ESA-EEAR GEOMETRIA REVISÂO

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Nivelamento
Sumário
1 Conceitos fundamentais 2
1.1 Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Diâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Raio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Semicircunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6 Arco de Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.7 Ćırculo ou Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.8 Setor Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.9 Segmento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.10 Semićırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Ângulo na circunferência 3
2.1 Ângulo Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Comprimento do Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Ângulo Inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Medida do Ângulo Inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Ângulo de segmento ou Ângulo semi-inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.6 Medida do Ângulo de Segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.7 Arco Capaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.8 Ângulo Inscrito numa Semicircunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.9 Ângulos Excêntricos Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.10 Medida do Ângulo Excêntrico Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.11 Ângulo Excêntrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.12 Exerćıcios ńıvel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
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Nivelamento
1 Conceitos fundamentais
1.1 Circunferência
É um conjunto dos pontos de um plano cuja
distância a um ponto dado desse plano é igual a uma
distância (não nula) dada.
P
A
O
r
P
A
O
r
1.2 Corda
É um segmento cujas extremidades pertencem à cir-
cunferência.
C
B
A
O
1.3 Diâmetro
É uma corda que passa pelo centro.
C
B
O
1.4 Raio
É um segmento com uma extremidade no centro e o
outra num ponto da circunferência.
P
O
1.5 Semicircunferência
É a reunião dos conjuntos dos pontos A, B e de todos
os pontos da circunferência que estão num mesmo
semiplano determinado pela reta AB.
P
O
α
A B
1.6 Arco de Circunferência
É a reunião dos conjuntos dos pontos A, B e de to-
dos os pontos da circunferência que estão no interior
do ângulo AÔB.
O
A
B
arco menor AB
1.7 Ćırculo ou Disco
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Nivelamento
É um conjunto dos pontos de um plano cuja
distância a um ponto dado desse plano é (menor)
ou (igual) a uma distância (não nula) dada.
P
O
1.8 Setor Circular
AOB é a reunião dos conjuntos dos pontos dos raios
OA e OB e de todos os pontos do ćırculo que estão
no interior do ângulo AÔB.
B
O
A
1.9 Segmento Circular
ÂB é a interseção do ćırculo com o semiplano de
origem na reta AB e que não contém o centro do
ćırculo.
A
α
B
segmento
1.10 Semićırculo
O semićırculo AB é a interseção do ćırculo com um
dos semiplanos de origem na reta AB.
P
O
α
A B
semićırculo
2 Ângulo na circunferência
2.1 Ângulo Central
É o ângulo que tem o vértice no centro da circun-
ferência.
O
B
θ = AB
A
θ
Observação:
A medida de um arco de circunferência é igual à
medida do ângulo central correspondente.
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Nivelamento
O
B
A
60◦ 60
◦
25◦
25◦
E
G
2.2 Comprimento do Arco
A medida do comprimento do arco AB de circun-
ferência é definido
D
O
A
r
θ
l
l = θ · r
θ (radianos) θ (graus)
l =
r · π
180◦
2.3 Ângulo Inscrito
É o ângulo que tem o vértice na circunferência e os
lados são secantes a elas.
O
B
AV̂ B = α
A
βV α
é o ângulo inscrito
2.4 Medida do Ângulo Inscrito
Um ângulo inscrito é metade do ângulo central cor-
respondente.
O
B
α =
β
2
A
βV α
α =
AB
2
ou
1◦ Caso - O centro está num lado do ângulo
O
B
α =
β
2A
β
V α
2◦ Caso - O centro está interno ao ângulo
O
B
α =
β
2
A
βV α
3◦ Caso - O centro é externo ao ângulo
? ? ? Pré-Militar ? ? ?
Nivelamento
O
B
α =
β
2
A
β
V
α
2.5 Ângulo de segmento ou Ângulo
semi-inscrito
É um ângulo que têm o vértice na circunferência, um
lado secante e o outro lado tangente à circunferência.
B
β
A
t
α
O α é o ângulo
de segmento
2.6 Medida do Ângulo de Segmento
Um ângulo de segmento é metade do ângulo central
correspondente.
B
β
A
t
α
O
α =
β
2
α =
AB
2
ou
2.7 Arco Capaz
Dado um segmentoAB, o arco capaz de um ângulo α
é o lugar geométrico dos pontos P tais que o ângulo
AP̂B = α.
B
β
A
t
α
O
P
P1
P2
P3
α
α
α
s
α
AB = 360◦ − 2α
2.8 Ângulo Inscrito numa Semicir-
cunferência
Todo ângulo reto é inscrit́ıvel numa semicircun-
ferência e, reciprocamente, todo ângulo inscrito
numa semicircunferência, com os lados passando pe-
las extremidades, é ângulo reto.
B
180◦
A
V
2.9 Ângulos Excêntricos Interior
? ? ? Pré-Militar ? ? ?
Nivelamento
Se duas cordas se cortam em um ponto interior a
uma circunferência, distinto do centro, então qual-
quer um dos ângulos que elas formam é chamado
excêntrico interior.
O
A
C
B
D
x
a
b
2.10 Medida do Ângulo Excêntrico
Interior
O
A
C
B
D
x
a
b
x =
a + b
2
2.11 Ângulo Excêntrico
Se com origem num ponto exterior a uma circun-
ferência traçamos duas semirretas, ambas secantes
à circunferência, ou ambas tangentes ou uma se-
cante e a outra tangente, estas semirretas formam
um ângulo que é chamado ângulo excêntrico exte-
rior
1◦ Caso - Se com origem num ponto exterior a uma
circunferência traçamos duas semirretas, ambas se-
cantes à circunferência, estas semirretas formam um
ângulo que é chamado ângulo excêntrico exterior
x
a
b
x =
a− b
2
2◦ Caso - Se com origem num ponto exterior a uma
circunferência traçamos duas semirretas, ambas tan-
gentes à circunferência, estas semirretas formam um
ângulo que é chamado ângulo excêntrico exterior
x
a
b
x =
a− b
2
3◦ Caso - Se com origem num ponto exterior a uma
circunferência traçamos duas semirretas, uma se-
cante e a outra tangente à circunferência, estas se-
mirretas formam um ângulo que é chamado ângulo
excêntrico exterior
x
a
b
x =
a− b
2
? ? ? Pré-Militar ? ? ?
Nivelamento
2.12 Exerćıcios ńıvel 1
1. Determine o valor do ângulo x nos casos:
a)
70◦
x
b)
50◦
x
150◦
c)
x
50◦
100◦
d)
x
50◦
100◦
e)
x
65◦
165◦
f)
x
110◦
? ? ? Pré-Militar ? ? ?
Nivelamento
2. Determine o valor do arco x nos casos:
a)
x
100◦
120◦
b)
x
20◦
70◦
c)
x
30◦
3. Nas figuras, calcule o valor de x.
a)
2x 140◦
C
A
B
b)
3x
30◦
C
A
B
D
4. Nas figuras, calcule o valor de α.
a)
25◦
α
O
A B
b)
? ? ? Pré-Militar ? ? ?
Nivelamento
40◦
α
O
A
B
5. Nas figuras, calcule o valor do arco ÂBC.
a)
65◦ P
A
B
C
b)
65◦P
A
O
C
B
6. Nas figuras, calcule x.
a)
110◦
D
A
C
B
x
b)
82◦
D
A
C
B
x
c)
150◦
D
A C
B
x
7. Na figura, sendo ÂBC = 260◦, calcule o valor de
α.
? ? ? Pré-Militar ? ? ?
Nivelamento
αP
C
O
A
B
8. Calcule o valor de x.
a)
x
D
C
O
A
B
80◦
b)
x
D
C
A
B
112◦9. O arco ĈD da figura mede 105◦. Calcule o valor
de x.
x
B
C
A
D
115◦
O
10. Na circunferência, o arco ĈFD excede o arco
ÂEB em 50◦. Determine suas medidas, sabendo
que o ângulo α mede 70◦.
α
B
C
A
D
O
E
F
11. Na figura, o ângulo AĈD é igual a 70◦ e o ângulo
AP̂D é igual a 110◦. Determine a medida do ângulo
BÂC
B
C
A
D
O
P
12. Calcule x nas figuras.
a)
? ? ? Pré-Militar ? ? ?
Nivelamento
B
A
x
230◦
b)
A
120◦
40◦
x
13. Calcule x nas figuras:
a)
x
50◦
A
B
C
D
O
b)
x
50◦
O
40◦
14. Se y = 75◦ e ÂB = 100◦, calcule x.
x
A 100
◦
y B
C
15. Na figura, qual é o valor de α ?
A
200◦
BC
O
α 60◦
16. Na figura, o arco ĈMD é igual a 100◦ e o arco
ÂNB mede 30◦. Calcule o valor de x.
? ? ? Pré-Militar ? ? ?
Nivelamento
A
B
C
x
D
M N
17. Determine a medida do ângulo α, sabendo que,
na figura abaixo, CD = R.
A
B
C
O
D
R
R
α
18. Calcule x nas figuras:
a)
A
B
C
O
D
x
60◦
140◦
P
b)
A B
C
O
D
x
c)
B
A
C
O
D
x136◦ 32◦
19. Calcule x nas figuras:
a)
B
A C
O
D
x
120◦
y
2
y
b) ABCDE é um pentágono regular.
? ? ? Pré-Militar ? ? ?
Nivelamento
BA
C
O
D
x
E
20. Na figura, o arco B̂EC mede 60◦ e OB é per-
pendicular a AC. Determine a medida do arco ÂFB
e a medida do ângulo AD̂C.
B
A C
O
D
F E
21. Determine a razão entre os ângulos α e β da
figura a seguir, sabendo que a reta r tangencia a cir-
cunferência no ponto A e que os arcos ÂB, B̂C e
ÂC são proporcionais aos números 2, 9 e 7.
B
C
A
α
β
r
22. Determine as medidas dos ângulos de um
triângulo, obtido pelos pontos de tangência do
ćırculo inscrito com os lados de um triângulo ABC,
sendo  = 60◦, B̂ = 40◦ e Ĉ = 80◦.
23. Na figura, determine a medida do ângulo α, sa-
bendo que o arco ÂB mede 100◦ e que a corda CD
mede R, sendo R o raio do ćırculo
B
C
A
α
R
D
24. Determine o menor ângulo formado por duas
retas secantes a uma circunferência, conduzidas por
um ponto P externo, sabendo que essas secantes de-
terminam na circunferência dois arcos cujas medidas
valem 30◦ e 90◦
25. Na figura, AB e AC são tangentes ao ćırculo de
centro O e Q é um ponto do arco menor B̂C. PQR
é tangente ao ćırculo, Â = 28◦. Ache PÔR.
B
C
AO Q
26. Na figura, AB é um diâmetro, a corda AM é
o lado do triângulo equilátero inscrito e BN , o lado
do quadrado inscrito. Calcule o ângulo α, formado
pelas tangentes PM e PN .
? ? ? Pré-Militar ? ? ?
Nivelamento
B
N
A
O
M
α
P
27. Determine as medidas x e y
y
x
25◦
80◦
28. Consideremos um triângulo equilátero ABC
inscrito em um ćırculo. Determine o menor ângulo
formado pelas retas tangentes a esse ćırculo nos pon-
tos A e B.
29. Determine o valor de x nos casos:
a)
x
145◦
b)
70◦ 200
◦
x
30.