1 VETORES

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CURSO: LIC. EM FÍSICA
INTRODUÇÃO A FÍSICA
UNIDADE 2
TÓPICO 1
VETORES
Profº Me Emanuel Cunha
emanuel.cunha@uncisal.edu.br
As medidas físicas podem ser de dois tipos: escalares e vetoriais.
As grandezas escalares são aquelas que basta um número e uma
unidade para completar a medida. Exemplos: massa é medida em kg;
basta dizer “quero 300g de Presunto” e pronto, não precisa outra
informação física sobre a massa.
Volume é medido em litros ou m³, e também é escalar.
As grandezas vetoriais são aquelas que são especificadas por um
número, uma unidade e também uma direção e um sentido. Exemplos:
GRANDEZAS FÍSICAS
Aceleração do carro= 
5m/s².
Direção: horizontal.
Sentido: esquerda.
Distância percorrida 
pelo esquiador=60m.
Direção: vertical.
Sentido: para baixo.
Velocidade do 
Foguete=300km/h.
Direção: 30o com a vertical.
Sentido: para cima/direita.
30o
VETORES
DEFINIÇÃO
Vetor é uma representação 
gráfica de uma grandeza 
vetorial.
V
SOMA DE VETORES
a) Vetores de mesma direção e sentido.
Dados: 
│V1│ = 10 │V2│ = 8
Temos dois métodos para efetuar a soma:
Método algébrico e Método gráfico
MÉTODO ALGÉBRICO
S = 10 + 8
│ S │ = 18
S = V1 + V2
MÉTODO GRÁFICO
S
V1 V2
│V1│ = 10 │V2│ = 8
│S │ = 18
SOMA DE VETORES
b) Vetores de mesma direção e sentidos 
opostos.
Dados: 
│V1│ = 10 │V2│ = 6
MÉTODO ALGÉBRICO
S = 10 + (- 6 )
│ S │ = 4
S = V1 + V2
MÉTODO GRÁFICO
S
V1
V2
│V1│ = 10 │V2│ = 6
│S │ = 4
ATENÇÃO:
O vetor soma S ( ou vetor Resultante R ) 
apresenta o mesmo sentido do vetor de 
maior módulo.
c) Vetores que formam um 
ângulo qualquer.
SOMA DE VETORES
V1
V2
a
Método algébrico
S = V1 + V2
S = ( V1 )
2 + ( V2 )
2 + 2 V1 . V2 . cos a
Se a = 90o , então:
S = ( V1 )
2 + ( V2 )
2
Pois cos 90o = 0
Método gráfico do 
polígono fechado
V1
V2
S
Método gráfico do 
paralelogramo
V1
V2
S
V1
V2
VETOR OPOSTO
Dado o vetor V , 
chamaremos de vetor oposto de V, o 
vetor -V que tem a sua 
representação indicando a mesma 
direção, mas com o sentido oposto. 
Veja a representação de - V.
- V
SUBTRAÇÃO DE VETORES
Considere os vetores A e B e a 
operação de subtração D = A - B . O 
vetor D (vetor diferença) é a diferença 
entre os vetores A e B, nesta ordem. 
Portanto, para subtrair A de B, deve-
se adicionar A ao oposto de B. 
Vejamos:
D = A - B = A + ( -B )
EXEMPLO: Dados │ A │= 8 e │ B │ = 3, o 
vetor D = A - B será:
D = A + ( - B )
D = 8 - 3
D = 5
A
B
D
SOMA DE VÁRIOS 
VETORES
A soma de n vetores poderá ser feita 
através do método do polígono 
fechado. Veja o exemplo abaixo:
CA B D
A SOMA DESSES VETORES SERÁ:
C
A
B
D
S
PRODUTO DE UM NÚMERO 
REAL POR UM VETOR
Chama-se produto de um número real n 
pelo vetor V ao vetor:
p = n . V de tal maneira que:
1o ) módulo: │ p │ = │n│ . │ V │
2o ) direção: a mesma de V
3o ) sentido: de V se n é positivo
contrário a V se n é negativo.
Se n = 0 o produto p é igual a zero, ou 
seja, o vetor p é um vetor nulo.
EXEMPLO 1
n = 2 e p = 2 V
V
p
EXEMPLO 2
n = - 2 e p = - 2 V
V
p
DECOMPOSIÇÃO DE 
VETORES
Um vetor V pode ser decomposto 
em dois vetores componentes: Vx
(componente horizontal) e Vy
(componente vertical), de modo 
que: 
V
VY
VX
a
x
y
VX = cos a . V
Vy = sen a . V
hipotenusa
Cateto A
Cateto B
Ângulo α
Cateto A é o Cateto Oposto ao ângulo α.
Cateto B é o Cateto Adjacente ao ângulo α.
1. Cateto Oposto = Hipotenusa x Seno do ângulo α.
2. Cateto Adjacente = Hipotenusa x Cosseno do ângulo α.
3. Teorema de Pitágoras: Hipotenusa² = Cateto A² + Cateto 
B².
Tabela dos ângulos notáveis:
Exemplo:
Um avião está decolando com um ângulo de 30o com a
horizontal, na velocidade de 200km/h.
a) Faça um desenho esquemático do vetor-velocidade do avião
e das suas componentes vertical (vy) e horizontal (vx).
30o
vx
vy
200 km/h 
b) Calcule a velocidade horizontal (vx) e a velocidade vertical (vy) deste avião.
Pela figura vemos que vx é o cateto adjacente ao ângulo de 30
o. Então, pela fórmula 2 do lembrete acima:
vx=200·cos(30
o) = 200· 3 /2 = 200·0,71 = 142km/h
≈ Semelhantemente, vy é o cateto oposto ao ângulo, então usamos a fórmula 1 do lembrete:
vy=200·sen(30
o) = 200· ½ = 100 km/h
c) O que significam essas duas componentes?
Significam que esse avião vai para a direita a 142km/h, e sobe
ao mesmo tempo a 100km/h. No total, decola a 200km/h.
FIM