Medidas de Dispersão: Variância e Desvio Padrão

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No estudo da Estatística, dispomos de algumas estratégias para verificar se os valores apresentados em um conjunto de dados estão dispersos ou não e o quão distantes um do outro eles podem estar. As ferramentas empregadas para que isso seja possível são classificadas como medidas de dispersão e denominadas de variância e desvio padrão. Vejamos o que representa cada uma delas:
Variância:
· Dado um conjunto de dados, a variância é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada valor desse conjunto está do valor central (médio).
· Quanto menor é a variância, mais próximos os valores estão da média; mas quanto maior ela é, mais os valores estão distantes da média.
· Considere que x1, x2, …, xn são os n elementos de uma amostra e que x é a média aritmética desses elementos. O cálculo da variância amostral é dado por:
Var. amostral = (x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)²
                      ​n – 1
· Se, em contrapartida, quisermos calcular a variância populacional, consideraremos todos os elementos da população, e não apenas de uma amostra. Nesse caso, o cálculo possui uma pequena diferença. Observe:
Var. populacional = (x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)²
                           n
Desvio Padrão:
· O desvio padrão é capaz de identificar o “erro” em um conjunto de dados, caso quiséssemos substituir um dos valores coletados pela média aritmética.
· O desvio padrão aparece junto à média aritmética, informando o quão “confiável” é esse valor. Ele é apresentado da seguinte forma:
média aritmética (x) ± desvio padrão (dp)
· O cálculo do desvio padrão é feito a partir da raiz quadrada positiva da variância. Portanto:
dp = √var
Vamos agora aplicar o calculo da variância e do desvio padrão em um exemplo:
Em uma escola, a direção decidiu observar a quantidade de alunos que apresentam todas as notas acima da média em todas as disciplinas. Para analisar melhor, a diretora Ana resolveu montar uma tabela com a quantidade de notas “azuis” em uma amostra de quatro turmas ao longo de um ano. Observe a seguir a tabela organizada pela diretora:
Antes de calcular a variância, é necessário verificar a média aritmética (x) da quantidade de alunos acima da média em cada turma:
6° ano → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
                  4               4
7° ano → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
                  4               4
8° ano → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
                    4              4
9° ano → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
                  4               4
Para calcular a variância da quantidade de alunos acima da média em cada turma, utilizamos uma amostra, por isso empregamos a fórmula da variância amostral:
Var. amostral = (x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)²
                       n – 1
6° ano → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
                          4 – 1
Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
           3
Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
         3
Var = 13,00
         3
Var = 4,33
7° ano → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
                    4 – 1
Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
          3
Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
         3
Var = 24,00
         3
Var = 8,00
8° ano → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
                    4 – 1
Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
        3
Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
         3
Var = 20,74
         3
Var = 6,91
9° ano → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
                      4 – 1
Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
         3
Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
           3
Var = 41,00
         3
Var = 13,66
Conhecida a variância de cada turma, vamos calcular agora o desvio padrão:
	6° ano
dp = √var
dp = √4,33
​dp ≈ 2,08
	7° ano
dp = √var
dp = √8,00
​dp ≈ 2,83
	8° ano
dp = √var
dp = √6,91
​dp ≈ 2,63
	9° ano
dp = √var
dp = √13,66
​dp ≈ 3,70
Para concluir sua análise, a diretora pode apresentar os seguintes valores que indicam a quantidade média de alunos acima da média por turma pesquisada:
6° ano: 7,50 ± 2,08 alunos acima da média por bimestre;
7° ano: 8,00 ± 2,83 alunos acima da média por bimestre;
8° ano: 8,75 ± 2,63 alunos acima da média por bimestre;
9° ano: 8,50 ± 3,70 alunos acima da média por bimestre;
https://www.youtube.com/watch?v=UdDRtaEdoQk
Variância
A variância é a soma dos quadrados dividida pelo número de observações do conjunto menos uma. A variância é representada por s2, sendo calculada pela fórmula:
∑ (xi – Média)2 / (n – 1)
Ou seja,
s2 = SQ / (n-1)
O denominador “n – 1” da variância é determinado graus de liberdade. O principio dos graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística. Considerando um conjunto de “n” observações (dados) e fixando uma média para esse grupo, existe a liberdade de escolher os valores numéricos de n-1 observações, o valor da última observação estará fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da média igual a zero. No caso especifico do cálculo da variância, diz-se que os “n” graus de liberdade originalmente disponíveis no conjunto sofreram a redução de uma unidade porque uma estatística, a média já foi calculada dos dados do grupo e aplicada na determinação da variância.
Desvio Padrão
O desvio padrão é uma das mais utilizadas medidas de variação de um grupo de dados. A vantagem que apresenta sobre a variância é de permitir uma interpretação direta da variação do conjunto de dados, pois o desvio padrão é expresso na mesma unidade que a variável (Kg, cm, atm...). É representado por “s” e calculado por:
s = √∑ ( xi – Média)2/ (n – 1)
Podemos entender o desvio padrão como uma média dos valores absolutos dos desvios, ou seja, dos desvios considerados todos com sinal positivo, média essa obtida, porém, por um processo bastante elaborado: calculamos o quadrado de cada desvio, obtemos a média desses quadrados e, depois obtemos a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios.