Apostila V reduzida 9 ano regular

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PROJETO FAMÍLIA ESCOLA
	ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL: 9º ANO
	ALUNO(A): ____________________________________________________________________________
	NOME DA ESCOLA: _____________________________________________________________________
	DISCIPLINA: MATEMÁTICA
	TOTAL DE SEMANAS: 06
	NÚMERO DE AULAS POR SEMANA: 05
	NÚMERO DE AULAS POR MÊS: 30
Semana 18 e 19 
Exercícios de revisão – Equações do segundo grau
Exemplos resolução de equação de 1º grau:
Em uma equação, temos uma igualdade, a qual separa a equação em dois membros. Do lado esquerdo da igualdade, vamos ter o primeiro membro, e do lado direito, o segundo membro.
ax + b = 0
(1º membro) = (2º membro)
Exemplo: Encontre o valor de x na equação: 8x - 3 = 5
Solução
Para resolver a equação, devemos isolar o x. Para isso, vamos primeiro passar o 3 para o outro lado do sinal de igual. Como ele está subtraindo, passará somando. Assim:
8x = 5 + 3
8x = 8
Agora podemos passar o 8, que está multiplicando o x, para o outro lado dividindo:
x = 8/8
x = 1
Exemplos resolução de equação de 2º grau:
Exemplo 1
Encontre as raízes da equação 3x2 – 27 = 0.
 Exemplo 2
Determine a solução da equação 5x2 – 45x = 0
Exemplo 3
Determine a solução da equação x2 – x – 12 = 0.
Note que os coeficientes da equação são: a = 1; b= – 1 e c = – 12. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
1- Dada a expressão , onde , sendo a = 1, b = -7 e c = 10, descubra os valores de x.
2- Determine o valor das raízes nas equações abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
3- O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número.
4- A soma de um número com seu quadrado é igual a 90. Calcule esses números.
5- O dobro do quadrado da quantidade de livros que Emanuel leu em uma semana, é igual a 52 menos 5 vezes essa quantidade de livros. Quantos livros Emanuel leu?
6- O triplo de um número menos seu dobro é igual a 40. Qual é esse número?
Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros.
Semana 19 e 20
Razão
Usamos razão para fazer comparação entre duas grandezas. Assim, quando dividimos uma grandeza pela outra estamos comparando a primeira com a segunda.
Definição:
Sabendo que existe duas grandezas a e b, a razão entre a e b, com b diferente de zero, é o quociente entre a e b: a:b ou
Exemplo:
A idade de Pedro é 3 anos e a idade de Josefa é 5 anos. Qual é a razão entre as idades de Pedro e Josefa?
A grandeza apresentada na situação acima é a idade. Sabemos que razão é o mesmo que divisão, então quando falamos da razão entre as idades de Pedro e Josefa iremos fazer uma divisão entre essas idades.
Portanto, a razão entre as idades é de .
Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões (equivalências entre razões). Ou seja, se dissermos que as razões
são iguais, é o mesmo que dizer que elas formam uma proporção.
Propriedade fundamental da proporção
O produto dos meios é igual aos produtos dos extremos.
Então, ao escrevermos
dizemos que a e d são os extremos da proporção e b e c são os meios da proporção.
Levando em conta o conjunto dos números reais, podemos concluir algumas equivalências entre as proporções. Portanto, para
Exemplo: Verifique se as razões a seguir são proporcionais:
Agora vamos usar a multiplicação cruzada, nós faremos a multiplicação em x e verificaremos os resultados, se os mesmos apresentarem valores iguais, as razões são proporcionais e se apresentarem valores diferentes não são proporcionais.
3x20= 5x12
60=60
Ao multiplicarmos os valores obtivemos o mesmo resultado dos dois lados da igualdade, portanto as razões são proporcionais.
RAZÃO ENTRE SEGMENTOS
Segmento é uma parte da reta marcada por dois pontos. 
Os pontos que fazem parte da reta são sempre marcados por letras maiúsculas.
Razão: é o quociente entre duas grandezas/ números.
Quociente: é o resultado de uma divisão.
Razão entre a e b = ou a: b.
Sejam os segmentos de 3 cm e de 5 cm.
		D
C
B
A
A razão entre os segmentos e é:
 = = 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
4 cm
2 cm
		F
B
E
A
6 cm
3 cm
		H
G
D
C
Os segmentos , , e , nesta ordem, são proporcionais:
Verifique que as medidas dos quatro segmentos dados formam uma proporção.
Logo: = 
Proporção: é uma igualdade entre duas razões.
EXERCÍCIOS
1) Determine a razão entre os segmentos e que medem respectivamente:
1. 
1. 3 cm e 5 cm
1. 6 cm e 12 cm
1. 21 cm e 7 cm
2) Observe a figura abaixo:
u
u
u
u
u
u
u
M
P
N
Calcule as razões entre os segmentos:
Exemplo: e 
		
1. 
1. e 
1. e 
1. e 
3) Observe a figura abaixo e dê os valores das razões:
u
u
u
u
u
u
A
D
G
B
C
E
F
1. 
1. 	d) 
4) Determine x em cada uma das seguintes proporções:
Exemplo	 5(x – 3) = 4x
		 5x – 15 = 4x
 5x – 4x = 15			 x = 15
1. 
1. 
1. 
1. 	 
1. 
 
 	
6) Os segmentos = 3 cm, = 5 cm, = 15 cm e , nessa ordem são proporcionais. Calcule .
Semelhança
 	 Drawing Hands” – M. C. Escher – 1948 – litogravura - 28.2 x 33.3 cm.
Uma mão desenha a outra, semelhante, que desenha a outra, igualmente semelhante...Criador e criatura: quem é quem na obra de Escher?
Também na natureza, a semente gera o fruto que gera a semente, que carrega em si as características de seu fruto: um ciclo a perpetuar a semelhança da espécie.
Figuras Semelhantes
Quando uma imagem é projetada em uma tela de televisão, de cinema, celular etc., o tamanho da imagem projetada geralmente é diferente do tamanho da imagem original, no entanto a forma é mantida. Assim, dizemos que a imagem que aparece na tela é semelhante à original. 
Além de cópias em tamanho original, as fotocopiadoras podem ampliar ou reduzir determinada imagem; nesse caso também se mantém a forma original.
Observe a seguir uma foto de uma das obras de arte (Abaporu - 1928) de Tarsila do Amaral.
Duas figuras são semelhantes quando todos os comprimentos de uma delas são iguais aos da outra, multiplicados por um número constante. Se há ângulos, os ângulos correspondentes de duas figuras devem ser congruentes (mesma medida).
Na imagem abaixo temos exemplo de uma ampliação. Repare que as medidas do segundo retângulo são o dobro das medidas do primeiro, neste caso dizemos que as duas figuras são semelhantes. Comparação de medidas dos lados correspondentes (Para isso consideramos cada quadradinho com uma unidade):
(Lado AD=5/ Lado A’D’=10)
(Lado AB=3/ Lado A’B’=6)
 Figura Ampliada
Nesta outra imagem temos um exemplo de redução de figuras. Repare que as medidas da figura 2 são a metade das medidas da figura 1, neste caso dizemos que as duas figuras são semelhantes. Comparação de medidas dos lados correspondentes (Para isso consideramos cada quadradinho com uma unidade):
(Lado AE=6/ Lado GL=3)
(Lado CD=6/ Lado IJ=3)
L
K
J
I
H
G
F
E
A
C
D
B
 Figura reduzida
· Ampliação: razão entre os lados correspondentes é maior que 1.
· Redução: razão entre os lados correspondentes é menor que 1.
· Para exemplificar esses conceitos vamos usar as figuras apresentadas acima.
Na figura ampliada temos os lados correspondentes com as seguintes medidas lado A’D’=10 e lado AD=5, fazendo a razão entre esses lados obtemos:
Vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número.
Como o resultado da razão é maior que 1 então temos uma ampliação.
Na figura reduzida temos os lados correspondentes com as seguintes medidas, lado GL=3 e lado AE=6, fazendo a razão entre esses lados obtemos:
Vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador pelomesmo número.
Como o resultado da razão é menor que 1 então temos uma redução.
Polígonos Semelhantes
Polígonos são regiões planas fechadas, constituídas de lados, vértices e ângulos. Os pentágonos a seguir são semelhantes, observe as relações
Observe a ampliação do pentágono ABCDE, onde ele foi ampliado em 100%.
Observe os polígonos abaixo onde foi feita uma ampliação.
 Os pares de ângulos A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ e E e E’ são chamados de ângulos correspondentes. Observe que eles são congruentes (tem a mesma medida).
Os pares de lados AB e A’B’, BC e B’C’, CD e C’D’, DE e D’E’ e EA e E’A’, são chamados de lados correspondentes. Observe que eles são proporcionais, ou seja, tem a mesma razão:
 
Assim, concluímos que o polígono A’B’C’D’E’ é semelhante ao polígono ABCDE e indicamos por A’B’C’D’E’~ABCD (~ símbolo de semelhança).
 
Como foi obtida a ampliação em 100%, os lados do polígono A’B’C’D’E’, possuem o dobro da medida dos lados do polígono ABCDE, dizemos que a razão de semelhança é de .
 Dizemos que dois polígonos são semelhantes quando possuem o mesmo número de lados e se adéquam às seguintes condições:
· Ângulos correspondentes congruentes (tem a mesma medida);
· Lados correspondentes proporcionais (razão de semelhança igual).
Durante o cálculo da razão de semelhança podemos observar as seguintes situações:
A semelhança entre figuras possui diversas aplicabilidades no cotidiano, como na elaboração de maquetes, ampliação de fotos, medições de distância, entre outras questões envolvendo proporcionalidade na geometria.
Exemplo
Determine o valor da medida x, sabendo que os trapézios a seguir são semelhantes.
 
Precisamos descobrir qual é a razão entre os seguimentos proporcionais correspondentes.
 e 
O coeficiente de ampliação (razão) dos trapézios equivale a 2,5, ou seja, o trapézio original foi aumentado em 2,5 vezes proporcionalmente. 
Então:
 
x = 2,5. 5
x = 12,5.
O valor de x corresponde a 12,5 unidades.
_______________________________ Exercícios______________________
7) Para garantirmos que dois polígonos sejam semelhantes é necessário que:
1. Possuam o mesmo número de lados.
1. Os lados correspondentes sejam proporcionais.
1. Os ângulos internos correspondentes sejam congruentes.
1. O número de lados seja proporcional.
1. A razão entre os lados correspondentes seja diferente.
Quais alternativas acima estão corretas? ________________________
8) Na figura abaixo cada lado do quadradinho mede uma unidade.
As figuras a seguir que tiveram suas dimensões ampliadas em 2 e 3 vezes respectivamente, em relação a figura acima, são:
1. Figura I e figura II
1. Figura I e figura III
1. Figura II e figura IV
1. Figura III e figura V.
9) Determine a medida x nos polígonos abaixo, sabendo que eles são semelhantes.
10) Dado o retângulo ABCD abaixo, verifique quais dos retângulos seguintes são semelhantes a ele.
a) 
b) 
c) 
Semana 21 e 22
Semelhança aplicada a Triângulos
Agora vamos trabalhar com semelhança nos triângulos.Triângulos são polígonos; portanto, dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente congruentes (mesma medida) e os lados correspondentes proporcionais.
 Usamos o símbolo ~ para indicar que dois triângulos são semelhantes.
Para saber quais são os lados proporcionais, primeiro devemos identificar os ângulos de mesma medida. Os lados correspondentes serão os lados opostos a esses ângulos.
Razão de proporcionalidade
Como nos triângulos semelhantes os lados correspondentes são proporcionais, o resultado da divisão desses lados será um valor constante. 
Esse valor é chamado de razão de proporcionalidade.
Considere os triângulos ABC e EFG semelhantes, representados na figura abaixo:
Os lados a e e, b e g, c e f são correspondentes, sendo assim, temos as seguintes proporções:
 , onde k é a razão de proporcionalidade.	
Assim, o ΔABC ~ ΔEFG (lemos: triângulo ABC proporcional ao triângulo EFG).
 
 Exemplo:
Considere os triângulos ABC e DEF a seguir:
 1
Os lados AC e DF, BC e EF, AB e DE são correspondentes, sendo assim, temos:
Então, 4 será a razão de proporcionalidade.
___________________________ Exercícios__________________________________
11) Observe os triângulos a seguir. Sabendo que os triângulos A e B são semelhantes, determine o valor da razão de semelhança entre os triângulos A e B?
12) (Unesp)A sombra de um prédio, em um terreno plano, em uma determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. Descubra a altura do prédio sabendo que os polígonos representados na imagem são semelhantes.
13) Calcule os valores desconhecidos x e y nas figuras a seguir:
1. 
1. 
 
1. 
14) 
15) Um lado de um triangulo mede 45 cm. Num triângulo semelhante, o lado correspondente mede 30 cm. Se o perímetro do primeiro triângulo é de 120 cm, qual será o perímetro do segundo triângulo?
Casos de Semelhança
Dados dois triângulos, não é necessário conferir se todos os lados correspondentes dos mesmos são iguais ou proporcionais, e ainda se todos os ângulos correspondentes são congruentes para saber se eles são ou não semelhantes, basta que ambos apresentem algumas das condições necessárias, que serão mostradas a seguir:
 
Caso AA (Ângulo, Ângulo)
Caso LAL (Lado, ângulo, Lado)
Caso LLL (Lado, Lado, Lado)
_______________________ Exercícios ______________________________
16) Observe os triângulos a seguir e assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
 
a. Os triângulos são semelhantes, pois possuem o mesmo formato. Essa é a única maneira de descobrir se duas figuras geométricas são semelhantes.
b. Os triângulos não são semelhantes, pois não existe caso de semelhança para quando se conhece apenas um lado e um ângulo de dois triângulos.
c. Os triângulos são semelhantes pelo caso ALA (Ângulo – Lado – Ângulo).
d. Os triângulos são congruentes pelo caso ALA.
e. 
17) Verifique em cada par de triângulos abaixo o caso de semelhança:
1. 
1. 
18) Observe os triângulos semelhantes a seguir e responda:
a. Qual o caso de semelhança?
b. Qual é a medida do segmento BC?
c. Qual é a medida do seguimento AB?
Semana 23
Exercícios Complementares 
19) O par de polígono é semelhante. Calcule o valor de x neste caso:
20) A sombra de uma árvore mede 4,5m. À mesma hora, a sombra de um bastão de 0,6m, mantido na vertical, mede 0,4m. Determine a altura da árvore.
.
21) Dois trapézios abaixo são semelhantes. 
 
i. Qual é a razão de semelhança entre os trapézios ABCD e MNPQ?
ii. Calcule as medidas x, y e z indicadas.
Referências Bibliográficas
ÁLVARO ANDRINI-MARIA JOSÉ VASCONCELLOS
EDWALDO BIANCHINI
GIOVANNI-CASTRUCCI-GIOVANNIJR
GELSON IEZZI-OSWALDO DOLCE-ANTÔNIO MACHADO
https://brasilescola.uol.com.br/
https://www.somatematica.com.br/
https://www.todamateria.com.br/
 
10 
12 
8 
6 
3 
5 
4 
x