p1-2018-sol

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IM – UFRJ Álgebra I
Prova 1 26/04/2018
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Todos os resultados devem ser acompanhados de contas que os justifiquem.
1a Questão: (2 pontos) Usando o princípio de indução matemática
mostre que
∑n
i=1 i
2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
∑n+1
i=1 i
2 =
∑n
i=1 i
2 + (n + 1)2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
+
6(n+ 1)2
6
=
(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)
6
2a Questão: (2 pontos)
Seja a = rn10n+rn−110n−1+ ...+r110+r0. Mostre que
9 | a se e somente se 9 | rn + ...+ r1 + r0.
Usando o teorema do binomio sabemos que 10i = (9 +
1)i = 9x + 1 por algum x. Assim, ri10i = 9xri + ri.
Entao 9 | ri10i se e somente se 9 | ri. Finalemente,
9 | a =
∑
ri10
i se e somente se 9 |
∑
ri.
3a Questão: (3 pontos)
a) Calcule d = mdc(162, 138) = d e ache 2 inteiros r, s
tais que 162r + 138s = d.
b) Ache a solução general da equação 162X + 138Y =
12.
a) mdc(162, 138) = 6 e 162(6) + 138(−7) = 6.
b) A solução general x = 12 + 23t, y = −14− 27t
4a Questão: (2 pontos) Mostre que existem infinitamente primos da
forma 4n+ 3 com n ≥ 1.
Seja p1, ..pn todos os primos da forma 4n+ 3. pi 6| N =
4p1...pn + 3. Multiplicando 2 primos q1, q2 da forma
4n + 1, vemos que q1q2 6| N . Assim, existe pelo menos
um primo pn+1 6= p1, ..., pn da forma 4n + 1 que divide
N .
5a Questão: (1 ponto) Mostre que
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+ ....+
(
n
n
)
= 2n
(a + b)n =
∑(n
i
)
an−ibi. Se a = b = 1 temos 2n =
(1 + 1)n =
∑(n
i
)