Exercícios Resolvidos_ Função Diferencial

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Exercícios Resolvidos: Função Diferencial 
14.4 EXERCÍCIOS: página 855. Cálculo Volume 2 – 6ª Edição 
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a 
linearização L(x, y) da função naquele ponto. 
13. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑥+𝑦
 , (2, 1) 
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) =
(𝑥 + 𝑦) − 𝑥
(𝑥 + 𝑦)2
=
𝑦
(𝑥 + 𝑦)2
 
𝑓𝑥(2,1) =
1
(2 + 1)2
=
1
9
 
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −
𝑥
(𝑥 + 𝑦)2
 
𝑓𝑦(2,1) = −
2
(2 + 1)2
= −
2
9
 
𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(2,1) + 𝑓𝑥(2,1)(𝑥 − 2) + 𝑓𝑦(2,1)(𝑦 − 1) 
=
2
3
+
1
9
(𝑥 − 2) −
2
9
(𝑦 − 1) =
1
9
𝑥 −
2
9
−
2
9
𝑦 +
2
9
+
2
3
 
=
𝑥
9
−
2𝑦
9
+
2
3
 
 
 
15. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥𝑦. cos 𝑦 , (𝜋, 0) 
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑒
−𝑥𝑦. (−𝑦). cos 𝑦 = −𝑦𝑒−𝑥𝑦. cos 𝑦 
𝑓𝑥(𝜋, 0) = −0. 𝑒
−𝜋.0. cos 0 = 0 
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑒
−𝑥𝑦. (− 𝑠𝑒𝑛 𝑦) + (cos 𝑦). 𝑒−𝑥𝑦. (−𝑥) = −𝑒−𝑥𝑦. (𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑥 cos 𝑦) 
𝑓𝑦(𝜋, 0) = −𝑒
−𝜋.0. (𝑠𝑒𝑛 0 + 𝜋 cos 0 ) = −𝜋 
𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝜋, 0) + 𝑓𝑥(𝜋, 0)(𝑥 − 𝜋) + 𝑓𝑦 (𝜋, 0)(𝑦 − 0) 
= 1 + 0(𝑥 − 𝜋) − 𝜋(𝑦 − 0) = 1 − 𝜋𝑦