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DISTRIBUIÇÃO NORMALDISTRIBUIÇÃO NORMAL
Exemplo : Observe no histograma abaixo o peso (kg) de 
1500 pessoas adultas selecionadas de uma população. 
Introdução
0.03
0.04
D
e
n
s
id
a
d
e
30 40 50 60 70 80 90 100
0.00
0.01
0.02
Peso
D
e
n
s
id
a
d
e
Note que a distribuição dos valores é aproximadamente 
simétrica em torno de 70kg.
Agora, vamos definir a variável aleatória X 
como sendo o Peso (kg) de uma pessoa adulta 
escolhida ao acaso da população.
0.030
D
e
n
s
id
a
d
e
A curva contínua da figura ilusta a forma de uma 
distribuição normal para a variável aleatória X.
30 40 50 60 70 80 90 100
0.000
0.015
Peso
D
e
n
s
id
a
d
e
Cálculo de probabilidades em uma 
Distribuição Normal
A probabilidade de uma variável X assumir valores entre “a” 
e “b”, denotada por P(a ≤≤≤≤ X ≤≤≤≤ b), corresponde a área sob a 
curva e acima do eixo horizontal (x).
a bµµµµ
Considere uma variável aleatória X com média µµµµ e 
variância σσσσ2, representada por X ~ N(µµµµ ; σσσσ2).
f(x)
X ~ N(µµµµ ; σσσσ2)
X
Z
− µ− µ− µ− µ
====
σσσσ
Seja Z uma variável padronizada, definida por
onde:
E(Z) = 0 
0 z
f(z)
a – µµµµ
σσσσ
b – µµµµ
σσσσ
Z ~ N(0 ; 1) a µµµµ b x
onde:
Var(Z) = 1
Denomina-se a variável Z ~ N(0;1) normal padrão.
P( ) P P
a X b a b
a X b Z
− µ − µ − µ − µ − µ− µ − µ − µ − µ − µ− µ − µ − µ − µ − µ− µ − µ − µ − µ − µ            
< < = < < = < << < = < < = < << < = < < = < << < = < < = < <            
σ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σ            
Portanto, sendo , temos que
X
Z
− µ− µ− µ− µ
====
σσσσ
Da mesma forma, dada a variável Z ~N(0;1) podemos obter 
a variável X ~ N(µµµµ;σσσσ2) através da transformação inversa
X = µµµµ + Z σ.σ.σ.σ.
USO DA TABELA NORMAL PADRÃO
Denotamos : A(z) = P(Z ≤≤≤≤ z), para z ≥≥≥≥ 0.
Exemplo: Seja Z ~ N (0; 1), calcular
a) P(Z ≤≤≤≤ 0,32)
P(Z ≤≤≤≤ 0,32) = A(0,32) = 0,6255.
Como obter a probabilidade de 0,6255??
Resposta no próximio slide!!!!
Encontrando o valor na Tabela N(0;1):
z 0 1 2
0,0 0,5000 0,5039 0,5079
0,1 0,5398 0,5437 0,5477
0,2 0,5792 0,5831 0,5870
0,3 0,6179 0,6217 0,6255
M M MM
b) P(0 < Z ≤≤≤≤ 1,71)
P(0 < Z ≤≤≤≤ 1,71) = P(Z ≤≤≤≤ 1,71) – P(Z ≤≤≤≤ 0) 
= 0,9564 - 0,5 = 0,4564.
Obs.: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5.
= A(1,71) – A(0)
c) P(1,32 < Z ≤≤≤≤ 1,79)
P(1,32 < Z ≤≤≤≤ 1,79) = P(Z ≤≤≤≤ 1,79) – P(Z ≤≤≤≤ 1,32) = A(1,79) - A(1,32)
= 0,9633 - 0,9066 = 0,0567.
d) P(Z ≥≥≥≥ 1,5)
P(Z > 1,5) = 1 – P(Z ≤≤≤≤ 1,5) = 1 – A(1,5)
= 1 – 0,9332 = 0,0668.
e) P(Z ≤≤≤≤ –1,3)
P(Z ≤≤≤≤ – 1,3) = P(Z ≥≥≥≥ 1,3) = 1 – P(Z ≤≤≤≤ 1,3) = 1 – A(1,3)
= 1 – 0,9032 = 0,0968.
Obs.: Pela simetria, P(Z ≤≤≤≤ – 1,3) = P(Z ≥≥≥≥ 1,3).
f) P(-1,5 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,5)
P(–1,5 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,5) = P(Z ≤≤≤≤ 1,5) – P(Z ≤≤≤≤ –1,5) 
= 2 ×××× P(Z ≤≤≤≤ 1,5) – 1 = 2 ×××× A(1,5) – 1 
= P(Z ≤≤≤≤ 1,5) – P(Z ≥ ≥ ≥ ≥ 1,5) = P(Z ≤≤≤≤ 1,5) – [1 – P(Z ≤≤≤≤ 1,5)]
= 2 ×××× 0,9332 – 1 = 0,8664.
g) P(–1,32 < Z < 0)
P(–1,32 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,32)
= 0,9066 – 0,5 = 0,4066. 
= P(Z ≤≤≤≤ 1,32) – P(Z ≤≤≤≤ 0) = A(1,32) – 0,5 
h) P( -2,3 < Z ≤≤≤≤ -1,49)
P( -2,3 < Z ≤≤≤≤ -1,49) = P(1,49 ≤≤≤≤ Z < 2,3) = A(2,3) - A(1,49)
= 0,9893 - 0,9319 
= 0,0574.
Z
i) P(-1 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 2)
P(–1 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 2) = P(Z ≤≤≤≤ 2) – P(Z ≤≤≤≤ –1) = A(2) – P(Z ≥≥≥≥ 1) 
= 0,9773 – ( 1 – 0,8413) = 0,9773 – 0,1587 
= 0,8186.
= A(2) – [1 – P(Z ≤≤≤≤ 1)] = A(2) – (1 – A(1) ) 
Exemplo: Seja X ~ N(10 ; 64) ( µµµµ = 10, σσσσ2 = 64 e σσσσ = 8 )
Calcular: (a) P(6 ≤≤≤≤ X ≤≤≤≤ 12)





 −−−−
<<<<
−−−−
<<<<
−−−−
====
8
1012
8
10X
8
106
P (((( ))))25,0Z5,0P <<<<<<<<−−−−====
= A(0,25) - (1 - A(0,5) ) 
= 0,5987- ( 1- 0,6915 ) 
Z
= 0,5987- ( 1- 0,6915 ) 
= 0,5987- 0,3085 = 0,2902
8 10 14 10
P( 8) P( 14) P P
8 8
X X Z Z
− −− −− −− −            
≤ + > = ≤ + >≤ + > = ≤ + >≤ + > = ≤ + >≤ + > = ≤ + >            
            
(b) P( X ≤≤≤≤ 8 ou X > 14)
(((( )))) (((( ))))5,0ZP25,0ZP >>>>++++−−−−<<<<====
Z
= 1 - A(0,25) + 1 - A(0,5)
= 1 - 0,5987 + 1 - 0,6915 = 0,7098
Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma 
universidade tem distribuição Normal, com média 120 min e 
desvio padrão 15 min. 
a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que 
ele termine o exame antes de 100 minutos?
X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120; 152)
100 120
P( 100) P P( 1,33)
15
X Z Z
−−−−    
< = ≤ = ≤ −< = ≤ = ≤ −< = ≤ = ≤ −< = ≤ = ≤ −    
    15    
1 A(1,33)
1 0,9082 0,0918
= −= −= −= −
= − == − == − == − =
Z