Fascículo_21_ 2º_Ano_Matemática [Coeficientes da equação da reta] (2)

Prévia do material em texto

Coeficientes da 
equação da reta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) de acordo com ISDB 
 
GOVERNO de Pernambuco. Secretaria de Educação e Esportes. 
Matemática: Coeficientes da equação da reta. – Recife: EDUCA-PE, 2020. 
14 p.: il. 
2º Ano Ensino Médio. Midiateca EDUCA-PE. 
Fascículo 21 (Aula Ao Vivo). 
1. Matemática – Ensino Médio. I. Título. 
CDU – 51(075.3) 
 
Elaborado por Hugo Carlos Cavalcanti | CRB-4 2129 
Expediente 
 
Governador de Pernambuco 
Paulo Henrique Saraiva Câmara 
Vice-governadora de Pernambuco 
Luciana Barbosa de Oliveira Santos 
Secretário de Educação e Esportes de Pernambuco 
Frederico da Costa Amancio 
 
 
 
 
Autor 
Prof. Luis Roberto Cavalcanti do Amaral 
 
Revisão de Língua Portuguesa 
Prof.ª Aline Vieira de Oliveira Couto 
 
Projeto gráfico 
Clayton Quintino de Oliveira 
 
Diagramação 
Caio Renato Tavares da Silva
 
 
 
 
 
 
 
 
QUERIDO ALUNO, NESTE FASCÍCULO 
VAMOS CONTINUAR ESTUDANDO AS 
RETAS. VOCÊ SABIA QUE É POSSÍVEL 
CALCULAR A INCLINAÇÃO DE UMA 
RETA ATRAVÉS DA GEOMETRIA? 
 
 
 
Sendo a reta representada no plano cartesiano 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
 
 1 
 -2 -1 0 1 2 3 4 
 
1 
 
 
 
 
 
Notemos que possuimos os pontos A (1,1) e B( 4 ,7). Verificamos a INCLINAÇÃO DA 
RETA, que numa projeção, podemos imaginar um triângulo 
 
 
 7 
 
 
 a 1 
 1 4 
 
O coeficiente angular que identificamos numa função afim ,como o valor de a poderá 
ser encontrado através da razão entre a variação de y , pela variação de x 
 
 
 
 
 
 
No exemplo, temos os pontos A(1,1) e B ( 4,7) 
 
 
a = 
∆𝑦
∆𝑥
 = 
7−1
4−1
 =
6
3
 = 2 
 
 
∆𝑦 
∆𝑥 
a 
 
 a = 
∆𝑦=𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑦 𝑦−𝑦𝑜 
∆𝑥=𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝑥−𝑥𝑜
 
2 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o coeficiente angular da inclinação da reta vale 2 
 
o coeficiente angular pode ser calculado pela tangente do ângulo formado pela 
inclinação da reta 
 
 
 
tg 𝛼 = 
∆𝑦
∆𝑥
 = 
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑦 
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑥
 
 
 
 
 
 
 
VOCÊ SABIA? 
SE O COEFICIENTE ANGULAR FOR NEGATIVO, TEM A VER COM 
O POSICIONAMENTO DA RETA NO PLANO CARTESIANO? 
 
 
 
 
Caso tenhamos uma reta formada pelo plano cartesiano 
 
Fo
n
te
: C
lip
ar
t.
co
m
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 1 
 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 
 
 
 
 
Notemos agora que temos a identificação dos pontos A (6,0) e B(0,4). Notemos a 
figura do triângulo 
 
 
4 
 
 
 
 
Portanto, temos um coeficiente angular negativo a = 
−𝟐
𝟑
 
 
 AMIGO, TEMOS COMO DESCOBRIR O COEFICIENTE 
 ANGULAR DE 3 MANEIRAS! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
Equação de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r: 
 
Seja r uma reta de coeficiente angular m. 
 
 
 
Sendo A(xA, yA), P r, e B(xB,yB) um ponto qualquer de r(A ≠ B), podemos escrever: 
 
BB
AB
xx
yy
mtg
−
−
== , fazendo as devidas mudanças de variáveis, temos que 
 
0
0
xx
yy
m
−
−
= 
 
 
 Já o coeficiente linear 
 da reta é o ponto b 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
 
1)Identifique os valores dos coeficientes angular e linear a partir da equação reduzida 
da reta. 
 
a) y = 3x – 5 
 
m = 3 coeficiente angular 
 n = -5 coeficiente linear 
 
b) y = -x + 2 
 
m = -1 coeficiente angular 
n = 2 coeficiente linear 
 
 
2) Em cada caso, calcule o coeficiente angular e linear da reta que passa pelos pontos 
dados e faça o gráfico correspondente. 
 
(a) )0,2(e)0,1( − (b) )1,2(e)2,1( (c) )3,2(e)1,1( −− 
 
 
Solução. O coeficiente angular mvale a razão da diferença entre as ordenadas e das 
abscissas. 
 
 
7 
 
 
 
 
 
a) 
 
 00
)2(1
00
==
−−
−
= ym . O coeficiente linear é zero. Essa equação representa 
todo o eixo X. 
 
b) 
 
321
)2,1(
1
21
12
=+−=





=
+−=−=
−
−
=
bb
retaP
bxym
. 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
1)1(21
)1,1(
22
21
)3(1
=+−=−





−=
+−=−=
−
−−−
=
bb
retaP
bxym
. 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
O COEFICIENTE ANGULAR DAS RETAS SÃO MUITO IMPORTANTES PARA 
IDENTIFICAR A POSIÇÃO DE DUAS OU MAIS RETAS NO PLANO. 
 
SE OS COEFICIENTES SÃO IGUAIS A DUAS RETAS, ESSAS SÃO CHAMADAS DE 
PARALELAS, QUE PODEM SER COINCIDENTES, COM O MESMO COEFICIENTE LINEAR; 
E PARALELAS DISTINTAS, COM COEFICIENTES LINARES DISTINTOS. 
 SE DUAS RETAS POSSUEM COEFICIENTES DIFERENTES SÃO CHAMADAS DE 
CONCORRENTES. 
SE DUAS RETAS POSSUEM O PRODUTO DOS COEFICIENTES ANGULARES IGUAL A -1, 
SÃO CHAMADAS DE PERPENDICULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
(ENEM) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo 
construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, 
com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura 
máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória 
Fo
n
te
: P
ix
ab
ay
.c
o
m
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O 
gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas 
simulações realizadas. 
 
 
 
 
 
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser 
alterada para que o objetivo fosse alcançado. Para alcançar o objetivo, o coeficiente 
angular da reta que representa a trajetória de B deverá 
 
A) diminuir em 2 unidades 
B) diminuir em 4 unidades 
C) aumentar em 2 unidades. 
D) aumentar em 4 unidades. 
E) aumentar em 8 unidades. 
 
 
10 
 
 
 
 
 
2. 
 
(UDESC 2008) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que 
passa pelos pontos A(1, 5) e B(4, 14) é: 
 
A) 4 
B) -5 
C) 3 
D) 2 
E) 5 
 
Comentário da questão 1 
 
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (0,0) e (6,12) é 12/6 = 2. Sendo 
16/4 = 4 o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (0,0) e (4,16), podemos 
concluir que o coeficiente angular deverá aumentar em 4 – 2 = 2 unidades. 
 
Comentário da questão 2 
 
Encontrando o coeficiente angular 
 
a =
14−5
4−1
 = 
9
3
 =3 
y -5 = 3(x -1) 
y = 3x – 3 +5 
y = 3x +2 
 
como o coeficiente linear deu 2, teremos a soma igual a 5 
 
Alternativa: E 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fo
n
te: P
ixab
ay.co
m
 
12 
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (0,0) e (6,12) é 
12/6 = 2. Sendo 16/4 = 4 o coeficiente angular da reta que passa pelos 
pontos (0,0) e (4,16), podemos concluir que o coeficiente angular 
deverá aumentar em 4 – 2 = 2 unidades. 
 
 
Alternativa: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
2. 
 
Encontrando o coeficiente angular 
 
a =
14−5
4−1
 = 
9
3
 =3 
y -5 = 3(x -1) 
y = 3x – 3 +5 
y = 3x +2 
 
como o coeficiente linear deu 2, teremos a soma igual a 5 
 
 
 Alternativa: E14