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Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) i https://opafinancas.com/ Matemática Financeira com HP12C Séries de pagamentos iguais ou uniformes Paulo Roberto Agrizzi Nacaratti (organizador) https://opafinancas.com/ Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) ii https://opafinancas.com/ Sumário Séries de pagamentos................................................................................................. 1 Características principais: ........................................................................................ 1 Classificação ............................................................................................................ 2 Calculadora HP-12C.................................................................................................... 2 Séries de pagamentos iguais ou uniformes................................................................. 3 Séries de pagamentos iguais com termos vencidos ou postecipados. .................... 3 Exercícios propostos. ............................................................................................... 8 Séries de pagamentos iguais com termos antecipados. ........................................ 12 Exercícios propostos. ............................................................................................. 14 Referências Bibliográficas ......................................................................................... 17 Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 1 https://opafinancas.com/ Séries de pagamentos Séries de pagamentos são sucessões de pagamentos ou recebimentos com vencimentos sucessivos. Características principais: 1) A diferença de prazo entre os termos é constante. 2) O número de termos é finito. 3) Os valores dos termos da série: constantes (série de pagamentos iguais ou uniformes) ou variáveis. 4) Os vencimentos dos termos da série: postecipados ou antecipados. Observação: Capitalização composta. Termos vencidos ou postecipados: os vencimentos dos termos ocorrem no final de cada período. A primeira prestação ocorre um período após o PV e a última coincidirá com FV. Termos antecipados: os vencimentos dos termos ocorrem no início de cada período. A primeira prestação sempre coincide com o PV e a última sempre um período antes do FV. Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 2 https://opafinancas.com/ Classificação Termos: prestações da série (R ou PMT). Elementos que compõem uma série de pagamentos iguais: a) P ou PV- valor atual ou valor presente; b) S ou FV – valor futuro c) i (unitária) ou i(%) - taxa de juros d) n – número de parcelas; e) R ou PMT – valor da parcela. Observação: No caso de prazo e taxa em unidades de tempo diferentes, calcule a taxa equivalente como na capitalização composta. Calculadora HP-12C Para configurar que os termos são vencidos ou postecipados: g[END] (g[8]). Para configurar que os termos são antecipados (aparece a palavra BEGIN na parte inferior do visor): g[BEG] (g[7]). Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 3 https://opafinancas.com/ Séries de pagamentos iguais ou uniformes Termos iguais e consecutivos período a período. Séries de pagamentos iguais com termos vencidos ou postecipados. O primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período. Fórmulas: 𝑃 = 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 × ( (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛 ) 𝑅 = 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃 × ( 𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ) 𝑛 = 𝑙𝑛 𝑃𝑀𝑇 [𝑃𝑀𝑇 − (𝑃 × 𝑖)] 𝑙𝑛(1 + 𝑖) 𝑆 = 𝑉𝐹 = 𝑃𝑀𝑇 × [ (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑖 ] 𝑛 = 𝑙𝑛 ( 𝑉𝐹 × 𝑖 𝑃𝑀𝑇 ) + 1 𝑙𝑛(1 + 𝑖) Exemplo 1: Cálculo do montante ou valor futuro. Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais e mensais de $1.000,00 cada uma (termos vencidos), sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês. Observação: f [FIN]f[REG] para apagar a memória. g[END] ou g[8] configurar termos vencidos. [CHS] troca o sinal do número para segui a convenção de fluxo de caixa. [PMT] para indicar o valor das parcelas. Diagrama de fluxo de caixa. Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 4 https://opafinancas.com/ Dados: R = PMT = 1.000,00; n = 24 parcelas; i = 3,5%a.m.; FV = ? Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 Limpar a memória g[END] (g8) 0,00 Configuração para termos vencidos. 24 n 24,00 Número de parcelas. 1000 CHS PMT – 1.000,00 Valor das parcelas. 3,5 i 3,50 Taxa de juros. FV 36.666,53 Valor do montante (Valor futuro). Resposta: O valor do montante será de $36.666,53. Importante: confira a configuração para o tipo de vencimento (vencidos ou antecipados) dos termos da série antes de resolver os exercícios. Exemplo 2: Cálculo do capital ou do valor presente. Um empréstimo deve ser liquidado em 12 parcelas mensais de $2.500,00 cada uma, e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4,75% ao mês, calcular o valor líquido a ser entregue ou creditado ao financiado. Dados: n = 12 parcelas, R = PMT = 2.500,00; i = 4,75% a.m.; PV = ? Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 Limpar a memória 12 n 12,00 Número de parcelas. 2500 CHS PMT – 2.500,00 Valor das parcelas. 4,75 i 4,75 Taxa de juros. PV 22.473,89 Valor do empréstimo (Valor presente). Resposta: O valor do empréstimo é $22.473,89. Exemplo 3: Cálculo do capital ou do valor presente. Um empréstimo bancário deverá ser pago em 4 parcelas mensais de $ 540,00 cada, sendo a primeira a ser paga 30 dias após a assinatura do contrato. Se a taxa utilizada é de 50% ao ano, calcule o valor do empréstimo. Como n (4 parcelas mensais) e i (50% a.a.) não estão na mesma unidade de tempo, é preciso calcular a taxa equivalente. Cálculo da taxa mensal equivalente à taxa i = 50% a.a. = 0,5 a.a. Com a fórmula S = (1+i)n e a HP. Dados: P = 1; n = 1 mês = 1/12 ano (a taxa informada é anual); i = 50% a.a. = 0,5 a.a. S = (1 + 0,5)1/12 (montante produzido em 1 mês). E a taxa será i = S – 1. Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 5 https://opafinancas.com/ Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 1 ENTER 1,00 Cálculo do que está entre parênteses. 0,5 + 1,5 12 1/x Yx 1,03 Cálculo de S = (1+ 0,5)1/12. 1 – 0,03 Cálculo de i = S – 1. Taxa na forma fracionária. 100 × 3,44 Taxa mensal (equivalente) na forma percentual. i 3,44 Inclusão da taxa mensal. 4 n 4,00 Número de parcelas. 540 CHS PMT – 540,00 Inclusão do valor das parcelas. PV 1.986,45 Valor do empréstimo (Valor Presente). Resposta: O valor do empréstimo é de $1.986,45. A taxa equivalente também pode ser calculada pela seguinte fórmula: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎) 𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐷𝐸𝑆𝐸𝐽𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐼𝑁𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 − 1] × 100 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,5) 30 360 − 1] × 100 = [(1 + 0,5) 1 12 − 1] × 100 Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 1 ENTER 1,00 Cálculo do que está entre parênteses. 0,5 + 1,5 12 1/x Yx 1,03 Cálculo de S = (1+ 0,5)1/12. 1 – 0,03 Cálculo de i = S – 1. Taxa na forma fracionária. 100 × 3,44 Taxa mensal (equivalente) na forma percentual. i 3,44 Inclusão da taxa mensal. 4 n 4,00 Número de parcelas. 540 CHS PMT – 540,00 Inclusão do valor das parcelas. PV 1.986,45 Valor do empréstimo (Valor Presente). Exemplo 4: Cálculo do valor das parcelas. Ao final de 2 anos um investimento gerou um montante de $36.666,53. Calcule o valor das parcelas (termos vencidos), sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês. Dados: S = VF = 36.666,53; n = 2 anos = 24 parcelasmensais; i = 3,5% ao mês. Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 36.666,53 FV 36.666,53 Inclusão do montante (valor futuro). 3,5 i 3,50 Inclusão da taxa mensal. 24 n 24,00 Número de parcelas. PMT – 1.000,00 Valor das parcelas. Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 6 https://opafinancas.com/ PMT = – 1.000,00 porque a calculadora segue a convenção de fluxo de caixa (VF foi incluído positivo). Resposta: O valor das parcelas foi de $1.000,00. Exemplo 5: Cálculo da taxa. Um investimento de 24 parcelas mensais, a termos vencidos, de $ 1.000,00 gerou um montante de $36.666,53. Calcule a taxa do investimento. Dados: S = VF = 36.666,53 R = PMT = 1.000,00; n = 24; i = ? Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 36.666,53 FV 36.666,53 Inclusão do montante (valor futuro). 24 n 24,00 Número de parcelas. PMT – 1.000,00 Valor das parcelas. i 3,50 Valor da taxa. Resposta: A taxa do investimento foi de 3,5% a.m. Exercícios resolvidos. 1) A compra de uma televisão foi financiada em 10 parcelas iguais. A loja cobra juros de 5% ao mês e a primeira parcela vence 30 dias após a compra. Calcule o valor das parcelas, sabendo que o valor à vista da TV é de $1.500,00. Dados: P = 1.500,00, n = 10 parcelas iguais vencidas, i = 5% a.m.; PMT = ? Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 1500 PV 1.500,00 Valor a ser financiado. 0 FV 0,00 Indica que todo o valor será financiado. 10 n 10,00 Número de parcelas. 5 i 5,00 Taxa de juros ao mês. PMT – 194,26 Valor das parcelas. Resposta: O valor das parcelas será de $194,26. Observação: A inclusão do FV é opcional. Veja o próximo exercício. 2) Suponha a compra de um carro nas seguintes condições: uma entrada de $3.500,00 mais 36 prestações iguais. Sabendo que o valor do veículo à vista é de 16.000,00 e a taxa de financiamento, de 2,7214%a.m., calcule o valor das prestações. Dados: a) Entrada = 3.500,00; b) P = PV = 16.000,00 – 3.500,00 = 12.500,00 (valor a ser financiado); c) Número de parcelas – n = 36; d) Taxa de financiamento – i = 2,7214%a.m. Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 7 https://opafinancas.com/ Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 16000 ENTER 16.000,00 Valor do veículo. 3500 [–] PV 12.500,00 Cálculo do valor a ser financiado. 36 n 36,00 Número de parcelas. 2,7214 i 2,7214 Taxa de financiamento. PMT – 549,00 Valor da parcela. Resposta: O valor das parcelas será de $549,00. 3) Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de $1.000,00 por mês a taxa de 3% ao mês? Dados: R = PMT = 1.000,00; n = 8; i = 3% a.m.; FV = ? Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 1000 CHS PMT – 1.000,00 Valor dos depósitos mensais (parcelas). 8 n 8,00 Número de depósitos (parcelas). 3 i 3,00 Taxa de juros. FV 8.892,34 Montante. Resposta: O montante será de $8.892,34. 4) Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 5% ao bimestre, durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final desse prazo, um montante de $175.000,00? Dados: FV = 175.000,00; i = 5% a.b. n = 3,5 anos. Cálculo do número de parcelas (i e n estão em unidades de tempo diferentes): n = (3,5 × 12)/2 = 21 parcelas bimestrais. Teclas Visor Comentários f FIN f REG 175000 FV 175.000,00 Montante ou valor futuro. 21 n 21,00 Número de parcelas. 5 i 5,00 Taxa de juros. PMT – 4.899,32 Valor das aplicações bimestrais. Resposta: Deve ser aplicado $4.899,32 a cada 2 meses. 5) Uma pessoa aplicou mensalmente a quantia de $800,00, durante 5 anos, a uma taxa de 42,576% ao ano. Além das aplicações mensais, ela também fará uma aplicação extra de $3.000,00, no final de cada ano, isto é, no final do mês de dezembro, aproveitando parte do seu 13º salário. Qual valor do montante no final do 60º mês, sabendo-se que a data-base é final de dezembro do ano de 19XY, e que a primeira parcela será aplicada no final do mês seguinte? É um problema que apresenta duas séries de pagamentos iguais. Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 8 https://opafinancas.com/ Série 1: com 60 prestações mensais de $800,00. Série 2: com 5 aplicações anuais de 3.000,00. Cálculo do montante da Série 1. Dados: PMT = R = 800,00; n = 60 aplicações mensais; i = 42,576% a.a. É preciso calcular a taxa equivalente 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎) 𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐷𝐸𝑆𝐸𝐽𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐼𝑁𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 − 1] × 100 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,42576) 30 360 − 1] × 100 = [(1,42576) 1 12 − 1] × 100 Teclas Visor f FIN f REG 1,42576 ENTER 1,42576 12 1/x Yx 1,03 1 – 0,03 100 × 3,00 Taxa equivalente: i = 3%a.m. Continuando Teclas Visor Comentários f FIN f REG Cálculo da taxa equivalente (taxa mensal). 1,42576 ENTER 1,42576 12 1/x Yx 1,03 1 – 0,03 100 × 3,00 i 3,00 Cálculo do montante da Série 1. 60 n 60,00 800 CHS PMT –800,00 FV 130.442,49 STO 1 130.442,49 Armazenando o resultado no registrador 1. 5 n 5,00 Cálculo do montante da Série 2. 42,576 i 42,576 3000 CHS PMT –3.000,00 FV 34.467,20 ENTER RCL 1 130.442,49 Recuperando o conteúdo do registrador 1. + 164.909,69 Soma dos montantes das séries 1 e 2. Resposta: O montante ao final do 60º mês será de $164.909,69. Exercícios propostos. 1) Uma pessoa depositou, anualmente, $500,00 num conta de poupança, em nome de seu filho, a juros de 6% ao ano. O primeiro depósito foi feito no dia em que o filho completou 1 ano, e o último por ocasião do seu 18º aniversário. O dinheiro ficou depositado até o dia em que o filho completou 21anos, ocasião em que o montante foi sacado. Quanto recebeu o filho? Resposta:$18.404,56. Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 9 https://opafinancas.com/ 2) Um companhia aérea, vende uma passagem para o exterior no valor de $1.900,00. A passagem será parcelada no cartão de crédito em 7 vezes, cobrando por isso 3% ao mês. Calcule o valor das parcelas. Resposta: $304,96. 3) Um projetor multimídia custa $9.800,00. Ele pode ser parcelado em 10 vezes. Caso um entrada de $2.700,00 seja dada qual o valor das parcelas? (Taxa de financiamento: 2,7% ao mês). Resposta: $819,64 4) ”Compre um Home theater de $2.900,00 em 18 pagamentos mensais fixos”. Esse é o anúncio da loja. Se a taxa de juros cobrada em tal promoção for 5,5% ao mês, qual o valor das prestações? Resposta: $257,87 5) Quatro pneus do modelo Dyroad hoje custam $275,00 cada um. Considerando que você pagará um á vista e os outros três em 6 parcelas, calcule o valor de cada parcela, se foi cobrada uma taxa de juros de 6,9% ao mês. Resposta: $172,55 6) No exercício anterior acrescente a compra de amortecedores no valor de $700,00 e mais $200,00 à entrada. Resposta: $277,12 7) Um visor de cristal líquido para um computador desk top custa $1.400,00. Se um entrada de 65% for efetuada e o restante financiado a 2% ao mês, calcule o valor das parcelas. Suponha 12 pagamentos mensais fixos. Resposta; $46,33 8) Um imóvel de $110.000,00 será financiado em 120 pagamentos mensais. Calcule o valor das parcelas, sabendo que o banco cobra uma taxa de 1% ao mês e que não existem intermediárias. Resposta: $1.578,18. 9) Um aparelho eletroeletrônico foi comprado por 5 (0 + 5) prestações mensais iguais e postecipadas de $263,79. A financeira informou que a taxa cobrada foi 10% ao mês. Determine o valor à vista do aparelho. Resposta: 999,97. 10) Uma máquina de lavar roupas é vendida em 10 prestações mensais e iguais de $199,99, com o primeiro pagamento para 30 dias. Determinar o preço da máquina, sabendo que a loja cobra em financiamentos 1% a.m.de juros. Resposta: $1.894,17 11) Uma bicama é oferecida nas seguintes condições: uma entrada de $100,00 mais 5 prestações mensais de $80,00. A financeira cobra uma taxa de juros de 3% a.m. Com base nessas informações, calcule o preço à vista. Resposta: $466,38 Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 10 https://opafinancas.com/ 12) Uma moto de $40.000,00 é financiada em 36 vezes à taxa de 2,2% ao mês. Determine qual o valor das parcelas mensais. Resposta: $1.620,16. 13) Uma bolsa feminina é vendida em 12 prestações mensais de $29,80, sem entrada. Qual o valor à vista do produto, se a taxa de juros cobrada é de 4,76% a.m.? Resposta: $267,74 14) Um aparelho de telefone é oferecido por 2 prestações de $88,32, sem entrada. Qual o valor à vista do produto, se a taxa de juros cobrada é de 1,5% a.m.? Resposta: $172,14 15) Uma loja anuncia que uma geladeira de $2.200,00 pode ser paga em 6 vezes sem entrada. Se a loja cobra 4% a.m. de seus clientes, calcule o valor das parcelas. Resposta: $419,68 16) Você está interessado em saber o valor à vista de um bicicleta anunciada por 7 parcelas de $200,00. A loja informa que a taxa cobrada nesse financiamento é de 3,4% ao mês. Qual o valor da bicicleta à vista? Resposta: $1.227,49 17) Calcule o preço à vista de um automóvel financiado em 18 prestações sem entrada de $2.860,00, à taxa de 2,42% a.m. Resposta: $41.335,20 18) Um sítio é vendido por $348.000,00 à vista. Você propõe 40% de entrada e o restante em 120 parcelas fixas e postecipadas, que devem ser calculadas à taxa de 1%a.m. Qual é o valor das prestações? Resposta: $2.995,67 19) Você recebe uma boa proposta de mudança de emprego com luvas. Com o dinheiro recebido, pretende pagar um MBA que custa $1.200,00 mensais e tem duração de 24 meses. Quanto você precisa destinar de seu dinheiro para que, aplicado a 1%a.m., ele pague seu curso? Resposta: $25.492,06 20) A financeira Superinvest oferece crédito a 11%a.m. Uma pessoa deseja fazer um empréstimo de $700,00 e ainda tem de financiar uma taxa de $80,00. Calcule o valor das parcelas sabendo que o empréstimo deve ser quitado em 8 meses. Resposta: $151,57 21) Uma empresa compra uma máquina em 7 parcelas semestrais de $21.000,00. Nesse contrato, a taxa de juros acertada foi prefixada em 12% ao semestre. Determine o valor à vista da máquina. Resposta: $95.838,89 Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 11 https://opafinancas.com/ 22) Uma empresa compra uma máquina em 9 parcelas bimestrais de $17.000,00. Nesse contrato, a taxa de juros acertada foi prefixada em 3% ao bimestre. Determine o valor que pode ser pago pela máquina, sabendo que existe um desconto de 15% à vista. Resposta: $112.509,27 23) Um conjunto de móveis para sala custa à vista $930,00. Ele pode se pago em prestações mensais de $120,56, sem entrada, à taxa de juros de 3,2% a.m. Em quantas prestações ele deve ser vendido? Resposta: 9 prestções. 24) Quantas prestações de $314,75 serão necessárias para pagar um microcomputador que custa $2.500,00 à vista? O plano é sem entrada e a taxa de juros é de 7% a.m. Resposta: 12 prestações 25) Um aparelho de TV custa $1.000,00 à vista. A loja cobra uma taxa de juros de 8,20% a.m. Você pode pagar somente prestações mensais iguais de $150,38 e sem entrada. Em quantas prestações mensais você deverá pagar? Resposta: 10 prestações. 26) Você deposita ao final de cada mês, $105,00, durante 24 meses. O banco remunera essa operação a uma taxa de 1,5% ao mês. Sabendo que o saque do montante acumulado será feito a última parcela, calcule esse valor. Resposta: $3.006,52 27) Uma pessoa pretende fazer um curso de línguas no exterior daqui a um ano. Esse curso custa $25.000,00, dos quais você já possui $11.000,00. Refazendo as usas contas, você percebe que pode aplicar, ao final de cada mês, $1.080,00. Se o banco remunera esse tipo de operação a 1,30% ao mês, determine o montante acumulado somente desses depósitos ao final do último mês e diga se essa pessoa conseguirá pagar o curso. Considere o valor de $11.000,00 será aplicado à mesma taxa pelo mesmo período. Resposta: O montante acumulado será de $26.772,16 (S = 13.927,99 + 12.844,17) e conseguirá pagar o curso. 28) Você pretende comprar um equipamento para sua empresa que custa $1.250,00. Quanto você deverá depositar ao final de cada mês em um fundo de investimento de alto risco para que, ao completar 8 depósitos, tenha esse dinheiro? (Taxa de remuneração do fundo: 5% a.m.) Resposta: $130,90 29) Um investidor resolveu fazer 10 aplicações mensais da seguinte maneira: a) 5 prestações iniciais iguais de $1.000,00; b) 5 prestações restantes iguais de $2.000,00; Sabendo-se que essa aplicação proporcionará um rendimento de 2,75% ao mês, calcular o saldo acumulado de capital mais juros à disposição do investidor no final do 10º mês. Resposta: $16.615,43 Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 12 https://opafinancas.com/ 30) Márcio e Daniela pretendem casar-se dentro de 20 meses. Como entendem ser mais aconselhável adquirir a vista todos os móveis necessários, pretendem fazer aplicações mensais cujo montante deverá ser sacado 3 meses antes do casamento, para a devida compra. Sabendo-se que : a) Essa aplicação deverá render 2,25% ao mês; b) O montante desejado é de $80.000,00 (valor qe os mesmos estimam para os móveis daqui a 17 meses); c) O casal aplicou hoje $12.000,00; Indaga-se qual o valor de cada uma das aplicações mensais iguais e consecutivas, necessárias para totalizar um montante de $80.000,00 no final do período. Resposta: $3.057,95 Séries de pagamentos iguais com termos antecipados. O primeiro pagamento/recebimento é feito no instante inicial (início do período). Fórmulas 𝑃 = 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 × [ (1 + 𝑖)𝑛+1 − 1 − 𝑖 𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛 ] 𝑃𝑀𝑇 = [ 𝑃 × 𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛 (1 + 𝑖)𝑛+1 − 1 − 𝑖 ] 𝑆 = 𝑉𝐹 = 𝑃𝑀𝑇 × [ (1 + 𝑖)𝑛+1 − 1 − 𝑖 𝑖 ] Exemplo 6: Cálculo do capital ou do valor presente. Agora vamos refazer o exemplo 2, mas considerando que os termos da série são antecipados. Observação: f [FIN]f[REG] para apagar a memória. g[BEG] ou g[7] configurar termos antecipados. [CHS] troca o sinal do número para segui a convenção de fluxo de caixa. [PMT] para indicar o valor das parcelas. Um empréstimo deve ser liquidado em 12 parcelas mensais de $2.500,00 cada uma, e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4,75% ao mês, calcular o valor líquido a ser entregue ou creditado ao financiado. Diagrama de fluxo de caixa. Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 13 https://opafinancas.com/ Dados: n = 12 parcelas, R = PMT = 2.500,00; i = 4,75% a.m.; PV = ? Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 Limpar a memória g[BEG](g7) 0,00 Configuração para termos antecipados. 12 n 12,00 Número de parcelas. 2500 CHS PMT – 2.500,00 Valor das parcelas. 4,75 i 4,75 Taxa de juros. PV 23.541,40 Valor do empréstimo (Valor presente). Resposta: O valor do empréstimo é $23.541,40. Comparando os resultados: Valor do empréstimo com termos vencidos: 22.473,89. Valor do empréstimo com termos antecipados: 23.541,40. Exemplo 7: Cálculo das prestações. Um eletrodoméstico de $1.000,00 será pago em 5 parcelas (1 + 4) iguais com entrada igual às parcelas. A loja cobrou uma taxa de juros de 10% ao mês. Determine o valor de cada parcela. Dados: P = $1.000,00; n = 5 parcelas; i = 10% a.m.; PMT = ? Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 Limpar a memória g[BEG](g7) 0,00 Configuração para termos antecipados. 5 n 5,00 Número de parcelas. 10 i 10,00 Taxa de juros. 1000 PV 1.000,00 Valor do eletrodoméstico. PMT – 239,82 Valor das prestações Resposta: O valor das prestações é de $239,82.Exemplo 8: Cálculo do valor presente. Calcule o preço à vista de uma máquina fotográfica adquirida em (1 + 9) prestações mensais de $200,00, se a taxa de juros for de 3% ao mês? Dados: R=PMT=200,00; i = 3%a.m.; n = 10 parcelas; P=VP=? Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 200 CHS PMT – 200,00 Valor das prestações. 3 i 3,00 Taxa de juros. 10 n 10,00 Número de parcelas. PV 1.757,22 Valor presente (preço à vista). Resposta: O preço à vista é $1.757,22. Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 14 https://opafinancas.com/ Exemplo 9: Cálculo do Valor Futuro. Um cliente deseja depositar $100,00 no início de cada mês pelos próximos 100 meses. Se o banco paga juros de 1,10% a.m., qual será o montante no final desse período? Dados: R = PMT= 100,00; i = 1,10% a.m.; n = 100 meses, S = VF = ? Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 100 CHS PMT – 100,00 Valor dos depósitos. 1,1 i 1,10 Taxa de juros. 100 n 100,00 Número de depósitos. FV 18.254,77 Valor futuro (montante). Resposta: O montante disponível ao final do período será de $18.254,77. Exemplo 10: Cálculo da taxa de juros em um financiamento. Uma mercadoria está anunciada por $120,00. Contudo, o comerciante adota a seguinte política para venda: a) A vista: o preço anunciado de $120,00 tem um desconto de 10%; b) A prazo: o preço anunciado é dividido para pagamento em três prestações iguais e mensais de $40,00 cada, vencendo a primeira no ato da compra; Qual a taxa de juros compostos mensal cobrada na venda a prazo? O valor a ser financiado será o valor pago a vista, com desconto: 0,9 × 120,00 = 108,00. Dados: R = PMT= 40,00; n = 3, VF = 108,00; i = ? Teclas Visor Comentários f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 40 CHS PMT – 40,00 Valor dos depósitos. 108 PV 108,00 Valor Presente, valor que será financiado. 3 n 3,00 Número de depósitos. i 11,55 Taxa de juros. Resposta: A taxa de juros do financiamento é de 11,55% a.m. Exercícios propostos. 1) Determinado produto é vendido por $900,00 à vista. Calcule o valor de (1 + 11) parcelas financiadas a 3% ao mês. Resposta: $87,78 2) Um freezer é vendido à vista por 1.380,00 ou em (1 + 5) prestações mensais iguais. Calcule o valor de cada prestação, sabendo que a taxa de juros praticada pela loja é de 3,7% ao mês. Resposta: $251,38 Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 15 https://opafinancas.com/ 3) Cada pneu do modelo Dryroad custa home $275,00. Considerando que você vai comprar quatro e que um você pagará à vista e os outros três em (1 + 5) parcelas, calcule o valor de cada parcela se a taxa de juros cobrada foi de 6,9% ao mês. Resposta: $161,41 4) Considere os mesmos dados do exercício anterior e some gastos com os amortecedores, de $700,00. Resposta: $298,36 5) Um imóvel de $110.000,00 será financiado em (1 + 119) pagamentos mensais. Calcule o valor das parcelas sabendo que o banco cobra uma taxa de 1% ao mês e que não existem intermediárias. Resposta: $1.562,55 6) Em relação ao exercício anterior, calcule de quanto foi a economia de quem optou por comprar o imóvel com entrada. (Compare com o plano sem entrada). Resposta: $1.875,60 7) Uma televisão de 100 poleadas pode ser comprada em (1 + 11) prestações mensais iguais e consecutivas de $1.599,00. Determine o preço à vista, sabendo que a loja cobra 3,9% a.m. de juros. Resposta: $15.682,86 8) Hoje vence a primeira de 12 parcelas de $350,00 referentes a um empréstimo. Você recebeu um dinheiro e quer antecipar todas elas para pagamento imediato. Considerando a taxa de juros compostos contratada de 2% a.m., qual o valor atual a ser pago? Resposta: $3.775,40 9) Uma bela cozinha é vendida por (1 + 23) prestações mensais fixas de $59,50. Qual o preço à vista, se a taxa de juros for de 4,20% ao mês? Resposta: $926,23 10) Determine o preço à vista de uma filmadora financiada a 4,6% ao mês em (1 + 5) prestações mensais, iguais e sucessivas de $230,00. Resposta: $1.236,89 11) Se uma pessoa depositar mensalmente $50,00 em um banco, a começar de hoje, quanto ela terá acumulado no final de 5 anos? (Taxa média prevista: 0,78% ao mês) Resposta: $3.836,75 12) Um banco remunera suas aplicações a 2,10% ao mês. Quanto. Deverá ser depositado, a partir de hoje, para que ao final de 50 meses o montante de $14.300,00 seja atingido? Resposta: $161,01 Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 16 https://opafinancas.com/ 13) Uma moto está sendo vendida por $8.000,00, para pagamento a vista ou em12 prestações iguais e mensais, sendo a primeira paga no ato da compra. Calcule o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros compostos cobrada pela loja foi de 8% ao mês. Resposta: $982,93 14) Um televisor pode ser comprado por $959,31 à vista ou em seis vezes (entrada e mais cinco prestações de $180,00). Calcule a taxa do financiamento. Resposta: 5% ao mês. 15) Determinar qual o valor de um equipamento financiado em 24 prestações iguais de $5.504,03, sabendo-se que a taxa de juros cobradas é de 3,5% ao mês e que a primeira prestação é paga no ato da assinatura do contrato. Resposta: $84.000,05 16) Um terreno é colocado à venda por $180.000,00 a vista ou em 10 prestações bimestrais, sendo a primeira prestação paga na data do contrato. Determinar o valor de cada parcela, sabendo que o proprietário está cobrando uma taxa de 34% ao ano pelo financiamento. Resposta: $22.199,70 17) Sabendo-se que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de $2.500,00 cada uma, e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4,75% ao mês, calcular o valor líquido a ser entregue ou creditado ao financiado: a) De acordo com o conceito de termos postecipados. b) De acordo com o conceito de termos antecipados. Respostas: a) $22.473,89; b) $23.541,40 18) Um equipamento, no valor de $50.000,00, é financiado para pagamento em 13 parcelas iguais de $5.328,31, sendo a primeira paga no ato da compra. Calcular a taxa de juros cobrada. Resposta: 6% ao mês. 19) Quanto terá no final do 13º mês uma pessoa que aplicar 13 parcelas mensais, iguais e consecutivas de $2.000,00 cada uma, à taxa de 3% ao mês, sendo que a aplicação da primeira parcela ocorre hoje? Resposta: $32.172,65 20) Uma máquina foi adquirida para ser paga em 24 parcelas iguais, mensais e consecutivas de $3.836,66. Sabendo-se que o valor a vista da máquina é de $60.000,00, que a primeira prestação é devida no ato da assinatura do contrato e a última no final do 23º mês, calcular a taxa de juros cobrada no financiamento. Resposta: 4,15% a.m. Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. Paulo Nacaratti (organizador) 17 https://opafinancas.com/ Referências Bibliográficas Gimenes, Cristiano Marchi. Matemática financeira. 2.ed. São Paulo: Prentice Hall, 2009. Pinto, Andrew Carvalho. Matemática Financeira com a HP12C – São Paulo: Barros Fischer & Associados: Clio Editora, 2010. Samanez, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos – São Paulo: Prentice Hall, 2002. Tosi, Armando José. Matemática Financeira com utilização do Excel 2000: aplicável também às versões 5.0, 7.0, 97, 2002 e 2003. – 3.ed. – São Paulo: Atlas, 2008. Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. 7a. edição. São Paulo: Atlas, 2010. Vieira Sobrinho, José Dutra. Manual de Aplicações Financeiras HP-12C: Tradicional/Platinum/Prestige. – 3.ed. – São Paulo: Atlas, 2008. HP 12C calculadora financeira: guia do usuário. 5ª. edição.
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