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Sistema de coordenadas polares No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semireta fixa. O ponto fixo, denotado por O, é ! chamado pólo ou origem. A semireta fixa OA é ! chamada eixo polar. As coordenadas polares € (r,θ) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma grade formada por círculos concêntricos com centro O e semiretas partindo de O. O valor de r localiza P num circulo de raio r e o valor de € θ localiza P numa semireta que é o lado terminal do ângulo € θ na posição fundamental. !"#$%&'()%(*++,)%-')'#(.+/',%#0 1& !"!#$%& '$ ())*'$+&'&! ,)-&*$! -2& ./'-+ *+-#"#$% %& 2& .+-$+ 3"4+5 *6'&')+ )% ,.-) 7+2 )*"/$%8 % )% 2& ,'"+ 92% .',$% )+ .:/+5 *6'&')+ )% $"0) ,)-&*; O O. <:/+ ="4+(.+/', >2& $'/ #"#$%&' )% *++,)%-')'#5 .+)%&+# '##+*"', '>2& $'/ #"#$%&' )% *++,)%-')'#5 .+)%&+# '##+*"', ' *')' .+-$+ -+ ./'-+ 2& .', )% ())*'$+&'&! ,)-&*$! 5 +-)% ? ' )"#$@-*"' )% '+ .:/+ % ? + @-A2/+ %-$,% + %"4+ .+/', % + ,'"+ ; B -2&%,+ ? *6'&')+ )% ())*'$+&'& *&'"&- )% %-92'-$+ 92% ? & ())*'$+&'& &+/1-&* 7+2 2+/1-) ,)-&*8 )% ; P ( , )r θ r P OP θ r P θ P O. <:/+ ="4+(.+/', . ( , )P r θ r θ OBS: As coordenadas polares de um ponto não são únicas. !"#$%&' (! "#$% &'(' )*' +#,+#)#-.%/') ') ,'-.') 0111111111111111110111111111111111111#11111111111111112(6,45 )° (5,120 )° (3,225 )° (4,330 )° O. . O.45° (6,45 )° .(5,120 )° 120°. 345' 678'1,'5%+ O. 345' 678'1,'5%+ 345' 678'1,'5%+. O . (3,225 )° 225° 345' 678'1,'5%+O . (4,330 )° . 330° !"#$%%&'()*'*"#+%,*&("#'(#-.#+%)/%#)0%#"0%#1)2$*"3 4.#+%)/%######'(#$%%&'()*'*"#+%,*&("################+%'(#"(&# &(+&("()/*'%#+%&#-.*#2)52)2'*'(#'(#$%%&'()*'*"#+%,*&("6# P ( , )r θ 7%&#(8(.+,%9 (1,315 )° (1, 45 )− ° (1,675 )° 7:,% O . . (1,315 )° 315° 7:,% O . . (1, 45 )− ° 45− ° 7:,% O . . 675° (1,675 )° !"##"$%&'&($#"$)%$*&+,&$$$$$$,-."/$0&&/'"+1'1#$*&21/"#$$$$$$$$$ ($"+,3&$0&&/'"+1'1#$"4)-.12"+,"#$*&'"%$#"/$&5,-'1#$*&/6( , )r θ P "$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$*1/1$,&'&$$$$$+3&$+"71,-.&( , .360 )r nθ + ° ( , .360 )r nθ − ° n 8#,"# #-+1-# -+'-01% & #"+,-'& "% 4)" & 9+7)2& #" %&.-%"+,1: ; #-+12 *&#-,-.& -+'-01 & #"+,-'& 1+,-<=&/>/-& " & +"71,-.& " #"+,-'& =&/>/-&: ! "##$%&'(%( $(%)(* %& +, -#'.# / '0#1'&2(.)3(4 -#)5 $&-$&5&'.( ( %)5.6'")( %& (# -7*#8 9# &'.('.#4 5&$)( "#'3&')&'.& :+& -+%&55& 5&$ '&2(.)3#8 r r P P ;&<( -#%&,#5 (.)'2)$ &5.& -#'.# %( 5&2+)'.& ,('&)$(= (3,225 )P = ° >7*# ?)@#A-#*($. O . (3,225 )° 225° B+A&'.0#A-#%&,#5A%&'#.($A#A-#'.#AAAAAAAA-#$AAAAAAAAAAAAAAAAA8P ( 3,45 )− ° B'%&A#A5)'(*A'&2(.)3#A5&$3&A-($(A)'%)"($A:+&A#A-#'.#A&5.CA 5#D$&A(A&@.&'50#A%#A*(%#AE)'(*A%#A6'2+*#8 . >7*# ?)@#A-#*($. O . ( 3,45 )− ° 45° Conversão de Coordenadas Às vezes é vantajoso ou surge à necessidade de converter da representação cartesiana para a representação polar ou vice- versa. Geometricamente, podemos observar, que os pontos do plano não se alteram, o que varia é apenas o método pelo qual eles são representados numericamente. Para a conversão fazemos a origem do sistema cartesiano coincidir com o pólo do sistema de coordenadas polares, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual € θ = π 2 com o eixo positivo dos y. Supondo P um ponto de coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, € θ ): y y € P € θ € x € X Podemos observar que: Para r > 0, temos: !" #$%&'( ) '&*) +$%",-&' *$ ." /-#.') *$ 0 & $1+$-23) *) '&*) +$%",-&' *$ ( &22," *$4,-,")2 &2 5))%*$-&*&2 %&*,&,2 -$#&+,6&2 5)-5)%*&-*) 7.$ 180θ + ! θ ( ),r θ− $ ( ), 180r θ + ! 23)85))%*$-&*&289)'&%$28*)8"$2")89)-+):23)85))%*$-&*&289)'&%$28*)8"$2")89)-+): € cosθ = x r → x = rcosθ senθ = y x → y = rsenθ Para r < 0, temos: € cosθ =−x −r → x = rcosθ senθ = −y −x → y = rsenθ
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