Prova Cálculo 1

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Universidade Federal do Esṕırito Santo
Departamento de Matemática
P2 – Cálculo 1 (MAT09570) – 01/11/19 (tarde)
Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Nome:
1. (3,0) Determine:
(a) ddx
(
e2
x2
)
(b) lim
x→1
(
x
x− 1
− 1
lnx
)
(c) f ′(1), se f(x) + x2[f(x)]3 = 10 e f(1) = 2.
2. (3,0) Considere f(x) = e
x
x . Acerca de f , determine:
(a) asśıntotas verticais e asśıntotas horizontais;
(b) intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e mı́nimos locais;
(c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) um esboço do gráfico (indicando, se existirem, extremos locais, pontos de inflexão, asśıntotas).
3. (2,0) Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com uma largura
de 5 km, e deseja atingir tão rápido quanto posśıvel um ponto B na outra margem, 5 km rio
abaixo. Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar do outro lado da
margem para atingir B o mais rápido posśıvel? (Estamos supondo que a velocidade da água seja
despreźıvel comparada com a velocidade na qual o homem rema.)
4. (2,0) Um balão está subindo a uma velocidade constante de 2m/s. Um garoto está andando de
bicicleta por uma estrada numa velocidade de 5m/s. Quando ele passar por baixo do balão, o
mesmo estará 15m acima dele. Determine a velocidade de crescimento da distância entre o balão
e o garoto 3 segundos mais tarde.