GRA1767 GEOMETRIA_ DESENHO E FORMA GR1312211 - 202110.ead-10665.03

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GEOMETRIA: DESENHO E FORMAGEOMETRIA: DESENHO E FORMA
GEOMETRIA ESPACIALGEOMETRIA ESPACIAL
Autor: Dra. Roberta Paye Bara
Revisor : Manuela Thomas
I N I C I A R
introdução
Introdução
Nesta unidade, serão abordados os sólidos geométricos como esfera, prisma,
cone e poliedros, contemplando os sólidos obtidos por revolução. Também
serão expostos alguns sólidos não desenvolvíveis, sua de�nição e exemplos.
Sendo assim, para cada tema será contemplada sua comparação com
elementos arquitetônicos, �nalizando esta unidade com a de�nição e
exemplo de uma estrutura helicoidal e sua relação com o projeto de escadas
circulares.
Portanto, todos os sólidos expostos nesta unidade podem ser encontrados no
cotidiano, seja em objetos com design ou em estruturas arquitetônicas. O
estudo desses sólidos permite aprofundar sua visualização espacial, bem
como uma compreensão mais aprofundada da geometria espacial, suas
formas e desenhos.
Poliedros são sólidos geométricos que possuem vértices, arestas e faces, e a
sua nomenclatura dos poliedros é de�nida pelo número de faces. Os
poliedros regulares possuem todas as faces iguais (mesma forma e mesma
medida) (MACHADO, 1986).
PoliedrosPoliedros
Dentro dos poliedros, há um subgrupo chamado de poliedros de Platão, em
que as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os vértices
possuem o mesmo número de arestas e vale a relação de Euler (número de
vértices - número de arestas + número de faces = 2). São poliedros de Platão:
tetraedro, hexaedro, octaedro, icosaedro e dodecaedro.
Considerando o contexto apresentado, vejamos a Tabela 4.1 a seguir, com
mais detalhes sobre o assunto.
Figura 4.1 - Poliedros 
Fonte: OpenClipart-Vectors / Pixabay.
Tabela 4.1 - Nomenclatura dos poliedros 
Fonte: Elaborada pela autora.
Os poliedros estrelados são sólidos geométricos apresentados como se
construíssemos pirâmides com base em cada uma das faces dos poliedros.
Observe a Figura 4.2.
Nº
faces
Nome do poliedro
Nº
faces
Nome do poliedro
4 Tetraedro 11 Undecaedro
6 Hexaedro 12 Dodecaedro
8 Octaedro 13 Tridecaedro
9 Eneaedro 15 Pentadecaedro
10 Decaedro 20 Icosaedro
Figura 4.2 - Dodecaedro estrelado 
Fonte: J.Joel Leonardo / Wikimedia Commons.
Prismas
São sólidos geométricos com faces laterais, duas bases (superior e inferior),
em que as bases são congruentes e paralelas. As bases do prisma sempre
possuem uma forma poligonal.
O software livre GeoGebra possui várias ferramentas úteis no estudo de
geometria plana e tridimensional. No GeoGebra, após selecionar a opção de
janela 3D, aparecerão vários botões e recursos tridimensionais na barra de
ferramentas, como o de construir um prisma. Para isso, é necessário primeiro
construir uma base com a função “Polígono” ou “Segmento de Reta”; em
seguida, selecione a opção “Prisma”, selecione a base e determine a altura.
Como na �gura a seguir:
Figura 4.3 - Prisma de base triangular 
Fonte: Freepik / Freepik.
Pirâmides
As Pirâmides são sólidos geométricos que possuem uma base poligonal, em
que a partir de cada lado da base da pirâmide surgem triângulos. Esses
triângulos possuem base coincidente com a aresta da base da pirâmide, e os
vértices opostos à base do triângulo se encontram em um mesmo ponto, que
irá determinar a altura da pirâmide, como na �gura a seguir:
Figura 4.4 - Prisma no GeoGebra 
Fonte: Elaborada pela autora.
No GeoGebra, é possível deixar as janelas 2D e 3D abertas ao mesmo tempo,
de forma a construir um polígono regular na janela 2D e usá-lo como base
para construir uma pirâmide (no botão “Pirâmide”, selecione o polígono como
base, clique no centro do polígono para de�nir o ponto do vértice, depois, em
con�gurações, altere o valor da coordenada z para um valor diferente de
zero).
Obtendo Verdadeira Grandeza
Quando há a representação de uma pirâmide ou de um prisma na épura, cuja
base não está paralela aos planos de projeção, é necessário realizar mudança
de plano de projeção com a �nalidade de obter a verdadeira grandeza dos
sólidos. É um processo muito comum quando a �nalidade é obter a
plani�cação do sólido representado na épura. O método de mudança de
plano rotaciona o(s) plano(s) de projeção para obter a verdadeira grandeza de
retas e planos.
Plani�icação
Figura 4.5 - Pirâmide no GeoGebra 
Fonte: Elaborada pela autora.
Já a Plani�cação é a ação de desmembrar as faces de sólidos geométricos de
forma que todas as faces �quem em um mesmo plano. Conforme
apresentado na Figura 4.6, o sólido plani�cado pode ser obtido ao dobrar e
unir a estrutura plani�cada, de forma a retornar a estrutura espacial de
origem.
Cada sólido terá sua plani�cação, porém, nem todos os sólidos poderão ser
plani�cados. Dentre todos os sólidos que podem ser plani�cados, os prismas
e as pirâmides possuem estrutura geral para plani�cação em função do
polígono da base.
Na plani�cação de superfícies prismáticas, teremos a representação das duas
bases e das faces laterais, que possuem a forma de retângulos. Contudo, o
número de faces laterais é igual ao número de lados do polígono da base.
Na plani�cação de superfícies piramidais, haverá a representação da base
poligonal e de triângulos, que é igual ao número de lados do polígono da
base.
Construindo Volumes poliédricos
Figura 4.6 - Plani�cação do Tetraedro 
Fonte: Francieli Triches / Wikimedia Commons.
No GeoGebra, é possível construir prismas e pirâmides (entre outros sólidos
geométricos), por meio das funções tridimensionais.
Utilizando-se régua, compasso e papel, é possível construir a plani�cação dos
sólidos para, depois, construir o sólido, bem como construir sólidos
geométricos com a técnica de origami.
Volumes Poliédricos na Arquitetura
Há diversas estruturas arquitetônicas históricas com estrutura poliédrica,
como as pirâmides do Egito ou as construções Maias. Na atualidade, há
diversas construções em que é possível encontrar a estrutura prismática ou
piramidal, como o obelisco de Buenos Aires, na Argentina, que possui uma
estrutura piramidal.
O obelisco de Buenos Aires possui duas estruturas piramidais, sendo a
pirâmide de base quadrada no topo e um tronco de pirâmide como base.
Para olhares desatentos, a base seria um prisma, mas observe que as
Figura 4.7 - Obelisco de Buenos Aires 
Fonte: Sombra Inquieta / Wikimedia Commons.
dimensões da seção transversal vão reduzindo com o aumento da altura –
por isso, é um tronco de pirâmide.
praticarVamos Praticar
No planejamento da construção de modelos de poliedros, prismas ou pirâmides,
uma das formas é utilizar a plani�cação para construir um modelo em escala
menor. Os poliedros, os prismas e as pirâmides possuem estruturas próprias
conforme suas características e de�nições. Nesse contexto, assinale a alternativa
que apresenta como é a descrição da plani�cação de uma pirâmide.
a) Duas bases poligonais iguais e triângulos na mesma quantidade de lados do polígono da
base.
b) Uma circunferência e um setor circular.
c) Duas bases poligonais iguais e retângulos na mesma quantidade de lados do polígono da
base.
d) Uma base poligonal e triângulos na quantidade menor de lados do polígono da base.
e) Uma base poligonal e triângulos na mesma quantidade de lados do polígono da base.
As superfícies curvas de revolução são resultantes da rotação de uma �gura
curva em relação a um eixo �xo a geratriz, como cilindro, esfera, cone, toro e
hiperboloide. O cone sólido é obtido pela revolução de um triângulo
retângulo, enquanto que o cilindro é resultante da revolução de um
retângulo, e a esfera vem da revolução de um semicírculo. 
Superfícies Curvas deSuperfícies Curvas de
RevoluçãoRevolução
Figura 4.8 - Cone de duas folhas, cilindro e esfera 
Fonte: Elaborada pela autora.
A revolução pode ser realizada com linhas, como a revolução de uma reta
concorrente ao eixo geratriz, a revolução de uma reta paralela à geratriz, a
revolução de uma circunferência com centro na geratriz ou, ainda, a
circunferência com centro fora da geratriz ou a revolução de uma hipérbole.
Considerando o exposto, quais superfícies serãogeradas com essas
revoluções? Vejamos a Figura 4.9, que apresenta alguns exemplos de curvas
de revolução. 
Sendo assim, essas curvas darão origem a superfícies curvas de revolução,
denominadas cone de duas folhas, cilindro, esfera, toro e hiperboloide. 
Figura 4.9 - Curvas de revolução em azul e geratriz em vermelho 
Fonte: Elaborada pela autora.
Cilindro
O cilindro obtido pela revolução de uma reta ou um segmento de reta
paralelo à geratriz não é sólido e não tem superfície nas bases como no
cilindro obtido pela revolução de um retângulo. Vejamos, na Figura 4.10, a
curva de revolução que descreve o cilindro. 
reflita
Re�ita
As superfícies de revolução possuem características
especí�cas que as de�nem, mas qual a sua relação com o
cotidiano? Qual a aplicação do estudo de superfícies de
revolução no cotidiano de engenheiros e arquitetos? Você
consegue identi�car, no seu cotidiano, elementos que se
aproximam dessas superfícies?
Fonte: Elaborado pela autora.
Plani�icação do Cilindro
No cilindro obtido pela revolução do retângulo, a plani�cação será igual a
duas bases mais o retângulo (correspondente à lateral do cilindro), com
dimensões iguais à altura do cilindro e ao comprimento da circunferência,
cujo raio é a base menor do retângulo de revolução. 
Figura 4.10 - Curvas de revolução: cilindro 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 4.11 - Plani�cação: cilindro 
Fonte: Elaborada pela autora.
A plani�cação do cilindro obtido pela revolução do segmento de reta paralelo
ao eixo da geratriz terá sua plani�cação correspondente a um retângulo com
dimensões iguais à altura do segmento de reta e ao comprimento da
circunferência, cujo raio é a distância do segmento de reta até a geratriz.
Cone
A revolução de um segmento de reta concorrente à geratriz resulta em um
cone de duas folhas; nesse caso, não há preenchimento das bases dos cones,
conforme apresentado na Figura 4.12. 
Plani�icação do Cone
A plani�cação do cone de duas folhas pode ser analisada pela plani�cação de
uma das folhas do cone, pois é só repetir o processo para obter a plani�cação
da outra folha.
Figura 4.12 - Curvas de revolução: cone 
Fonte: Elaborada pela autora.
Considerando o cone resultante da revolução de um triângulo, sua
plani�cação será igual ao círculo da base mais o setor circular cujo
comprimento será igual ao comprimento da circunferência da base, conforme
apresentado na Figura 4.13, que representa a plani�cação do cone. 
Já o cone resultante da revolução de um segmento de reta não terá a base, só
o setor circular. No caso do cone de duas folhas, serão dois setores circulares
cujo comprimento será igual ao comprimento da circunferência da base.
Esfera
A esfera é obtida pela revolução da circunferência com centro no eixo de
rotação. Além disso, também é possível obter uma esfera sólida por meio da
revolução de um círculo com centro no eixo de rotação (BARISON, 2019). 
Figura 4.13 - Plani�cação: cone 
Fonte: Elaborada pela autora.
Toro
O toro é uma superfície sólida obtida pela revolução de uma circunferência
externa ao eixo de rotação, semelhante ao formato de um donuts (item de
confeitaria em formato de rosquinha com confeitos), ou como um bambolê
ou como a câmara de pneu. 
Figura 4.14 - Curvas de revolução: esfera 
Fonte: Elaborada pela autora.
Hiperboloide
O hiperboloide (também conhecido como hiperboloide de uma folha) é obtido
pela rotação da hipérbole que não tem ponto em comum com o eixo de
rotação, visto que, se mudar a orientação do eixo de rotação em relação à
hipérbole, será formada outra superfície. 
Figura 4.15 - Curvas de revolução: toro 
Fonte: Elaborada pela autora.
Quando o eixo de revolução passa pelo vértice da hipérbole, forma a
superfície conhecida como hiperboloide de duas folhas. 
Figura 4.16 - Curvas de revolução: hiperboloide 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 4.17 - Curvas de revolução: paraboloide hiperbólico 
Fonte: RokerHRO / Wikimedia Commons.
Construindo Sólidos de Revolução
Antes da existência de softwares de geometria, era necessário recorrer a �os e
papéis para explorar as possibilidades de superfícies de revolução. Por
exemplo, desenhar no papel uma imagem e colando um �o (de barbante) no
local onde deseja simular a posição do eixo de revolução. Dessa forma,
bastava girar o barbante segurando cada ponta em uma das mãos. 
Sólidos de Revolução e Arquitetura
É possível encontrar construções arquitetônicas e objetos com estrutura
similar à forma de superfícies de revolução, como o Parque Futuroscope, na
França, e a Catedral de Brasília, projetada pelo arquiteto Oscar Niemeyer. 
saiba mais
Saiba mais
O Instituto de Matemática e Estatística da
Unicamp disponibiliza, em sua página na
internet, um software para criação de
superfícies de revolução.
ACESSAR
https://m3.ime.unicamp.br/media/software/1363/
Existem outros exemplos de construções arquitetônicas inspiradas em sólidos
de revolução por todo o mundo. Quando possível pesquise arquitetos que
utilizam esse tipo de inspiração arquitetônica, suas respectivas obras e analise
as construções identi�cando o sólido de revolução que inspirou. 
Figura 4.18 - Parque Futuroscope, na França 
Fonte: DelGana / Pixabay.
Figura 4.19 - Catedral de Brasília 
Fonte: Acarlos01.sc / Wikimedia Commons.
praticarVamos Praticar
As superfícies curvas de revolução são resultantes da rotação de uma �gura curva
em relação a um eixo �xo. O cone sólido é obtido pela revolução de um triângulo
retângulo, e a esfera sólida vem da revolução de um semicírculo. Nesse contexto,
assinale a alternativa que apresenta a superfície obtida da revolução de um
segmento de reta concorrente ao eixo de rotação.
a) Cone de duas folhas.
b) Esfera.
c) Cilindro.
d) Toro.
e) Hiperboloide.
Às superfícies em que não é possível plani�car dá-se o nome de superfícies
regradas não desenvolvíveis. Segundo Barison (2019), essas superfícies
possuem propriedades que as de�nem. São elas:
não podem ser representadas sobre um plano;
duas retas da superfície in�nitamente próximas se cruzam;
o plano tangente à superfície em um ponto contém uma reta dessa
superfície que passa por esse ponto, mas não é tangente à superfície
em outros pontos dessa reta.
Observe a estrutura do Phoenix Media Center, em Beijing, na China. Imagine
um ponto na estrutura e tente visualizar uma tangente nesse ponto. Esse
plano tangente não será tangente em outros pontos do Phoenix Center, e isso
se deve à sua estrutura singular. Essa corresponde à terceira propriedade que
de�ne as superfícies regradas não desenvolvíveis. 
Superfícies Regradas nãoSuperfícies Regradas não
DesenvolvíveisDesenvolvíveis
Há diversas superfícies regradas não desenvolvíveis, como o hiperboloide
(estudado anteriormente nesta unidade), cilindroide, conoide e paraboloide
hiperbólico.
Cilindroide
O cilindroide é uma superfície regrada não desenvolvível em que uma reta
(geratriz) se desloca por duas curvas: uma semicircunferência e uma
semielipse. 
Figura 4.20 - O Phoenix Media Center, na China, é um exemplo de superfície
regrada não desenvolvível 
Fonte: Nico Villanueva / Wikimedia Commons.
Conoide
O conoide é uma superfície gerada por uma reta (geratriz) que se desloca,
apoiando-se em duas diretrizes: uma reta e uma curva que não pertencem ao
mesmo plano. 
Figura 4.21 - Cilindroide 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 4.22 - Conoide 
Fonte: HB / Wikimedia Commons.
Paraboloide Hiperbólico
O paraboloide hiperbólico, também conhecido como ponto de sela, aparece
em cálculo de duas variáveis quando se busca pontos de máximo e de
mínimo, porém, o ponto de sela não é nem máximo nem mínimo, por isso
existe um método em cálculo para identi�car esses pontos de sela. 
Existe um tipo de petisco importado, à base de batata, que possui o formato
de paraboloide hiperbólico. Nesse formato, há menos fratura no alimento
durante o transporte. Vejamos a Figura 4.24. 
Figura 4.23 - Paraboloide hiperbólico 
Fonte: Rodrigo.Argenton / Wikimedia Commons.
Construindo Sólidos não Desenvolvíveis
Para construir sólidosnão desenvolvíveis, basta seguir a de�nição, por
exemplo, do conoide, que é uma superfície gerada por uma reta (geratriz) que
se desloca, apoiando-se em duas diretrizes: uma reta e uma curva que não
pertencem ao mesmo plano. É possível alterar essa curva para uma elipse,
uma parábola ou para qualquer outra curva.
Sólidos não Desenvolvíveis e a Arquitetura
Há construções arquitetônicas com estruturas inspiradas nos sólidos não
desenvolvíveis, como a Capela Nossa Senhora de Fátima, em Brasília, e o
restaurante Los Manantiales, construído em 1957, na Cidade do México. 
Figura 4.24 - Petisco de batata em formato de paraboloide hiperbólico 
Fonte: Glane23 / Wikimedia Commons.
Sendo assim, é possível observar, nesses exemplos arquitetônicos, as
características e propriedades de superfícies regradas não desenvolvíveis.
Além da beleza na estrutura arquitetônica, esse tipo de superfície pode ser
utilizada para explorar a circulação do ar ou o controle de luminosidade. 
praticarVamos Praticar
Figura 4.25 - Capela Nossa Senhora de Fátima, em Brasília 
Fonte: NMaia / Wikimedia Commons.
Figura 4.26 - Restaurante Los Manantiales, no México 
Fonte: Dge / Wikimedia Commons.
Às superfícies em que não é possível plani�car, dá-se o nome de superfícies
regradas não desenvolvíveis, pois não há a possibilidade de representar toda
superfície em um plano e, depois, reconstruí-la como um poliedro que pode ser
plani�cado. Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta superfícies
regradas não desenvolvíveis.
a) Paraboloide hiperbólico e pirâmide.
b) Paraboloide hiperbólico e prisma.
c) Conoide e cilindro.
d) Paraboloide hiperbólico e conoide.
e) Conoide e prisma.
As helicoides ou superfícies helicoidais são geradas pelo deslocamento de
uma reta em um movimento de revolução, ao mesmo tempo que ocorre uma
translação, tudo isso ao longo de um eixo central, formando a curva
conhecida como hélice.
Uma hélice é uma curva traçada internamente a um cilindro, formando
ângulos iguais com as geratrizes do cilindro, sendo rotacionadas e
transladadas ao mesmo tempo. A rotação ocorre ao redor do eixo central do
cilindro, e a translação ocorre paralela à base do cilindro.
No desenho de uma hélice, há elementos que a descrevem como ponto
gerador (ponto que descreve a trajetória da hélice), passo da hélice, eixo da
hélice, espira, raio da hélice e sentido da rotação (SOUZA, 2018).
HelicoidesHelicoides
Figura 4.27 - Helicoide 
Fonte: Magnus Manske / Wikimedia Commons.
O passo da hélice é a distância entre dois pontos da hélice pertencentes a
uma mesma reta paralela ao eixo central (distância necessária para dar uma
volta completa), já eixo da hélice é a reta que coincide com o eixo do cilindro
suporte, e a espira é o desenho da helicoide correspondente a um passo.
O raio da hélice corresponde ao raio do cilindro suporte e à distância do
ponto gerador até o eixo. O sentido da rotação pode ser para direita
(dextrorsum) – conforme a regra da mão direita (dedão representando o eixo
e os demais dedos o movimento de rotação) – ou para a esquerda
(sinistrorsum) – seguindo a regra da mão esquerda (TEIXEIRA; SILVA; SILVA,
2018).
Estruturas helicoidais também podem ser encontradas em molas, parafusos,
brocas de perfuração, hélices e turbinas.
Helicoides na Arquitetura
Na arquitetura, a estrutura helicoidal mais presente são as escadas
helicoidais, que aparecem com características distintas.
Figura 4.28 - (a) Desenho de um helicoide gerado a partir de uma hélice; (b)
hélices com 16 divisões; (c) hélices com 32 divisões; (d) a perspectiva das
projeções de um helicoide 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 4.29 - Escada helicoidal do Museu do Vaticano 
Fonte: Tillea / Wikimedia Commons.
Escadas Helicoidais
Na hora de planejar uma escada helicoidal, é necessário ter em mente cada
parte que a compõe, como: degrau, coluna (onde os degraus são �xados),
patamar (é o topo da escada sem degraus), guarda corpo (mas há modelos de
escadas helicoidais que não possuem) e corrimão (esse também é um
elemento que não está presente em todas as escadas helicoidais) (ESCADA,
2016; SOUZA, 2018).
O comprimento de cada degrau (distância do eixo até a borda do degrau)
deve �car entre 60 e 90 cm. O eixo central varia conforme modelo e
fornecedor. Uma medida muito relevante é a altura dos degraus, que deve ser
de 22 cm (ESCADA, 2016).
Para iniciar o desenho da helicoidal, deve-se de�nir o centro da circunferência
da base do cilindro imaginário que “envolve” a escada. Em seguida, deve-se
de�nir o tamanho do diâmetro do eixo central para poder dimensionar o raio
da base do cilindro, conforme o tamanho do comprimento do degrau a partir
do eixo central. É necessário ter em mente que, para cada degrau, será
traçado um segmento de reta auxiliar que irá associar a projeção horizontal
com a projeção vertical da escada. Além disso, o passo da hélice deve
respeitar uma altura mínima para que as pessoas não batam a cabeça em
nenhum degrau.
Figura 4.30 - Escada espiral em pedra 
Fonte: Magnus Manske / Wikimedia Commons.
Figura 4.31 - Escada caracol 
Fonte: Elaborada pela autora.
Realizar o desenho da escada considerando a projeção horizontal e a
projeção vertical é o mesmo que apresentar a imagem da escada de quem a
olha de cima e quem a observa lateralmente.
Figura 4.32 - Iniciando o desenho da escada helicoidal 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 4.33 - Desenho da escada helicoidal 
Fonte: Elaborada pela autora.
saiba mais
Saiba mais
“Escadas helicoidais em concreto armado:
comparação entre métodos de
dimensionamento” foi o tema do trabalho de
conclusão de curso de Tiago Noal no curso
de graduação em Engenharia Civil, na
Universidade Federal do Rio Grande do Sul,
no ano de 2014. Nesse contexto, acesse o
conteúdo indicado e leia o artigo indicado,
em que se destacam várias informações
sobre escadas helicoidais.
Fonte: Elaborado pela autora.
ACESSAR
https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/107516/000943419.pdf?sequence=1
praticarVamos Praticar
Na arquitetura, a estrutura helicoidal mais presente são as escadas helicoidais, que
aparecem com características distintas. O desenho da escada helicoidal é similar ao
desenho de uma hélice, porém, é necessário considerar algumas medidas mínimas
para garantir o conforto das pessoas que irão utilizar a escada. Nesse contexto,
assinale a alternativa que apresenta o que deve ser levado em consideração em
relação ao passo.
a) A medida do raio do cilindro de suporte.
b) Altura mínima para que as pessoas não batam a cabeça no degrau de cima.
c) A rotação do ponto gerador.
d) Comprimento entre 60 e 90 cm, para o conforto ao pisar no degrau.
e) A altura entre os degraus de 22 cm.