PPT EQ 4 - Gráficos de Controle

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Professor 
Cledinaldo Castro Araújo
CEP – Controle Estatístico da Qualidade
Controle Estatístico da Qualidade
ENGENHARIA DA QUALIDADE – Professor Cledinaldo Castro Araújo
O Controle Estatístico do Processo – CEP.
Possibilitar que o controle do processo seja feito durante a operação, em tempo real;
Monitorar as características críticas de qualidade, assegurando que elas irão se manter dentro de limites pré-estabelecidos;
Indicar quando devem ser tomadas ações de correção, servindo de base para a melhoria contínua;
Aumentar o comprometimento de todos com a qualidade do que está sendo produzido
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Gráficos de Controle.
Causas Comuns, internas ou aleatórias:. 
Pequenas diferenças entre composição química das matérias primas 
Variações no tempo de processo (ritmo) 
Temperatura.
 
Causas Especiais, externas ou assinaláveis: 
Erros de setup (montagem); 
Problemas no equipamento ou nas ferramentas (desgastes); 
Falhas operacionais. 
Estas condições tornam o processo FORA DE CONTROLE e por isso, devem ser identificadas e neutralizadas.
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Estrutura dos Gráficos de Controle
Elementos básicos:
 
Média (ou linha central);
Limite Superior de Controle (LSC): Média + 3σ
Limite Inferior de Controle (LIC): Média - 3σ
As variáveis acima são obtidas a partir de conjunto de observações coletadas durante uso do processo
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Estrutura dos Gráficos de Controle
Pontos Fora dos Limites de Controle Indicam presença de Causas Especiais
Exemplo:
Gráfico de Controle Montado no Excel
Fora de Controle
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Estrutura dos Gráficos de Controle
Interpretação dos gráficos e Controle
O critério básico:
Existência de um ou mais pontos fora dos limites de controle. 
Critérios suplementares: 
A norma ISO 8258 – Shewhart Control Charts estabelece os seguintes critérios de decisão em cartas de controle 
1 ou mais pontos acima do LSC ou abaixo do LIC; 
9 pontos consecutivos na zona C ou no mesmo lado do LM; 
6 pontos consecutivos, todos aumentando ou todos diminuindo; 
14 pontos consecutivos alternando para cima e para baixo; 
2 de 3 pontos consecutivos na zona A ou além dela; 
4 de 5 pontos consecutivos na zona B ou além dela; 
15 pontos consecutivos na zona C (tanto acima quanto abaixo do LM); 
8 pontos consecutivos na zona 
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Estrutura dos Gráficos de Controle
Controle Estatístico da Qualidade
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Estrutura dos Gráficos de Controle
Controle Estatístico da Qualidade
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Estrutura dos Gráficos de Controle
Limites de Controle Versos Limites de Especificação
Limites de especificação: são definidos pelas necessidades de qualidade do produto. São definidos pela engenharia do produto, padrões de mercado, legislação, entre outros.
Limites de Controle (ou limites naturais de tolerância): são guiados pela variabilidade natural do processo (medido pelo desvio padrão).
“Os limites de especificação avaliam a qualidade do produto, enquanto os limites de controle avaliam a qualidade do processo”.
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Estrutura dos Gráficos de Controle
Gráfico de Controle para Variáveis
Os tipos mais comuns são:
 
Gráfico para Média - 
Gráfico para Amplitude - R
Gráfico do Desvio padrão – S
Gráfico para Medidas Individuais – I
Gráfico para Média Móvel – MV;
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Estrutura dos Gráficos de Controle
Gráfico de Controle para Atributos
Os tipos mais comuns são:
Gráfico para o número de defeituosos na amostra - np
Gráfico para a proporção de defeituosos na amostra - p
Gráfico para o número de defeitos na amostra - C
Gráfico para o número de defeitos por unidade de inspeção – u
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Gráficos de Controle por Variáveis
Gráfico - Média
Os gráficos de Controle para Média apresentam dois casos:
1) μ e σ conhecidos:
Neste caso a média do processo e o desvio são conhecidos. Aplicamos a amplitude de três desvios padrões para mais ou para menos (-3σ a +3σ) na distribuição amostral da média para amostras de tamanho n e obtêm-se os seguintes limites:
Limites de Controle:
 
Onde: 
: média do processo;
: Desvio Padrão do processo
A: Constante tabelada (ANEXO – Quadro 3)
Onde:
 
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Gráfico - Média
Fundamentação:
Estes limites são definidos a partir do Teorema do Limite Central (TLC):
Assim:
Fazendo: , temos:
A: Constante tabela com n (Ver anexo)
Gráficos de Controle por Variáveis
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Gráfico - Média
Exemplo:
Uma fábrica possui uma máquina extrusora no processo de fabricação de garrafas pet. Uma das especificações de qualidade acordadas com o cliente é a espessura da garrafa. A máquina extrusora fabrica garrafas com espessura média de 0,18 mm, com desvio padrão de 0,02 mm. Determine os limites de controle para monitoramento da espessura média para amostras de tamanho 4.
Resolução:
Temos que: , assim:
Observação: Neste caso é mais rápido utilizar os valores sobre a fórmula básica do que buscar o valor na tabela. Veja:
Para n=4, A=1,500 (ANEXO- Quadro 3)
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Gráfico - Média
ANEXO – Quadro 3
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Gráfico - Média
2) μ e σ desconhecidos
Shewhart sugere a coleta de K subgrupos (20 a 25) de tamanho n (4, 5, ou 6 cada), objetivando a construção de subgrupos racionais com baixo custo de amostragem.
A variabilidade por ser estimada de duas formas: uma para n pequeno (n <6) e outra para n grande (n≥6), assim:
2.1) Amostras pequenas (n <6): Estimativa do Desvio padrão pela Amplitude ou Range – R
Limites de Controle:
Onde: 	
: Média das médias das K amostras
: Amplitude média das K amostras
: Constante tabelada em função de n (ANEXO – Quadro 3)
: Constante tabelada
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Gráfico - Média
Roteiro:
Estimativa da Média
Define-se o tamanho de cada amostra n e o número de amostras k;
Determinam-se as medidas individuais do característico da peça Xj (j = 1,2,3, ..., n).
Para cada amostra i (i = 1,2,3, ..., k) calcula-se a média , Assim:
(Estes são os pontos do gráfico)
4. Calcula-se , ou seja, a média das médias:
 
5. A linha média do gráfico será dada por:
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Gráfico - Média
Estimativa do Desvio Padrão
O desvio padrão para amostras pequenas pode ser estimado pela amplitude amostral, segue roteiro:
 
1. Para cada uma amostra das K amostras calcula-se a amplitude i;
(Diferença entre o maior e menor valor de cada amostra)
 2. Calcula-se a média das amplitudes
3. Estimativa do desvio padrão
Onde:
 : Constante tabelada em função de n (ANEXO – Quadro 3)
 
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico - Média
Importante:
Caso as amostras sejam de tamanhos diferentes, a estimativa da linha média é dada por:
 
 
Será necessário obter o tamanho de amostra médio para fins de utilização da tabela de constantes, assim:
 
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Gráfico - Média
Exemplo:
Na usinagem de peças uma característica importante é o comprimento das mesmas. A tabela abaixo apresenta as medições na produção de 20 amostras com 3 peças. Analise a estabilidade do processo.
As estimativas da média e dispersão;
Os limites de controle para a carta de Controle Média – Amplitude
A partir dos gráficos montados analise a adequação dos limites (limites tentativos)
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico - Média
Resolução:
a) Estimativas da Média e Desvio Padrão:
Calculando as médias e amplitudes das amostras, temos:
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Gráfico - Média
Estimativas da Média:
Estimativa do desvio Padrão:
Para n = 3, temos que d2 = 1,693, assim:
b) Os limites de controle para a carta de Controle Média – Amplitude
Limites de Controle para Média
Observação: Para n=3, 
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Gráfico - Média
Gráfico Média - R
Média	10.63	10.41	10.52	10.58	10.6	10.51	10.199999999999999	10.3	10.65	10.47	10.5	10.83	10.3	10.61	10.48	10.34	10.61	10.55	10.61	10.51	LIC	10.14	10.14	10.14	10.14	10.14	10.14	10.	14	10.14	10.14	10.14	10.14	10.14	10.14	10.14	10.14	10.14	10.14	10.14	10.14	10.14	LSC	10.88	10.88	10.88	10.88	10.88	10.	88	10.88	10.88	10.88	10.88	10.88	10.88	10.88	10.88	10.88	10.88	10.88	10.88	10.88	10.88	LM	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	10.51	
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico - Média
2.1) Amostras grandes (n ≥ 6): Estimativa do Desvio Padrão pela média dos desvios padrões amostras – 
Limites de Controle:
 
Onde: 
: Média das médias das K amostras
: Média do desvio padrão das K amostras
: Constante tabelada (ANEXO – Quadro 3)
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico - Média
Roteiro:
A estimativa da linha média é análoga ao caso anterior, resultando em:
 
Estimativa da Média
 
Ou
Com:
 
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico - Média
Estimativa do Desvio Padrão
 
Roteiro:
1. Para cada uma amostra das K amostras calcula-se o desvio padrão i;
 
2. Calcula-se a média dos desvios padrões
3. Estimativa do desvio padrão
4. Determinação dos limites de controle
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico - Média
Importante:
Caso as amostras sejam de tamanhos diferentes, a estimativa do desvio padrão médio é dado por:
 
 
Também é necessário obter o tamanho de amostra médio para fins de utilização da tabela de constantes, assim:	
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráficos R – Amplitude ou Range (n < 6)
A determinação do gráfico de controle para amplitude também considera os casos em o desvio padrão populacional (σ) é conhecido ou desconhecido. Assim:
1. σ conhecido
 
Considere uma população com distribuição normal e desvio conhecido σ, o gráfico de controle para amplitude ou range amostral apresenta os seguintes limites:
 
Limites de Controle:
 
 
Onde: 
: Desvio padrão populacional ou do processo;
: Constantes tabeladas em função de n (ANEXO – Quadro 3)
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Gráficos R – Amplitude ou Range
Exemplo:
Retomando o exercício da máquina extrusora do processo de fabricação de garrafas pet. A máquina extrusora fabrica garrafas com espessura média de 0,18 mm, com desvio padrão de 0,02 mm. Determine os limites de controle para monitoramento das amplitudes amostrais para amostras de tamanho 4.
Resolução: 
Limites de Controle:
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Gráficos R – Amplitude ou Range
2) σ Desconhecido
O processo de estimativa do desvio padrão é o mesmo para elaboração do gráfico para média com amostra pequena. Assim:
Limites de Controle:
Onde: 
: Média das amplitudes amostrais;
: Constantes tabeladas em função de n (ANEXO – Quadro 3)
Observação: 
Caso ocorra LIC < 0, adote LIC=0, já que a amplitude de um conjunto de dados não pode ser negativa
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Gráficos R – Amplitude ou Range
Exemplo:
Retomando o exemplo da usinagem de peças uma característica importante é o comprimento das mesmas. A tabela abaixo apresenta as medições na produção de 20 amostras com 3 peças. Analise a estabilidade do processo. Determine os limites de controle para amplitude.
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Gráficos R – Amplitude ou Range
Estimativa do desvio Padrão:
Para n = 3, temos que d2 = 1,693, assim:
Limites de Controle para Amplitude
 
Observação: Para n=3, 
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Gráficos R – Amplitude ou Range
Gráfico R
R	0.41	0.52	0.19	0.71	0.15	0.11	0.57999999999999996	0.21	0.3	0.87	0.36	0.35	0.41	0.15	0.13	0.77	0.34	0.11	0.5	0.13	LIC	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	LSC	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	0.94	LM	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	0.37	
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico S - Desvio Padrão (n ≥6)
A determinação do gráfico de controle para amplitude também considera os casos em o desvio padrão populacional (σ) é conhecido ou desconhecido. Assim:
 
1) σ conhecido
 
Considere uma população seguindo distribuição normal e desvio padrão σ conhecido. A distribuição dos desvios-padrões das amostras com tamanho n extraídas da população tem distribuição Qui-Quadrado ().
 
Limites de Controle:
Onde: 
: Desvio padrão populacional ou do processo;
: Constantes tabeladas em função de n (ANEXO – Quadro 3)
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Gráfico S - Desvio Padrão (n ≥ 6)
2) σ Desconhecido
 
Neste caso o desvio padrão é estimado através de um conjunto de K amostras de tamanho n ou tamanhos variados. O processo é análogo ao caso do gráfico da média para desvio padrão desconhecido e n >= 6.
 
Limites de Controle:
Onde: 
: média dos desvios padrões das amostras;
: Constantes tabeladas em função de n (ANEXO – Quadro 3)
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico S - Desvio Padrão (n ≥ 6)
Exemplo:
O diâmetro de pinos usados em motores de avião, é uma característica importante da qualidade deste equipamento. Para análise do processo foram tomadas amostras de n=7 itens em intervalos regulares. O diâmetro é normalmente distribuído. Os valores de e S são calculados para cada amostra (em mm). Depois de 50 subgrupos serem analisados, obtém-se:
 
Sobre os dados, respondas as questões a seguir:
Estabeleça os limites de controle para os gráficos ;
Estime a variabilidade do processo pelo desvio padrão
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Gráfico S - Desvio Padrão (n ≥ 6)
Resolução: 
Gráfico de controle da média com desvio padrão:
Limites de controle para média: 
Obs: A3 = 1,182 para n=7
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico S - Desvio Padrão (n ≥ 6)
Gráfico de controle para o desvio padrão.
Limites de controle: 
Observação: B3 = 1,18 e B4 = 1,882 para n=7
Estime a variabilidade do processo pelo desvio padrão ();
Desvio padrão médio:
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Gráfico I - Medidas Individuais
Existem situações onde o tamanho da amostra para monitoramento do processo é n=1.
Por exemplo: 
Utilização de inspeção e medição automática de modo que toda unidade fabricada é inspecionada;
Taxa de produção muito lenta torna inconveniente acumular tamanhos de amostras n > 1;
Medidas sobre algum parâmetro diferem muito pouco e produzem um desvio padrão muito pequeno. 
Inspeção automática e tecnologia de medidas são usadas de modo que cada unidade fabricada é analisada, não havendo razão para a formação de subgrupos racionais.
Entre outros;
Em tais situações o gráfico de controle para unidades individuais é útil.
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico I - Medidas Individuais
Limites de Controle:
Onde: 
: média das medidas avaliadas;
: Constantes tabeladas em função de n (ANEXO – Quadro 3)
Roteiro:
As estimativas da média e desvio padrão são tomadas a partir de k amostras de tamanho n=1, assim:
1) Estimativa da Média
A estimativa da média é realizada calculando-se a média das k medidas da variável em análise, assim:
Logo: 
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico I - Medidas Individuais
2) Estimativa do Desvio Padrão pela Amplitude Móvel
 
Como há apenas uma medida analisada em cada amostragem, não é possível analisar a variabilidade dentro ada amostra, desta foram calcula-se a variabilidade entre as medidas, no caso entre uma medida e sua imediatamente anterior. Esta variabilidade é estimada através da amplitude móvel, definida por:
 
Onde:
: medida da amostra i
: medida da amostra anterior a i (no caso a “i -1”)
 
 
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico I - Medidas Individuais
Resumo do procedimento:
Observação: Não existe a mediada AM1 uma vez que para a primeira medição não há a medida anterior
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico AM – Amplitude Móvel
O gráfico de controle para amplitude móvel monitora a variabilidade das amplitudes entre as amostras. 
Limites de Controle:
Onde: 
: Média das amplitudes móveis amostrais;
: Constantes tabeladas para n=2 (ANEXO – Quadro 3)
Observação: : tabelados com n=2 (diferença entre dois valores, uma medida e sua antecessora)
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico AM – Amplitude Móvel
Exemplo:
Os dados abaixo correspondem a viscosidade de um óleo lubrificante para máquinas industriais. Determine:
Os limites de controle para a carta de controle I – AM (Medida individual e Amplitude Móvel).
Plotar os gráficos de controle.
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico AM – Amplitude Móvel
Resolução:
Cálculo das amplitudes:
 
Observação: Na tabela buscar o valor de d2 para n = 2. Este valor é 1,128. Inserir em: 
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico AM – Amplitude Móvel
Gráfico: Medidas individuais: 
 
; 
 
 ssu
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Gráfico AM – Amplitude Móvel
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico AM – Amplitude Móvel
Gráfico: Amplitude Móvel:
; 
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico np - Número de defeituosos na amostra
Gráficos de Controle por Atributos
O gráfico np pode ser aplicado também na área de serviços, ou seja, em um ambiente não fabril, afim de monitorar a qualidade do serviço, por exemplo: Controlar a qualidade do serviço oferecido por um restaurante, ou por um caixa eletrônico, ou então por uma empresa aérea.
1) P0 conhecido
Limites de Controle:
Onde: 
n: tamanho da amostra
: proporção de defeituosas no processo (nível de qualidade);
Observação: Se LIC<0 adote LIC= 0, já que o número de defeituosos na amostra não pode ser negativo
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico np - Número de defeituosos na amostra
2. P0 desconhecido
 
Quando p0 é desconhecido é necessário que seja estimado a partir de um conjunto de K amostras de tamanho n.
 
Limites de Controle:
 
 
Onde: 
n: tamanho da amostra
: proporção média de defeituosas nas amostras;
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico np - Número de defeituosos na amostra
Roteiro:
 
1. Calcula-se a fração defeituosa em cada amostra:
Observação: número de defeituosas na amostra.
2. Calcula-se a fração defeituosa média das K amostras:
 
3. Determine a estimativa da média
 
4. Monte os limites de controle.
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico np - Número de defeituosos na amostra
Quadro resumo do procedimento:
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico np - Número de defeituosos na amostra
Exemplo:
Os dados abaixo correspondem a uma inspeção realizada em imãs utilizados na fabricação de relés. As amostras são de tamanho n=100 retiradas sem reposição. Monte o gráfico np: número de defeituosos na amostra.
Dados:
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico np - Número de defeituosos na amostra
Resolução:
Cálculo dos percentuais de defeituosos e média dos percentuais:
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico np - Número de defeituosos na amostra
Estimativa de :
 
 
Limites de Controle:
 
 
Gráfico np:
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico np - Número de defeituosos na amostra
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico p - Proporção de defeituosos na amostra
Monitora a proporção de itens defeituosos (não-conformes) em amostra de tamanho constante ou variáveis. A possibilidade de ser aplicado em amostra de tamanhos diferentes é a diferença mais importante do Gráfico p para o Gráfico np. 
Análogo ao gráfico np, o gráfico de controle p apresenta dois casos: 
1) P0 conhecido
Limites de Controle:
Onde: 
n: tamanho da amostra
: proporção de defeituosas no processo (nível de qualidade);
2) P0 desconhecido
Limites de Controle:
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico p - Proporção de defeituosos na amostra
Roteiro:
O roteiro é o mesmo para o gráfico np, uma vez que nos dois gráficos o roteiro trata da estimativa da proporção ou fração de defeituosas.
Importante:
Caso o tamanho das amostram sejam diferentes, a proporção média de defeituosas nas amostras é dada por:
É necessário calcular o tamanho médio das amostras
 
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico p - Proporção de defeituosos na amostra
Exemplo:
Retomando o exemplo anterior (Imãs dos relés), monte o gráfico agora o gráfico p.
Resolução:
 
Limite de controle:
 
Gráfico de Controle P:
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico p - Proporção de defeituosos na amostra
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico p - Proporção de defeituosos na amostra
Exemplo:
Os dados abaixo correspondem ao número de peças defeituosas em uma linha de produção. Determine os limites do Gráfico p e plote o gráfico.
Dados do problema
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico p - Proporção de defeituosos na amostra
Resolução:
Cálculo dos valores de :
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico p - Proporção de defeituosos na amostra
Limites de Controle do Gráfico p:
 
Como os tamanhos das amostras são diferentes, temos que:
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico p - Proporção de defeituosos na amostra
Assim:
 
 
Gráfico p:
 
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico p - Proporção de defeituosos na amostra
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico C – Número de Defeitos na Amostra
Os gráficos np e p são utilizados para monitorar o número e peças defeituosas e percentual de peças defeituosas em uma amostra. Em muitas situações o foco do monitoramento não é uma peça defeituosa e sim defeitos em uma peça ou amostra de peças, ou seja, o Gráfico C monitora de defeitos em uma amostra. Exemplo:
 
Em uma linha de montagem de geladeiras, pode acontecer de o controle de qualidade deixar escapar um pequeno defeito, digamos uma geladeira embalada sem a trava da gaveta de verduras. Nesse caso, a geladeira não é categoricamente considerada defeituosa; apenas apresenta uma não-conformidade.
Em produtos como geladeiras ou automóveis, constituídos de uma série de componentes, é normal que alguns deles venham com um ou outro componente danificado ou mesmo faltando.
Outro tipo de processo cujo monitoramento é feito pelo número de não-conformidades são os processos contínuos tais como: produção de tecidos, chapas de metal, rolos de arame. Folhas de papel, cabos elétricos, tubos plásticos
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico C – Número de Defeitos na Amostra
A variável aleatória C, número de não-conformidades em qualquer quantidade definida do produto, tem distribuição de Poisson: 
Análogo a outros gráficos, o controle C apresenta dois casos: 
 
1) C0 conhecido
 
Limites de Controle:
 
 
Onde: 
: Taxa de defeitos (não-conformidades);
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico C – Número de Defeitos na Amostra
2) C0 Desconhecido
 
Limites de Controle:
Roteiro:
 
1. Registra-se o número Ci de defeitos por unidade produzida;
 
2. Calcula-se o número médio de defeitos nas K amostras:
 
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico C – Número de Defeitos na Amostra
Exemplo:
Os dados abaixo referem ao número de defeitos de acabamento em 10 peças analisadas. Monte o Gráfico C.
Resolução:
Estimativa da média:
Limites de Controle:
 
 
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico C – Número de Defeitos na Amostra
Gráfico C:
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico U – Número de Defeitos por Unidade de Inspeção
O controle estatístico de alguns processos é feito através do monitoramento do número de não conformidades em amostras de tamanhos variáveis.
Exemplo: 
Controle do número de não-conformidades em rolos de tecidos, com cada amostra sendo igual a um rolo. Considerando-se que haja variações no número de metros de um rolo para outro, o gráfico C não é adequado, uma vez que as amostras são de tamanhos diferentes. Neste caso, é necessário definir uma medida que relacione os defeitos com o tamanho das amostras, esta medida é definida por:
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico U – Número de Defeitos por Unidade de Inspeção
Exemplo: Uma amostra de 10 metros de tecido apresenta 5 defeitos, Então:
 
 
De outra forma (regra de três simples):
Logo: 
 
De acordo com este exemplo, temos uma medida que relaciona o número de defeitos (não- conformidades) por uma quantidade definida do produto (unidade de inspeção), que neste exemplo é de um m.
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Gráfico U – Número de Defeitos por Unidade de Inspeção
Limites de Controle
 
 
Onde:
: Média de defeitos (não-conformidades) por unidade de inspeção;
: Número de unidades de inspeção em cada amostra i.
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico U – Número de Defeitos por Unidade de Inspeção
Para cada amostra i, temos:
Estimativa da média:
A média dos defeitos por unidade de inspeção é definida da seguinte forma:
Temos que:
Onde:
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Gráfico U – Número de Defeitos por Unidade de Inspeção
Roteiro:
 
Registra-se o tamanho de cada amostra e o número de defeitos por amostra;
Estabelece-se a unidade de inspeção e calcula-se o número de cada amostra;
Calcula-se o número médio de defeitos por unidade de inspeção em cada amostra;
Divide-se o número total de defeitos pelo número total de unidades para obter a média de defeitos por unidade ()
Calcula-se os limites de controle
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Gráfico U – Número de Defeitos por Unidade de Inspeção
Exemplo:
Em uma fábrica de acabamento de tecido, o pano tingido é inspecionado procurando-se a ocorrência de defeitos por 50 m2. Considerando que a unidade de inspeção é 50 m2, complete o quadro abaixo e monte os limites de controle do gráfico U.
Dados do problema:
Resolução:
Estimativa da Média:
 
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico U – Número de Defeitos por Unidade de Inspeção
Limites de Controle:
Controle Estatístico da Qualidade
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Gráfico U – Número de Defeitos por Unidade de Inspeção
Gráfico U:
Controle Estatístico da Qualidade
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Curva Característica de Operação - CCO
Analogamente aos casos da inspeção, também pose de medir a habilidade do gráfico em detectar mudanças na qualidade do processo através das curvas característica de operação (CCO). Define-se então:
 
Erro Tipo I (α): Sinalização de causa especial sem que de fato tenha ocorrido (Alarme Falso)
Erro Tipo II (β): Não sinalização de causa especial quando de fato ocorreu
 
Temos assim:
Considere o gráfico com σ conhecido e constante. Suponha que a médiadesloca-se para outro valor ;
A probabilidade (ou risco) de NÃO se detectar esse deslocamento na 1ª amostra subsequente é:
 
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Curva Característica de Operação - CCO
De acordo com o TLC, temos:
Onde: L é o fator de largura do gráfico de controle, nos modelos americanos este fator é L=3 (três desvios padrões).
 
Partindo de:
Temos que:
Controle Estatístico da Qualidade
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Curva Característica de Operação - CCO
 
Finalmente:
Onde: 
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Curva Característica de Operação - CCO
Exemplo:
Suponha que estamos usando um gráfico com L=3 (limites usuais), tamanho de amostra n=5. Determine a probabilidade de detectar um deslocamento para µ1= µ0+ 2σ na primeira amostra.
Resolução:
Temos que: L=3, n=5 e k=2
Aplicando em:
 
Essa é a probabilidade (ou risco) de NÃO detectar tal deslocamento. Consequentemente, a probabilidade desse deslocamento ser detectado na primeira amostra é dada por:
Observações:
No Excel: “=DIST.NORMP.N(z; acumulativo)”
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Curva Característicade Operação - CCO
Exemplo:
A CCO indicada abaixo apresenta o comportamento do poder de detecção do gráfico com L=3 (limites usuais), para os tamanho de amostra n1=2,n2=5,n3=8,n4=15 e n5=20. 
Deslocamento na média de µ0 para µ1= µ0+ kσ na primeira amostra.
Resolução:
O gráfico CCO abaixo foi montado no Excel utilizando a função “=DIST.NORMP.N(z; acumulativo)” para determinação dos valores de β.
 
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Curva Característica de Operação - CCO
CCO para Gráfico de Controle da Média
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Função Característica
Devido a suposição de independência, a probabilidade de que o deslocamento seja detectado na r-ésima amostra (subgrupo) é simplesmente (1-β) vezes a probabilidade de não detectá-lo em cada uma das r-1 amostras iniciais é dada por uma distribuição geométrica, vejamos:
 
O Comprimento Médio da Sequência (CMS) é dado por 1/p, onde p: probabilidade que um ponto exceda os limites de controle. Este valor corresponde à esperança da distribuição geométrica relacionada. Logo, temos que:
 
Caso o processo esteja sob controle:
Observação: Já que o processo está sob controle, este valor corresponde ao número de amostras até a ocorrência do primeiro Alarme Falso
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Função Característica
Caso o processo esteja fora de controle:
Exemplo:
Um critério para seleção do fator de largura dos gráficos de controle é o nº médio de alarmes falsos. Qual o nº médio de alarmes falsos se fosse tomado o critério de 2 desvios para mais ou para menos?
Resolução:
O número médio de alarmes falsos até a ocorrência dom primeiro alarme falso é dado por:
Sendo 
Logo:
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Função Característica
Observação:
O CMS é um dispositivo para determinação da largura dos limites e controle, usualmente adotamos o mesmo critério adotado pelos EUA, cuja prática padrão é determinar os limites de controle como um múltiplo do desvio-padrão, em geral L = 3. Daí limites 3 sigmas serem normalmente empregados em gráficos de controle. No Reino Unido e em partes da Europa Ocidental, os limites de probabilidade são mais usados, geralmente considerando α = 0,001 (probabilidade da zona fora de controle).
Exemplo:
Suponha que em um processo produtivo o diâmetro de um tipo de eixo seja normalmente distribuído com média 12mm e variância 0,25 mm2.Determine os limites de probabilidade para amostras de tamanho n= 4.
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Função Característica
Resolução:
Temos que:
Padronizando (distribuição amostral da média):
 
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Capacidade do Processo
A capacidade do processo em atender as especificações não dar para ser avaliada pelos gráficos de controle. Para tanto é necessário lançar mão dos índices de Capacidade do Processo. Neste trabalho analisaremos dois destes índices, o Cp e o CPK.
 
O Índice Cp
 
Os gráficos de controle fornecem informação sobre o desempenho do processo. Uma forma de expressar a capacidade do processo é em termos da razão (ou índice) da Capacidade do Processo - CP, definida para uma característica da qualidade com limites superior e inferior de especificação LSE e LIE como:
Controle Estatístico da Qualidade
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Capacidade do Processo
Onde:
LIE: Limite de Especificação Inferior
LSE: Limite de Especificação Superior
: estimativa da variabilidade do processo pelo desvio padrão. Uma estimativa comum do padrão é dada por:
Importante:
O Cp é adequando para processos centralizados, ou seja, em que a média do processo coincide com o centro das especificações sob a suposição de normalidade
 Juran e Gryna (1980) recomendam a utilização do índice Razão de Capacidade - RC que é definida como o recíproco do índice Cp e Corresponde à percentagem da faixa de especificação usada pelo sistema. Seu valor é dado por:
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Capacidade do Processo
Avaliação da Capacidade do Processo:
 
Um critério para classificar o processo a partir da medida do CP é definir pontos de cortes para o valor deste índice. Uma classificação comum é: Capaz, Aceitável e Incapaz. Quadro abaixo mostra os pontos de cortes para o CP com suas respectivas classificações.
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Capacidade do Processo
Controle Estatístico da Qualidade
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Capacidade do Processo
O Índice Cpk
Uma limitação da aplicação do CP é que o processo seja centrado no valor nominal das especificações, ou seja, no centro das especificações. Com o objetivo de contornar essa limitação, foi proposto em 1986 a aplicação do índice CPk. O objetivo deste índice era medir a distância entre o limite de especificação mais próxima do valor esperado a partir da característica de qualidade estudada, de modo a relacionar a metade desta distância da amplitude do processo natural, 3σ. Esta proposta torna-se mais ampla que o CP, uma vez que abrange processo não centralizado e processos cuja a especificação é unilateral (esquerda ou direita). Este índice é dado por:
Onde:
LIE: Limite de Especificação Inferior;
LSE: Limite de Especificação Superior;
: estimativa da variabilidade do processo pelo desvio padrão.
: estimativa da média do processo.
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Capacidade do Processo
Exemplo:
Na usinagem de peças uma característica importante é o comprimento das mesmas. A tabela abaixo apresenta as medições (mm) na produção de 10 amostras com 3 peças. Analise a estabilidade do processo a partir dos índices adequados nos seguintes casos:
a) As especificações são dadas por 10,50± 0,85;
b) As especificações são dadas pela faixa de tolerância (9,85; 11,5).
Dados problema
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Capacidade do Processo
Resolução:
Estimativas da média e desvio padrão
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Capacidade do Processo
De acordo com os dados do quadro, temos:
a) Cálculo do CP
Como as especificações são dadas por 10,50± 0,85 (centralizadas), temos que: LIE = 9,65mm e LSE = 11,35 mm (processo centralizado).
 
 
Observação: a razão de capacidade é dada por:
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Capacidade do Processo
b) Cálculo do CPk
Como as especificações são dadas pela faixa de tolerância (9,85; 11,5), temos que: LIE = 9,85mm e LSE = 11,50 mm (processo não centralizado).
1234567891011121314151617181920
X
1
10,6910,2010,4210,9810,6110,5710,4410,2010,4610,1110,2910,8310,3510,6910,4410,6310,5410,5010,2910,57
X
2
10,8010,3010,6110,2710,5210,4610,2910,2910,7610,3310,5711,0010,0710,5410,449,8610,8210,6110,7910,44
X
3
10,3910,7210,5410,5010,6710,509,8610,4110,7410,9810,6510,6510,4810,6110,5710,5410,4810,5410,7410,52
Medições
Amostras
Amostra 
Medições 
Amostra 
Medições 
X
1
 X
2
 X
3
 Média R X
1
 X
2
 X
3
 Média R 
1 10,69 10,8 10,39 10,63 0,41 11 10,29 10,57 10,65 10,50 0,36 
2 10,2 10,3 10,72 10,41 0,52 12 10,83 11,00 10,65 10,83 0,35 
3 10,42 10,61 10,54 10,52 0,19 13 10,35 10,07 10,48 10,30 0,41 
4 10,98 10,27 10,5 10,58 0,71 14 10,69 10,54 10,61 10,61 0,15 
5 10,61 10,52 10,67 10,6 0,15 15 10,44 10,44 10,57 10,48 0,13 
6 10,57 10,46 10,50 10,51 0,11 16 10,63 9,86 10,54 10,34 0,77 
7 10,44 10,29 9,86 10,2 0,58 17 10,54 10,82 10,48 10,61 0,34 
8 10,2 10,29 10,41 10,3 0,21 18 10,5 10,61 10,5410,55 0,11 
9 10,46 10,76 10,74 10,65 0,30 19 10,29 10,79 10,74 10,61 0,50 
10 10,11 10,33 10,98 10,47 0,87 20 10,57 10,44 10,52 10,51 0,13 
 
Amostra 
Medições 
Amostra 
Medições 
X
1
 X
2
 X
3
 Média R X
1
 X
2
 X
3
 Média R 
1 10,69 10,8 10,39 10,63 0,41 11 10,29 10,57 10,65 10,50 0,36 
2 10,2 10,3 10,72 10,41 0,52 12 10,83 11,00 10,65 10,83 0,35 
3 10,42 10,61 10,54 10,52 0,19 13 10,35 10,07 10,48 10,30 0,41 
4 10,98 10,27 10,5 10,58 0,71 14 10,69 10,54 10,61 10,61 0,15 
5 10,61 10,52 10,67 10,6 0,15 15 10,44 10,44 10,57 10,48 0,13 
6 10,57 10,46 10,50 10,51 0,11 16 10,63 9,86 10,54 10,34 0,77 
7 10,44 10,29 9,86 10,2 0,58 17 10,54 10,82 10,48 10,61 0,34 
8 10,2 10,29 10,41 10,3 0,21 18 10,5 10,61 10,54 10,55 0,11 
9 10,46 10,76 10,74 10,65 0,30 19 10,29 10,79 10,74 10,61 0,50 
10 10,11 10,33 10,98 10,47 0,87 20 10,57 10,44 10,52 10,51 0,13 
 
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Medida (SSU) 12 10 12 11 12 9 10 11 9 8 
 
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Medida (SSU) 12 10 12 11 12 9 10 11 9 8 
AM - 2 2 1 1 3 1 1 2 1 
 
Amostra 
Número de 
defeituosas (X
i
) 
Tamanho da 
amostra 
𝑝
𝑖
 
1 
𝑥
1
 𝑛 
𝑝
1
=𝑥
1
𝑛
Τ
 
2 
𝑥
2
 𝑛 
𝑝
2
=𝑥
2
𝑛
Τ
 
3 
𝑥
3
 𝑛 
𝑝
3
=𝑥
3
𝑛
Τ
 
4 
𝑥
4
 𝑛 
𝑝
4
=𝑥
4
𝑛
Τ
 
5 
𝑥
5
 𝑛 
𝑝
5
=𝑥
5
𝑛
Τ
 
...
 
...
 
...
 
...
 
K 
𝑥
𝑘
 𝑛 
𝑝
𝑘
=𝑥
𝑘
𝑛
Τ
 
Média 
- - 
𝑝=
σ
𝑝
𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑘
 
 
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Número de 
Defeituosas (X
i
) 
5 2 7 3 6 3 5 6 4 6