Álgebra Linear - Transformação Linear - Resolução

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Exercícios Propostos 
1. Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares. 
a. 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧, 𝑦 + 2𝑧, 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧) 
b. 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦, −3𝑥 + 𝑦) 
c. 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) 
d. 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 3𝑦, 𝑥 − 𝑧, 𝑧 − 𝑥) 
e. 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 2𝑦) 
2. Dado o operador linear 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 definido por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 + 𝑦, 4𝑥 + 2𝑦), verifique 
a. Quais dos vetores (1, −2), (2, −3) e (−3,6) pertencem a ker(𝑇) ? 
b. Quais dos vetores (2,4), (−
1
2
, −1) e (−1,3) pertencem a Im(𝑇) ? 
3. Dada a transformação linear 𝑇: 𝑀22 → 𝑀22 definida por 𝑇 ([
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]) = [
𝑎 0
0 𝑑
], verifique 
a. Quais das matrizes [
1 2
−1 3
] , [
0 4
2 0
] e [
3 0
0 −3
] pertencem a ker(𝑇)? 
b. Quais das matrizes [
1 2
−1 3
] , [
0 4
2 0
] e [
3 0
0 −3
] pertencem a Im(𝑇)? 
c. Descreva ker(𝑇) e Im(𝑇) 
4. Dada a transformação linear 𝑇: ℘2 → 𝑅
2 definida por 𝑇(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) = (𝑐 − 𝑏, 𝑏 + 𝑎), verifique 
a. Quais dos polinômios 𝑥 + 1, −𝑥2 + 𝑥 e −𝑥2 + 𝑥 + 1 pertencem a ker(𝑇)? 
b. Quais dos vetores (0,0), (1,0) e (0,1) pertencem a Im(𝑇)? 
c. Descreva ker(𝑇) e Im(𝑇) 
5. Encontre a nulidade e o posto de 𝑇, onde 
a. 𝑇: 𝑀22 → 𝑅
2 definida por 𝑇 ([
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]) = (𝑎 − 𝑏, 𝑐 − 𝑑) 
b. 𝑇: ℘2 → 𝑅
2 definida por 𝑇(𝑝(𝑥)) = (𝑝(0), 𝑝(1)) 
c. 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦, −3𝑥 + 𝑦) 
d. 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) 
e. 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 3𝑦, 𝑥 − 𝑧, 𝑧 − 𝑥) 
f. 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 2𝑦) 
6. Considere a transformação linear 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3 tal que 𝑇(−2,3) = (−1,0,1) e 𝑇(1, −2) = (0, −1,0) 
a. Determine 𝑇(𝑥, 𝑦) 
b. Determine ker(𝑇) e Im(𝑇) 
c. 𝑇 é injetora? E sobrejetora? 
7. Seja 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2 a transformação linear tal que 𝑇(𝑒1) = (1,2), 𝑇(𝑒2) = (0,1) e 𝑇(𝑒3) = (−1,3) , onde 
{𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} é a base canônica de 𝑅
3. 
 
 
 
 
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1. Núcleo e imagem das transformações lineares 
a. 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧, 𝑦 + 2𝑧, 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧) 
Com 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0), temos: (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧, 𝑦 + 2𝑧, 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧) = (0,0,0) 
Ao igualar, temos o sistema 
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
 
Da segunda equação, temos 𝑦 = −2𝑧 e substituindo na primeira equação, temos 
𝑥 + 2(−2𝑧) − 𝑧 = 0 
𝑥 − 4𝑧 − 𝑧 = 0 
𝑥 = 5𝑧 
Logo, temos o sistema em função de 𝑧 
{
𝑥 = 5𝑧
𝑦 = −2𝑧
𝑧 = 𝑧
 
Portanto, temos que o núcleo da transformação linear é 𝑁(𝑇) = {(5𝑧, −2𝑧, 𝑧); 𝑧 ∈ ℝ} 
Colocando 𝑧 em evidência: 𝑵(𝑻) = {𝒛(𝟓, −𝟐, 𝟏)} ∴ 𝑵(𝑻) = [(𝟓, −𝟐, 𝟏)] 
Para encontrar a imagem, reescrevemos a transformação linear como uma soma de vetores que possuam a mesma 
variável, portanto 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 0, 𝑥) + (2𝑦, 𝑦, 3𝑦) + (−𝑧, 2𝑧, 𝑧) 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(1,0,1) + 𝑦(2,1,3) + 𝑧(−1,2,1) 
Logo, 𝑰𝒎(𝑻) = [(𝟏, 𝟎, 𝟏); (𝟐, 𝟏, 𝟑); (−𝟏, 𝟐, 𝟏)] 
 
b. 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦, −3𝑥 + 𝑦) 
Com 𝑇(𝑥, 𝑦) = (0,0), temos: (3𝑥 − 𝑦, −3𝑥 + 𝑦) = (0,0) 
Ao igualar, temos o sistema 
{
3𝑥 − 𝑦 = 0
−3𝑥 + 𝑦 = 0
 
Da primeira equação, temos 𝑦 = 3𝑥, temos o sistema em função de x: {
𝑦 = 3𝑥
𝑥 = 𝑥
 
Portanto, temos que o núcleo da transformação linear é 𝑁(𝑇) = {(𝑥, 3𝑥); 𝑥 ∈ ℝ} 
Colocando 𝑥 em evidência: 𝑵(𝑻) = {𝒙(𝟏, 𝟑)} ∴ 𝑵(𝑻) = [(𝟏, 𝟑)] 
Para encontrar a imagem, reescrevemos a transformação linear como uma soma de vetores que possuam a mesma 
variável, portanto 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑥, −3𝑥) + (−𝑦, 𝑦) 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(3, −3) + 𝑦(−1,1) 
Logo, 𝑰𝒎(𝑻) = [(𝟑, −𝟑); (−𝟏, 𝟏)] 
 
c. 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) 
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Com 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0), temos: (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) = (0,0) 
Ao igualar, temos o sistema 
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
 
Pelo método da adição, temos 
3𝑥 − 𝑦 = 0 
𝑦 = −3𝑥 
Substituindo 𝑦 = −3𝑥 na primeira equação, temos 
𝑥 + 2(−3𝑥) − 𝑧 = 0 
𝑥 − 6𝑥 − 𝑧 = 0 
𝑧 = −5𝑥 
Logo, temos o sistema em função de 𝑥 
{
𝑥 = 𝑥
𝑦 = −3𝑥
𝑧 = −5𝑥
 
Portanto, temos que o núcleo da transformação linear é 𝑁(𝑇) = {(𝑥, −3𝑥, −5𝑥); 𝑥 ∈ ℝ} 
Colocando 𝑥 em evidência: 𝑵(𝑻) = {𝒙(𝟏, −𝟑, −𝟓)} ∴ 𝑵(𝑻) = [(𝟏, −𝟑, −𝟓)] 
Para a imagem de 𝑇, temos 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 2𝑥) + (2𝑦, −𝑦) + (−𝑧, 𝑧) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥(1,2) + 𝑦(2, −1) + 𝑧(−1,1) 
Portanto, 𝑰𝒎(𝑻) = [(𝟏, 𝟐); (𝟐, −𝟏); (−𝟏, 𝟏)] 
 
d. 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 3𝑦, 𝑥 − 𝑧, 𝑧 − 𝑥) 
Com 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0), temos: (𝑥 − 3𝑦, 𝑥 − 𝑧, 𝑧 − 𝑥) = (0,0,0) 
Ao igualar, temos o sistema 
{
𝑥 − 3𝑦 = 0
𝑥 − 𝑧 = 0
𝑧 − 𝑥 = 0
 
Da primeira equação, temos 
𝑥 = 3𝑦 e substituindo na segunda 
equação, temos 
(3𝑦) − 𝑧 = 0 
𝑧 = 3𝑦 
Logo, temos o sistema em função 
de 𝑦 
{
𝑥 = 3𝑦
𝑦 = 𝑦
𝑧 = 3𝑦
 
Assim, temos que o núcleo da transformação linear é 𝑁(𝑇) = {(3𝑦, 𝑦, 3𝑦); 𝑦 ∈ ℝ} 
Colocando 𝑦 em evidência: 𝑵(𝑻) = {𝒚(𝟑, 𝟏, 𝟑)} ∴ 𝑵(𝑻) = [(𝟑, 𝟏, 𝟑)] 
Para a imagem de 𝑇, temos 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑥, −𝑥) + (−3𝑦, 0,0) + (0, −𝑧, 𝑧) 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(1,1, −1) + 𝑦(−3,0,0) + 𝑧(0, −1,1) 
Logo, 𝑰𝒎(𝑻) = [(𝟏, 𝟏, −𝟏); (−𝟑, 𝟎, 𝟎); (𝟎, −𝟏, 𝟏)] 
 
e. 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 2𝑦) 
Com 𝑇(𝑥, 𝑦) = (0,0), temos: (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 2𝑦) = (0,0) 
Ao igualar, temos o sistema 
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{
𝑥 + 𝑦 = 0
𝑥 = 0
2𝑦 = 0
 
Logo, temos o sistema 
{
𝑥 = 0
𝑦 = 0
 
Portanto, temos que o núcleo da transformação linear é 𝑵(𝑻) = [(𝟎, 𝟎)] 
Para a imagem de 𝑇, temos 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥, 0) + (𝑦, 0,2𝑦) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥(1,1,0) + 𝑦(1,0,2) 
Logo, 𝑰𝒎(𝑻) = [(𝟏, 𝟏, 𝟎); (𝟏, 𝟎, 𝟐)] 
 
2. 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 + 𝑦, 4𝑥 + 2𝑦) 
a. (1, −2), (2, −3) e (−3,6) pertencem a ker(𝑇)? 
Devemos lembrar que o núcleo corresponde ao conjunto dos vetores do domínio cuja imagem é nula, ou seja, (𝑥, 𝑦) ∈
𝑁(𝑇) se 𝑇(𝑥, 𝑦) = (0,0). Portanto, vamos verificar a pertinência do vetor 𝑢 = (1, −2) ao núcleo da transformação 
substituindo o vetor na transformação e verificar se teremos uma imagem nula. Assim, 
𝑇(𝑢) = 𝑇(1, −2) = (3 ∙ 1 + (−2), 4 ∙ 1 + 2(−2)) = (3 − 2,4 − 4) = (1,0) 
Como a imagem não é nula, logo o vetor não pertence ao núcleo da transformação. 
Faremos o mesmo procedimento para os demais vetores dados. Então, para 𝑣 = (2,3), temos 
𝑇(𝑣) = 𝑇(2, −3) = (3 ∙ 2 + (−3), 4 ∙ 2 + 2(−3)) = (6 − 3,8 − 6) = (3,2) 
Com 𝑇(𝑣) ≠ (0,0), o vetor 𝑣 não pertence ao núcleo da transformação. 
Para 𝑤 = (−3,6), temos 
𝑇(𝑤) = 𝑇(−3,6) = (3 ∙ (−3) + 6,4 ∙ (−3) + 2 ∙ 6 = (−9 + 6, −12 + 12) = (−3,0) 
Com 𝑇(𝑤) ≠ (0,0), o vetor 𝑤 não pertence ao núcleo da transformação. 
b. (2,4), (−
1
2
, −1) e (−1,3) pertencem a Im(𝑇) ? 
Para a imagem de 𝑇, temos 
𝐼𝑚(𝑇) = (3𝑥 + 𝑦, 4𝑥 + 2𝑦) 
𝐼𝑚(𝑇) = (3𝑥, 4𝑥) + (𝑦, 2𝑦) 
𝐼𝑚(𝑇) = 𝑥(3,4) + 𝑦(1,2) 
𝐼𝑚(𝑇) = [(3,4), (1,2)] 
Como (3,4) e (1,2) não são múltiplos um do outro, conclui-se que são linearmente independentes. 
Com isso, vamos verificar se 𝑣 = (2,4) está na imagem de 𝑇 ao escrever o vetor 𝑣 como combinação linear de (3,4) e 
(1,2) 
(2,4) = 𝑎(3,4) + 𝑏(1,2) 
(2,4) = (3𝑎, 4𝑎) + (𝑏, 2𝑏) 
(2,4) = (3𝑎 + 𝑏, 4𝑎 + 2𝑏) 
Igualando, temos o sistema 
{
3𝑎 + 𝑏 = 2
4𝑎 + 2𝑏 = 4
 
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Multiplicando a primeira equação por (−2) e utilizando o método da adição, temos 
−2𝑎 = 0 
𝑎 = 0 
Substituindo 𝑎 = 0 na segunda equação, temos 
4 ∙ 0 + 2𝑏 = 4 
2𝑏 = 4 
𝑏 = 2 
Substituindo os valores encontrados de 𝑎 e 𝑏 em (2,4) = 𝑎(3,4) + 𝑏(1,2), temos 
(2,4) = 0(3,4) + 2(1,2) 
(2,4) = (2,4) 
Logo, 𝑣 ∈ 𝐼𝑚(𝑇), ou seja, o vetor 𝑣 está na imagemde 𝑇. 
Agora, vamos considerar 𝑤 = (−
1
2
, −1) e verificar se está na imagem de 𝑇 . Fazendo o mesmo processo para 𝑤 , 
escrevemos 𝑤 como combinação linear de (3,4) e (1,2) 
(−
1
2
, −1) = 𝑎(3,4) + 𝑏(1,2) 
(−
1
2
, −1) = (3𝑎, 4𝑎) + (𝑏, 2𝑏) 
(−
1
2
, −1) = (3𝑎 + 𝑏, 4𝑎 + 2𝑏) 
Igualando, temos o sistema 
{ 3𝑎 + 𝑏 = −
1
2
4𝑎 + 2𝑏 = −1
 
Multiplicando a primeira equação por (−2) e utilizando o método da adição, temos 
−2𝑎 = 0 
𝑎 = 0 
Substituindo 𝑎 = 0 na primeira equação, temos 
3 ∙ 0 + 𝑏 = −
1
2
 
𝑏 = −
1
2
 
Substituindo os valores encontrados de 𝑎 e 𝑏 em (−
1
2
, −1) = 𝑎(3,4) + 𝑏(1,2), temos 
(−
1
2
, −1) = 0(3,4) −
1
2
(1,2) 
(−
1
2
, −1) = (−
1
2
, −1) 
Logo, 𝑤 ∈ 𝐼𝑚(𝑇), ou seja, o vetor 𝑤 está na imagem de 𝑇. 
Considerando 𝑢 = (−1,3), iremos verificar se está na imagem de 𝑇. Para isso, escrevemos 𝑢 como combinação linear 
de (3,4) e (1,2) 
(−1,3) = 𝑎(3,4) + 𝑏(1,2) 
(−1,3) = (3𝑎, 4𝑎) + (𝑏, 2𝑏) 
(−1,3) = (3𝑎 + 𝑏, 4𝑎 + 2𝑏) 
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Igualando, temos o sistema 
{
3𝑎 + 𝑏 = −1
4𝑎 + 2𝑏 = 3
 
Da primeira equação, temos 𝑏 = −1 − 3𝑎 e substituímos na segunda equação 
4𝑎 + 2(−1 − 3𝑎) = 3 
4𝑎 − 2 − 6𝑎 = 3 
−2𝑎 = 5 
𝑎 = −
5
2
 
Substituindo 𝑎 = −
5
2
 em 𝑏 = −1 − 3𝑎, temos 
𝑏 = −1 − 3 (−
5
2
) 
𝑏 = −1 +
15
2
 
𝑏 =
13
2
 
Substituindo os valores encontrados de 𝑎 e 𝑏 em (−1,3) = 𝑎(3,4) + 𝑏(1,2), temos 
(−1,3) = −
5
2
(3,4) +
13
2
(1,2) 
(−1,3) = (−
15
2
, −10) + (
13
2
, 13) 
(−1,3) = (−
15
2
+
13
2
, −10 + 13) 
(−1,3) = (−1,3) 
Logo, 𝑢 ∈ 𝐼𝑚(𝑇), ou seja, o vetor 𝑢 está na imagem de 𝑇.] 
 
3. 𝑇: 𝑀22 → 𝑀22 definida por 𝑇 ([
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]) = [
𝑎 0
0 𝑑
] 
a. [
1 2
−1 3
] , [
0 4
2 0
] e [
3 0
0 −3
] pertencem a ker(𝑇)? 
Se uma matriz pertence ao núcleo de uma transformação linear, temos que 𝑇(𝑀) = [
0 0
0 0
] 
Aplicando cada matriz dada na transformação, obtemos 
Para [
1 2
−1 3
] 
𝑇 ([
1 2
−1 3
]) = [
1 0
0 3
] 
Para [
0 4
2 0
] 
𝑇 ([
0 4
2 0
]) = [
0 0
0 0
] 
Para [
3 0
0 −3
] 
𝑇 ([
3 0
0 −3
]) = [
3 0
0 −3
] 
Como apenas a segunda matriz dada, quando aplicada à transformação linear, leva a matriz nula, temos que [
0 4
2 0
] ∈
ker(𝑇) 
b. [
1 2
−1 3
] , [
0 4
2 0
] e [
3 0
0 −3
] pertencem a Im(𝑇)? 
[
1 2
−1 3
] = [
𝑎 0
0 𝑑
], impossível pois −1 ≠ 0, 2 ≠ 0 
[
0 4
2 0
] = [
𝑎 0
0 𝑑
], impossível pois 2 ≠ 0, 4 ≠ 0 
[
3 0
0 −3
] = [
𝑎 0
0 𝑑
], possível 
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Logo, [
3 0
0 −3
] ∈ Im(𝑇) 
c. Descreva ker(𝑇) e Im(𝑇) 
Para ker(𝑇) 
ker(𝑇) = {𝐴 = [
0 𝑏
𝑐 0
] ∀𝐴 ∈ 𝑀22} 
ker(𝑇) = ([
0 1
0 0
] , [
0 0
1 0
]) 
Para Im(𝑇) 
Im(𝑇) = {𝐴 = [
𝑎 0
0 𝑑
] ∀𝐴 ∈ 𝑀22} 
Im(𝑇) = ([
1 0
0 0
] , [
0 0
0 1
]) 
 
4. Dada a transformação linear 𝑇: ℘2 → 𝑅
2 definida por 𝑇(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) = (𝑐 − 𝑏, 𝑏 + 𝑎), verifique 
a. 𝑥 + 1, −𝑥2 + 𝑥 e −𝑥2 + 𝑥 + 1 pertencem a ker(𝑇)? 
Para 𝑝(𝑥) = 𝑥 + 1, temos 
𝑇(𝑝(𝑥)) = 𝑇(𝑥 + 1) = (1 − 1,1 − 0) = (0,1); logo 𝑝(𝑥) = 𝑥 + 1 ∉ ker(𝑇) 
Para 𝑝(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥, temos 
𝑇(𝑝(𝑥)) = 𝑇(−𝑥2 + 𝑥) = (0 − 1,1 + (−1)) = (−1,0); logo 𝑝(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 ∉ ker(𝑇) 
Para 𝑝(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 + 1, temos 
𝑇(𝑝(𝑥)) = 𝑇(−𝑥2 + 𝑥 + 1) = (1 − 1,1 + (−1)) = (0,0); logo 𝑝(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 + 1 ∈ ker(𝑇) 
b. (0,0), (1,0) e (0,1) pertencem a Im(𝑇)? 
Para (0,0), temos 
(𝑐 − 𝑏, 𝑏 + 𝑎) = (0,0) 
Temos o sistema 
{
𝑐 − 𝑏 = 0
𝑏 + 𝑎 = 0
 
Para a primeira equação, temos 𝑏 = 𝑐, e substituindo na segunda equação, temos 𝑎 = −𝑐. Então, temos o sistema em 
função de 𝑐: {
𝑏 = 𝑐
𝑎 = −𝑐
 . Portanto, o sistema tem solução. Logo, o vetor (0,0) ∈ Im(𝑇) 
Para (1,0), temos 
(𝑐 − 𝑏, 𝑏 + 𝑎) = (1,0) 
Temos o sistema 
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{
𝑐 − 𝑏 = 1
𝑏 + 𝑎 = 0
 
Para a primeira equação, temos 𝑏 = −1 + 𝑐, e substituindo na segunda equação, temos 𝑎 = 1 − 𝑐. Então, temos o 
sistema em função de 𝑐: {
𝑏 = −1 + 𝑐
𝑎 = 1 − 𝑐
 . Portanto, o sistema tem solução. Logo, o vetor (1,0) ∈ Im(𝑇) 
Para (0,1), temos 
(𝑐 − 𝑏, 𝑏 + 𝑎) = (0,1) 
Temos o sistema 
{
𝑐 − 𝑏 = 0
𝑏 + 𝑎 = 1
 
Para a primeira equação, temos 𝑏 = 𝑐, e substituindo na segunda equação, temos 𝑎 = 1 − 𝑐. Então, temos o sistema em 
função de 𝑐: {
𝑏 = 𝑐
𝑎 = 1 − 𝑐
 . Portanto, o sistema tem solução. Logo, o vetor (0,1) ∈ Im(𝑇) 
c. Descreva ker(𝑇) e Im(𝑇) 
Descrição de ker(𝑇) 
(𝑐 − 𝑏, 𝑏 + 𝑎) = (0,0) 
Temos o sistema 
{
𝑐 − 𝑏 = 0
𝑏 + 𝑎 = 0
 
Para a primeira equação, temos 𝑏 = 𝑐, e substituindo na segunda equação, temos 𝑎 = −𝑐. Então, temos o sistema em 
função de 𝑐: {
𝑏 = 𝑐
𝑎 = −𝑐
 . Portanto, ker(𝑇) = {−𝑐𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑐} ∈ ℘2; 𝑐 ∈ 𝑅} = [−𝑥2 + 𝑥 + 1] 
Descrição de Im(𝑇) 
Pelo teorema da dimensão, sabemos que a imagem tem dimensão 2 pois a dimensão de ℘2 é igual a 3. 
(𝑐 − 𝑏, 𝑏 + 𝑎) = 𝑐(1,0) + 𝑏(−1,1) + 𝑎(0,1) 
Logo, Im(𝑇) = [(1,0), (1, −1), (0,1)] = [(1,0), (0,1)] 
 
5. Nulidade e o posto de 𝑇, onde 
a. 𝑇: 𝑀22 → 𝑅
2 definida por 𝑇 ([
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]) = (𝑎 − 𝑏, 𝑐 − 𝑑) 
Forma matricial da transformação linear é {
𝑎 − 𝑏
𝑐 − 𝑑
= [
1 −1
1 −1
] 
Subtraindo a segunda linha com a primeira, temos [
1 −1
0 0
]. Portanto, o posto de 𝑇 é igual a 1, e a nulidade é igual a 
2 − 1 = 1 
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b. 𝑇: ℘2 → 𝑅
2 definida por 𝑇(𝑝(𝑥)) = (𝑝(0), 𝑝(1)) 
(𝑝(0), 𝑝(1)) 𝑒𝑚 ℘2 
Para 𝑝(0) 
𝑝(0) = 𝑎02 + 𝑏0 + 𝑐 
𝑝(0) = 𝑐 
Para 𝑝(1) 
𝑝(1) = 𝑎12 + 𝑏1 + 𝑐 
𝑝(0) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
Temos a forma matricial {
𝑐
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
= [
0 0 1
1 1 1
] = [
1 1 1
0 0 1
] 
Logo, o posto de 𝑇 é igual a 2, e a nulidade é igual a 3 − 2 = 1 
c. 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦, −3𝑥 + 𝑦) 
Forma matricial 
[
3𝑥 − 𝑦
−3𝑥 + 𝑦
] = [
3𝑥
−3𝑥
] + [
−𝑦
𝑦 ] = 𝑥 [
3
−3
] + 𝑦 [
−1
1
] ∴ 𝑇(𝑥, 𝑦) = [
3 −1
−3 1
] [
𝑥
𝑦] 
𝑇 representada pela matriz [
3 −1
−3 1
] = [
3 −1
0 0
] = [
1 −
1
3
0 0
] 
Logo, o posto de 𝑇 é igual a 1, e a nulidade é igual a 2 − 1 = 1 
d. 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) 
Temos a forma matricial da transformação [
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧
] = [
𝑥
2𝑥
] + [
𝑦
−𝑦] + [
−𝑧
𝑧
] ∴ 𝑥 [
1
2
] + 𝑦 [
2
−1
] + 𝑧 [
−1
1
] 
Logo, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [
1 2 −1
2 −1 1
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
𝑇 representada pela matriz [
1 2 −1
2 −1 1
] = [
1 2 −1
0 3 −1
] = [
1 2 −1
0 1 −
1
3
] 
Logo, o posto de 𝑇 é igual a 2, e a nulidade é igual a 3 − 2 = 1 
e. 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 3𝑦, 𝑥 − 𝑧, 𝑧 − 𝑥) 
Temos a forma matricial da transformação [
𝑥 − 3𝑦 + 0
𝑥 + 0 − 𝑧
−𝑥 + 0 + 𝑧
] = [
𝑥
𝑥
−𝑥
] + [
−3𝑦
0
0
] + [
0
−𝑧
𝑧
] ∴ 𝑥 [
1
1
−1
] + 𝑦 [
−3
0
0
] + 𝑧 [
0
−1
1
] 
Logo, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [
1 −3 0
1 0 −1
−1 0 1
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
 
𝑇 representada pela matriz [
1 −3 0
1 0 −1
−1 0 1
] = [
1 −3 0
0 3 −1
0 −3 1
] = [
1 −3 0
0 3 −1
0 0 0
] 
Logo, o posto de 𝑇 é igual a 2, e a nulidade é igual a 3 − 2 = 1 
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f. 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 2𝑦) 
Temos a forma matricial da transformação [
𝑥 + 𝑦
𝑥 + 0
0 + 2𝑦
] = [
𝑥
𝑥
0
] + [
𝑦
0
2𝑦
] ∴ 𝑥 [
1
1
0
] + 𝑦 [
1
0
2
] ∴ 𝑇(𝑥, 𝑦) = [
1 1
1 0
0 2
] [
𝑥
𝑦] 
𝑇 representada pela matriz [
1 1
1 0
0 2
] = [
1 1
0 −1
0 1
] = [
1 1
0 −1
0 0
] = [
1 1
0 1
0 0
] 
Logo, o posto de 𝑇 é igual a 2, e a nulidade é igual a 2 − 2 = 0 
6. 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3 tal que 𝑇(−2,3) = (−1,0,1) e 𝑇(1, −2) = (0, −1,0) 
a. Determine 𝑇(𝑥, 𝑦) 
Considerando um vetor 𝑣 = (𝑥, 𝑦) qualquer de 𝑅2, sendo 𝑣1 = (−2,3); 𝑣2 = (1, −2), vamos fazer a combinação linear 
entre os vetores dados e os escalares 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, temos 
𝑣 = 𝑎(𝑣1) + 𝑏(𝑣2) 
(𝑥, 𝑦) = 𝑎(−2,3) + 𝑏(1, −2) 
(𝑥, 𝑦) = (−2𝑎, 3𝑎) + (𝑏, −2𝑏) 
(𝑥, 𝑦) = (−2𝑎 + 𝑏, 3𝑎 − 2𝑏) 
Temos o sistema {
−2𝑎 + 𝑏 = 𝑥
3𝑎 − 2𝑏 = 𝑦
 
Da segunda equação, temos 3𝑎= 𝑦 + 2𝑏. Da primeira equação temos 𝑏 = 𝑥 + 2𝑎. Com isso, vamos substituir esse 
valor em 3𝑎 = 𝑦 + 2𝑏 
3𝑎 = 𝑦 + 2(𝑥 + 2𝑎) 
3𝑎 = 𝑦 + 2𝑥 + 4𝑎 
3𝑎 − 4𝑎 = 𝑦 + 2𝑥 
−𝑎 = 𝑦 + 2𝑥 
𝑎 = −𝑦 − 2𝑥 
Substituindo 𝑎 = −𝑦 − 2𝑥 em 𝑏 = 𝑥 + 2𝑎, temos 
𝑏 = 𝑥 + 2(−𝑦 − 2𝑥) 
𝑏 = 𝑥 − 2𝑦 − 4𝑥 
𝑏 = −3𝑥 − 2𝑦 
Uma transformação linear pode ser escrita 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑇(𝑣1) + 𝑏𝑇(𝑣2). Portanto, vamos substituir os valores 
encontrados nessa transformação. 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑇(𝑣1) + 𝑏𝑇(𝑣2) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (−𝑦 − 2𝑥)(−1,0,1) + (−3𝑥 − 2𝑦)(0, −1,0) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦, 0, −2𝑥 − 𝑦) + (0,3𝑥 + 2𝑦, 0) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦, 3𝑥 + 2𝑦, −2𝑥 − 𝑦) 
b. Determine ker(𝑇) e Im(𝑇) 
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Para ker(𝑇), temos 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0) 
(2𝑥 + 𝑦, 3𝑥 + 2𝑦, −2𝑥 − 𝑦) = (0,0,0) 
Temos o sistema {
2𝑥 + 𝑦 = 0
3𝑥 + 2𝑦 = 0
−2𝑥 − 𝑦 = 0
, na forma matricial [
2 1 0
3 2 0
−2 −1 0
] 
[
2 1 0
3 2 0
−2 −1 0
] 𝐿1: 𝐿2 − 𝐿1 = [
1 1 0
3 2 0
−2 −1 0
] 
𝐿2 − 3𝐿1
𝐿3 + 2𝐿1
 = [
1 1 0
0 −1 0
0 1 0
] 𝐿3 + 𝐿2 = [
1 1 0
0 −1 0
0 0 0
] 
 Na forma de sistema, temos {
𝑥 + 𝑦 = 0
𝑦 = 0
 {
𝑥 = 0
𝑦 = 0
 
Logo, ker(𝑇) = [(0,0)] 
Para Im(𝑇), temos 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥, 3𝑥, −2𝑥) + (𝑦, 2𝑦, −𝑦) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥(2,3, −2) + 𝑦(1,2, −1) 
Logo, Im(𝑇) = [(2,3, −2), (1,2, −1)] 
c. 𝑇 é injetora? E sobrejetora? 
Como ker(𝑇) = [(0,0)], dizemos que 𝑇 é injetora. 
Para verificar se é sobrejetora, vamos usar o teorema da dimensão, logo 
dim(𝑈) = dim[ker(𝑇)] + dim[Im(𝑇)] 
dim(𝑅2) = dim[ker(𝑇)] + dim[Im(𝑇)] 
2 = 0 + dim[Im(𝑇)] 
dim[Im (𝑇)] = 2 
Com dim[Im (𝑇)] ≠ dim(𝑅3), temos que a transformação não é sobrejetora. 
7. Seja 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2 a transformação linear tal que 𝑇(𝑒1) = (1,2), 𝑇(𝑒2) = (0,1) e 𝑇(𝑒3) = (−1,3) , onde 
{𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} é a base canônica de 𝑅
3. 
A base canônica de 𝑅3 é {(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)}, então {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} = {(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)}. Com isso, vamos 
substituir esses valores nas transformações. 
Para 𝑇(𝑒1) = (1,2) 
𝑇(1,0,0) = (1,2) 
Para 𝑇(𝑒2) = (0,1) 
𝑇(0,1,0) = (0,1) 
Para 𝑇(𝑒3) = (−1,3) 
𝑇(0,0,1) = (−1,3) 
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Para determinar 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧), vamos considerar um vetor qualquer de 𝑅3, 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) e vamos fazer a combinação linear 
entre os vetores dados e os escalares 𝑎. 𝑏 ∈ 𝑅. Com isso, 
𝑢 = 𝑎(𝑒1) + 𝑏(𝑒2) + 𝑐(𝑒3) 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(1,0,0) + 𝑏(0,1,0) + 𝑐(0,0,1) 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎, 0,0) + (0, 𝑏, 0) + (0,0, 𝑐) 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
Obtemos o sistema {
𝑎 = 𝑥
𝑏 = 𝑦
𝑐 = 𝑧
 
Uma transformação linear pode ser escrita 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑇(𝑣1) + 𝑏𝑇(𝑣2) + 𝑐𝑇(𝑣3). Portanto, vamos substituir os 
valores encontrados nessa transformação. Sendo 𝑣1 = 𝑒1, 𝑣2 = 𝑒2, 𝑣3 = 𝑒3, temos 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑇(𝑒1) + 𝑏𝑇(𝑒2) + 𝑐𝑇(𝑒3) 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(1,2) + 𝑦(0,1) + 𝑧(−1,3) 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 2𝑥) + (0, 𝑦) + (−𝑧, 3𝑧) 
𝑻(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒙 − 𝒛, 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑𝒛)