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Desenvolvimento de Software para DImensionamento Otimizado de Porticos Espaciais em Estruturas de Metalicas

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unificada para os 
ELS. Onde, 𝛾𝑀 é o fator de agrupamento dos coeficientes de ponderação unificados para as 
ações permanentes características, 𝐴𝐺,𝑘, e para as ações variáveis características, 𝐴𝑄,𝑘. 
 Outra consideração feita para este trabalho foi relacionada à estabilidade e análise 
estrutural. Com relação ao material, os esforços internos foram determinados de acordo com 
uma análise global elástica. Já para o efeito dos deslocamentos, os esforços internos foram 
determinados por análise linear (análise de primeira ordem), com base na geometria 
indeformada da estrutura. 
 
3.2. Função Objetivo 
 
 Para o problema de otimização, o objetivo será o menor custo. Para isso, deve-se buscar 
a opção que possui o menor peso, já que o aço é vendido pelo seu peso. Assim, aquela 
estrutura que tiver o menor peso global, será a solução ótima. Dessa forma, a função objetivo 
para o problema pode ser definida como a soma dos pesos de cada barra, definido pela 
equação (127). 
𝐹(𝑿) = 𝜌𝑎ç𝑜 ∑ [ 𝐴𝑏
𝑖 (𝑿𝑖) 𝐿𝑖] 
𝑛
𝑖=1 (127) 
 Sendo que 𝑿 é a variável de projeto, definido pela matriz com a variável de projeto de 
cada barra definida na figura 7; 𝜌𝑎ç𝑜 é a massa específica do aço; 𝑛 é o numero de barras; 
 𝐴𝑏
𝑖 (𝑿𝑖) é área da seção transversal do i-ésimo perfil e 𝐿𝑖 o comprimento da i-ésima barra. 
 
 
57 
 
Note que para cada barra, a função objetivo obtém a soma dos volumes das barras, e finaliza 
multiplicando pela massa especifica do material. 
 
3.3. Restrições do Problema 
 
 Antes de definir os métodos de otimização, é importante citar quais são os parâmetros 
que restringem a função a ser otimizada. As funções de restrições são funções do tipo de 
inequações (equação 120) ou de igualdades (equação 121). Estas funções são parâmetros 
determinantes em um processo de otimização com restrições, pois limitam a proposta devido 
à determinada condição estipulada em projeto, como esforços solicitantes, estados-limites, e 
geometria da seção. 
 As restrições para o problema abordado serão divididas em 4 categorias principais: 
restrições aos estados-limites, restrição a perfis de alma esbelta, restrição a enrijecedores e 
restrições geométricas. Cada uma dessas funções de restrições é aplicada a barra 𝑖 que varia 
de 1 até o número total de barra. Dessa forma cada barra possui o vetor com as variáveis de 
projeto 𝑿𝑖, onde esse vetor é ilustrado na Figura 7. 
 
 Restrições aos estados-limites: Essa categoria aborda todos os estados-limites citados 
no item 2 deste trabalho (ELU e ELS), o qual verifica os esforços solicitantes perante os 
resistentes e as deformações máximas em relação a limite. Assim, é possível formular essas 
restrições tanto para o catalogo de perfis laminados quanto para os perfis soldados pela 
mesma função, dado pela equação (128). 
𝑔EL
𝑖 (𝑿𝑖) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑆𝑒 
𝑁𝑠𝑑
𝑁𝑅𝑑
< 0,2 ∴ 
𝑁𝑠𝑑
2 𝑁𝑅𝑑
+ (
𝑀𝑆𝑑,𝑧
𝑀𝑅𝑑,𝑧
+
𝑀𝑆𝑑,𝑦
𝑀𝑅𝑑,𝑦
) − 1,0
𝑆𝑒 
𝑁𝑠𝑑
𝑁𝑅𝑑
≥ 0,2 ∴ 
𝑁𝑠𝑑
𝑁𝑅𝑑
+
8
9
(
𝑀𝑆𝑑,𝑧
𝑀𝑅𝑑,𝑧
+
𝑀𝑆𝑑,𝑦
𝑀𝑅𝑑,𝑦
) − 1,0
𝑉𝑆𝑑,𝑦
𝑉𝑅𝑑,𝑦
− 1,0
𝑉𝑆𝑑,𝑧
𝑉𝑅𝑑,𝑧
− 1,0
𝑓𝑚𝑎𝑥,𝑥𝑧
𝑓𝑙𝑖𝑚,𝑥𝑧
− 1,0
𝑓𝑚𝑎𝑥,𝑥𝑦
𝑓𝑙𝑖𝑚,𝑥𝑦
− 1,0
 (128) 
 
 Restrição a perfis de alma esbelta: Essa restrição faz com que os perfis selecionados 
para a otimização sejam perfis com alma pouco esbelta ou compacta. Dessa forma, optou-se 
por excluir os perfis de alma esbelta pelo fato de exigir uma formulação mais complexa e que 
envolveria a utilização de enrijecedores no problema. Assim, essa restrição (Eq. 129) pode ser 
 
 
58 
 
formulada com a utilização dos índices de esbeltez da alma do perfil, calculado de acordo 
com as equações (11) e (87). 
𝑔𝑤
𝑖 (𝑿𝑖) = 𝜆𝑤 − 𝜆𝑟 (129) 
 
 Restrição a enrijecedores: A restrição a enrijecedores obriga ao problema de 
otimização obter soluções que não necessitem de enrijecedores. Dessa forma, a formulação de 
restrição foi baseada na formulação presente na NBR 8800:2008. Abaixo a função de 
restrição é dada pela união de duas inequações (Eq. 130). 
𝑔𝑒𝑛𝑟
𝑖 (𝑿𝑖) = { 3 − 
𝑎
ℎ
 ∪ (
260
ℎ/𝑡𝑤
)
2
− 
𝑎
ℎ
 (130) 
 
 Restrições geométricas: As funções de limitação para o problema de otimização 
relacionado às propriedades geométricas podem ser divididas em 6 tipos: restrição ao índice 
de esbeltez, restrição relacionada ao 𝑘𝑐, restrições de perfis laminados, restrições de perfis 
soldados CS, restrições de perfis soldados CVS e restrições de perfis soldados VS. Já para as 
restrições de igualdades, serão divididas em 4 tipos, relacionados aos perfis laminados e 
soldados. Todas essas restrições podem ser agrupadas nas restrições geométricas, ilustrado na 
equação (131). 
𝑔𝑔𝑒𝑜
𝑖 (𝑿𝑖) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑔𝜆
𝑖 (𝑿𝑖)
𝑔𝑘𝑐
𝑖 (𝑿𝑖)
𝑔𝑙𝑎𝑚
𝑖 (𝑿𝑖)
𝑔𝐶𝑆
𝑖 (𝑿𝑖)
𝑔𝐶𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) 
𝑔𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖)
 (131) 
ℎ𝑔𝑒𝑜
𝑖 (𝑿𝑖) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℎ𝑙𝑎𝑚
𝑖 (𝑿𝑖)
 ℎ𝐶𝑆
𝑖 (𝑿𝑖)
ℎ𝐶𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖)
ℎ𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖)
 (132) 
 
 
59 
 
 As restrições relacionadas ao índice de esbeltez estão embasadas nos limites estipulados 
pela NBR 8800:2008, para barras tracionadas e comprimidas, dadas pelas equações (46) e 
(72). A função de restrições para este caso fica definida como: 
𝑔𝜆
𝑖 (𝑿𝑖) =
{
 
 
 
 (
𝐿𝑡
𝑟
)
𝑚𝑎𝑥
− 300
(
𝑘𝐿
𝑟
)
𝑚𝑎𝑥
= 𝜋√
𝐸 𝐴𝑏
𝑁𝑒
− 200
 (133) 
 Os limites devido ao fator 𝑘𝑐 estão relacionados ao seu valor mínimo. A NBR 
8800:2008 diz que o valor de 𝑘𝑐 deve ser maior que 0,35 e não maior que 0,76. Quando seu 
valor é menor que 0,35, a única opção é selecionar outro perfil para a verificação, e se caso 
der maior que 0,76, usa-se o seu valor máximo. Assim, como 𝑘𝑐 só está em função de 
parâmetros geométricos (Eq. 63), classificou-o como restrição geométrica. A sua restrição 
pode ser definida como: 
𝑔𝑘𝑐
𝑖 (𝑿𝑖) = 0,35 − 𝑘𝑐 (134) 
 As 4 últimas restrições geométricas (Eq. 131) são diretamente relacionadas às variáveis 
de projeto. As restrições geométricas aqui relacionadas são para: perfis laminados, perfis 
soldados CS, perfis soldados CVS e perfis soldados VS. 
 Essas restrições tem o objetivo de oferecer resultados com perfis semelhantes aos 
oferecidos nos catálogos comerciais. Estas são usadas apenas para otimização de variável 
contínua. Os valores constantes que limitam a função foram obtidos como as razões máximas 
e mínimas presentes nos catálogos comerciais da GERDAU e da NBR 5884:2005. Abaixo, 
estão formuladas as restrições de inequações (𝑔𝑖(𝑿)), e as restrições de igualdades (ℎ𝑖(𝑿)). 
𝑔𝑙𝑎𝑚
𝑖 (𝑿𝑖) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑋1
𝑋2
− 3,22
 0,96 −
𝑋1
𝑋2
𝑋5
𝑋4
− 1,79 
1 −
𝑋5
𝑋4
 
𝑋1
𝑋4
− 62,34
17,08 −
𝑋1
𝑋4
𝑋2
𝑋5
− 27,82
9,41 −
𝑋2
𝑋5
; 𝑔𝐶𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑋5
𝑋4
− 2,36
1 −
𝑋5
𝑋4
𝑋1
𝑋4
− 47,38
17,46 −
𝑋1
𝑋4
𝑋2
𝑋5
− 32
9,38 −
𝑋2
𝑋5
; 𝑔𝐶𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑋1
𝑋2
− 1,50
 1,20 −
𝑋1
𝑋2
𝑋5
𝑋4
− 2,00
1,12 −
𝑋5
𝑋4
𝑋1
𝑋4
− 62,50
20 −
𝑋1
𝑋4
𝑋2
𝑋5
− 28
7,87 −
𝑋2
𝑋5
; 𝑔𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑋1
𝑋2
− 3,80
 1,50 −
𝑋1
𝑋2
𝑋5
𝑋4
− 3,56
1,19 −
𝑋5
𝑋4
𝑋1
𝑋4
− 144
23,81 −
𝑋1
𝑋4
𝑋2
𝑋5
− 32
10,53 −
𝑋2
𝑋5
(135) 
 
 
60 
 
ℎ𝑙𝑎𝑚
𝑖 (𝑿𝑖) = [ ]; ℎ𝐶𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) = {
𝑋3
𝑋1 − 𝑋2
; ℎ𝐶𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) = 𝑋3; ℎ𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) = 𝑋3 (136) 
 Observe que as únicas restrições de igualdades (ℎ𝑖(𝑿𝑖)), definidas pelo conjunto de 
equações em (136), fornecem somente dados geométricos. Para o problema abordado, as 
restrições de igualdades serão utilizadas para impor condições nas variáveis de projeto que 
não poderão ser alteradas, como por exemplo, em perfis soldados, a variável de projeto

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