∞).
e) (-∞; -1).
E.O. FixAçãO
1. (ACAFE) Um dos perigos da alimentação humana são 
os micro-organismos, que podem causar diversas doen-
ças e até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a 
Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos, ar-
mazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a 
prevenir a contaminação pelos mesmos. Sabendo que 
certo microrganismo se prolifera rapidamente, dobran-
do sua população a cada 20 minutos, pode-se concluir 
que o tempo que a população de 100 micro-organismos 
passará a ser composta de 3.200 indivíduos é:
a) 1 h e 35 min.
b) 1 h e 40 min.
c) 1 h e 50 min.
d) 1 h e 55 min.
2. (CFTMG) A solução da equação 3x+1 – 3x+2 = –54 é:
a) –2.
b) –1.
c) 0.
d) 2.
3. (UFRGS) Considere a função f tal que f(x) = k + ( 5 __ 4 ) 
2x–1
, 
com k > 0.
Assinale a alternativa correspondente ao gráfico que 
pode representar a função f.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. (ESPM) Se (4x)² = 16 · 2x², o valor de xx é:
a) 27. d) 1.
b) 4. e) – 1 ___ 
27
 .
c) 1 __ 4 .
5. (UFPB) O total de indivíduos, na n-ésima geração, de 
duas populações P e Q, é dado, respectivamente, por 
P(n) = 4n e Q(n) = 2n. Sabe-se que, quando P(n)/Q(n) ≥ 1024, 
a população Q estará ameaçada de extinção. Com base 
nessas informações, essa ameaça de extinção ocorrerá a 
partir da:
a) décima geração.
b) nona geração.
c) oitava geração.
d) sétima geração.
e) sexta geração.
6. (UFRGS) O conjunto solução da inequação ( 1 __ 2 ) 
x2
 > 1 é:
a) ∅. d) (-∞, 0).
b) (-1, 1). e) R.
c) (0, +∞).
7. (Mackenzie) O maior valor inteiro pertencente ao con-
junto solução da inequação [(2x+2 - 2x+1)/2x-2] < 0,25x é:
a) –3.
b) –2.
c) –1.
d) 1.
e) 2.
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 18
8. (UPE) Antônio foi ao banco conversar com seu ge-
rente sobre investimentos. Ele tem um capital inicial de 
R$ 2.500,00 e deseja saber depois de quanto tempo de 
investimento esse capital, aplicado a juros compostos, 
dobrando todo ano, passa a ser maior que R$ 40.000,00 
Qual a resposta dada por seu gerente?
a) 1,5 anos
b) 2 anos
c) 3 anos
d) 4 anos
e) 5 anos
9. (ESPCEX) A inequação
10x + 10x + 1 + 10x + 2 + 10x + 3 + 10x + 4 < 11111 em que x 
é um número real:
a) não tem solução.
b) tem apenas uma solução.
c) tem apenas soluções positivas.
d) tem apenas soluções negativas.
e) tem soluções positivas e negativas. 
10. (IFSUL) Uma aplicação bancária é representada gra-
ficamente conforme figura a seguir.
 
M é o montante obtido através da função exponencial 
M = C · (1,1)t, C é o capital inicial e t é o tempo da aplicação.
Ao final de 04 meses o montante obtido será de: 
a) R$ 121,00 
b) R$ 146,41 
c) R$ 1.210,00 
d) R$ 1.464,10 
E.O. COmplEmEntAr
1. (UNIOESTE) O Saccharomyces cerevisiae é um fungo 
com bastante importância econômica. É utilizado como 
fermento para a massa de pão, produzindo dióxido de 
carbono e fazendo a massa crescer. É também utilizado 
na produção de bebidas alcoólicas fermentadas, pois 
converte o açúcar em álcool etílico. Sob certas condi-
ções de cultura, este fungo cresce exponencialmente de 
forma que a quantidade presente em um instante t do-
bra a cada 1,5 horas. Nestas condições, se colocarmos 
uma quantidade q0 deste fungo em um meio de cultura, 
a quantidade q(t) existente do fungo, decorridas t horas 
com t ∈ [0, ∞), pode ser calculada pela função:
a) q(t) = q0 · 4
3t.
b) q(t) = 4 __ 9 t²q0 + q0.
c) q(t) = ( 3 __ 2 q0 ) 
²
.
d) q(t) = q0 ( 3 __ 2 ) 
2t
.
e) q(t) = 3 dXX 4t q0.
2. (UFV) Se 2a · x2 + 4a+1 · x + 8 > 0, para todo x ∈ R, é 
CORRETO afirmar que:
a) a ≤ 1/3.
b) a < 1/3.
c) a ≥ 1/3.
d) a < 0.
e) a > 1.
3. (ITA) Seja α um número real, com 0 < α < 1. Assinale 
a alternativa que representa o conjunto de todos os va-
lores de x tais que α2x ( 1 ___ dXX α ) 
2x2
 < 1.
a) ]–∞, 0] ∪ [ 2, +∞[.
b) ]–∞, 0[ ∪ ] 2, +∞[.
c) ]0, 2[.
d) ]–∞, 0[.
e) ]2, +∞[.
4. (UDESC) O Conjunto solução da inequação 
 [ 3 dXXXXXXX (2x – 2) ] x + 3 > 4x é:
a) S = {x ∈ R | – 1 < x < 6}.
b) S = {x ∈ R | x < –1 ou x > 1}.
c) S = {x ∈ R | x < –1 ou x > 6}.
d) S = {x ∈ R | –6 < x < 1}.
e) S = {x ∈ R | x < – dXX 6 ou x > dXX 6 }.
5. (EPCAR (AFA)) A função real f definida por f(x) = a · 3x + b, 
sendo a e b constantes reais, está graficamente represen-
tada abaixo.
Pode-se afirmar que o produto (a · b) pertence ao in-
tervalo real: 
a) [–4, –1[. 
b) [–1, 2[. 
c) [2, 5[. 
d) [5, 8]. 
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 19
E.O. dissErtAtivO
1. (UFU) Na elaboração de políticas públicas que este-
jam em conformidade com a legislação urbanística de 
uso e ocupação do solo em regiões metropolitanas, é 
fundamental o conhecimento de leis descritivas do 
crescimento populacional urbano.
Suponha que a lei dada pela função p(t) = 0,5 · (2kt) ex-
presse um modelo representativo da população de uma 
cidade (em milhões de habitantes) ao longo do tem-
po t (em anos), contados a partir de 1970, isto é, t = 0 
corresponde ao ano de 1970, sendo k uma constante real.
Sabendo que a população dessa cidade em 2000 era de 
1 milhão de habitantes:
a) Extraia do texto dado uma relação de forma a ob-
ter o valor de k.
b) Segundo o modelo de evolução populacional dado, 
descreva e execute um plano de resolução que possi-
bilite estimar em qual ano a população desta cidade 
atingirá 16 milhões de habitantes.
2. (UFMG) Um grupo de animais de certa espécie está 
sendo estudado por veterinários. A cada seis meses, es-
ses animais são submetidos a procedimentos de morfo-
metria e, para tanto, são sedados com certa droga.
A quantidade mínima da droga que deve permanecer 
na corrente sanguínea de cada um desses animais, para 
mantê-los sedados, é de 20mg por quilograma de peso 
corporal. Além disso, a meia-vida da droga usada é de 
1 hora — isto é, a cada 60 minutos, a quantidade da 
droga presente na corrente sanguínea de um animal 
reduz-se à metade.
Sabe-se que a quantidade q(t) da droga presente na 
corrente sanguínea de cada animal, t minutos após um 
dado instante inicial, é dada por q(t) = q02
–kt, em que:
• q0 é a quantidade de droga presente na corrente 
sanguínea de cada animal no instante inicial; e
• k é uma constante característica da droga e da espécie.
Considere que um dos animais em estudo, que pesa 10 
quilogramas, recebe uma dose inicial de 300 mg da droga 
e que, após 30 minutos, deve receber uma segunda dose. 
Suponha que, antes dessa dose inicial, não havia qualquer 
quantidade da droga no organismo do mesmo animal.
Com base nessas informações,
a) calcule a quantidade da droga presente no orga-
nismo desse animal imediatamente antes de se apli-
car a segunda dose.
b) calcule a quantidade mínima da droga que esse 
animal deve receber, como segunda dose, a fim de ele 
permanecer sedado por, pelo menos, mais 30 minutos.
3. (UFF)
a) Ao resolver uma questão, José apresentou o se-
guinte raciocínio:
“Como 1 __ 4 > 
1 __ 8 tem-se ( 1 __ 2 ) 
2
 > ( 1 __ 2 ) 
3
 e conclui-se que 2 > 3.”
Identifique o erro que José cometeu em seu raciocí-
nio, levando-o a essa conclusão absurda.
b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o me-
nor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação:
 ( 1 __ 2 ) 
4/m
 > ( 1 __ 4 ) 
m+1
4. Resolva as seguintes inequações exponenciais:
a) 53x – 1 > 1 ___ 25 
b) 8
2
 __ 
36
 ≥ ( dXX 3 __ 2 ) 
x
c) ( 1 __ 2x ) 
3
 < 
dXX 8 ___ 16 
5. Encontre os valores de x que satisfazem a inequação 
2(x – 1) · (4 – x) > 1.
6. (PUC-RJ) Seja f(x) = 4x – 6 · 2x + 8. 
a) Calcule f(0). 
b) Encontre todos os valores reais de x para os quais 
f(x) = 168. 
c) Encontre todos os valores reais de x para os quais 
f(x) < 0. 
7. (UFPR) Um grupo de cientistas decidiu utilizar o 
seguinte modelo logístico, bastante conhecido por 
matemáticos e biólogos, para estimar o número de 
pássaros, P(t), de determinada espécie numa área de 
proteção ambiental: P(t) = 500 _______ 
1 + 22–t
 , sendo t o tempo 
em anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado.
a) Em quanto tempo a população chegará a 400 indivíduos?
b) À medida que o tempo t aumenta, o número de 
pássaros dessa espécie se aproxima de qual valor? 
Justifique sua resposta. 
8. (UFPE) Em uma aula de Biologia, os alunos devem 
observar uma cultura de bactérias por um intervalo de 
tempo e informar o quociente entre a população final e a 
população inicial. Antônio observa a cultura de bactérias 
por 10 minutos e informa um valor Q. Iniciando a obser-
vação no mesmo instante que Antônio, Beatriz deve dar 
sua informação após 1 hora, mas, sabendo que a popula-
ção de bactérias obedece à equação P(t) = P0 · e
kt, Beatriz 
deduz que encontrará uma potência do valor informado 
por Antônio. Qual é o expoente dessa potência? 
9. (UEL) A espessura da camada de creme formada so-
bre um café expresso na xícara, servido na cafeteria A, 
no decorrer do tempo, é descrita pela função E(t) = a2bt, 
onde t ≥ 0 é o tempo (em segundos) e a e b são números 
reais. Sabendo que inicialmente a espessura do creme é 
de 6 milímetros e que, depois de 5 segundos, se reduziu 
em 50%, qual a espessura depois de 10 segundos?
Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. 
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Considere uma folha de papel retangular que 
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foi dobrada ao meio, resultando em duas partes, cada 
uma com metade da área inicial da folha, conforme 
as ilustrações.
Esse procedimento de dobradura pode ser repetido 
n vezes, até resultar em partes com áreas inferiores a 
0,0001% da área inicial da folha.
Calcule o menor valor de n. Se necessário, utilize em 
seus cálculos os dados da tabela.
x 2x
9 102,70
10 103,01
11 103,32
12 103,63
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Em uma xícara que já contém certa quanti-
dade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir repre-
senta a função exponencial M(t), que fornece a quantida-
de de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após 
o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que:
a) M(t) = 24 – (t/75).
b) M(t) = 24 – (t/50).
c) M(t) = 25 – (t/50).
d) M(t) = 25 – (t/150).
2. (Fuvest) Uma substância radioativa sofre desintegração 
ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = ca–kt, 
em que a é um número real positivo, t é dado em anos, 
m(t) a massa da substância em gramas e c, k são cons-
tantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância 
foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem 
de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?
a) 10%.
b) 5%.
c) 4%.
d) 3%.
e) 2%.
3. (Fuvest) Seja f(x) = a + 2bx+c, em que a, b e c são núme-
ros reais. A imagem de f é a semirreta ]–1, ∞[ e o gráfico 
de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e 
(0, –3/4). Então, o produto abc vale:
a) 4. d) –2.
b) 2. e) –4.
c) 0.
4. (Fuvest) Quando se divide o Produto Interno Bruto 
(PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda 
per capita desse país. Suponha que a população de um 
país cresça à taxa constante de 2% ao ano. Para que sua 
renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer 
anualmente à taxa constante de, aproximadamente,
Dado: 20 √
__
 2 ≅ 1,035. 
a) 4,2%. d) 7,5%.
b) 5,6%. e) 8,9%. 
c) 6,4%. 
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unifesp) A figura 1 representa um cabo de aço preso 
nas extremidades de duas hastes de mesma altura h em 
relação a uma plataforma horizontal. A representação 
dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe 
a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das 
abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e 
B; e considera o ponto O, origem do sistema, como o 
ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O com-
portamento do cabo é descrito matematicamente pela 
função f(x) = 2x + ( 1 __ 2 ) 
x
, com domínio [A, B].
 
a) Nessas condições, qual a menor distância entre o 
cabo e a plataforma de
apoio?
b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual 
deve ser a distância entre elas, se o comportamento 
do cabo seguir precisamente a função dada?
2. (Unesp) Resolva as equações exponenciais, determinan-
do os correspondentes valores de x.
a) 7x-3 + 7x-2 + 7x-1 = 57.
b) (1/3)x + (1/3)x+1 – (1/3)x-2 = –207.
3. (Unicamp) Considere a equação 2x + m22-x – 2m – 2 = 0, 
onde m é um número real.
a) Resolva essa equação para m = 1.
b) Encontre todos os valores de m para os quais a 
equação tem uma única raiz real.
4. (Unesp) Seja a, 0 < a < 1, um número real dado. Re-
solva a inequação exponencial a2x+1 > (1/a)x–3
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 21
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. D 3. B 4. D 5. E
6. C 7. B 8. B 9. E 10. B
E.O. Fixação
1. B 2. D 3. A 4. B 5. A
6. A 7. B 8. D 9. D 10. D
E.O. Complementar
1. E 2. B 3. C 4. C 5. A
E.O. Dissertativo
1.
a) k = 1/30.
b) t = 150.
Portanto, 1970 + 150 = 2.120.
2. 
a) Sabendo que a meia-vida da droga é de 1h = 60min, 
temos que:
q(60) = 300 ____ 
2
 ⇔ 150 = 300 · 2–k60 ⇔ 2–k60 = 2–1 
⇔ k = 1 ___ 
60
 .
Desse modo, a quantidade da droga presente no 
organismo desse animal imediatamente antes de se 
aplicar a segunda dose é:
Q(30) = 150 √
__
 2 mg.
b) De acordo com o enunciado, o animal fica sedado 
se 10 · 20 mg = 200 mg da droga estiverem presentes 
em seu organismo. A fim de manter o animal sedado 
por mais 30 minutos, temos que a quantidade de dro-
ga presente no organismo desse animal, adicionada à 
quantidade da segunda dose, deve ser tal que:
q(30) ≥ 200 mg ⇔ q0 · 2
–1/60 · 30 ≥ 200 ⇔ 
q0 ≥ 200 dXX 2 mg.
Portanto, sabendo que, após 30 minutos da aplicação 
da primeira dose, havia 150 dXX 2 mg da droga no orga-
nismo do animal (item (a)), segue que a quantidade 
de droga na segunda dose deve ser de:
200 dXX 2 – 150 dXX 2 = 50 dXX 2 mg.
3. 
a) José cometeu o erro na última etapa do seu raciocínio, 
uma vez que a função exponencial dada por f(x) = ( 1 __ 2 ) 
x
 
é decrescente.
b) O menor número inteiro e positivo m que satisfaz 
a inequação é 2.
4.
a) x > – 1 __ 
3
 .
b) x ≤ – 12.
c) x > 5 __ 
6
 .
5. 1 < x < 4.
6. 
a) f(0) = 3. b) x = 4.
c) x ∈  / 1 < x < 2.
7. 
a) t = 4.
b) O número de pássaros dessa espécie se aproxima a 500.
8. O expoente é 6.
9. 1,5 mm.
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. A área A(n) de cada parte, após n dobraduras, é dada por 
A(n) = A0 · 2
–n, com A0 sendo a área inicial da folha.
O menor valor de n para o qual
A(n) < 0,0001% · A0 é tal que:
A0 · 2
–n < 0,0001% · A0 ⇔ 2
–n < 10–6 ⇔ 2n > 106
Considerando as aproximações fornecidas na tabela, obtemos 
219 = 210 · 29 ≅ 103,01 · 102,70 = 105,71 < 106 e 220 = (210)2 · (103,01)2 
= 106,02 > 106
Portanto, o menor valor de n que satisfaz a condição do enun-
ciado é 20.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. C 3. A 4. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) A menor distância entre o cabo e a plataforma de 
apoio é dada por:
f(0) = 20 + ( 1 __ 2 ) 
0
 = 1 + 1 = 2m.
b) A distância entre as hastes é 2B, pois 0 é o ponto 
médio de AB. Logo, f(B) = 1 ou f(B) = –1.
Como B > 0 segue que 2B = 2 ⇒ B = 1.
2. 
a) x = 3.
b) x = –3.
3. 
a) 1
b) m = 1 ou m ≤ 0.
4. f(x) é estritamente decrescente pois 0 < a < 1,ou seja, x1 < x2 
⇔ f(x1) > f(x2).
Logo:
a2x + 1 > (1/a)x – 3 ⇔ a2x + 1 > a–x + 3 ⇔ 2x + 1 < –x + 3 ⇔ x < 2 ___ 
3 
 
V = ]–∞; 2 ___ 
3
 [
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N
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 22
E.O. AprEndizAgEm
1. (UEL) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:
a) o número ao qual se eleva a para se obter b.
b) o número ao qual se eleva b para se obter a.
c) a potência de base b e expoente a.
d) a potência de base a e expoente b.
e) a potência de base 10 e expoente a.
2. (Cesgranrio) Se log10(2x – 5) = 0, então x vale:
a) 5. d) 7/3.
b) 4. e) 5/2.
c) 3.
3. (UFRGS) O número log27 está entre:
a) 0 e 1. d) 3 e 4.
b) 1 e 2. e) 4 e 5.
c) 2 e 3.
4. (UFJF) Sejam a, b e c números reais positivos, com c ≠ 1. 
Sobre a função logarítmica, é correto afirmar: 
a) Se logc a = y, então a
y = c.
b) logc (a + b) = (logc a) · (logc b).
c) logc ( a __ b ) = 
logc a _____ 
logc b
 .
d) logc ( 1 __ a ) = –logc a.
e) logc (a – b) = logc a – logc b.
5. (FEI) Se log 2 = a e log 3 = b, escrevendo log 32 ___ 27 em 
função de a e b obtemos: 
a) 2a + b.
b) 2a – b.
c) 2ab.
d) 2a ___ 
b
 .
e) 5a – 3b.
6. (Cesgranrio) O valor de logx( x √
__
 x ) é:
a) 3 __ 4 .
b) 4 __ 3 .
c) 2 __ 3 .
d) 3 __ 2 .
e) 5 __ 4 .
7. (IFPE) Biólogos estimam que a população P de certa 
espécie de aves é dada em função do tempo t, em anos, 
de acordo com a relação P(t) = 250 ∙ (1,2)t/5 sendo t =0 o 
momento em que o estudo foi iniciado.
Em quantos anos a população dessa espécie de aves 
irá triplicar? 
Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.
a) 45. d) 18.
b) 25. e) 30.
c) 12.
8. (Mackenzie) Para quaisquer reais positivos A e B, o 
resultado da expressão logA B
3 · logB A
2 é:
a) 10. d) A · B.
b) 6. e) 12.
c) 8.
9. (ESPM) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o valor do log9 160 
é igual a: 
a) 4a + b ______ 2 . d) 
4b + 2 ______ a .
b) 4a + 1 ______ 
2b
 . e) a + 1 _____ 
3b
 .
c) 2a + 3b _______ 2 .
10. (UPF) Sendo loga x = 2,logbx = 3 e logc x = 5 o valor 
de logabc x é: 
a) 30. d) 30 ___ 31 .
b) 31. e) 1 __ 3 .
c) 31 ___ 30 .
E.O. FixAçãO
1. (UPE) Terremotos são eventos naturais que não têm 
relação com eventos climáticos extremos, mas podem ter 
consequências ambientais devastadoras, especialmente 
quando seu epicentro ocorre no mar, provocando tsuna-
mis. Uma das expressões para se calcular a violência de 
um terremoto na escala Richter é M = 2 __ 3 · log10 ( E __ E0 ) onde 
M é a magnitude do terremoto, E é a energia liberada 
(em joules) e E0 = 10
4,5 joules é a energia liberada por 
um pequeno terremoto usado como referência. Qual foi 
a ordem de grandeza da energia liberada pelo terre-
moto do Japão de 11 de março de 2011, que atingiu 
magnitude 9 na escala Richter?
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 
DOS LOGARITMOS
HABILIDADES:
1, 3, 4, 10, 11, 12, 13 
e 21
COMPETÊNCIAS: 1, 3 e 5
AULAS 21 e 22
AL
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 23
a) 1014 joules. d) 1018 joules.
b) 1016 joules. e) 1019 joules.
c) 1017 joules.
2. (UDESC) Se log3(x – y) = 5 e log5(x + y) = 3, então 
log2(3x – 8y) é igual a:
a) 9.
b) 4 + log25.
c) 8.
d) 2 + log210.
e) 10.
3. A solução, em R da equação 62x – 4 · 6x = 0 é:
a) 0. c) log46.
b) 1. d) log64.
4. (FGV) Meia-vida de uma grandeza que decresce ex-
ponencialmente
é o tempo necessário para que o valor 
dessa grandeza se reduza à metade.
Uma substância radioativa decresce exponencial-
mente de modo que sua quantidade, daqui a t anos, 
é Q = A · (0,975)t.
Adotando os valores ln 2 = 0,693 e ln 0,975 = –0,025, o 
valor da meia-vida dessa substância é aproximadamente: 
a) 25,5 anos. d) 28,8 anos.
b) 26,6 anos. e) 29,9 anos.
c) 27,7 anos.
5. (ESPCEX (AMAN)) Considerando log2 = 0,30 e 
log3 = 0,48, o número real x, solução da equação 
5x – 1 = 150, pertence ao intervalo: 
a) ]–`, 0]. d) [0, 2[.
b) [4, 5[. e) [5, +`[.
c) ]1, 3[.
6. (CFTMG) Se M = (4log59)log45 então, o valor de M é igual a: 
a) 3. c) 27.
b) 9. d) 81.
7. (UFRGS) Atribuindo para log2 o valor 0,3 então o va-
lor de 1000,3 é: 
a) 3.
b) 4.
c) 8.
d) 10.
e) 33.
8. (UEL) Considere A, B e C números reais positivos com 
A ≠ 1, B ≠1 e C ≠ 1. Se logA B = 2 e logC A = 
3 __ 5 , conclui-se 
que o valor de logBC é: 
a) 1 __ 2 .
b) 5 __ 3 .
c) 1 __ 6 .
d) 5 __ 6 .
e) 6 __ 5 .
9. (UFSCAR) Adotando-se log 2 = a e log 3 = b, o valor 
de log1,5 135 é igual a:
a) 
(3ab)
 ______ 
(b – a)
 .
b) 
(2b – a + 1)
 __________ 
(2b – a)
 .
c) 
(3b – a)
 _______ 
(b – a)
 .
d) 
(3b + a)
 _______ 
(b – a)
 .
e) 
(3b – a + 1)
 __________ 
(b – a)
 .
10. (FEI) Considere a > 1 e a expressão adiante 
x = loga2a + logaa
2, então o valor de x é: 
a) 2 d) 2 __ 5 
b) 3 __ 2 e) 1
c) 5 __ 2 
E.O. COmplEmEntAr
1. (ESPM) Seja A o conjunto de todos os valores de k 
para os quais a equação, em x:
logx – 3 (5 – x) = k
admite uma raiz inteira. O número de elementos de A 
é igual a:
a) 0. d) 3.
b) 1. e) 4.
c) 2.
2. (ESPCEX) Sendo x = 6 dXXX a² __ b com log2 a = 4 e log2 b = 5 em 
que a e b são números reais não nulos e diferentes de 1, 
então logx 2 é igual a:
a) 16. d) 4.
b) 8. e) 2.
c) 6.
3. (UFRGS) Aproximando log 2 por 0,301, verificamos 
que o número 1610 está entre 
a) 109 e 1010.
b) 1010 e 1011.
c) 1011 e 1012.
d) 1012 e 1013.
e) 1013 e 1014.
4. (IME) Se log10 2 = x e log10 3 = y, então log5 18 vale: 
a) 
x + 2y
 ______ 1 – x .
b) 
x + y
 _____ 1 – x .
c) 
2x + y
 ______ 1 + x .
d) 
x + 2y
 ______ 1 + x .
e) 
3x + 2y
 _______ 1 – x .
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 24
5. (IFSUL) Tendo-se a e b como números reais positivos, 
e sendo b ≠ 1, se log2 a + 
1 ______ 
logb 2
 = 6, então a ∙ b é igual a:
a) 12. c) 32.
b) 16. d) 64.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFC) Sendo a e b números reais positivos tais que:
log a = 224 e log b = 218 
Calcule o valor de a __ 
b
 .
2. (UFRRJ) Ao se estudar o crescimento das palmeiras na 
cidade de Palmeirópolis, constatou-se que a função que 
descreve esse crescimento em metros, após t anos, é:
f(t) = 3log2(2t – 1)
Quantos anos são necessários para que uma determina-
da palmeira atinja 27 metros de altura?
3. (UFPE) A expressão log(6 – x – x2) assume valores re-
ais apenas para x pertencente a um intervalo de núme-
ros reais, onde log é o logaritmo decimal. Determine o 
comprimento deste intervalo. 
4. (UFJF) Uma pessoa aplicou uma quantia inicial em 
um determinado fundo de investimento. Suponha que a 
função F, que fornece o valor, em reais, que essa pessoa 
possui investido em relação ao tempo t, seja dada por: 
F(t) = 100(1,2)t.
O tempo t, em meses, é contado a partir do instante do 
investimento inicial.
a) Qual foi a quantia inicial aplicada?
b) Quanto essa pessoa teria no fundo de investimento 
após 5 meses da aplicação inicial?
c) Utilizando os valores aproximados log10 2 = 0,3 e 
log10 3 = 0,48, quantos meses, a partir do instante do 
investimento inicial, seriam necessários para que essa 
pessoa possuísse, no fundo de investimento, uma 
quantia igual a R$ 2.700,00? 
5. (FGV) O diretor de uma editora estima que, se x 
exemplares de um novo livro de Cálculo para o Ensino 
Superior forem entregues aos professores para análise, 
as vendas do livro no primeiro ano serão de aproxima-
damente f(x) = 1000 (15 – 24e–0,003x) exemplares. Use 
a aproximação ln 2 = 0,69 para responder às questões.
a) Quantos exemplares a editora deverá distribuir 
para análise, para vender cerca de 9.000 exemplares 
no primeiro ano?
b) O diretor afirmou que, no primeiro ano, não conse-
guirão vender mais de 15.000 exemplares, qualquer que 
seja a quantidade de exemplares entregues aos profes-
sores para análise. É correta a sua afirmação? Justifique.
6. (UFF) São dados os números reais positivos n, i e x 
tais que n ≠ 1 e i ≠ 1.
Sabe-se que logn x = 2 e logi x = 4.
Calcule logni n dXX x . 
7. (IME) Considerando log 2 = a e log 3 = b, encontre 
em função de a e b, o logaritmo do número 5 √
______
 11,25 no 
sistema de base 15. 
8. (UFSCAR) Sejam x e y números reais positivos e dife-
rentes de 1. Sejam números reais positivos n, j e i, tais 
que n ± i ≠ 1, j ≠ 1.
a) Verifique que logx y = 
1 _____ 
logy x
 .
b) Se 2 logn + i j · logn – i j = logn + i j + logn – i j, mostre 
que n, j e i são, respectivamente, a hipotenusa e os 
catetos de um triângulo retângulo. 
9. (UFPE) Admita que a população humana na terra seja 
hoje de 7 bilhões de habitantes e que cresce a uma taxa 
cumulativa anual de 1,8%. Em quantos anos, a popu-
lação será de 10 bilhões? Dados: use as aproximações 
log10 ( 10 ___ 7 ) ≈ 0,15 e log10 1,018 ≈ 0,0075.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia 
e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacio-
nal brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca 
de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de 
crescimento populacional do nosso país não se alte-
re para o próximo século, e que a população se esta-
bilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um 
modelo matemático capaz de aproximar o número de 
habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 
1970, é dado por:
P(t) = [280 – 190 e–0,019 · (t – 1970)] 
Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para 
o logaritmo natural:
ln ( 14 ___ 95 ) ≅ –1,9
a população brasileira será 90% da suposta população 
de estabilização aproximadamente no ano de:
a) 2065. d) 2080.
b) 2070. e) 2085.
c) 2075.
2. (Fuvest) A magnitude de um terremoto na escala Ri-
chter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da ener-
gia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de 
uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, 
do inverso da concentração de íons H+.
Considere as seguintes afirmações:
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se 
pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.
II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com 
pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina 
com pH 8.
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter 
libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 
3. Está correto o que se afirma somente em:
AL
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4 
 25
a) I. d) I e II.
b) II. e) I e III.
c) III.
3. (Fuvest) Sabendo-se que 5n = 2, podemos concluir 
que log2 100 é igual a: 
a)
2 __ n d) 2 + 2n
b) 2n e) 2 + 2n ______ n 
c) 2 + n2
4. (Fuvest) Se log10 8 = a, então log105 vale 
a) a3 d) 1 + a __ 3 
b) 5a – 1 e) 1 – a __ 3 
c) 2a ___ 3 
5. (Fuvest) Tendo em vista as aproximações log10 2 < 0,30, 
log10 3 < 0,48, então o maior número inteiro n, satisfa-
zendo 10n ≤ 12418, é igual a
a) 424 d) 451
b) 437 e) 460
c) 443
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Numa fábrica, o lucro originado pela produ-
ção de x peças é dado em milhares de reais pela função 
L(x) = log10 (100 + x) + k, com k constante real.
a) Sabendo que não havendo produção não há lucro, 
determine k.
b) Determine o número de peças que é necessário 
produzir para que o lucro seja igual a mil reais.
2. (Unesp) Numa experiência para se obter cloreto de só-
dio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma cer-
ta quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a 
uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. 
A experiência termina quando toda a água se evaporar. 
Em cada instante t, a quantidade de água existente no 
recipiente (em litros) é dada pela expressão:
Q(t) = log10 [ 10n _____ t + 1 ] 
com n uma constante positiva e t em horas.
a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no 
recipiente, determine a constante n.
b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
3. (Unicamp) Calcule o valor da expressão a seguir, onde 
n é um número inteiro, n ≥ 2. Ao fazer o cálculo, você verá 
que esse valor é um número que não depende de n.
logn ( logn n dXXX n dXX n ) 
4. (Unesp) Sejam x e y números reais positivos.
Se log(xy) = 14 e log ( x2 __ y ) = 10, em que os logaritmos 
são considerados numa mesma base, calcule, ainda 
nessa base:
a) log x e log y
b) log ( √
____
 x ∙ y ).
5. (Unesp) Sejam a e b constantes reais, com a > 0 e b > 0, 
tais que log10 a = 0,5 e log10 b = 0,7.
a) Calcule log10 ab, onde ab indica o produto de 
a e b.
b) Determine o valor de x [ R que satisfaz a equação 
( ab ___ 10 ) 
x
 = (ab)2.
6. (Unesp) Sejam i e j números reais maiores que zero 
e tais que i · j = 1. Se i ≠ 1 e logi x = logj y, determine 
o valor de xy. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. C 3. C 4. D 5. E
6. D 7. E 8. B 9. B 10. D
E.O. Fixação
1. D 2. E 3. D 4. C 5. B
6. B 7. B 8. D 9. E 10. C
E.O. Complementar
1. A 2. E 3. D 4. A 5. D
E.O. Dissertativo
1. a __ b = 27.
2. 4,5 anos ou 4 anos e 6 meses.
3. 05.
4. 
a) 100 reais.
b) 248,83 reais.
c) 18 meses.
5. 
a) 460.
b) 1000(15 – 24e–0,003x) > 15000 ⇒ –24e–0,003x > 0 
⇒ e–0,003x < 0 (impossível)
Logo, a afirmação do diretor está correta.
6. logni n √
__
 x = 4 __ 
3
 .
7. 2b – 3a + 1 ___________ 5b – 5a + 5 .
8. 
a) Sendo logxy=a e logyx=t, temos pela definição de 
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logaritmo, que: xa=y e yt=x.
Dessas duas igualdades, resulta (yt)a=y, ou ainda, a = 1/t.
Portanto, logx y = 1/(logyx).
b) Usando a propriedade
 logx y = 1/(logyx) na igualdade
 2logn + i j · logn – i j = logn + i j + logn – i j,
 temos:
 2{1/[logj(n+i).logj(n-i)]} = 
logj (n – i) + logj (n + i) ______________________ 
logj (n + i) · logj (n – i)
 
 2 = logj(n – i) + logj (n + i)
 2 = logj[(n – i) · (n + i)]
 2 = logj (n
2 – i2) 
 j2= n2 – i2
 n2 = j2 + i2 
9. t = 20 anos.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. B 2. D 3. E 4. E 5. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) –2.
b) 900 peças.
2. 
a) 1.
b) 9 horas.
3. –2
4. 
a) log x = 8 e log y = 6
b) log √
____
 xy = 7
5. 
a) log (a · b) = 1,2
b) x = 12
6. xy = 1 
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E.O. AprEndizAgEm
1. (CFTMG) O valor de x, na equação
log3 (2x – 1) - log3 (5x + 3) = –1, é: 
a) 6.
b) 8. 
c) 10. 
d) 12. 
2. (ESPM) Se log x + log x2 + log x3 + log x4 = –20, o valor 
de x é:
a) 10.
b) 0,1.
c) 100.
d) 0,01.
e) 1.
3. (INSPER) O número de soluções reais da equação logx 
(x + 3) + logx (x – 2) = 2 é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
4. (UFSM) Suponha que um campo de futebol seja co-
locado em um sistema cartesiano ortogonal, conforme 
mostra a figura.
Para que o ponto A (log10(x + 1) +1, log10(x
2 + 35)) tenha 
abscissa e ordenada iguais, é necessário e suficiente que: 
a) x > –1.
b) x = 5.
c) x < –1.
d) x = –5.
e) x > 5.
5. (UECE) Pode-se afirmar corretamente que a equação: 
log2(1 + x
4 + x2) + log2(1 + 2x
2) = 0:
a) não admite raízes reais.
b) admite exatamente uma raiz real. 
c) admite exatamente duas raízes reais, as quais são iguais.
d) admite exatamente quatro raízes reais.
6. (UEPB) A equação x2 – 4x + log2(m + 3) = 0 não admite 
solução real quando:
a) m ≤ 12.
b) m < 13.
c) m < 10.
d) m < 5.
e) m > 13.
7. (PUC-PR) Os valores de x que satisfazem à inequação 
log4(x + 3) ≥ 2 estão contidos no intervalo: 
a) x ≥ 2.
b) –2 ≤ x ≤ 2.
c) 0 ≤ x ≤ 20.
d) 2 ≤ x ≤ 15.
e) 13 ≤ x < ∞.
8. (UFRGS) Um número real satisfaz somente uma das 
seguintes inequações.
I. log x ≤ 0.
II. 2log x ≤ log (4x).
III. 2x2 + 8 ≤ 26x.
Então, esse número está entre:
a) 0 e 1. 
b) 1 e 2. 
c) 2 e 3. 
d) 2 e 4. 
e) 3 e 4. 
9. (Mackenzie) Assinale, dentre os valores abaixo, um 
possível valor de x, tal que:
log 1 __ 4 x > log4 7.
a) 1 ___ 14 
b) 14 ___ 15 
c) 1 __ 5 
d) √
__
 2 ___ 
2
 
e) 3 __ 5 
EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS 
DE EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
HABILIDADES: 19, 21, 22, 23 e 25
COMPETÊNCIAS: 5 e 6
AULAS 23 e 24
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10. (EEAR) Se log 2 ≅ 0,3 e log 36 ≅ 1,6, então log 3 ≅ _____. 
a) 0,4. 
b) 0,5. 
c) 0,6. 
d) 0,7. 
E.O. FixAçãO
1.(IFAL) A solução da equação logarítmica 
log4 (x – 6) – log2 (2x – 16) = –1 é o número real “m”. 
Desse modo, podemos afirmar que:
a) m = 7 ou m = 10.
b) o logaritmo de m na base dez é igual a um.
c) m = 10, pois m > 6.
d) m = 7, pois m > 6.
e) m2 = 20.
2. (Mackenzie) Considerando a solução (x, y) do sistema 
log4 x + log2 y = 5
log2 x – log4 y = 0
, 
com x Þ 1, o valor de logx ( x __ y ) é:
a) 1.
b) 4.
c) –1.
d) 1 __ 2 .
e) 1 __ 4 .
3. (IFCE) Seja (a, b) a solução do sistema linear 
2 log2 x + log2 y = 5.
log2 x + 3 log2 y = 10.
O valor de ab será igual a:
a) 2. d) 64.
b) 10. e) 256.
c) 16.
4. (UEL) Os números reais que satisfazem à equação 
log2(x
2 − 7x) = 3 pertencem ao intervalo 
a) ]0, + ∞ [.
b) [0, 7].
c) ]7, 8].
d) [-1, 8].
e) [-1, 0].
5. (UEPB) A solução da inequação logarítmica 
log 1 __ 2 x + log 
1 __ 2 (x–2) > –3 é:
a) S = {x ∈ R/ x > 0}.
b) S = {x ∈ R/ x > 4}.
c) S = {x ∈ R / 0 < x < 4}.
d) S = {x