Plano de Aula PO1 Capitulo 4 - Modelos Exemplos de PPL 2016-1 - FAZER

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Apostila de Exercícios da 
Disciplina de Pesquisa 
Operacional I 
Capítulo 4 – Modelos Exemplos de PL 
Luís Alberto Duncan Rangel 
Depto. de Engenharia de Produção da EEIMVR 
Universidade Federal Fluminense 
luisduncan@id.uff.br 
Volta Redonda, RJ 
SUMÁRIO 
4. Modelos Matemáticos: 
4.1 PPL da Mochila. 
4.2 PPL Programação de Produção 
4.3 PPL Programação de Produção 
4.4 PPL Programação de Produção 
4.5 PPL Tomar uma Decisão 
4.6 PPL de Investimento 
4.7 PPL de Mistura 
 
 
Um grupo de estudantes vai viajar para os jogos estudantis. Além dos 
pertences individuais, existem alguns itens que o grupo elegeu como sendo 
prioritário para o grupo, mas por problema de peso, nem todos os itens 
poderão ser levados para os jogos. Para solucionar este problema os 
estudantes elaboram a tabela abaixo com os pesos dos itens e atribuíram 
uma valoração dos itens em função de sua utilidade para esta viagem em 
uma escala de 0 a 20. Auxilie os alunos a escolher os itens a serem levados 
para os jogos. Escreva o modelo matemático de modo a maximizar o valor 
dos itens para o grupo de alunos, sabendo-se que o peso máximo que eles 
podem carregar para os itens comuns é de 80 kgf. 
 
4.1 PPL da Mochila 
Item Identificação Importância (0-20) Peso (kgf) 
1 Barraca 17 6 
2 Bujão de gás 13 13 
3 Mesa 8 15 
4 Bancos 6 10 
5 Churrasqueira 20 13 
6 Som 15 2 
7 Gerador 19 20 
8 Geladeira 18 22 
9 Utensílios de cozinha 16 14 
10 Utensílios para acampar 20 25 
Variável de Decisão: 
V.D. – item i a ser carregado na viagem, em que i = 1, 2, 3, ..., 9, 10. 
Verifica-se que estas variáveis de decisão são binária (0,1), ou você carrega 
ou não o item. 
 
Restrições: 
Restrições tecnológicas (peso máximo a ser carregado em kgf): 
6X1+13X2+15X3+10X4+13X5+2X6+20X7+22X8+14X9+25X10 <= 80 
 
Restrições de não negatividades: 
Xi>=0 (i=1, 2, ..., 9, 10) 
 
Função Objetivo: 
Max Z = 17X1+13X2+8X3+6X4+20X5+15X6+19X7+18X8+16X9+20X10 
 
4.1 PPL da Mochila 
Implementação do PPL através do LINDO System, temos: 
 
MAX 17X1+13X2+8X3+6X4+20X5+15X6+19X7+18X8+16X9+20X10 
ST 
6X1+13X2+15X3+10X4+13X5+2X6+20X7+22X8+14X9+25X10 <= 80 
END 
INT 10 
 
Obs.: 
A maneira de informar ao software Lindo que as 10 variáveis de decisão 
são binárias (0,1), é após o END colocar o comando INT 10, que indica 
que as 10 Variáveis de Decisão são binárias. 
 
 
 
4.1 PPL da Mochila 
4.1 PPL da Mochila 
Verifica-se através da solução encontrada pelo LINDO System que os 
itens em vermelho foram selecionados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, a mesa, os bancos e o bujão de gás, além da geladeira não 
serão levados para esta viagem dos alunos. Totalizando 80 kgf e 
maximizando a importância definida pelos alunos. 
 
 
 
4.1 PPL da Mochila 
Item Identificação Importância (0-20) Peso (kgf) 
1 Barraca 17 6 
2 Bujão de gás 13 13 
3 Mesa 8 15 
4 Bancos 6 10 
5 Churrasqueira 20 13 
6 Som 15 2 
7 Gerador 14 20 
8 Geladeira 18 22 
9 Utensílios de cozinha 16 14 
10 Utensílios para acampar 20 25 
Uma indústria de beneficiamento alimentícia prepara linguiça para um 
mercado consumidor exigente, a partir de cortes especiais de carne de 
frango, de porco e bovino que esta indústria compra em um entreposto. 
A indústria verificou que para atender aos clientes exigentes a 
quantidade máxima de gordura na composição da linguiça é de 29%, e 
que a quantidade mínima de carne de porco e bovino é de 38%. Além 
disso, a quantidade mínima exigida de carne bovina é de 20%. Sabe-se 
que atualmente o quilo destas carnes é comprado por: R$ 12 para o 
frango, R$ 19 para o porco e R$ 33 para a carne boniva. Sabe-se 
também que a quantidade de gordura dos cortes das diferentes carnes 
utilizadas na preparação das linguiças é de: 3,0% para o frango; 17% 
para o porco, e 13% para a carne bovina. Quanto a indústria de 
beneficiamento deve comprar dos diferentes tipos de carne de modo a 
minimizar o custo de produção e ao mesmo tempo atender as exigências 
do mercado. 
 
 
4.2 PPL Programação de Produção 
Variável de Decisão: 
V.D. – quantidade em quilos de carne i usada na fabricação da linguiça 
i= 1, 2, 3 (frango, porco, bovina). 
 
Restrições: 
0,03X1+0,17X2+0,13X3 <= 0,29 (quantidade máxima de gordura 29%) 
 X2 + X3 >= 0,38 (quant. mínima de carne de porco e bovino é de 38%) 
 X3 >= 0,20 (quantidade mínima de carne bovina é de 20%) 
 X1+X2+X3 <= 1 (a soma das carnes que compõem um kgf de linguiça) 
 
Restrições de não negatividades: Xi>=0 (i=1, 2, 3) 
 
Função Objetivo: 
Min Z = 12X1+19X2+33X3 
(custo da compra: carne de frango 12X1; de porco 19X2; 33X3 bovina) 
4.2 PPL Programação de Produção 
Modelo Matemático implementado pelo Lindo System: 
 
MIN 12X1+19X2+33X3 
ST 
0.03X1+0.17X2+0.13X3 <= 0.29 
X2 + X3 >= 0.38 
X3 >= 0.20 
X1+X2+X3 = 1 
END 
4.2 PPL Programação de Produção 
4.3 PPL Programação de Produção 
Uma indústria de móveis fabrica dois tipos de mesas para o mercado da 
área gerencial, Mesa Especial e Mesa Prática. Para fabricar a Mesa 
Especial são necessárias 37 horas de mão de obra e 16 horas de 
máquina, já para fabricar a Mesa Prática são necessárias 31 horas de 
mão de obra e 19 horas de máquina. Sabe-se que a indústria tem 
disponível 390 horas de mão de obra e 200 horas de máquina. O gestor 
da indústria quer saber quanto fabricar de cada tipo de mesa sabendo-
se que cada Mesa Especial é vendida por R$ 340 e cada Mesa Prática é 
vendida por R$ 310. 
 
 
Variável de Decisão: 
V.D. – quantidade de mesa tipo i será fabricada, em que i = 1, 2. 
Verifica-se que estas variáveis X1 e X2 de decisão são inteiras. 
 
Restrições: 
Restrições tecnológicas 
37X1 + 31X2 <= 390 (mão de obra disponível – 390h) 
16X1 + 19X2 <= 200 (horas máquina – 200h) 
 
Restrições de não negatividades: Xi>=0 (i=1, 2) 
 
 
Função Objetivo: 
Max Z = 340X1 + 310X2 
(lucro das vendas das Mesas Especial 340X1 e Prática 310X2) 
4.3 PPL Programação de Produção 
Modelo Matemático implementado pelo Lindo System: 
 
MAX 340X1 + 310X2 
ST 
37X1 + 31X2 <= 390 
16X1 + 19X2 <= 200 
END 
GIN 2 
 
Obs.: 
A maneira de informar ao software Lindo que as 2 variáveis de decisão 
são inteiras é após o END colocar o comando GIN 2, que indica que as 2 
Variáveis de Decisão são inteiras. 
 
4.3 PPL Programação de Produção 
4.4 PPL Programação de Produção 
Uma empresa pode fabricar e vender dois diferentes produtos de 
academia, uma esteira comercial e uma esteira máster. O lucro obtido 
com a venda da esteira comercial é de R$ 230,00 e o da esteira máster é 
de R$ 280,00. Ambas as esteira utilizam o mesmo motor e a empresa 
possui 350 motores em estoque. Para fabricar a esteira comercial utiliza-
se 2,40 m de esteira, e para fabricar a esteira máster são necessários 
3,60 m. Além disso, são necessários 3,2 horas de mão de obra para 
fabricar a esteira comercial e 2,6 horas de mão de obra para fabricar a 
esteira máster. Escreva o modelo matemático de modo a maximizar o 
lucro da empresa de fabricação de esteiras, sabendo-se que a empresa 
dispõe de 180 metros de esteira e 210 horas de mão de obra. 
 
 
 
Variável de Decisão: 
V.D. – números de esteira comerciais (X1) e máster (X2) a ser fabricada. 
Verifica-se que estas variáveis X1 e X2 de decisão são inteiras. 
 
Restrições: 
Restrições tecnológicas 
X1 + X2 <= 350 (quantidade de motores disponíveis 350) 
2,4X1 + 3,6X2 <= 180 (metros de esteira disponíveis 180 metros) 
3,2X1 + 2,6X2 <= 210 (horas disponíveis para fabricação 210 horas) 
 
Restrições de não negatividades: Xi>=0 (i=1, 2) 
 
 
Função Objetivo: 
Max Z = 230X1 + 280X2 
(lucro das vendas das esteiras comercial 230X1 e máster 280X2) 
4.4 PPL Programação de Produção 
Modelo Matemático implementado pelo Lindo System: 
 
MAX 230X1 + 280X2 
ST 
X1 + X2 <= 350 
2.4X1 + 3.6X2 <= 180 
3.2X1 + 2.6X2 <= 210 
END 
GIN X1 
GIN X2 
 
Obs.: 
A maneira de informar ao softwareLindo que as 2 variáveis de decisão 
são inteiras é após o END colocar o comando GIN 2, que indica que as 2 
Variáveis de Decisão são inteiras. 
 
4.4 PPL Programação de Produção 
4.5 PPL – Tomar uma Decisão 
Uma empresa pequena do setor de fabricação de papel ganhou uma grande 
concorrência para o fornecimento de quatro tipos diferentes de papeis: 4500 rolos do 
papel tipo P1, 5500 rolos do papel do tipo P2, 7300 rolos do papel do tipo P3 e 3800 
rolos de papel do tipo P4. Acontece que a máquina que fabrica o papel tipo P2 
quebrou. Desta forma, em função da quebra da máquina e da grande encomenda, a 
empresa orçou no mercado os quatro produtos para atender a encomenda e auxiliá-la 
na entrega dos produtos. Verificou-se nesta consulta ao mercado, que atualmente 
somente esta empresa pequena esta fabricando o papel do tipo P3. Os custos de 
fabricação dos papeis pela empresa são: R$ 120 (P1); R$ 90 (P3); R$ 110 (P4) 
respectivamente. Já os custos de aquisição no mercado dos papeis são R$ 140 (P1); 
R$ 160 (P2); R$ 130 (P4). Verifica-se que esta empresa tem 230 horas de trabalho 
para a fabricação dos diferentes rolos de papel, a empresa gasta 5 horas de trabalho 
para fabricar P1, 4 horas de trabalho para fabricar P2, 3 horas de trabalho para 
fabricar P3, e 6 horas de trabalho para fabricar P4. Verifica-se ainda que a máquina 
empregada para dar acabamentos em seus produtos possui atualmente 220 horas 
disponíveis, sendo que para dar acabamento em P1 se gasta 1h; para dar 
acabamento em P3 se gasta 3 horas e para dar acabamento em P4 se gasta 2 horas. 
Escreva o modelo matemático de modo a minimizar o custo de fabricação ou a 
compra dos produtos (P1, P2, P3, P4) e atender a encomenda. 
 
 
 
 
Variável de Decisão: 
Fabricar F1 – quantidade a ser fabricada do papel do tipo P1 
Fabricar F2 – quantidade a ser fabricada do papel do tipo P2 
Fabricar F3 – quantidade a ser fabricada do papel do tipo P3 
Fabricar F4 – quantidade a ser fabricada do papel do tipo P4 
Comprar C1 – quantidade a ser comprada do papel do tipo P1 
Comprar C2 – quantidade a ser comprada do papel do tipo P2 
Comprar C3 – quantidade a ser comprada do papel do tipo P3 
Comprar C4 – quantidade a ser comprada do papel do tipo P4 
 
Restrições: 
Restrições tecnológicas 
5F1+3F3+6F4 <=230 (Horas de trabalho disponíveis) 
1F1+3F3+2F4 <= 220 (horas de máquina para acabamento ) 
4.5 PPL – Tomar uma Decisão 
Restrições: 
Restrições tecnológicas 
F1+C1=4500 
F2+C2=5500 
F3+C3=7300 
F4+C4=3800 
 
Restrições de não-negatividade: Fi>=0; Ci>=0 (i=1,2,3,4) 
 
Função Objetivo: 
FO MIN Z = 120F1+90F3+110F4+140C1+160C2+130C4 
 
 
4.5 PPL – Tomar uma Decisão 
Modelo Matemático implementado pelo Lindo System: 
 
MIN 120F1+90F3+110F4+140C1+160C2+130C4 
ST 
F1+C1=4500 
F2+C2=5500 
F3+C3=7300 
F4+C4=3800 
5F1+3F3+6F4 <=230 
1F1+3F3+2F4 <= 220 
END 
GIN 8 
OBS.: A maneira de informar ao software Lindo que as 8 variáveis de 
decisão são inteiras é após o END colocar o comando GIN 8, que indica 
que as 8 Variáveis de Decisão são inteiras. 
 
4.5 PPL – Tomar uma Decisão 
4.5 PPL – Tomar uma Decisão 
Uma empresa de investimentos esta avaliando a oportunidade disponível 
para fazer investimento no próximo período. Esta empresa de 
investimento dispõe no momento de R$ 2.500.000,00 para realizar esta 
operação. Através de estudos feitos por uma empresa independente do 
mercado financeiro verificou-se os retornos financeiros das carteiras de 
investimentos, o período de aplicação das carteiras de investimentos, 
assim como estudos de classificação realizados por analistas experientes. 
4.6 PPL de Investimento 
 
 
 
 
 
 
 
Para não concentrar seus investimentos em uma única carteira, a 
empresa de investimento limitou em no máximo 10% do valor total em 
uma única carteira. Verificou-se ainda que no mínimo 32% do valor total 
tem que ser investido em carteiras com período de aplicação igual ou no 
máximo 9 anos. Para finalizar e garantir que o investimento seja 
realizado em carteiras com excelente e muito bom imagem na avaliação 
dos analistas, estas empresas devem concentrar no mínimo 60 % do 
valor total. Determine em que carteira de investimento aplicar os 
recursos de modo a maximizar a aplicação financeira. 
 
4.6 PPL de Investimento 
Variável de Decisão: 
X1 – quantia de dinheiro a investir na ARQUER 
X2 – quantia de dinheiro a investir na BETON 
X3 – quantia de dinheiro a investir na CENTIQUA 
X4 – quantia de dinheiro a investir na DORDON 
X5 – quantia de dinheiro a investir na ETHON 
X6 – quantia de dinheiro a investir na FIGTYN 
X7 – quantia de dinheiro a investir na GOSFREY 
 
Restrições: 
Restrições tecnológicas 
X1 + X4 + X6 + X7 >= 0,88 x 2500000 (mínimo 88% em <= 9 anos) 
X1 + X4 + X5 + X6 >= 0,80 x 2500000 (mínimo 80% em excelentes ou 
bons investimentos) 
4.6 PPL de Investimento 
Restrições: 
Restrições tecnológicas 
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 = 2500000 (Total a ser investido em 
todas as carteiras de investimentos) 
X1<= 0,20 x 2500000 (máximo a ser investido em cada carteira) 
X2<= 0,20 x 2500000 
X3<= 0,20 x 2500000 
X4<= 0,20 x 2500000 
X5<= 0,20 x 2500000 
X6<= 0,20 x 2500000 
X7<= 0,20 x 2500000 (máximo a ser investido em cada carteira) 
 
Restrições de não-negatividade: Xi >= 0; (i=1,2,3,4,5,6,7) 
4.6 PPL de Investimento 
Função Objetivo: 
FO MIN Z = 120F1+90F3+110F4+140C1+160C2+130C4 
 
Modelo Matemático implementado pelo Lindo System: 
 
MAX 0.09X1+0.11X2+0.13X3+0.08X4+0.10X5+0.06X6+0.07X7 
ST 
X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7<=2500000 
X1<= 500000 X2<= 500000 X3<= 500000 
X4<= 500000 X5<= 500000 X6<= 500000 
X7<= 500000 
X1 + X4 + X6 + X7 <= 2200000 
X1 + X4 + X5 + X6 <= 2000000 
end 
4.6 PPL de Investimento 
4.6 PPL de Investimento 
Uma grande empresa do setor de ração animal esta fazendo um estudo 
hipotético para verificar a produção de 15tf de uma nova ração, a partir 
da utilização de diferentes tipos de rações que a empresa já produz para 
diferentes tipos de animais. Esta nova ração tem que atender a 
qualidade e as necessidades alimentares. 
 
 
 
 
 
 
Para atender as necessidades alimentares a nova ração tem que atender 
os seguintes requisitos: a necessidade mínima de milho é de 28%, a 
necessidade mínima de cereais é de 23%, e a necessidade de minerais é 
de 19%. Quanto misturar de cada ração de modo a minimizar o custo da 
nova ração e atender as necessidades alimentares. 
4.7 PPL de Mistura 
Variável de Decisão: 
Xi – quantidade de ração i em kgf a ser empregada na composição da 
nova ração (i=1,2,3,4) 
 
Restrições: Restrições tecnológicas 
0,35x1+0,15X2+0,20X3+0,30X4 >= 0,28 x 15.000 (% mínima milho) 
0,20X1+0,10X2+0,25X3+0,15X4 >= 0,23 x 15.000 (% mínima cereais) 
0,25X1+0,15X2+0,20X3+0,15X4 >= 0,19 x 15.000 (% mínima minerais) 
X1+X2+X3+X4 = 15000 (a quantidade de ração produzida tem que 
atender a encomenda) 
 
Restrições de não negatividades: Xi>=0 (i=1,2,3,4) 
 
Função Objetivo: 
Min Z = 3,50X1 + 2,50X2 + 3,00X3 + 2,80X4 
(Minimizar o custo de produção a partir dos custos das 4 rações) 
4.7 PPL de Mistura 
Modelo Matemático implementado pelo Lindo System: 
 
MIN 3.50X1 + 2.50X2 + 3.00X3 + 2.80X4 
St 
0.35x1+0.15X2+0.20X3+0.30X4 >= 4200 
0.20X1+0.10X2+0.25X3+0.15X4 >= 3450 
0.25X1+0.15X2+0.20X3+0.15X4 >= 2850 
X1+X2+X3+X4 >= 15000 
end 
4.7 PPL de Mistura 
4.7 PPL de Mistura