CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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Cálculo Diferencial e IntegralCálculo Diferencial e Integral
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Introdução
Olá, aluno!
Para mim, a matemática é uma das coisas mais belas que o homem já conseguiu racionalizar, e
essa beleza se dá pela capacidade de descrever os mais diversos problemas que existem ao
nosso redor, além de nos proporcionar dados para tirarmos conclusões sobre os mais variados
assuntos. Conseguimos de maneira muito fácil dar exemplo da aplicação da matemática em
várias áreas do conhecimento.
Na área biológica, podemos equacionar as probabilidades de uma pessoa nascer com uma
característica ou outra, entender e quanti�car substâncias produzidas em nosso corpo por meio
de um remédio, além de outros inúmeros exemplos. Na área de humanidades, podemos
quanti�car as ações humanas de uma determinada nação e suas consequências e estudar a
efetividade de determinado modelo de ensino, inclusive fazer previsões a respeito do
comportamento humano a partir de dados numéricos coletados. Poderíamos facilmente gastar
mais de mil páginas com aplicações nos tipos de problemas e nas mais diversas áreas do
conhecimento humano.
Por meio das aulas deste livro, espero poder ampliar sua capacidade de analisar problemas.
Começaremos, é claro, com teorias mais simples para que as mais complexas comecem a fazer
sentido. E em termos de ensino e aprendizado, esta é a disciplina mais fácil que você cursará,
não só porque sou um excelente professor (contém ironia) e você é um excelente aluno (sem
ironia!), mas, sim, porque Cálculo é simples.
Parece bobo, mas pense comigo: dois mais dois é igual a quatro. Por que você entendeu o que
eu disse? Porque para você faz sentido lógico que esta operação seja igual a quatro, porque você
consegue gerar em sua cabeça inúmeros casos em que dois mais dois é igual a quatro.
Extremamente simples, assim como o que vou falar a seguir: a derivada da primeira de uma
função quando igualada a zero nos permite encontrar os máximos e mínimos de uma função
dadas algumas propriedades desta função. Sabe por que você não compreendeu o que disse?
Não é porque o que eu disse é difícil, é simplesmente porque o que eu disse ainda não faz
sentido para você. Assim que começar a estudar esta disciplina, você entenderá a sentença
acima, da mesma forma que entende hoje que dois mais dois é igual a quatro.
Antes de começar, uma dica importante: um livro de Cálculo não deve ser lido de forma rápida.
Deve-se ler uma quantidade pequena de parágrafos e depois parar um pouco para re�etir sobre
o que foi dito. Feito isso e entendido, continue. Vamos começar a entender?
Bons estudos!
Conjuntos Numéricos
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Antes de começarmos o texto em si vamos falar um pouco sobre as fontes. Como
você já deve imaginar eu sou muito novo para ter inventado tudo o que está aqui.
Assim como você, eu tive que aprender por meio de apostilas e, principalmente,
livros.
Referências e Pesquisa
Tudo o que está aqui foi baseado nos meus estudos com os livros que indicarei a
vocês neste item. Alguns exemplos, exercícios e didáticas foram adaptados por mim,
pois é claro que dei meu toque na maneira de ensinar.
Independentemente do livro de Cálculo que você preferir para complementar seu
estudo, estará em boas mãos, pois no �m todos chegarão às mesmas conclusões.
Aqui está a lista que usei como referência para desenvolver esta apostila, �quem à
vontade para estudar um ou mais deles. Também existem outros livros além desta
lista, o importante é aprender!
O Cálculo com geometria analítica – vol. 1 –  Louis Leithold.
Cálculo A: funções, limite, derivação, integração – Diva Marília Flemming e
Mirian Buss Gonçalves.
Um Curso de Cálculo – vol. 1 – Hamilton Luiz Guidorizzi.
Cálculo – vol. 1 – James Stweart.
A referência bibliográ�ca está no �nal deste livro.
Ponto de Partida
O primeiro passo é compreender a ideia de conjunto. Podemos entender conjunto
de forma bem simples como uma reunião de elementos que possuam
características determinadas. Qual o conjunto das cores primárias?
Resposta: amarelo, azul e o vermelho. Bem simples, não é mesmo?
Ou podemos escrever de forma mais adequada para a matemática.
Poderíamos pensar em diversos exemplos. Qual o conjunto das estações do ano?
Cores primárias = {Amarelo, Azul, V ermelho}
Estações = {Primavera, V erão, Outono, Inverno}
Dessa forma, temos um padrão de como escrever um conjunto. Primeiro, o nome do
conjunto, depois, o sinal de igual e, por �m, cada elemento entre chaves separado
por vírgula.
Agora, já podemos estender nosso raciocínio para conjuntos numéricos. Portanto,
conjunto numérico nada mais é que o conjunto de números separados por
determinadas características. Vamos olhar quais são os conjuntos numéricos
básicos.
Conjunto dos números naturais - Os elementos deste conjunto são formados por
números inteiros positivos mais o número zero. São chamados de naturais, pois se
baseiam em uma unidade. Neste conjunto, você pode ter um pão, dois pães ou um
milhão de pães, mas não pode ter pedaços de pão ou negativo de pães.
Conjunto dos números inteiros - Os elementos deste conjunto são todos os
elementos do conjunto dos números naturais mais todos os inteiros negativos. O
número negativo pode representar, em problemas cotidianos, uma dívida, uma
perda, uma referência, entre outros.
Conjunto dos números racionais - Os elementos deste conjunto são basicamente
todos os números que podemos escrever em forma de fração com os elementos do
conjunto dos números inteiros. Neste conjunto, temos o acréscimo de partes de
algo. Portanto, são todos os elementos do conjunto dos números inteiros mais todas
as frações que são possíveis escrever usando-os. Vejam que agora não �ca didático
escrever este conjunto da mesma forma que �z com os conjuntos acima. Assim
sendo, temos que usar algumas notações. Farei primeiro a escrita formal e depois
explicarei o que signi�ca cada símbolo.
Vamos explicar a leitura. É muito simples. As vírgulas separam as informações.
Portanto, temos quatro informações a respeito deste conjunto.
A primeira informação contém alguns símbolos. O primeiro é o x que sempre
representará “qualquer número”. O segundo símbolo é uma barra que sempre
representará “tal que”. O terceiro símbolo na verdade é uma expressão matemática x
é igual a “a” dividido por “b”. A primeira informação escrita por extenso é: “qualquer
número tal que x é igual a ‘a’ dividido por ‘b’ ”.
A segunda informação, a terceira e a quarta são as explicações a respeito de “a” e
“b”.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . .}
Z = {. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
Q = {x/x = , a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}a
b
Vamos começar pela última informação. Ela signi�ca que b não pode ser zero. Claro,
tente fazer na sua calculadora, 3 dividido por zero. Vai dar erro, pois não existe nada
dividido por zero.
Só nos resta saber o que é e . Eles signi�cam que “a pertence ao
conjunto dos números inteiros” e “b pertence ao conjunto dos números inteiros”.
Portanto, a frase �nal é: “Os números racionais são iguais a qualquer número tal que
este número seja igual a uma divisão de a sobre b, onde a pertence ao conjunto dos
números inteiros, b pertence ao conjunto dos números inteiros, sendo que b não
pode ser igual a zero”. Escrevemos em menos de uma linha essas condições usando
símbolos.
Vimos como escrever um conjunto com mais formalismo. Agora vamos trabalhar
apenas com o raciocínio.
Conjunto dos números irracionais - São aqueles que não conseguimos escrever em
forma de fração usando os números inteiros. Por exemplo, o número pi. Tente formar
o número pi = 3,141592… usando uma divisão formada por números inteiros. Você não
vai conseguir. A mesma coisa acontece com outros números como a raiz quadrada
de dois e de três. O símbolo utilizado para os números irracionais é I.
Conjunto dos números reais - Este é conjunto dos números mais abrangentes que
utilizaremos aqui. Sim, existemmais. Um número real pode ser um número
negativo, positivo ou zero, e qualquer número real pode ser classi�cado como
racional ou irracional. O símbolo utilizado para o conjunto dos números reais é .
Para �nalizar esta parte, podemos representar o que foi dito com a Figura 1 abaixo.
Na Figura 1, podemos ver que o conjunto dos números reais englobam todos os
conjuntos citados até aqui. Outro dado interessante é que os números irracionais
não estão relacionados aos naturais, inteiros e racionais.
a ∈ Z b ∈ Z
R
Figura 1 - Representação dos conjuntos
Fonte: o autor.
Trabalharemos aqui em cálculo com o conjunto dos números reais. Portanto, todos
os itens abaixo serão relacionados ao conjunto dos números reais. É claro que
existem livros e mais livros a respeito de conjuntos numéricos, mas se entendermos
pelo menos o básico, entenderemos o que importa para esta disciplina.
Operações Básicas com
Conjuntos
Nada melhor para entender as operações com conjuntos do que exercícios. Primeiro,
vamos criar alguns conjuntos. Sim, podemos criar conjuntos! Vamos criar o Conjunto
A, B e C.
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {10, 11, 12, 13}
C = {6, 7, 8, 9}
Temos, portanto, 3 conjuntos. Vamos às operações: a primeira operação que vamos
aprender é a união.
A leitura da parte à esquerda do igual é “A união com B” e “A união com C”. Veja que
a operação de união apenas adiciona elementos novos ao conjunto. No caso de “A
união com C” o elemento “6” e o “7” aparecem apenas uma vez, mesmo que no
conjunto “A” e “C” tenham os mesmos elementos.
Agora, vamos trabalhar com outra operação, a de intersecção.
A leitura da parte à esquerda do igual é “A intersecção com C” e depois “A
intersecção com B”. Na intersecção, o que queremos são os elementos que se
repetem. Os elementos que se repetem tanto em A quanto em C são o “6” e o “7”.
Quando não há elementos que se repetem, então usamos o símbolo da resposta de
A intersecção com B, que signi�ca conjunto vazio.
A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13}
A ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A ∩ C = {6, 7}
A ∩ B = ∅
Ordenação para Elementos do
Conjunto
É possível estabelecer uma relação de ordem entre os elementos do conjunto dos
números reais com os símbolos abaixo:
No primeiro caso, lê-se “5 é menor que 6” e, no segundo caso, lê-se “sete é maior que
2”. Bem simples. Isso é possível porque conseguimos estabelecer, na nossa cabeça,
uma relação de ordem que �ca mais explícita se utilizarmos uma reta com números
crescentes da esquerda para a direita, de forma quase idêntica a uma régua
convencional.
A Figura 2 é um exemplo desta reta. Aqui, temos um conceito fundamental para
você entender as aulas mais avançadas deste livro. Existem in�nitos números entre
os números destacados na Figura 2. Como, por exemplo, o número 1,99999999998
e o número 2,000000000001.
5 < 6
7 > 2
Figura 2: Exemplo de reta real
Fonte: o autor.
Podemos agora prosseguir com algumas conclusões lógicas a respeito dos números
reais. Vejam que interessante.
Dado acima que “a” e “b” pertencem ao conjunto dos números reais,  temos:
 se e somente se 
 se e somente se 
Tente substituir alguns números em a e b e teste. Por exemplo:
 pois , e 2 é positivo
pois , é positivo
A consequência lógica funciona, portanto.
Vamos para outra muito importante. O ponto será utilizado como vezes.
Se a < b então a + c < b + c
Se a < b e c > 0 então a.c < b.c
Se a < b e c < 0 então a.c > b.c
Portanto, se x<y, segue do raciocínio que x+4 < y+4. Pense em qualquer número
desde que x seja menor que y, vai funcionar.
Por exemplo, 4 < 5, portanto, 4+4<5+4 já que 8<9.
Outro exemplo, 4 < 5, portanto, 4-10<5-10 já que -6 < -5.
Mais um exemplo: 4<5 portanto, 4.2<5.2 já que 8<10.
Por �m, 4<5, portanto, 4.(-10) > 5.(-10) já que (-40)>(-50).
Tente com outros números e veri�que mais casos. É importante �xar isto.
a, b ∈ R
a < b b − a > 0
a > b a − b > 0
3 < 5 5 − 3 = 2
−10 < −4 −4 − (−10) = 6
a, b, c ∈ R
Intervalos Numéricos
Vamos pensar agora na seguinte questão a<x<b. Dada a expressão à esquerda,
sabemos que x compreende todos os números que são maiores que a e menores
que b com exceção de a e de b. Isto é chamado de intervalo aberto e é
representado da seguinte forma .
Por extenso, temos “o intervalo aberto entre a e b é igual a todo x tal que x é maior
que a e menor que b”. Portanto, se a=2 e b=3, x pode ser qualquer valor entre 2 e 3
com exceção do número 2 e do número 3.
Já apresentado o que é um intervalo aberto, vamos de�nir agora o que é um
intervalo fechado. Vamos pensar agora sobre a seguinte expressão. Agora x
compreende todos os valores de a até b incluindo a e b. Representaremos isto com a
seguinte formatação . Ou seja, para intervalo aberto, utilizam-se parênteses, e
para intervalo fechado, utilizam-se colchetes.
Podemos misturar as nomenclaturas usando intervalo aberto a partir de a e
intervalo fechado chegando em b �cando da seguinte forma   .
Podemos também utilizar a seguinte nomenclatura: , que signi�ca que
temos qualquer número acima de a com exceção do a neste intervalo. Escrevendo
de outra forma, x>a. Lembrando que o intervalo não pode ser fechado quando
usamos o símbolo do in�nito que é .
(a, b)
(a, b) = {x|a < x < b}
[a, b]
0 [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}
a < x ≤ b
(a, +∞)
∞
Exercícios
Ache o conjunto solução das desigualdades abaixo:
a) 2+3x < 5x+8
b) 4 < 3x-2 ≤ 10
Resolução de a:
2+3x < 5x+8
2+3x-2 < 5x+8-2
3x < 5x + 6
3x -5x<5x-5x+6
-2x<6     multiplicando por menos 1 dos dois lados
2x>-6     dividindo por 2 dos dois lados
x>-3
O intervalo da solução é (-3,+∞), ou seja, todos os números reais do -3 até o in�nito
menos o número -3.
Resolução de b:
4<3x-2≤10
4+2<3x-2+2≤10+2
6<3x≤12 dividindo todas as partes por 3 temos
2<x≤4
O intervalo da solução é (2,4], ou seja, todos os números reais do 2 até o quatro
menos o número 4.
CONECTE-SE
Aqui, no primeiro link, colocarei o canal que abri no YouTube, em que
desenvolvo as questões de cálculo de um jeito descontraído e sem
formalidades excessivas:
https://go.eadstock.com.br/bl3
NA PRÁTICA
A importância prática dos conjuntos numéricos está relacionada às
regras de operações. Se você conhece qual é o conjunto a que
determinados números pertencem, você saberá quais as regras para
operar com eles. No caso dos números reais, são as regras
convencionais de soma, multiplicação, divisão, etc.
SAIBA MAIS
O foco que você deve dar aqui é nas soluções dos problemas voltados a
encontrar os conjuntos. Saber trabalhar com as desigualdades é de
extrema importância para o entendimento futuro de cálculo.
Funções I
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
É comum em nossa vida um determinado resultado depender de outros valores. Por
exemplo: a sua nota pode depender da quantidade de horas que se dedica, a
produção de uma fábrica pode depender da quantidade de máquinas ligadas em
oito horas de serviço, a força aplicada depende da massa do objeto e da aceleração
do mesmo, o tempo de uma viagem de carro depende da velocidade média deste
carro, o nível de um rio depende da quantidade de chuva, a resistência de um
material depende de uma série de propriedades deste material e, assim, poderíamos
continuar aqui a descrever in�nitas situações que dependem de outras variáveis.
Já que aprendemos na aula anterior sobre os conjuntos numéricos, vamos usá-los!
Uma função pode ser de�nida como um conjunto de números reais X que se
relaciona com um conjunto de números reais Y, onde um elemento de Y é único
para um determinado elemento do conjunto X. Vamos a um exemplo.
Analisando a Tabela 1, podemos perceber que existem dois conjuntos. O conjunto
formado por todos os números possíveis de serem substituídos no lugar de x. Neste
caso, não existe nenhuma restrição imposta para x. Como eu sei? Simplesmente por
duas razões básicas: a função y não dá erro independentemente do valor de x que
eu coloco, e também porque não colocamos nenhuma condição sobre a função y.
O segundo conjunto éformado por todas as respostas da multiplicação entre o
número 2 e o número x. Neste caso especí�co, o conjunto X e o conjunto Y são
formados por todos os elementos do conjunto dos números reais. Ou seja, sempre
existirá o dobro e a metade de um número dentro do conjunto dos números reais.
Vamos agora a mais um exemplo.
Tabela 1 – Exemplo de função número 1
x y = 2x
-3 -6
-2 -4
-1 -2
0 0
1 2
2 4
Fonte: o autor.
Na Tabela 2, temos a função y = x². Esta função é basicamente a função dos números
reais x elevado ao quadrado. O número x pode ser qualquer número real, pois
também não colocamos nenhuma condição e porque a função não dá erro para
nenhum número x real substituído. Teste o número -3,1273827 em sua calculadora e
você vai perceber que não dá erro.
Vimos aqui, portanto, o que é uma função e uma simples análise de suas
características.
Tabela 2 – Exemplo de função número 2
x y = x
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
Fonte: o autor.
2
@freepik
Nesta função, diferentemente da
apresentada na Tabela 1, acontece
algo interessante. O conjunto Y
formado pelas respostas da
substituição dos elementos do
conjunto X não possuem número
negativo. Ou seja, não importa o
número x que você substitua, a
resposta vai ser sempre positiva. O
conjunto X é formado pelos números
reais e o conjunto Y é formado pelos
números reais positivos .
Domínio e Imagem de uma
Função
Agora que já de�nimos uma função e percebemos que o funcionamento de cada
uma delas pode variar de acordo com suas características, vamos formalizar um
pouco mais o nosso estudo.
Começaremos com o seguinte exemplo:
A primeira coisa que mudou foi a nomenclatura à esquerda do igual. A partir de
agora usaremos f(x), f(g), f(h), e assim por diante. Isto signi�ca simplesmente uma
função que varia com os valores de x, g e h, respectivamente.
A nossa primeira de�nição formal será a de domínio da função. Domínio da função é
basicamente o conjunto X com todos os elementos x que podem ser substituídos
em uma determinada função.
Vamos descobrir agora qual é o domínio da função acima.
Podemos perceber, analisando a Tabela 3, que valores menores que 3 são
impossíveis de serem substituídos na função apresentada. Portanto, o domínio da
função acima é formado pelo conjunto dos números reais maiores ou igual ao
número três.
f (x) = √x − 3
Tabela 3 – Exemplo de função número 3
x
-1 Não existe
0 Não existe
1 Não existe
2 Não existe
3 0
4 1
Fonte: o autor.
f (x) = √x − 3
É claro que chegamos à conclusão acima substituindo os valores e construindo uma
tabela. Este caminho é um caminho árduo para algumas funções. Portanto, vamos
chegar à mesma resposta de uma maneira mais simples. Sabemos que não existem
raízes negativas de um número, desse modo, vamos colocar esta informação da
seguinte maneira.
Chegamos aqui à mesma resposta. O domínio de x é formado pelo conjunto de
todos os números reais maiores ou iguais a 3. É claro que é importante escrever esta
resposta da maneira que aprendemos na aula 1.
Intervalo fechado em três simbolizando que ele está dentro do domínio e intervalo
aberto em in�nito visto que in�nito não é um número especí�co. Por extenso, temos
à direita do igual “x tal que x maior ou igual a três sendo x pertencente ao conjunto
dos números reais”.
Já entendemos o que é um domínio de uma função. Agora, passaremos à de�nição
de imagem e usaremos a mesma função como exemplo. Imagem é o conjunto
formado por todas as soluções que são possíveis de serem obtidas com a
substituição de cada um dos elementos do domínio. Basicamente, a imagem é o
conjunto F(x) formado por todas as respostas da função.
Vamos olhar agora quais são as respostas da função apresentada acima. Se
olharmos a Tabela 3, perceberemos que as possíveis respostas começam no número
zero e vão até o in�nito. Não existem respostas negativas, portanto, a imagem da
função é formada por todos os números reais maiores que zero.
O intervalo fechado em zero simboliza que ele está dentro da imagem, e intervalo
aberto em in�nito visto que in�nito não é um número especí�co. Por extenso, temos
à direita do igual “x tal que x maior ou igual a zero, sendo x pertencente ao conjunto
dos números reais”. A forma de ler é igual, a diferença é que estamos falando agora a
respeito da imagem da função e antes estávamos falando do domínio da função.
x − 3 ≥ 0
x − 3 + 3 ≥ 0 + 3
x ≥ 3
[3, +∞] = {x|x ≥ 3, x ∈ R}
[0, +∞] = {x|x ≥ 0, x ∈ R}
Valor Absoluto de um Número
Antes de continuar com exercícios e aplicações das funções, vamos introduzir o
conceito de valor absoluto de um número. O valor absoluto de um número real
qualquer x é expresso como e é de�nido da seguinte maneira:
O que isto signi�ca? É bem simples. O valor absoluto de x será o próprio x se x for
maior que zero. Ou o valor de x será ele próprio multiplicado por menos um se ele
for menor que zero. Vamos aos exemplos.
Temos dois exemplos acima. O primeiro, lê-se “o valor absoluto de três é igual a três”
e o segundo, “o valor absoluto de menos três é igual a três”. Os exemplos acima
servem para quaisquer números reais.
Dito isso, podemos pensar agora sobre os possíveis intervalos com números
absolutos e depois funções com números absolutos.
Primeiro vamos com intervalos.
Isto signi�ca que o número x deve ser menor que “a” e maior que “-a”. Como assim?
Usaremos o exemplo abaixo para tirar esta dúvida.
A sentença acima signi�ca que queremos todos os números absolutos menores que
3. Façamos alguns testes então.
|x|
|x| = {x, x ≥ 0 ou  − x, x < 0}
|3| = 3
|−3| = 3
|x| < a
|x| < 3
Vejam que a solução para são todos os valores de x entre -3 e 3, ou -3<x<3.
Portanto, o seguinte intervalo (-3,3), todos os números entre -3 e 3 com exceção do -3
e do 3.
Tabela 4 – Exemplo para números absolutos
x | x |
-4 4
-3 3
-2 2
-1 1
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
Fonte: o autor.
|x| < 3
Exercícios
Resolva as equações: , 
Na primeira, temos duas condições, já que estamos falando de número absoluto.
Dica: ler item "Valor Absoluto de um Número" antes de fazer.
3x + 2 = 5
ou
-(3x+2) = 5
Na primeira condição
3x + 2 – 2 = 5 – 2
3x = 3 dividindo por 3 dos dois lados
|3x + 2| = 5 |x − 2| < 4
x = 1
Na segunda condição
-3x – 2 = 5
-3x – 2 + 2 = 5 + 2
-3x = 7
3x = -7  multiplicando por menos 1 dos dois lados
x = -7/3
x= - 2,333333333333…
Na segunda equação, temos:
-4 < x – 2 < 4
-4 + 2 < x – 2 +2 < 4 + 2
-2 < x < 6
(-2,6)  intervalo aberto em -2 e intervalo aberto em 6. Ou seja,  x pode variar de -2 até
6 com exceção do -2 e do 6.
CONECTE-SE
No link abaixo, você encontrará mais explicações sobre valor absoluto
ou módulo.
https://go.eadstock.com.br/bl4
NA PRÁTICA
A abordagem prática relacionada ao domínio de uma função é útil para
conhecer a validade de um determinado número em um problema
físico. Se temos um problema cuja função matemática está dividida por
x, sabemos que x não pode ser zero. A consequência é que na prática
saberemos que zero não representará nada �sicamente para aquele
problema.
SAIBA MAIS
O foco aqui é saber diferenciar domínio de imagem de uma função.
Além de saber lidar com os valores absolutos.
Funções II
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Olá a todos!
Neste momento, para você conseguir continuar sem problemas com seu
aprendizado, é importante que tenha entendido a aula 1 e a aula 2. Além disso, é
importante que tenha procurado por exercícios além dos mostrados aqui. Onde
procurar? Em qualquer livro de cálculo que possua capítulos relacionados a
conjuntos numéricos e funções. Aqui explicarei os conceitos. Claro! Mas �ca sob a
sua responsabilidade treinar.
Para começar a aula, veja a seguinte imagem:
Trata-se de uma conta errada, certo?
Mas vamos a mais um exemplo antes de prosseguirmos com outras questões a
respeito das funções. Vamos pensar a respeito da fórmula abaixo.
Vamos achar o domínio e a imagem da função acima. A primeira coisa que devemos
pensar agora que já entendemos o funcionamentodo domínio e da imagem é que
dentro da raiz acima não pode �car nenhum valor negativo. Portanto, se usarmos o
raciocínio, perceberemos que:
Aqui vamos ter duas respostas possíveis:
Isto ocorre porque, elevando ao quadrado qualquer número real menor que -3,
chegaremos a uma resposta maior que nove, já que o quadrado de um número é
sempre positivo. Portanto, o domínio da função apresentada é (-∞,-3] U [3,+∞). Por
extenso, “o domínio é formado pela união de dois conjuntos, sendo o primeiro do
in�nito negativo até o três negativo e do três positivo até o in�nito positivo”.
A imagem da função vai ser do zero até o in�nito positivo visto que só não
conseguimos obter números negativos com a função dada. Teste alguns valores na
sua calculadora!
f (x) = √x2 − 9
x2 − 9 ≥ 0
x2 ≥ 9
x2 ≥ 9
x ≥ 3
x ≤ −3
Grá�cos
Para conseguir compreender como funcionam os grá�cos, precisamos entender o
conceito de par ordenado. Os pares ordenados nada mais são que o valor de um
elemento do domínio com sua respectiva imagem. Vamos a um exemplo.
Uma das soluções da função acima vale 9 quando x vale 3. O problema é �car
escrevendo por extenso toda vez que nos referimos a uma determinada solução de
uma função. Portanto, representaremos o par ordenado acima da seguinte forma:
(3,9). Não confundiremos com intervalos pelo próprio contexto da aplicação. A
função acima possui in�nitos pares ordenados.
A partir do conceito de pares ordenados, podemos formular e entender o
funcionamento dos grá�cos. O grá�co nada mais é que uma forma de
representação dos pares ordenados de uma função por meio de algum tipo de
referência. No nosso caso, utilizaremos o plano cartesiano, formado pelo eixo x e o
eixo y, sendo os dois perpendiculares entre si.
Para compreender melhor, vamos olhar um grá�co.
f (x) = x2
Figura 3: Grá�co da função x²
Fonte: o autor.
Acima, temos o grá�co da função exemplo. O par ordenado (0,0) é a origem e é
formado pelo encontro do eixo x e y. O eixo x é chamado de eixo das abscissas, e o
eixo y é chamado de eixo das ordenadas.
A linha amarela da Figura 3 representa todos os pares ordenados da função.
Na Figura 4, temos em vermelho os pares ordenados (1,1) e (2,4). A importância dos
grá�cos se dá pela facilidade de extrairmos as informações de forma visual. Olhando
este grá�co, percebemos rapidamente que seu domínio vai do in�nito negativo até o
in�nito positivo, ou seja, todos os elementos do conjunto dos números reais. Além
disso, percebemos que sua imagem vai do valor 0 até o in�nito positivo, ou seja, em
y não há valores negativos.
Para um exemplo �nal, vamos utilizar a função representada pela
Figura 5. Veja mais uma vez que é fácil entender por meio do grá�co que o domínio
da função é dado por (-∞,-3] U [3,+∞) e a imagem [0,+∞).
Figura 4: Pares ordenados (1,1) e (2,4)
Fonte: o autor.
NA PRÁTICA
Para fazer grá�cos da mesma forma que �z na Figura 3, faça o
download do software chamado OpenBoard.
f (x) = √x2 − 9
https://go.eadstock.com.br/bl5
Figura 5: Grá�co da função 
Fonte: o autor.
Portanto, uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,f(x)), sendo
que dados dois pares ordenados distintos, nenhum deles terá o mesmo primeiro
número. O conjunto de todos os valores admissíveis é chamado de domínio da
função e o conjunto de todos os valores resultantes de f(x) é chamado de imagem
da função.
f (x) = √x2 − 9
Exercícios
Faça em seu caderno o desenho do grá�co da respectiva função.
f (x) = −5x + 3
Figura 6: Resposta do exercício
Fonte: o autor.
Vamos utilizar para os exercícios abaixo a seguinte função:
Ache f(0), f(2), f(h) e sendo h diferente de 0.
f(0) = 0²+3.0-4
f(0) = -4        
f(2) = 2² + 3.2 – 4
f (x) = x2 + 3x − 4
f(x+h)−f(x)
h
f(2) = 6
f(h) = h² +3h – 4
Só isso mesmo.
Resposta �nal = 
Se você teve di�culdades com algum passo acima procure pela explicação de (a+b)²
= a²+2ab+b².
=
f (x + h) − f (x)
h
(x + h)2 + 3 (x + h) − 4 − (x2 + 3x − 4)
h
x2 + 2xh + h2 + 3x + 3h − 4 − (x2 + 3x − 4)
h
2xh + h2 + 3h
h
2x + 3 + h
CONECTE-SE
No link abaixo, você vai encontrar mais explicações a respeito da
construção de grá�cos.
https://go.eadstock.com.br/bl6
NA PRÁTICA
Qualquer problema físico é mais fácil de ser compreendido por meio de
uma imagem que relaciona o que acontece com os pares ordenados à
medida que a função tem valores de x aumentados ou diminuídos.
Quantas vezes não assistimos a algum jornal que nos apresenta um
determinado grá�co? A partir do grá�co de uma função, conseguimos
entender qualquer fenômeno de forma mais simples e intuitiva.
SAIBA MAIS
O foco aqui é saber construir um grá�co com o auxílio de tabelas com
os valores de x e de f(x).
Limites
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
As aulas anteriores talvez tenham sido bem básicas para você. Se este for o caso,
ótimo, agora entraremos no nível superior. Se você sentiu muita di�culdade, ótimo,
gaste umas horinhas com questões relativas à matemática básica e depois prossiga
para entrarmos no nível superior, de fato. Independentemente do caso, acredito que
conseguiremos avançar.
A partir de agora, começaremos a entender as duas operações fundamentais em
cálculo, a derivada e a integral. Com elas, você conseguirá pensar a respeito de
problemas mais complexos independentemente de sua área de atuação.
Mas primeiro vamos começar do básico, vamos começar pelo conceito de limite e
depois evoluir para o conceito de derivadas e integrais.
Introdução ao Limite
Nada melhor do que começar usando um exemplo. Portanto, vamos usar a seguinte
função para descobrirmos o que é um limite.
Olhando para essa função, a primeira coisa que percebemos é que x não pode ser
igual a 1, pois qualquer coisa dividida por zero não existe. Apesar de não existir a
resposta da função para x igual 1, podemos estudar o que acontece tão próximo de 1
quanto quisermos. Vamos fazer isso por meio de duas tabelas e utilizando uma das
ferramentas mais simples da matemática, a substituição.
f (x) =
x2 + 3x − 4
x − 1
Se você substituir em sua calculadora os valores de x acima chegará às mesmas
respostas da coluna à direita da Tabela 5. Com uma olhada básica nos valores,
percebemos que quanto mais próximos de 1 chegarmos, mais próximos da resposta
5 �caremos. Lembrando aqui que nunca poderemos substituir 1 na função acima,
pois não existirá uma resposta para este valor.
Só estudar a função acima com os valores menores ainda não é su�ciente, então
vamos agora nos aproximar do valor 1 por números maiores que 1 por meio da
Tabela 6.
Na Tabela 6, podemos fazer a mesma análise feita para a Tabela 5. Quanto mais
próximos de 1 chegarmos, mais perto da resposta 5 �caremos. Lembrando mais uma
vez que a função nunca poderá ser 5, pois nunca conseguiremos substituir na
calculadora o número 1 para x.
Tabela 5 – Substituindo valores próximos de 1 menores que 1
x
0 4
0,25 4,25
0,5 4,5
0,75 4,75
0,9 4,9
0,99 4,99
0,999 4,999
0,9999 4,9999
0,99999 4,99999
Fonte: o autor.
f (x) =
x2+3x−4
x−1
O próximo passo nosso é analisarmos o que está acontecendo usando intervalos.
Para isso, vamos raciocinar! Quando x=0,9, f(x) = 4,9, isto é, quando x for 0,1 inferior a 1,
f(x) será 0,1 inferior a 5.
Podemos chegar mais próximo ainda do número 1. Quando x = 0,9999, f(x) = 4,9999,
isto é, quando x for 0,0001 menor que 1, f(x) será 0,0001 menor que 5.
O mesmo raciocínio vale para quando �zermos essa aproximação usando os valores
da Tabela 6.
Utilizaremos agora os conceitos das aulas anteriores. Vamos falar em termos de
valor absoluto. Podemos tornar tão pequeno quanto quisermos. Basta,
para isso, de�nirmos o quão pequeno será a relação .
Se �zermos,
Podemos aqui dar um nome para este valor de 0,0001. Vamos chamá-lo de ẟ(delta).
Tabela 6 – Substituindo valores próximo de 1 maiores que 1
x
2 6
1,75 5,75
1,5 5,5
1,25 5,25
1,1 5,1
1,01 5,01
1,001 5,001
1,0001 5,0001
1,00001 5,00001
Fonte: o autor.
f (x) =
x2+3x−4
x−1
|f (x) − 5|
|x − 1|
|x − 1|< 0, 0001
−0, 0001 < x − 1 < 0, 0001
−0, 0001 + 1 < x − 1 + 1 < 0, 0001 + 1
0, 9999 < x < 1, 0001
Sempre lembrando que x não poderá ser igual a 1, o intervalo �cará tão próximo de 1
quanto quisermos. Para a função apresentada quando a relação acima ocorrer 
será 0,0001 próximo de 5.
Tem-se:
Podemos aqui também dar outro nome para o valor acima de 0,0001. Vamos
chamá-lo de ε(épsilon).
A conclusão aqui é que poderemos chegar tão próximo do 5 o quanto quisermos
estabelecendo alguns parâmetros de proximidades.
Toda vez que nos referirmos a um limite temos que fazer todas essas tabelas e
trabalhar com esses valores absolutos por extenso?
A resposta é não. Para todo o raciocínio acima descrito poderemos utilizar símbolos.
Em resumo, tudo o que foi dito será representado da seguinte forma.
Se lermos por extenso a expressão acima, �cará da seguinte forma: “o limite da
função quando x se aproximar de 1 tanto por números maiores que 1
quanto por números menores que 1, nunca sendo 1, terá como resposta o número
  5”. É claro que para simpli�car em nossa cabeça podemos adotar a sentença “o
limite da função dada vale 5 quando x tende a 1”.
Neste caso em especí�co, x não poderá assumir o valor de um, porém, nada impede
que em outras funções x possa assumir o valor do ponto em questão.
|f (x) − 5|
|f (x) − 5| < 0, 0001
−0, 0001 < f (x) − 5 < 0, 0001
−0, 0001 + 5 < f (x) − 5 + 5 < 0, 0001 + 5
4, 9999 < f (x) < 5, 0001
lim
x→1
f (x) = 5
x2+3x−4
x−1
Exercícios
a) Seja a função e supondo que e que ε>0,01.
Determine um ẟ>0 tal que:
f (x) = 4x − 5 lim
x→3
f (x) = 7
|f (x) − 7| < 0, 01 e |x − 3| < δ
Para resolver o problema acima, precisamos primeiramente analisar o que está
acontecendo. Basicamente, o problema quer saber o quão perto devemos chegar
de 3 para que a diferença da resposta seja de 0,01.
Sabendo disto, basta resolvermos a equação somando esta diferença ao valor 7 e
depois resolvermos a mesma equação subtraindo a mesma diferença do valor sete.
Teremos então,
4x1 – 5  = 7,01
4x1 = 7,01+5
4x1 = 12,01
x1 = 12,01/4
x1 = 3,0025
Fazendo a outra:
4x2 – 5  = 6,99
4x2 = 6,99+5
4x2 = 11,99
x2 = 11,99/4
x2 = 2,9975
Como
3 – 2,9975 = 0,0025
3,0025 – 3 = 0,0025
Escolhemos, portanto, um  ẟ = 0,0025 e provamos que se      
Respondida a questão.
b) Resolva por meio do raciocínio lógico quanto vale os seguintes limites:
|x − 3| < 0, 0025 então  |f (x) − 7| < 0, 01
lim
x→3
8
Para este primeiro limite a resposta vale 8, visto não importar para que número x
tenda, já que todos os valores de f(x) são iguais a 8.
Para este limite a resposta vale 21, visto que se substituirmos 9,999999 e depois
10,000001 na função tenderemos ao valor 21.
Para esta função, podemos substituir valores próximos a 3 como, por exemplo,
2,9999 e 3,0001. A resposta será uma tendência ao valor 6.
lim
x→10
2x + 1
lim
x→3
(x2 − 9)/ (x − 3)
CONECTE-SE
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito do limite de
funções.
NA PRÁTICA
O limite aplicado a um problema físico qualquer nos permite entender
o que acontece com aquele problema em intervalos de tempo muito
pequenos. A velocidade média de um automóvel é a variação do espaço
pelo tempo, porém, se estudarmos o mesmo problema com a variação
do tempo tendendo a zero teremos a velocidade instantânea.
https://go.eadstock.com.br/bl7
SAIBA MAIS
Nesta aula, você tem a origem dos limites de forma racional em
pequenos intervalos. Por mais que existam regras práticas que veremos
nas aulas posteriores é importante sabermos como funciona o
raciocínio lógico a respeito dos limites.
Teoremas sobre Limites de
Funções
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Na aula anterior, vimos os conceitos básicos de limite. Agora sabemos que o limite
serve para estudar regiões bem pequenas de uma função matemática que pode ou
não representar um fenômeno da vida real. À medida que o curso for andando, você
começará a perceber a utilidade deste tipo de estudo. Por enquanto, vamos focar no
aprendizado da ferramenta antes de sair por aí a utilizando indiscriminadamente.
Nesta aula, estudaremos os teoremas dos limites. Vou fazer uma comparação aqui
para entendermos do que se trata. Da mesma forma que as operações básicas
(adição, subtração, multiplicação e divisão) possuem algumas regras de
manipulação, os limites também possuem. Nesta aula, apresentaremos as regras a
respeito dos limites. Não iremos aqui fazer uma formalização extensa a respeito de
cada teorema, mas sim, algumas veri�cações básicas. As provas dos teoremas são
utilizar o conceito de delta e épsilon( ẟ, ε) apresentado na aula passada. Para quem
quiser se aprofundar nas demonstrações basta ir às referências e olhar os livros
indicados.
Teoremas
Vamos começar com aqueles que já utilizamos sem ao menos saber de sua
existência. Sempre trabalharemos aqui com o conjunto dos números reais.
Se m e b forem constantes quaisquer. Este teorema diz que pode fazer a
substituição de “a” na equação para acharmos o limite.    
Nós o utilizamos na expressão abaixo. A resposta dá 21 porque quando x se aproxima
de 10, o valor do limite tende ao número 21 pela simples substituição,
Se c for uma constante, então para qualquer número a, o limite de c tendendo
a “a” será igual a “c”:
lim
x→a
mx + b = ma + b
lim
x→10
2x + 1 = 21
lim
x→10
23 = 23
A função, neste caso, não depende de x, portanto, é uma reta horizontal sem
variações. Assim, a resposta para qualquer aproximação sempre será igual ao valor
da constante.
Se e o limite da soma também será verdadeiro.
Vamos utilizar os exemplos acima.
Se , , …, o limite da soma também
será válido para in�nitos limites com x tendendo a “a”.
Crie mais um ou dois limites no mesmo padrão e some aos anteriores. Você vai ver
que tanto faz realizar a soma das respostas ou a soma das funções.
Se e então, o produto de L vezes M será igual ao
produto de f(x) vezes g(x).
A mesma coisa serve para a multiplicação de vários limites.
Se e n for um número inteiro positivo qualquer, então
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
g (x) = M
lim
x→a
[f (x) + g (x)] = L ± M
lim
x→10
23 = 23 + lim
x→10
2x + 1 = 21 = 44
lim
x→10
2x + 1 + 23 = 44
lim
x→a
f1 (x) = L1 lim
x→a
f2 (x) = L2 lim
x→a
fn (x) = Ln
lim
x→a
[f1 (x) ± f2 (x) ± f3 (x) . . . ±fn (x)] = L1 ± L2 ± L3±. . . ±Ln
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
g (x) = M
lim
x→10
23 = 23x lim
x→10
2x + 1 = 21 = 483
lim
x→10
(2x + 1)23 = 483
lim
x→a
[f1 (x) f2 (x) f3 (x) . . . fn (x)] = L1L2L3. . . Ln
lim
x→a
f (x) = L
lim
x→a
[f (x)]n = Ln
lim
x→10
23 = 23
232 = 529
lim
x→10
232 = 529
Se e a divisão entre os resultados é igual ao limite
da divisão.
Lembrando que o denominador não pode ser zero. Neste caso acima, M pode ser
qualquer número menos zero.
Se n for um número inteiro positivo e poderemos aplicar a raiz
tanto na função como na resposta. Com a restrição de que se “n” for par, L>0.
Fazendo n = 3
Se se e somente se 
Vamos testar este teorema.
Portanto, o teorema se aplicou ao nosso exemplo.
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
g (x) = M
lim
x→a
[ ] =
f (x)
g (x)
L
M
lim
x→10
[ ] =2x + 1
23
21
23
lim
x→a
f (x) = L
lim
x→10
n√2x + 1 = n√21
lim
x→10
3√2x + 1 = 3√21 = 2, 758924
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
f (x) − L = 0
lim
x→10
2x + 1 = 21
lim
x→10
2x + 1 − 21 = 0
Exercícios
Usar os teoremas acima para calcular os limites abaixo.
a) 
Para este limite, basta substituir o valor da tendência na função
3.5 – 8 = 7
Portanto, 
lim
x→5
3x − 8
lim
x→5
3x − 8 = 7
b) 
Usando os teoremas acima, devemos dividir este limite em outros.
c) 
Para este limite separaremos a função do numerador e do denominador.          
lim
x→2
x2 + x − 1
lim
x→2
x2 + lim x
x→2
+ lim
x→2
(−1)
[lim x
x→2
× lim
x→2
x] + 2 + (−1)
2 × 2 + 2 + (−1) = 5
lim
x→3
[ ]4x−5
5x−1
= = 0, 5
lim
x→3
4x − 5
lim
x→3
5x − 1
7
14
CONECTE-SE
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito dos
teoremas.
https://go.eadstock.com.br/bl8
NA PRÁTICASaber operar com limites é tão importante quanto saber as operações
básicas com os números reais. Quando em física estudar o
comportamento de qualquer problema utilizando o cálculo diferencial,
será necessário saber quais as regras a serem utilizadas.
Limites Laterais
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Neste ponto do curso, já trabalhamos com diversas teorias que se complementam
para conseguir estudar regiões especí�cas de uma função. Na aula anterior,
estudamos algumas propriedades que podemos aplicar sobre os limites para achar
seus valores de maneira mais fácil. Temos que lembrar que os limites que
estudamos até agora são equivalentes à aproximação de um determinado ponto da
função tanto por valores acima do ponto como por valores abaixo do ponto.
Na Figura 7, temos um grá�co representativo da função sen(x). A linha vertical do
grá�co é um determinado ponto escolhido onde desejamos conhecer o limite. As
linhas verdes representam o quão próximo podemos chegar a partir de um ẟ
escolhido, tanto à direita quanto à esquerda da função.
Vamos ver nesta aula que em algumas funções não é possível estudar o limite da
maneira que viemos fazendo até agora. Em algumas funções, só dá para se
aproximar de um ponto a partir de um dos lados do ponto, ou à esquerda ou à
direita do ponto, sendo à esquerda valores menores e os valores à direita maiores.
Figura 7: Exemplo de aproximação em um determinado ponto
Fonte: o autor.
De�nição
Seja f(x) uma função que está de�nida em todos os números de um intervalo aberto
(a,c). Isto quer dizer que o domínio da função vai de “a” até “c” com exceção de “a” e
de “c”. Portanto, o limite de f(x) quando x tende a “a” pela direita é L.      
Seja f(x) uma função que está de�nida em todos os números de um intervalo aberto
(d,c). Isto quer dizer que o domínio da função vai de “a” até “c” com exceção de “d” e
de “c”. Portanto, o limite de f(x) quando x tende a “a” pela esquerda é L.
Para esclarecer melhor, vamos utilizar a função sinal. Ela é de�nida da seguinte
forma:
Repare que esta função possui um valor constante quando é menor que 0. Um
ponto quando é igual a zero e outro valor constante quando é maior que zero.
Vamos calcular para esta função os seguintes limites:
O primeiro signi�ca que iremos nos aproximar de zero pelo lado maior que 0.
Portanto, o = 1 visto que a função vale 1 se x>0.
Para o = -1 visto que a função vale -1 se x<0.
Uma dica interessante aqui é esboçar o grá�co da função. Vou deixar este serviço
com você. Este grá�co é formado basicamente por uma reta horizontal que começa
no in�nito negativo e chegando próximo de 0 com o valor (-1). A mesma coisa temos
à direita do zero. Uma reta horizontal na altura do valor 1 e indo à direita
in�nitamente.
Podemos agora chegar a uma conclusão a respeito dos limites em geral.
O existe e será igual a L se e somente se e .
Esta sentença signi�ca que só poderemos ter um limite da forma convencional se e
somente se os limites à direita e à esquerda do ponto “a” forem iguais.
lim
x→apositivo
f (x)
lim
x→cnegativo
f (x)
sgnx = {−1sex ⟨0, 0sex = 0, 1sex⟩ 0}
lim
x→0positivo
sgn (x)
lim
x→0negativo
sgn (x)
lim
x→0positivo
sgn (x)
lim
x→0negativo
sgn (x)
lim
x→a
f (x) lim
x→apositivo
f (x) lim
x→anegativo
f (x)
Exercícios
a) Imagine a seguinte situação: um lojista vende o quilo da soja por 3 reais para uma
compra até 10 quilos. Acima de 10 quilos o valor passa a ser 2,5 reais o quilo. Faça o
grá�co da função e estude os limites laterais próximos a 10 quilos.
O esboço do grá�co pode ser visto na Figura 8. Em verde, estão representados os
pares ordenados. Em azul é a função 3x (pois o preço é três reais por quilo) que vai
até 10, e em vermelho é a função 2,5x (pois o preço passa a ser 2,5 reais por quilo) que
vai até o in�nito positivo.
Em resumo, temos f(x) = 3x para o intervalo (0,10] e f(x) = 2,5x para o intervalo (10,+∞).
Vamos estudar o que acontece ao redor do número 10, que representa 10 quilos.
Quando nos aproximamos de 10 por valores à esquerda de 10, devemos utilizar a
função 3x, já que ela é a única válida no intervalo (0,10]. Quando nos aproximarmos
de 10 por valores à direita de 10, devemos utilizar a função 2,5x, já que ela é a única
válida no intervalo (10,+∞).
Figura 8: Esboço do grá�co
Fonte: o autor.
Desta forma, temos os dois limites possíveis em torno de 10. Começaremos com o
positivo e logo abaixo o negativo.
lim
x→10positivo
2, 5x = 25
Podemos concluir que para o cliente é vantajoso comprar o mais próximo de 10
quilos possível, desde que seja um valor acima de 10 quilos. Para o vendedor, é mais
vantajoso compras próximas de 10 quilos, mas não maiores que 10. Lembrando que
as conclusões aqui são referentes apenas para vendas próximas de 10 quilos.
b) Seja a função g(x) de�nida por se e 2 se x = 0. Estude a função
próximo de zero usando todos os conceitos apresentados até aqui.
Primeiro vamos relembrar o que signi�ca o valor absoluto. Se adotarmos valores de x
maiores que zero começando do 1, 2, 3… e assim por diante, obteremos para g(x) os
mesmos valores. Substituindo os valores em x negativos -1, -2, -3, e assim por diante,
obteremos para g(x) as seguintes respostas: 1, 2, 3, e assim por diante. Colocando
todas essas informações no grá�co, chegaremos ao desenho da Figura 9. Em
vermelho temos todos os pontos que pertencem a g(x). O ponto em amarelo
signi�ca que o par ordenado (0,0) não pertence a g(x). Em verde são alguns pares
ordenados (-2,2), (-1,1), (1,1), (2,2) e o par ordenado do centro é (0,2).
Figura 9: Grá�co de g(x)
Fonte: o autor.
Vamos agora avaliar o domínio desta função. O conjunto de todos os valores
possíveis de x é dado por (-∞,+∞), ou seja, todos os elementos do conjunto dos
números reais. A imagem de g(x) é dada por todos os números maiores que zero
com exceção do 0, ou seja, (0,+∞). O zero não entra por causa da condição
estabelecida para g(x) sendo g(x) = 2 quando x = 0.
Dito tudo isso, podemos agora ver como aplicaremos os limites em torno do x=0.
lim
x→10negativo
3x = 30
|x| x ≠ 0
Primeiro devemos lembrar que só existirá se – e somente se – os limites
laterais em torno de 0 forem iguais, ou seja, . Só de olhar
o grá�co já percebemos que se aproximarmos a função de zero tanto pela esquerda
quanto pela direita, os dois limites laterais darão o valor 0. Portanto, existe.
Ou se escrevermos em forma de limite, teremos a expressão abaixo.
lim
x→0
g (x)
lim
x→0positivo
g (x) = lim
x→0negativo
g (x)
lim
x→0
g (x)
lim
x→0positivo
x = lim
x→0negativo
(−x)
0 = 0
CONECTE-SE
Leia um pouco mais sobre limites laterais.
SAIBA MAIS
Para gabaritar, você deve saber distinguir bem o que é um limite se
aproximando pela esquerda ou pela direita.
https://go.eadstock.com.br/bl9
Limites In�nitos
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Agora que já dominamos uma série de propriedades e conseguimos estudar alguns
tipos de funções mais a fundo, iremos para o próximo passo. Neste caso, o próximo
passo é estudar funções que possuem um comportamento curioso: elas tendem ao
in�nito quanto mais próximos de um ponto chegarmos.
Para este exemplo, vamos usar a seguinte função:
Vamos construir nossa tabela clássica e ver o que acontece nas proximidades do
número 2, visto que 2 não existe solução, pois �caríamos com 0 no denominador.
Nas Tabelas 7 e 8 vemos que quanto mais próximos chegarmos de 2,
independentemente se pela esquerda ou pela direita, o número tende a aumentar
in�nitamente, já que podemos nos aproximar in�nitamente.
f (x) =
3
(x − 2)
2
Tabela 7 – Função f(x) para valores maiores que 2
x
3 3
2,5 12
2,25 48
2,1 300
2,01 30000
2,0001 300000000
Fonte: o autor.
f (x) = 3
(x−2)
2
Figura 10: Grá�co de f(x)
Fonte: o autor.
A Figura 10 é a representação grá�ca desta função. Percebam que a vertical no
ponto dois não existe, porém, sabemos pelas Tabelas 7 e 8 que quanto mais
próximos chegarmos de dois, mais o valor cresce in�nitamente.
Usando as propriedades delimites que vimos até aqui, teremos as expressões
abaixo:
Tabela 8 – Função f(x) para valores menores que 2
x
1 3
1,5 12
1,75 48
1,9 300
1,99 30000
1,9999 300000000
Fonte: o autor.
f (x) = 3
(x−2)
2
Tanto a aproximação pela esquerda quanto pela direita dão uma tendência a valores
no in�nito. Já que os dois limites existem e são iguais o também
existe. Provamos aqui a existência deste tipo de limite. O mesmo poderá ocorrer para
uma função que decresça in�nitamente. O único detalhe que muda é o símbolo do
in�nito no �nal, sendo representado da seguinte forma
lim
x→2positivo
[ ] = +∞
3
(x − 2)
2
lim
x→2negativo
[ ] = +∞3
(x − 2)2
lim
x→2
[ ] = +∞3
(x−2)
2
:
lim
x→a
g (x) = −∞
Teoremas
Se r for um número inteiro positivo qualquer, então teremos as seguintes
expressões.
Sendo que na segunda expressão temos alguns condicionantes. Será menos in�nito
se r for ímpar e mais in�nito se r for par. Vamos fazer um teste para ver como o
teorema acima funciona, dados e . Na Figura 11, temos o
Grá�co das duas funções, sendo f(x) em verde e g(x) em laranja.
lim
x→0positivo
[ ] = +∞
1
xr
lim
x→0negativo
[ ] = ±∞
1
xr
f (x) = 1
x2
g (x) = 1
x3
Figura 11: F(x) em verde e G(x) em laranja
Fonte: o autor.
Percebam que para os dois casos apresentados, sempre que nos aproximamos de 0
pela direita a função tende ao in�nito. A mudança ocorre quando nos aproximamos
de 0 pela esquerda, quando r é um número par, a função tende a +∞ e quando r é
ímpar a função tende a -∞.
O próximo teorema é aplicado quando temos uma divisão de duas funções. Se a for
um número real qualquer e se e onde c é uma
constante diferente de zero, teremos a expressão abaixo:
É fácil de entender este teorema: basta fazer uma divisão de um número qualquer
por um número tão próximo de zero quanto quisermos. A resposta tenderá a +∞ ou
a -∞ dependendo dos sinais envolvidos nas funções f(x) e g(x).
Outro teorema importante diz que se temos um limite tendendo ao in�nito positivo
ou negativo e se somarmos a uma função cujo limite é uma constante o resultado
da soma dos limites ainda será in�nito positivo ou negativo dependendo da primeira
função.
lim
x→a
f (x) = 0 lim
x→a
g (x) = c
lim
x→a
[ ] = ±∞
g (x)
f (x)
lim
x→a
f (x) = +∞
lim
x→a
g (x) = c
Se o primeiro limite acima der -∞, o limite da soma das duas funções dará -∞.
O próximo teorema é análogo ao anterior e diz respeito à multiplicação de duas
funções. Vamos olhar as expressões abaixo.
Dependendo dos sinais da constante e do primeiro limite, a multiplicação de f(x)
vezes g(x) poderá ser menos ou mais in�nito. Basta você testar em sua calculadora
um número qualquer vezes um número tão grande quanto quisermos, a resposta
vai continuar sendo um número grande e o sinal vai depender do sinal dos números
que colocou. Lembrando sempre que este número qualquer c não pode ser zero.
A última de�nição que nos falta aqui é a de assíntota vertical. Podemos traçar uma
reta vertical nos grá�cos acima onde o limite tende ao in�nito. Vamos usar um dos
grá�cos já desenhados aqui. Na Figura 12, temos a assíntota vertical no ponto x=2
que é onde a função tende ao in�nito. Podemos desenhar uma assíntota vertical
sempre que um limite inferior ou superior de uma função f(x) tender ao in�nito
positivo ou negativo em um ponto determinado no eixo x.
lim
x→a
[f (x) + g (x)] = +∞
lim
x→a
f (x) = ±∞
lim
x→a
g (x) = c
lim
x→a
[f (x) g (x)] = ±∞
Figura 12: Assíntota vertical em vermelho
Fonte: o autor.
Exercícios
a) Calcule os limites das funções
Resposta:
Como neste caso a aproximação do número 2 acontece por valores maiores que 2,
como, por exemplo, 2,00000001 a resposta tende a dar +∞.
lim
x→2positivo
[ ]1
x + 2
lim
x→2positivo
[ ]1
x − 2
lim
x→2positivo
[ ] = 1/4 = 0, 251
x + 2
lim
x→2positivo
[ ] = +∞1
x − 2
b) Calcule a soma e a multiplicação dos dois limites calculados em a.
Resposta:
Se um limite já tende a mais in�nito, a soma dos dois tenderá também a mais
in�nito, visto que ¼ mais um número muito grande é um número muito grande.
A mesma coisa acontece quando multiplicamos dois limites e um deles já tende ao
in�nito. Basta seguir as regras de sinais da multiplicação.
lim
x→2positivo
[ + ] = +∞
1
x + 2
1
x − 2
lim
x→2positivo
[ ] = +∞1
x + 2
1
x − 2
CONECTE-SE
No link abaixo encontrará mais explicações a respeito dos limites
in�nitos.
https://go.eadstock.com.br/bma
Continuidade
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Olá!
Já aprendemos a trabalhar com vários tipos de limites e suas propriedades. Agora,
começaremos a aplicar os limites para investigar determinados pontos de uma
função e nas próximas aulas desenvolver operadores novos.
O primeiro detalhe que investigaremos em uma função é se ela é contínua ou não.
Saber se uma função é contínua vai ser útil nas aulas posteriores.
Vamos começar analisando um problema que foi resolvido em aulas anteriores.
Dado f(x) onde 3x será válido no intervalo 0≤x≤10 e 2,5x será válido para x>10. O
esboço da função f(x) está representado na Figura 15. Quando estudamos esta
função anteriormente, vimos que próximo ao valor 10 existem dois limites diferentes,
o limite superior é igual a 25 e o limite inferior no ponto 10 vale 30. Podemos a�rmar,
então, que f(x) é descontínua no ponto 10.
No ponto 10, não existe limite para f(x) quando x tende a 10 já que seus limites
laterais não são iguais. Basta olhar a Figura 15 que percebemos que a linha vermelha
não continua após o ponto 10, ao invés disso, surge uma nova linha em outros pares
ordenados.    
Temos aqui um pedaço da de�nição de descontinuidade.
Figura 15: F(x) descontínua no ponto x=10
Fonte: o autor.
Para aprendermos o outro pedaço da de�nição de continuidade, vamos olhar outra
função.
Simplesmente, olhando para a função acima, percebemos que x nunca poderá valer
1 visto que não existe divisão por zero. Se dermos uma olhada no grá�co desta
função, con�rmaremos essa inexistência do ponto.
Vamos agora à de�nição formal de continuidade.
f (x) =
x + 5
x − 1
Uma função qualquer só será contínua em um ponto “a” se – e somente se –
 cumprir as três exigências abaixo:
Deve existir
 Deve existir
 A igualdade deve existir
Portanto, se uma ou mais de uma das a�rmações acima não for veri�cada, a função
é descontínua no ponto “a”.
Figura 16: Grá�co de f(x) onde não há a existência de x=1
Fonte: o autor.
f (a)
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
f (x) = f (a)
Teoremas
Alguns teoremas decorrem da de�nição de continuidade. Se f(x) e g(x) forem
contínuas em um ponto a, então os itens abaixo se veri�cam.
f(x)+g(x) será contínua em a
f(x)-g(x) será contínua em a
f(x)g(x) será contínua em a
f(x)/g(x) será contínua em a, desde que a seja diferente de zero.
Uma função polinomial é contínua em qualquer número.
Funções do tipo axn+bxn-1+cxn-2+...+dx0
Uma função racional é contínua em todos os números de seu domínio.
Aquela que pode ser escrita como uma fração de polinômios.
Se n for um inteiro positivo, e dada a função abaixo:
Se n for ímpar, f(x) será contínua em qualquer número.
Se n for par, f(x) será contínua em todo número positivo.
f (x) = n√x
Exercícios
a) Veri�que as condições de continuidade para a função abaixo nos pontos
indicados.
se x diferente de 1
se x = 1
Veri�car no ponto x=1
Resposta:
Para fazer esta questão basta aplicar uma a uma a de�nição de continuidade
desenvolvida nesta aula.
A primeira diz que f(a) deve existir.
f (x) = 2x + 4
f (x) = 25
Vamos veri�car então se f(1) existe.
f(1) = 25, portanto, existe.
A segunda diz que deve existir. Olhando a função devemos pensar a
respeito das proximidades de 1 com exceção do próprio 1. Para fazer os limites
laterais da função acima, veri�camos que os dois existem e são iguais.
Portanto,
A segunda condição também está satisfeita.
Vamos veri�car a última condição:
Portanto, a terceira condição não está satisfeita. Logo, a função f(x) não é contínua
quando x =1.
b) Veri�que em quais pontos da função abaixonão há continuidade.
Resposta:
O domínio da função acima são todos os números reais exceto aqueles para os quais
x²-16=0, ou seja, os números 4 e -4. Dado que f(x) é uma função racional ela será
contínua em todos os outros valores.
Portanto, os dois pontos são 4 e -4.
lim
x→a
f (x)
lim
x→1positivo
[2x + 4] = 6
lim
x→1negativo
[2x + 4] = 6
lim
x→1
2x + 4 = 6
lim
x→a
f (x) = f (a)
lim
x→1
2x + 4 = 6 ≠ f (1) = 25
f (x) =
x4 + 1
x2 − 16
CONECTE-SE
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito da
continuidade de funções.
NA PRÁTICA
Muitos problemas físicos não apresentam continuidade em suas
funções, como, por exemplo, o acionamento elétrico de algum
dispositivo. Só há basicamente duas condições: ligado e desligado.
Quando o sistema passa de desligado para ligado a função do sinal
sofre um salto. Saber que existem essas possíveis descontinuidades é
interessante para aplicar ou não conceitos das aulas futuras.
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Continuidade II
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Nesta aula, vamos abrir o assunto sobre alguns detalhes a respeito de continuidade,
que ainda não mencionamos e, feito isso, estaremos preparados para entrar em um
dos assuntos mais importantes de cálculo.
Esta aula será dividida em basicamente dois tópicos: o primeiro será continuidade
de funções compostas, e o segundo continuidade de funções trigonométricas.
Continuidade de Funções
Compostas
Primeiramente, vamos de�nir aqui uma função composta. Dada uma função f(x) e
outra g(x), poderemos incorporar g(x) em f(x) usando a simbologia abaixo.
Temos acima uma função composta. Simples assim. Vale comentar aqui sobre seu
domínio. O domínio de (f o g) é o conjunto de todos os números x no domínio de
g(x) tal que g(x) esteja no domínio de f(x).
Vamos utilizar as seguintes funções para ilustrar o que foi dito.
O domínio de g(x) é dado pelo intervalo (-∞,+∞) que está dentro do domínio de f(x)
que possui um intervalo [0,+∞). Portanto, podemos fazer (fog) que possui o  seguinte
intervalo [-3,3] de domínio, visto que .
Apresentada aqui a função composta, vamos a seus teoremas.
Se e se a função f(x) for contínua em b, poderemos escrever a
seguinte sentença.
Vamos testar com as funções dadas acima. Primeiro, calcula-se = 
. Portanto, b=5, calculando f(b) temos que equivale à mesma coisa
que . Con�rmado o teorema.
(fog) (x) = f (g (x))
f (x) = √x
g (x) = 9 − x2
(fog) (x) = f (g (x)) = √9 − x2
9 − x2 ≥ 0
lim
x→a
g (x) = b
lim
x→a
(fog) (x) = f (b) = lim
x→a
f (g (x)) = f (lim
x→a
g (x))
lim
x→a
g (x) = b
lim
x→2
9 − x2 = 5 √5
lim
x→2
√9 − x2 = √5
Se a função g(x) for contínua em “a” e a função f(x) for contínua em g(a), então
a função composta (fog) será contínua em a.
Vamos agora para algumas de�nições.
Uma função é contínua em um intervalo aberto se e somente se ela for
contínua em todos os números do intervalo aberto.
A função f(x) será contínua à direita em um número “a” se – e somente se –
forem satisfeitas todas as condições seguintes.
 Deve existir
 Deve existir
A mesma coisa vale para veri�car se f(x) é contínua à esquerda de um número
“a”. Ou seja, as três condições acima com o ajuste para limite inferior devem
ser válidas.
Uma função cujo domínio inclui o intervalo fechado [a,b] será contínua em [a,
b] se e somente se ela for contínua no intervalo (a,b), contínua à direita em “a”
e contínua à esquerda em “b”.
Uma função cujo domínio inclui o intervalo semiaberto [a,b) será contínua em
[a,b) se e somente se ela for contínua no intervalo aberto (a,b) e contínua à
direita em “a”.
Vale o mesmo para (a, b] com as mudanças de referências cabíveis.
E, por �m, o teorema do valor intermediário.
Se a função f(x) for contínua no intervalo fechado [a,b], e se , então,
para todo número k entre f(a) e f(b) existirá um número c entre “a” e “b” tal
que f(c) = k.
f (a)
lim
x→apositivo
f (x)
lim
x→apositivo
f (x) = f (a)
f (a) ≠ f (b)
Continuidade das Funções
Trigonométricas
Agora, falaremos um pouco das funções trigonométricas. Só para fazer uma breve
introdução a respeito, vamos lembrar um pouco sobre algumas nomenclaturas. Aqui
falaremos de medidas de ângulos em radianos.
Só para deixar claro, o perímetro de uma circunferência é dado por 2πR. Em que R é
o raio da circunferência. Se dividirmos 2πR por R, �caremos com o que conhecemos
como 2π radianos, que signi�ca basicamente uma volta completa em uma
circunferência. Com isso chegamos à conclusão de que 360º equivalem a 2π
radianos, 180º equivalem a π radianos, 90º equivalem a π/2 radianos e 0º a 0 radiano.
Relembrado este conceito vamos ao que interessa em cálculo. Aqui será utilizada e
muito a seguinte operação.
Primeiro, vamos demonstrar a resposta usando a nossa famosa tabela. Lembrando
que “t” está em radianos. Use, portanto, sua calculadora em radianos e não em graus.
lim
t→0
[ ]
sent
t
Tabela 11 – Valores de x tendendo a 0
x
0,5 0,95885
0,4 0,97355
0,3 0,98507
0,2 0,99335
0,1 0,99833
0,01 0,99998
0,001 0,999999833
0,0001 0,999999998
Fonte: o autor.
f (x) = sent
t
Portanto, chegamos à resposta pelo simples teste na calculadora. O limite acima
quando “t” tende a 0 vale 1, mesmo que o ponto t=0 não exista. Vamos agora aos
teoremas.        
Suponha que as funções f(x), g(x), e h(x) estejam de�nidas em algum intervalo
aberto I contendo “a”, exceto, possivelmente, no próprio ponto a e que
f(x)≤g(x)≤h(x) para todo x em I, tal que x seja diferente de “a”. Suponha também
que e ambos existam e tenham o mesmo valor L. Então, 
 existe e é igual a L. Este teorema é chamado popularmente como
teorema do “sanduíche”.
A função seno é contínua em 0.
A função cosseno é contínua em 0.
As funções seno e cosseno são contínuas em todos os números reais.
A tangente, cotangente, secante e cossecante são funções contínuas em seus
domínios.
Tabela 12 – Valores de x tendendo a 0
x
-0,5 0,95885
-0,4 0,97355
-0,3 0,98507
-0,2 0,99335
-0,1 0,99833
-0,01 0,99998
-0,001 0,999999833
-0,0001 0,999999998
Fonte: o autor.
f (x) = sent
t
lim
x→a
f (x) lim
x→a
h (x)
lim
x→a
g (x)
lim
t→o
[ ] = 0
1 − cos (t)
t
Exercícios
a) Determine os valores em que f(x) é contínua.
Resposta:    
Para fazer este exercício, primeiro devemos enxergar a função acima como a junção
de duas outras funções.
Feito isso, podemos dizer que f(x) = h(g(x)), assim como foi explicado nesta aula.
Agora analisaremos as funções separadamente.
A função g(x) é contínua em todo o seu domínio, pois ela é polinomial e toda função
polinomial é contínua.
A função h(x) é contínua para todo número real positivo.
Portanto, f(x) será contínua para todo g(x)>0.
Como resposta, temos que o intervalo onde a função f(x) é contínua é (-4,4).  
b) Ache o limite se existir.
Resposta:
Para funções trigonométricas, devemos modi�cá-las de tal forma que apareçam
limites conhecidos. Para isso devemos manipular a fração apresentada. Só temos
opção de multiplicarmos em cima por 3/3 e embaixo por 5/5. Aí teremos:
f (x) = √16 − x2
h (x) = √x
g (x) = 16 − x2
16 − x2 > 0
x2 < 16
|x| < 4
−4 < x < 4
lim
x→0
[ ]
sen (3x)
sen (5x)
Agora, para aparecer o x embaixo de cada uma delas sem alterar a sentença acima
faremos a seguinte multiplicação:
Arrumando, teremos a expressão abaixo:
Aplicando o limite de x tendendo a zero tanto para a fração de cima como para a
fração de baixo chegaremos à seguinte expressão:
Portanto, o limite será dado da seguinte forma:          
∗ sen (3x)33
∗ sen (5x)5
5
[ ∗ sen (3x)] ∗ [ ]3
3
1
x
[ ∗ sen (5x)] ∗ [ ]5
5
1
x
3 ∗
sen(3x)
3x
5 ∗
sen(5x)
5x
3 ∗ 1
5 ∗ 1
lim
x→0
[ ] =
sen (3x)
sen (5x)
3
5
CONECTE-SE
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito da
continuidade de funções trigonométricas.
https://go.eadstock.com.br/bmd
NA PRÁTICA
Muitos problemas físicos ocorrem em formato de funções
trigonométricas. Em Cálculo II, estudaremos algumas delas. Um
exemplo de fenômeno que acontece sobre funções trigonométricassão
os fenômenos de vibração mecânica. A vibração nada mais é que um
movimento que se repete ao longo de um tempo. Esses movimentos
repetitivos �cam muito bem modelados a partir dos grá�cos de seno e
cosseno. Entender o comportamento dessas funções é fundamental
para modelar os problemas mencionados.
Derivada e Reta Tangente
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Finalmente chegamos a uma das partes mais importantes do cálculo. Nesta aula,
basicamente, aplicaremos o que conhecemos de limite para extrair informações das
funções que não conseguiríamos sem a noção de limite.
Para entendermos como a derivada funciona usaremos um grá�co de uma função
f(x).
O grá�co da função f(x) está representado na Figura 17. O primeiro passo agora é
traçar uma reta secante onde quisermos. Lembrando que uma reta secante
basicamente é uma reta que vai cruzar dois pontos quaisquer de nosso grá�co. Para
�car mais fácil de entender o raciocínio traçaremos a reta secante como indica a
Figura 18.
Vale lembrar que poderíamos escolher outros dois pontos quaisquer. O que
queremos aqui é estudar o que acontece à medida que aproximamos o segundo
ponto que está no par ordenado (1,1) do primeiro ponto, que está no par ordenado
(0,0). Para exempli�car o que acontece, a Figura 19 apresenta retas secantes com o
segundo par ordenado se aproximando do primeiro.
Figura 17: Grá�co de f(x) = x²
Fonte: o autor.
f (x) = x2
Figura 18: Grá�co de f(x) com reta secante nos pares ordenados (0,0) e (1,1)
Fonte: o autor.
Figura 19: Retas secantes com os pares ordenados se aproximando, sendo a verde
a mais próxima
Fonte: o autor.
Na Figura 19, temos a aproximação dos pares ordenados. Percebam que existe uma
tendência a cada vez que aproximamos os pares ordenados. Que tal agora
aproximarmos o máximo que der mantendo os pares ordenados diferentes.
Chegaremos ao desenho da Figura 20.
Na Figura 20, percebemos que os pontos estão tão próximos, tão próximos, que
praticamente estamos em cima de um ponto só (0,0). Quando isso acontece, a reta
que era secante agora é uma reta tangente ao ponto (0,0).
Agora, partiremos para a formulação do que foi dito. Primeiro, estabeleceremos dois
pares ordenados. O primeiro em um ponto (x,f(x)), ou seja, dada uma função f(x)
qualquer existirá uma resposta para cada x escolhido. O segundo ponto vamos
escrever em função do primeiro ponto. Portanto, �caremos com o segundo ponto
escrito da seguinte forma: (x+Δx,f(x+ Δx)).
Na Figura 21, temos uma representação genérica destes dois pontos. Dado que a
fórmula da tangente é a divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente, �camos
com a seguinte fórmula:
Figura 20: Grá�co de f(x) com reta tangente no par ordenado (0,0)
Fonte: o autor.
tangente =
f (x + Δx) − f (x)
Δx
Figura 21: Pares ordenados (x, f(x)) e (x + Δx, f(x + Δx))
Fonte: o autor.
Na Figura 22, temos a representação da fórmula apresentada. Agora já temos a
fórmula da tangente escrita em função dos pares ordenados e já temos a
representação grá�ca do problema.
Figura 22: Representação do triângulo formado pelos pares ordenados e seus
respectivos valores em verde
Fonte: o autor.
Só nos falta um detalhe: queremos que os dois pontos se aproximem o máximo
possível sem se coincidirem. Para isso aplicaremos o seguinte limite:
Portanto, a famosa derivada é dada pela fórmula acima que podemos representar
da seguinte maneira:
Lemos a expressão acima da seguinte maneira: “a derivada da função f(x) é dado
pelo limite da função [f(x+ Δx) -f(x)]/Δx quando Δx tende a zero”.
Existe outra forma de escrevermos a mesma coisa.
Neste caso,  Δy = f(x+ Δx)-f(x).
No �nal, temos a mesma coisa escrita de forma diferente. Veremos mais para frente
durante o curso, que a segunda maneira de escrever a derivada será muito útil em
inúmeros casos.
lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
f ′ (x) = lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
= lim
Δx→0
[ ]dy
dx
Δy
Δx
Exercícios
a) Ache a derivada das seguintes funções
Resposta:          
Para fazer, basta aplicar o conceito de limite.          
Vamos primeiro trabalhar com as substituições necessárias.
f (x) = x2 − 3
f (x) = x2 + x − 3
f ′ (x) = lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
Resposta da segunda derivada:          
Para fazer, basta aplicar o conceito de limite. Vamos usar a outra forma:        
Vamos primeiro trabalhar com as substituições necessárias.
[(x + Δx)2 − 3] − (x2 − 3)
Δx
x2 + 2xΔx + Δx2 − 3 − x2 + 3
Δx
2xΔx + Δx2
Δx
2xΔx + Δx2
Δx
f ′ (x) = lim
Δx→0
[2x + Δx]
f ′ (x) = 2x
= lim
Δx→0
[ ]
dy
dx
f (x + Δx) − f (x)
Δx
[(x + Δx)2 + (x + Δx) − 3] − (x2 + x − 3)
Δx
x2 + 2xΔx + Δx2 + x + Δx − 3 − x2 − x + 3
Δx
2xΔx + Δx2 + Δx
Δx
2x + Δx + 1
= lim
Δx→0
[2x + Δx + 1]
dy
dx
= 2x + 1
dy
dx
CONECTE-SE
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito da derivada.
NA PRÁTICA
Na aula 16, será apresentado um problema utilizando as derivadas. Logo
chegaremos lá.
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Derivação Implícita
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Estamos agora na última parte teórica a respeito de derivadas proposta pelo curso.
Entendendo esta aula, poderemos falar na próxima a respeito de aplicações.
A primeira coisa que devemos entender nesta aula é a respeito do termo utilizado.
Se existem derivadas implícitas, é claro que existem as explícitas. As explícitas nós
já trabalhamos em todas as aulas anteriores. Vamos a um exemplo qualquer:
A função apresentada é explícita, pois conseguimos achar y dado um x que pertence
ao domínio da equação. Neste caso, o domínio são todos os números reais, mas o
domínio pode variar dependendo da equação. Em resumo, dizemos que para cada
valor de x encontramos uma resposta em y. A derivada da função acima será
explícita também. Assim como mostrado abaixo:
A derivada mostrada também é explícita, pois a derivada de y em função de x
também depende exclusivamente de x.
Professor, existem casos em que não são assim?
Sim, vou mostrar para vocês, abaixo, uma equação que não funciona da maneira
com a qual estamos acostumados.
No caso acima, não poderemos resolver y em função de x apenas. Vamos fazer um
teste simples: substituir x = 2.
Viu? A resposta não foi encontrada ainda. Quando isso acontecer, podemos dizer
que y está de�nido implicitamente. Só lembrando que podemos escrever a equação
acima da seguinte forma:
Agora que já sabemos o que é uma função explícita e uma função implícita vamos
trabalhar com as derivadas. Mas, primeiro, vamos chamar de f(x) a função  abaixo.
Claro que não podemos esquecer da outra. Portanto, �camos com a seguinte função
g(y):
y = x4 + 3x3 + 2x2 − 4x + 5
= 4x3 + 9x2 + 4x − 4
dy
dx
x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2
26 − 2 ∗ 2 = 3y6 + y5 − y2
60 = 3y6 + y5 − y2
60 = 3f(x)6 + f(x)5 − f(x)2
f (x) = x6 − 2x
Perceba que �camos com uma de�nida em x e outra de�nida em y. Outra questão
importante que sabemos é que g(y) dependerá de f(x), portanto, podemos escrever
g(f(x)). Basicamente temos uma função composta.
Agora aplicaremos a derivada. Primeiro na função à esquerda e depois na função à
direita.
À esquerda �cará com a seguinte função e sua respectiva derivada:
À direita �cará com a seguinte função e sua derivada. Aqui só devemos tomar um
cuidado, pois a função está escrita em termos de y. Temos que saber que y depende
de x. A conclusão é que temos aqui uma função composta. Ficaremos então com as
relações abaixo.
A derivada �cou com o formato acima, porque y é uma função composta que
depende de x e pela regra da cadeia devemos usar a seguinte relação:
Isto quer dizer que primeiro derivamos.
E depois derivamos y em função de x �cando com a parcela a seguir:
Repetindo o raciocínio e juntando tudo o que temos até agora �caremos com a
seguinte função:
O próximo passo agora é isolar o que eu quero. Professor, o que queremos?
g (y) = 3y6 + y5 − y2
f (x) = x6 − 2x
f ′ (x) = 6x5 − 2
g (y) = 3y6 + y5 − y2
g′ (y) = 18y5 + 5y4 − 2y
dy
dx
dy
dx
dy
dx
(gof) (x) = g′ (f (x)) f ′ (x)
3y618y5
dy
dx
6x5 − 2 = 18y5 + 5y4 − 2y
dy
dx
dy
dx
dy
dx
Queremos a derivada, portanto, isolaremos ela.
E, �nalmente, �caremos com a seguinte função:
Para concluir o raciocínio, precisamos entender que saímos da função abaixo:
E chegamos à derivada dada por:
Em resumo, �zemos a derivada de uma função de forma implícita.
6x5 − 2 = (18y5 + 5y4 − 2y)
dy
dx
=
dy
dx
6x5 − 2
(18y5 + 5y4 − 2y)
x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2
=
dy
dx
6x5 − 2
(18y5 + 5y4 − 2y)
Exercícios
a) Ache uma equação da reta tangente à curva dada pela seguinte equação no
ponto (1,2).
Resposta:
Como o exercício pede a derivada, derivaremos e chegaremos à seguinte função:
A derivada em x é bem simples, segue as regras apresentadas nas aulas anteriores.
Para a derivada em y, temos que usar a regra da cadeia.
Isolando o que é necessário, chegaremos à seguinte equação.
Vamos substituir o ponto (1,2) agora para descobrir o valor.
x3 + y3 = 27
3x2 + 3y2 = 0
dy
dx
= − [ ]
dy
dx
x2
y2
Para acharmos a equação da reta tangente no ponto em questão, basta aplicarmos
a resposta na equação genérica da reta.
Substituindo os valores de x=1, y=2 e a=(-1/4), acharemos b.
Como temos b, agora basta substituir tudo.
ou
b) Dada a função abaixo, encontre .
Respostas:
Para derivarmos, basta aplicar a regra da multiplicação para cada uma das parcelas.
Assim, �caremos com a seguinte função:
Isolando as parcelas necessárias, chegaremos à seguinte função:
Finalmente, chegaremos à seguinte resposta:
= − [ ]
dy
dx
1
4
y = ax + b
b =
9
4
y = − x +
1
4
9
4
x + 4y − 9 = 0
dy
dx
xcos (y) + ycos (x) = 1
1 ∗ cos (y) + x (−sen (y)) + cos (x) + y (−sen (x)) = 0
dy
dx
dy
dx
(cos (x) − xsen (y)) = ysen (x) − cos (y)
dy
dx
=
dy
dx
ysen (x) − cos (y)
cos (x) − xsen (y)
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Mais derivadas de forma implícita.
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Derivada II
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Olá a todos!
A primeira conclusão a que chegaremos aqui a respeito da derivada é que ela é uma
operação, ou seja, assim como as outras operações, poderemos aplicá-la.
A segunda conclusão é que a de�nição de derivada passa por todas as regras de
limites que trabalhamos até agora, portanto, só existirá a derivada se o limite da
derivada existir.
A terceira é consequência da segunda. Se uma função qualquer é derivável em um
ponto, ela é contínua naquele ponto.
A partir dessas conclusões mais simples, serão apresentadas nesta aula algumas
regras de derivação para que a derivada não tenha que ser feita toda hora a partir
dos limites.
Teoremas sobre Derivação de
Funções Algébricas
Para as primeiras regras apresentadas aqui, usaremos como exemplo a função do
�nal da Aula 11, que já derivamos.
Acima, temos a função f(x) e sua respectiva derivada. À medida que formos
estudando as regras olharemos para f(x) para veri�car.
O primeiro teorema diz que qualquer constante quando derivada é igual a zero.
Vamos olhar na função que já conhecemos e ver se o primeiro teorema se aplicou. A
única constante da função era o número (-3). Vejam que na resposta o número (-3)
sumiu, portanto, virou zero. Veri�camos este teorema por meio do exemplo.
O segundo teorema é baseado na operação de potência.
f (x) = x2 + x − 3
f ′ (x) = 2x + 1
f (x) = c
f ′ (x) = 0
f (x) = xn
f ′ (x) = nx(n−1)
Vamos conferir na nossa função exemplo. Tínhamos a parcela x² e a parcela x¹. A
parcela x² se transformou em 2x. Escrevendo abaixo para �car mais fácil teremos as
seguintes fórmulas:
A mesma coisa ocorre com a seguinte parcela:
Portanto, o teorema se aplicou.
O terceiro teorema diz que quando temos uma constante multiplicando uma
função a constante permanece inalterada.
Para exempli�car, usaremos a seguinte função:
, aplicando o limite teremos como resposta o valor 3.
Portanto, também veri�camos o terceiro teorema por meio de um exemplo.
O quarto teorema é basicamente uma consequência dos anteriores e pode ser
escrito da seguinte forma:
x2
2x2−1
2x
x1
1x(1−1)
1
f (x) = nf (x)
f ′ (x) = nf ′ (x)
f (x) = 3x
f ′ (x) = lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
[3 (x + Δx)] − (3x)
Δx
3Δx
Δx
f ′ (x) = 3 = 3f ′ (x)
f (x) = cxn
f ′ (x) = cnx(n−1)
Vejam que a constante permanece inalterada, e a derivada mantém a mesma regra
do segundo teorema.
Teoremas de Derivação Quando
Temos Operações com Funções
Assim como temos regras para aplicar a derivada de uma função, vamos ter
também regras para derivar a soma, multiplicação e divisão de diferentes funções.
Vamos com a mais simples delas. Dadas duas funções, f(x) e g(x) podemos fazer as
seguintes operações:
Este teorema simplesmente a�rma que quando temos duas funções a derivada da
soma das duas dá o mesmo valor que derivar cada uma delas separadamente e
depois somar.
Vamos usar as nossas funções de sempre.
Somando f(x) com g(x) teremos h(x) = 2x²+x-6. Agora, vamos veri�car o teorema.
Portanto, vimos a aplicação do teorema.
O segundo teorema é o da multiplicação de duas funções.
h (x) = f (x) + g (x)
h′ (x) = f ′ (x) + g′ (x)
f (x) = x2 + x − 3
f ′ (x) = 2x + 1
g (x) = x2 − 3
g′ (x) = 2x
h′ (x) = f ′ (x) + g′ (x)
4x + 1 = 2x + 1 + 2x
h (x) = f (x) g (x)
h′ (x) = f (x) g′ (x) + f ′ (x) g (x)
Para este teorema não tem jeito, é preciso fazer umas contas a mais. Mas se
pensarmos bem, ainda sim, é um bom corte de caminho.
O próximo teorema também vai exigir algumas contas. É o da divisão de duas
funções.
A única condição para o teorema mostrado anteriormente é que g(x) deve ser
diferente de zero.
h (x) =
f (x)
g (x)
h′ (x) =
g (x) f ′ (x) − f (x) g′ (x)
[g (x)]
2
Exercícios
a) Derive as funções a seguir utilizando os teoremas.
Resposta:
Para resolver o problema acima de forma direta, basta aplicar os teoremas
apresentados a cada parcela da função. Podemos representar da seguinte maneira:
O que está escrito acima é que a derivada de f(x) será igual à derivada de cada uma
das parcelas. Aplicando os teoremas individualmente, teremos a seguinte resposta.
Resposta:
Utilizando o mesmo raciocínio, chegaremos à resposta abaixo.
f (x) = x8 + x4 − 3x2 + 2
f ′ (x) = [x8] + [x4] − [3x2] + [2]
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
f ′ (x) = 8x7 + 4x3 − 6x1 + 0
f ′ (x) = 8x7 + 4x3 − 6x
g (x) = 3x2
g′ (x) = 6x
b) Derive a divisão de f(x) por g(x).
Resposta:
Para esta questão basta aplicarmos o teorema da divisão.
Basta simpli�car agora.
h′ (x) =
3x2 (8x7 + 4x3 − 6x) − (x8 + x4 − 3x2 + 2) 6x
36x2
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Derivada de Funções
Trigonométricas
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Agora, falaremos a respeito de derivadas voltadas a funções trigonométricas. Elas
são muito importantes devido a um número grande de fenômenos físicos que são
modelados a partir de funções trigonométricas.
A primeira coisa que você deve lembrar é que a derivada ainda terá as mesmas
de�nições e teoremas vistos até aqui. Portanto, a derivada ainda estará relacionada à
reta tangente em um determinado ponto.
Para as derivadas mais básicas faremos algumas demonstrações.
Derivada de sen(x) e cos(x)
Começaremos pela derivada de sen(x), mas antes de começarmos é importante
lembrá-los das relações trigonométricas abaixo.
Aplicando a de�nição de limite, teremos a seguinte expressão:
Aqui, substituímos a função sen(x), �cando com a expressão abaixo:
Agora, aplicamos a relação trigonométrica equivalente.
Agora, agrupamos de forma estratégica e dividimos em parcelas os limites.
Nesta etapa, colocamos sen(x) em evidência.
Aqui, deixamos (-1) em evidência para trocar a ordem e �camos com 1-cos(x).
sen (a + b) = sen (a) cos (b) + cos (a) sen (b)
cos (a + b) = cos (a) cos (b) − sen (a) sen (b)
lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x)
Δx
lim
Δx→0
sen (x + Δx) − sen (x)
Δx
lim
Δx→0
sen (x) cos (Δx) + cos (x) sen (Δx) − sen (x)
Δx
lim
Δx→0
+ lim
Δx→0
sen (x) cos