expressões algebrica capitolo 2

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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
CAPÍTULO 2 – EXPRESSÕES E EQUAÇÕES 
ALGÉBRICAS: O QUE SÃO E COMO APLICÁ-
LAS EM SITUAÇÕES PRÁTICAS?
Thuysa Schlichting de Souza
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Introdução
Em muitas situações, utilizamos a Matemática como ferramenta para descrever e analisar fenômenos reais.
Particularmente, as equações e inequações nos permitem resolver problemas da vida cotidiana e das diferentes
áreas do conhecimento científico. Podemos citar, a título de exemplo, os que envolvem a determinação de áreas e
volumes de objetos, a divisão de valores, o cálculo de custos de empresas, a determinação de velocidade média
ou a distância percorrida na área da Física.
Nesse sentido, ao longo deste capítulo, aprenderemos a manipular e operar com expressões algébricas
fracionárias, especialmente as expressões racionais, adquirindo os fundamentos necessários para seguir com os
nossos estudos a respeito das equações e inequações algébricas. Além disso, poderemos analisar problemas
aplicados e resolvê-los utilizando os diferentes métodos e procedimentos de resolução de equações e inequações
estudados. Dessa forma, ao final do capítulo, seremos capazes de responder alguns questionamentos comuns,
como “O que caracteriza as equações algébricas?”, “Quais são as principais aplicações?”, “O que difere as
equações das inequações algébricas?” e “Quais situações requerem a utilização das inequações?”.
Vamos começar nos aprofundando nas expressões algébricas.
2.1 Expressões algébricas fracionárias
Você se recorda do conceito de expressões algébricas e o que caracteriza uma expressão algébrica fracionária?
As expressões algébricas se tratam de expressões matemáticas formadas por números e letras ou apenas por
letras. Quando uma expressão é, também, o quociente de outras duas, então acrescentamos o termo “fracionária”
para caracterizá-la como tal.
Podemos dizer que as mais especiais, com aplicações em diversos problemas práticos, são as expressões
, que são constituídas pelo quociente de dois polinômios.racionais
Como você já sabe de que forma deve determinar o domínio dessas expressões e como escrevê-las de maneira
simplificada, utilizando as propriedades da fatoração, quando possível; vamos estudar como efetuar operações
com expressões racionais. Para isso, precisamos lembrar que as mesmas regras que se aplicam as operações de
números racionais também se aplicam as expressões racionais.
Vamos multiplicar e simplificar a seguinte expressão: .
Primeiramente, precisamos fatorar de forma reduzida os numeradores e os denominadores da seguinte
maneira: .
Agora, podemos identificar mais facilmente quais são as restrições do domínio da expressão.
Como os denominadores não podem assumir o valor nulo, temos que , que e, ainda, que 
.
Retomando à expressão na forma fatorada , vamos simplificar os numeradores e os
denominadores que apresentem fatores comuns. Sendo assim, temos que: 
.
Logo, chegamos à conclusão de que para valores de pertencentes ao conjunto dos
números reais, tais que e .
Vamos, agora, dividir e simplificar a seguinte expressão: .
Como os denominadores já estão escritos na forma mais simples, podemos restringir o domínio da expressão
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Como os denominadores já estão escritos na forma mais simples, podemos restringir o domínio da expressão
sem dificuldades de cálculo. Assim, para que os denominadores sejam diferentes de zero, temos que o valor de 
também deve ser diferente de zero.
Você se lembra do conceito de divisão entre frações?
Já vimos que dividir frações é equivalente a multiplicar pela fração recíproca, invertendo o numerador e o
denominador. Logo, . Agora, observe que precisamos
realizar mais uma restrição adicional no domínio, uma vez que invertemos a segunda fração da multiplicação.
Assim, .
Dessa forma, podemos eliminar os fatores comuns entre as frações e simplificá-las, obtendo 
. Portanto, chegamos ao resultado de 
para valores de reais, tais que e .
Podemos sistematizar os procedimentos para multiplicação e divisão de expressões racionais a partir do quadro
a seguir.
Quadro 1 - Procedimentos para a realização de multiplicação e divisão de expressões racionais.
Fonte: YOUNG, 2017.
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Veja outros dois exemplos:
•
, sendo e ;
•
, sendo . e 
Perceba que a multiplicação e a divisão de expressões racionais exigem o conhecimento de fatoração para a
simplificação de numeradores e denominadores. No caso da adição e da subtração entre expressões racionais,
usaremos a fatoração de polinômios também para encontrarmos o MMC entre os denominadores das frações.
Cabe destacar que, quando adicionamos ou subtraímos expressões racionais cujos denominadores não
apresentam fatores comuns, o menor denominador comum é obtido multiplicando os dois denominadores.
Porém,
[...] se os denominadores das frações têm fatores comuns, então podemos encontrar o mínimo
múltiplo comum desses polinômios. O é o produto de todos os fatoresmínimo múltiplo comum
primos encontrados nos denominadores, onde cada fator está elevado à sua maior potência.
(DEMANA et al., 2013, p. 36, grifo dos autores).
Observe os exemplos:
• , sendo ;
• , sendo ;
• , sendo e 
;
• , sendo .
Agora que relembramos a definição de expressões racionais como quocientes de polinômios e discutimos como
determinar e simplificar o domínio dessas expressões, podemos passar para a resolução de equações e
inequações algébricas. Primeiro, veremos quanto as equações.
2.2 Equações algébricas
Durante a vida escolar você já deve ter se deparado com problemas que exigem a determinação de valores que
tornam uma igualdade verdadeira, como na Física, quando trabalhamos com a Mecânica Clássica para
determinar a velocidade de um projétil sabendo a distância e o tempo; ou na própria Matemática, quando
queremos encontrar o valor dos lados de um cubo, sabendo a área total. Poderíamos descrever diversos
exemplos de equações algébricas que fazem parte de problemas de diferentes áreas do conhecimento. Portanto,
trata-se de um conceito muito importante para os estudos da Matemática, que está estritamente relacionado ao
seu desenvolvimento ao longo da história.
Mas o que, efetivamente, são equações algébricas? Como podemos defini-las?
Segundo Góes (2015, p. 14), “[...] as equações algébricas são quaisquer igualdades que envolvem operações com
variáveis na busca de determinar as soluções da equação”. Alguns exemplos de equações algébricas em uma
incógnita são:
1. ;
•
•
•
•
•
•
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1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .
Note que, com exceção das equações 5 e 6, as equações algébricas anteriores apresentam um polinômio em um
dos termos da igualdade, por isso, podemos chamá-las de . Já a equação 5, que contémequações polinomiais
expressões racionais como termos da igualdade, pode ser chamada de . E, finalmente, aequação racional
equação 6, que apresenta a incógnita dentro de um radical, é denominada de .equação radical
Muitas vezes, podemos transformar equações racionais e radicais em equações polinomiais. Cabe destacar que
as equações polinomiais podem ser classificadas de acordo com o maior expoente da incógnita. Assim, dizemos
que é uma equação do primeiro grau, uma vez que o grau da incógnita é 1. Já a equação 
é de segundo grau, enquanto a equação é de terceiro grau.
Já vimos que, pela definição de equação algébrica, pretendemos determinar a solução da equação (ou suas
raízes), ou seja, queremos encontrar os valores de x que tornam a equação verdadeira. No primeiro exemplo
apresentado anteriormente, , o valor de que faz com que a igualdade seja verdadeira é . Por isso,
dizemos que é a . Já em , existem dois valores atribuídos à incógnita quesolução da equação
tornam a igualdade verdadeira, sendo eles: e . Dessa forma, dizemos que o conjunto solução da
 é .equação
Nem sempre encontrar a solução de uma equação é algo trivial, como no caso da equação , que
apresenta como conjunto solução .
Na sequência, estudaremos detalhadamente métodos de resolução de alguns tipos de equações algébricas,
especialmente as equações polinomiais. Para isso,precisamos definir, primeiramente, o que significa a
equivalência de equações algébricas.
De acordo com Young (2017), duas equações que apresentam o mesmo conjunto solução são chamadas de 
. Por exemplo, e são equivalentes, pois possuem o mesmo conjuntoequações equivalentes
solução, a saber: .
Agora, pense na questão: é equivalente a duas equações?
Note que não é equivalente às equações anteriores, já que seu conjunto solução é , que é diferente de 
, conjunto solução de e .
Veja um resumo dos procedimentos para gerar equações equivalentes com a tabela a seguir.
VOCÊ SABIA?
As equações polinomiais de primeiro, segundo, terceiro e quarto graus também são
denominadas , , e , respectivamente. Asequações lineares quadráticas cúbicas quárticas
duas últimas são consideradas as maiores contribuições dos matemáticos para a Álgebra. Seus
métodos de resolução foram publicados na obra “A Grande Arte”, de Girolamo Cardano, que
apresentou resultados além dos ressaltados pelos matemáticos da antiguidade. Alguns
historiadores afirmam que, na obra, foram escritos diversos métodos, sendo alguns deles
publicados sem autorização de seus inventores (GÓES, 2012).
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Tabela 1 - Maneiras de gerar equações equivalentes.
Fonte: Adaptado de YOUNG, 2017.
Você deve se recordar, também, que utilizamos equações equivalentes para resolver equações lineares em uma
incógnita, e que aplicamos os procedimentos da tabela anterior para chegar à equação equivalente na forma
mais reduzida quando a incógnita está igualada à um número real.
Vamos, então, resolver a equação linear: .
Primeiro, precisamos eliminar os parênteses utilizando a propriedade da distributividade. Assim, temos a
seguinte equação equivalente: .
Agora, podemos combinar os termos em , reunindo-os à esquerda da igualdade e as constantes reais à direita,
da seguinte forma: .
Por fim, vamos dividir 4 nos lados e obter a equação equivalente na forma mais reduzida: . Logo, a equação
linear em questão apresenta o conjunto solução: .
Agora, vamos resolver a seguinte equação linear que envolve frações: .
Inicialmente, para adicionar as frações, temos que determinar o mínimo múltiplo comum (MMC) de todos os
denominadores.
Sabemos que o menor número divisível simultaneamente por 2 e 8 é o próprio 8. Portanto, multiplicando cada
termo da equação pelo MMC 8, obtemos . Subtraindo e somando 8 nos lados,
obtemos .
Agora, basta dividirmos 3 também nos lados para chegarmos à equação equivalente na forma mais reduzida: 
. Sendo assim, a equação linear em questão apresenta o conjunto solução: .
É comum que as equações lineares que envolvem frações sejam confundidas com as equações racionais. Porém,
tratam-se de tipos de equações algébricas distintas: na primeira, a incógnita está localizada no numerador da
fração, enquanto que as equações racionais apresentam polinômios como denominador da fração.
Vale ressaltar que existem equações racionais que podem ser transformadas em equações lineares. Nesse caso,
precisamos verificar se a solução da equação linear também é solução da equação racional original. Veja o
exemplo da equação racional: .
Inicialmente, devemos verificar quais são valores que a incógnita não pode assumir, isto é, quais são os valores
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exemplo da equação racional: .
Inicialmente, devemos verificar quais são valores que a incógnita não pode assumir, isto é, quais são os valores
que tornam a equação indeterminada. Sabemos que os denominadores não podem assumir o valor zero, logo,
temos que e . Daí, resulta que .
Agora, devemos encontrar o MMC entre os denominadores , e 3. Nesse caso, basta determinarmos o MMC
entre os números e repetir a incógnita, em que o MMC será . Multiplicando todos os termos por este valor,
obtemos .
Note que obtemos uma equação equivalente que não é mais do tipo racional, mas, sim, linear. Com isso, podemos
subtrair e 10 nos lados, resultando em .
Por fim, dividindo os lados da igualdade por 2, chegamos à equação equivalente na forma mais reduzida: .
Como o valor é diferente de zero, a equação linear em questão apresenta uma solução, que é o conjunto: .
No exemplo anterior, o valor obtido como solução da equação linear equivalente, também satisfaz a equação
racional original. Contudo, o contrário também pode ocorrer, como acontece com a equação racional 
.
Podemos verificar que deve ser diferente de 1, uma vez que este valor torna os denominadores iguais a zero e,
consequentemente, a fração fica indeterminada. Como as frações apresentam o mesmo denominador , este
será o MMC.
M u l t i p l i c a n d o c a d a t e r m o p o r , o b t e m o s : 
.
Por fim, dividindo os lados da igualdade por 10, chegamos à equação equivalente na forma mais reduzida: .
Podemos pensar, inicialmente, que é a solução da equação racional original. Porém, devemos lembrar que a
equação racional tem como restrição que o valor de deve ser diferente de 1. Sendo assim, não pode ser
solução da equação, e a equação não tem solução real.
Até aqui, vimos como resolver equações lineares e equações racionais, transformando-as em equações lineares
equivalentes. Agora, vamos aprender métodos de resolução para as equações cuja incógnita é elevada à segunda
potência em pelo menos um dos termos, ou seja, para as equações de segundo grau.
2.2.1 Equações algébricas de segundo grau
De acordo com Góes (2015), uma equação algébrica de segundo grau pode ser descrita na forma ,
sendo os coeficientes , e números reais e . O terceiro termo é chamado de , umatermo independente
vez que não apresenta dependência da incógnita . Além disso, como somente o coeficiente deve ser diferente
de zero, é possível encontrarmos equações de segundo grau da forma , cujo um dos termos ( ou oincompleta
termo independente) não aparece na equação.
Observe alguns exemplos:
Coeficientes: , e .
Coeficientes: , e .
Coeficientes: , e .
Coeficientes: , e .
Segundo Young (2017), existem diferentes métodos de solução para as equações quadráticas, sendo eles:
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Segundo Young (2017), existem diferentes métodos de solução para as equações quadráticas, sendo eles:
fatoração, método da raiz quadrada, completar o quadrado e fórmula quadrática. Contudo, de modo geral, o mais
conhecido é o último, que também é popularmente chamado no Brasil de :Fórmula de Báskara
Vale ressaltar que o símbolo da fórmula indica que devemos utilizar duas expressões para se calcular o valor de 
: uma com o sinal operatório de adição ( ) antes da raiz quadrada e a outra com o sinal operatório de subtração
( ).
Vejamos como utilizar a fórmula quadrática para resolver as equações com os exemplos a seguir:
Pela fórmula, temos que: .
Portanto, a equação possui duas soluções reais iguais.
Pela fórmula, e .
Portanto, a equação possui duas soluções reais distintas.
Pela fórmula, .
Não existem números reais que satisfaçam a equação, portanto, não possui soluções reais.
Pela fórmula, e .
Portanto, a equação de segundo grau possui duas soluções reais distintas.
Pela fórmula, e .
Logo, a equação possui duas soluções reais distintas.
Pela fórmula, .
Portanto, a equação possui duas soluções reais de mesmo valor, iguais a zero.
Podemos observar que a existência de soluções reais para a equação de segundo grau depende de ser um
VOCÊ SABIA?
Por volta de 1960, no Brasil, a fórmula de resolução de equações de segundo grau se tornou
popularmente conhecida como . Porém, tal costume é aparentementeFórmula de Báskara
algo brasileiro, uma vez que não encontramos o nome de Báskara para essa fórmula na
literatura internacional. Sabe-se que, até o fim do século de 1916, não se usava uma fórmula
para obter as raízes de uma equação de segundo grau, pois não se representavam por meio de
letras os coeficientes de uma equação. Isso começou a ser feito a partir de François Viète,
matemático que viveu de 1540 a 1603 (RPM, 1999).
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Podemos observar que a existência de soluções reais para a equação de segundo grau depende de ser um
valor real. Sendo assim, o valor do radicando,ou , , determina a quantidade de soluçõesdiscriminante
da equação.
Podemos verificar que, quando (positivo), existem duas soluções reais e distintas; quando , existe uma
única solução real (ou uma solução dupla); e quando (negativo), não existem soluções reais para a equação.
Dependendo do tipo da equação de segundo grau, podemos resolvê-la utilizando outros métodos cujos cálculos
são mais simples. Por exemplo, podemos perceber que uma equação de segundo grau incompleta do tipo 
sempre terá uma solução dupla igual a zero. Isso porque .
Veja alguns exemplos:
• ;
• ;
• .
Uma equação de segundo grau incompleta do tipo não possui solução real ou possui duas soluções
distintas. Isso porque . Então, se , o radicando será negativo e a equação não terá
solução real. Já se , tem-se que . Esse método de resolução utilizado para resolver equações
incompletas com é denominado de .método da raiz quadrada
Observe alguns exemplos:
• ;
• ;
• , a equação não apresenta solução real.
Existe, ainda, o , que utiliza a seguinte propriedade do produto nulo: “Se um produto formétodo de fatoração
igual a zero, então pelo menos um dos seus fatores tem que ser igual a zero” (YOUNG, 2017, s./p.). No caso da
equação de segundo grau incompleta do tipo , podemos fatorá-la colocando o fator comum em
evidência, obtendo . Pela propriedade do produto nulo, temos que ou . Assim, as duas
soluções possíveis serão e .
Vamos exemplificar o método com alguns exemplos:
• e ;
• e ;
• e .
O método da fatoração também é utilizado em equações de segundo grau completas, , que podem
ser fatoradas pelo quadrado da soma ou pelo quadrado da diferença.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
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Vamos retomar o exemplo da equação e verificar se é possível realizar esse tipo de fatoração: note
que . Pela propriedade do produto nulo,
temos que e, consequentemente, .
Vejamos outros exemplos:
• , assim ;
• , assim ;
• , assim .
Podemos observar, também, que os métodos de fatoração e raiz quadrada são dois procedimentos simples e
rápidos para resolver tipos específicos de equações quadráticas. No entanto, existem equações que não podem
ser solucionadas diretamente por esses dois métodos. Nesse caso, devemos optar pela fórmula quadrática, que é
decorrente de um procedimento geral chamado de .completar o quadrado
As equações lineares e quadráticas são muito importantes pelas suas aplicações, mas existem, ainda, as 
, bastante utilizadas em problemas sobre volume de sólidos, como cubos e paralelepípedos; eequações cúbicas
as , que também costumam aparecer em problemas geométricos.equações quárticas
De acordo com Góes (2015), uma equação cúbica ou algébrica de terceiro grau é do tipo ,
sendo os coeficientes números reais quaisquer, exceto o coeficiente , que deve ser um número real diferente de
zero. O método de resolução dessa equação é conhecido como , pois foi desenvolvido porCardano – Tartaglia
Scipione Del Ferro e Nicolo Tartaglia, publicado por Girolamo Cardano em 1545.
VOCÊ QUER VER?
O vídeo intitulado “Um encontro inusitado” trata de um problema sobre proporção áurea que
utiliza a resolução de uma equação de segundo grau para encontrar a solução do problema
proposto inicialmente. Além disso, é apresentado um método heurístico para a solução de
problemas matemáticos por meio das sugestões de um personagem histórico: o matemático
francês René Descartes. Você pode ver o vídeo completo em: <https://www.youtube.com
>./watch?time_continue=143&v=R9n8x6lP1GE
•
•
•
VOCÊ QUER LER?
O método de completar o quadrado utiliza a ideia de transformar uma equação quadrática do
tipo completa, , na forma , sendo e números reais. Assim,
podemos resolver a equação pelo método da raiz quadrada. Para saber mais sobre o método e
como utilizá-lo, sugerimos a leitura do texto de Marcus Vinicius Casoto Zeferino, disponível no 
: <link http://web3.ufes.br/petmat/sites/web3.ufes.br.petmat/files/Aula%2004%20-%
>.20Marcus.pdf
https://www.youtube.com/watch?time_continue=143&v=R9n8x6lP1GE
https://www.youtube.com/watch?time_continue=143&v=R9n8x6lP1GE
http://web3.ufes.br/petmat/sites/web3.ufes.br.petmat/files/Aula%2004%20-%20Marcus.pdf
http://web3.ufes.br/petmat/sites/web3.ufes.br.petmat/files/Aula%2004%20-%20Marcus.pdf
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Uma equação quártica ou de quarto grau é do tipo , sendo os coeficientes números reais
quaisquer, exceto o coeficiente , que é um número real diferente de zero. Essas equações podem ser divididas
em equações gerais e equações biquadráticas.
As demandam um método de resolução mais complexo, similar ao método de Cardano –equações gerais
Tartaglia para equações de terceiro grau.
As , por sua vez, são aquelas que não apresentam os termos com e , ou seja, são daequações biquadráticas
forma (GÓES, 2015). Equações do quarto grau biquadráticas podem ser resolvidas por meio do
procedimento de substituição, que as transformam em equações quadráticas. Para compreender o método, veja
o exemplo da equação: .
Inicialmente, vamos substituir por , utilizando a relação: . Assim, 
.
Agora, podemos fatorar a equação quadrática de incógnita a partir do quadrado da diferença, da seguinte
forma: . Resolvendo a equação, temos que .
Por fim, transformando novamente para a incógnita , temos . Portanto, o conjunto solução
é .
Cabe destacar que o mesmo procedimento pode ser utilizado para resolver outros tipos de equações, não
somente de quarto grau, desde que elas possam ser transformadas na forma quadrática. Por exemplo, a equação
com expoentes negativos da forma pode ser resolvida pelo mesmo método.
Observe que podemos usar a relação e reescrever a equação original como 
. Resolvendo a equação quadrática na incógnita , temos que 
 e . Como , temos, então, que e que . Portanto, o conjunto
solução é .
Até mesmo alguns tipos de equações radicais podem ser resolvidas utilizando esse procedimento, como é o caso
de . Observe que, nesse caso, podemos usar a notação de potência com expoentes fracionários para
representar a mesma equação radical, da seguinte forma: . Usando a
relação , obtemos uma nova equação na incógnita da forma: . Agora, podemos resolver a nova
equação por fatoração, obtendo: e .
Por fim, voltando à incógnita , encontramos os resultados: e . Portanto, o
conjunto solução da equação radical original é .
Dessa forma, podemos reconhecer diferentes tipos de equações algébricas e métodos de resolução. Aqui, não
pretendemos realizar um estudo exaustivo dos procedimentos de resolução, mas apresentar os mais utilizados
que simplificam cálculos trabalhosos ou complexos. Na sequência, teremos a oportunidade de verificar
VOCÊ QUER LER?
O artigo intitulado “A Solução de Tartaglia para a Equação do Terceiro Grau”, de César Polcino
Milies, apresenta aspectos históricos sobre o desenvolvimento da fórmula de resolução da
equação de terceiro grau. Além disso, utilizando métodos e notações modernas, é realizada
uma exposição relativamente simples sobre a construção da fórmula geral, válida para
qualquer equação cúbica. Você pode ler o texto completo através do : <link http://www.rpm.
>.org.br/cdrpm/25/4.htm
http://www.rpm.org.br/cdrpm/25/4.htm
http://www.rpm.org.br/cdrpm/25/4.htm
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que simplificam cálculos trabalhosos ou complexos. Na sequência, teremos a oportunidade de verificar
importantes aplicações das equações algébricas.
2.3 Aplicações das equações algébricas
A partir de agora, vamos resolver problemas que envolvem as equações algébricas já estudadas. Além de
situações cotidianas, poderemos observar que muitos desses problemas, inclusive de outras áreas do
conhecimento, exigem o domínio dos métodos e procedimentos de resolução de equações. Perceba, ainda, que
utilizaremos os diferentes métodos apresentados anteriormente, alternando sempre que possível e sem
privilegiar um em específico.
Contudo, você pode realizar o exercício com outros procedimentos na resolução dos mesmos problemas, a fim
de aumentar seu conhecimento.
2.3.1 Problema 1: viagem ao acampamento
Durante uma viagem até o acampamentona cidade vizinha, um casal percorreu do caminho de barco, 10
quilômetros a pé e do caminho de bicicleta. Sendo assim, qual é a distância total percorrida pelo casal durante
a viagem? (YOUNG, 2017).
Desejamos encontrar a distância total percorrida pelo casal, por isso, vamos representar essa distância pela letra 
 (pode ser qualquer outra a seu critério).
Sabemos, ainda, que a distância total da viagem é dada pela soma das distâncias realizadas de barco, a pé e de
bicicleta pelo casal, conforme podemos observar na figura a seguir.
Figura 1 - Representação da distância total da viagem.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Logo, podemos escrever a seguinte equação: .
Como se trata de uma equação linear com frações, vamos resolvê-la multiplicando todos os termos pelo número
6, que é o MMC dos denominadores 3 e 6. Assim, obtemos a equação equivalente .
Simplificando as frações, obtemos .
Reunindo todos os termos em à direita, temos que . E, finalmente, dividindo os lados por 3, chegamos ao
resultado , ou, ainda, .
Portanto, podemos concluir que a distância total da viagem realizada pelo casal foi de 20 quilômetros.
2.3.2 Problema 2: novo negócio
Uma mulher resolveu abrir um pequeno negócio fazendo guardanapos personalizados para eventos especiais,
como casamentos e coquetéis de empresas. Ela consegue separar US$ 1.870 (dólares) para os custos mensais. Os
custos fixos são de US$ 1.329,80 por mês, enquanto que os custos variáveis são de US$ 3,70 por conjunto de
guardanapos. Dessa forma, quantos conjuntos de guardanapos ela consegue fabricar por mês? (YOUNG, 2017).
Nesse problema, precisamos construir um esquema que nos permita visualizar melhor como é possível obter o
custo total mensal. Com isso, vamos denominar de a quantidade de conjuntos que a mulher consegue produzir
mensalmente.
Figura 2 - O custo total mensal é a soma dos custos fixos mensais e dos custos variáveis por conjunto de 
guardanapos.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Sendo assim, podemos construir a equação linear: .
Resolvendo a equação por meio de equações equivalentes, temos que 
.
Portanto, a mulher consegue fabricar 146 conjuntos de guardanapos por mês.
2.3.3 Problema 3: campo de futebol
Na Copa do Mundo de 1994, diversos jogos ocorreram no estádio da Universidade de Stanford, na Califórnia. O
campo possui 30 jardas ( ) a mais de comprimento em relação à largura. Já a área do campo é de ,
conforme vemos na figura a seguir.
Figura 3 - Representação do campo de futebol.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Sendo assim, quais são as dimensões desse campo de futebol? (DEMANA et al., 2013).
Temos no problema duas informações: o valor da área e a relação entre o comprimento e a largura. Devemos
lembrar que a área de um retângulo é obtida multiplicando o valor da largura pelo comprimento. Assim, vamos
atribuir a letra para representar a largura e para indicar o comprimento.
Assim, se é a área do campo, temos a equação , ou, ainda, .
Podemos usar a relação entre o comprimento e a largura para escrever em função de da seguinte forma: 
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Podemos usar a relação entre o comprimento e a largura para escrever em função de da seguinte forma: 
. Substituindo a última equação na equação da área, obtemos 
. Agora, reescrevendo a equação quadrática na forma padrão,
temos que .
Observe que a equação quadrática é do tipo completa, mas não pode ser fatorada utilizando a propriedade do
quadrado da soma. Logo, vamos usar a fórmula quadrática:
 e 
Note que está representando a largura do campo de futebol. 
Como a dimensão não pode ser um número negativo, a única solução da equação que pode ser considerada no
problema em questão é . Sendo assim, a largura do campo é 80 jardas e o comprimento é 110 jardas, já que
a dimensão é 30 jardas maior do que a dimensão da largura.
Cabe destacar que jardas é uma unidade de medida utilizada, principalmente, nos países norte-americanos, a fim
de representar distâncias curtas. Em situações do nosso cotidiano, temos o costume de utilizar o metro como
unidade de medida principal.
Então, você sabe qual é a relação entre a jarda e o metro?
Podemos considerar que 1 jarda corresponde à, aproximadamente, 0,91 metros. Sendo assim, no problema,
temos que a largura do campo é 72,80 metros e o comprimento é 100,10 metros.
2.3.4 Problema 4: lançamento de objetos
Sabe-se que a altura , acima do solo, de um objeto lançado verticalmente, é dada pela expressão ,
em que: é a altura inicial em metros; é a velocidade inicial em metros por segundo; é a aceleração
gravitacional, que vale aproximadamente 9,8 m/s²; e é o tempo decorrido do lançamento (BAUER; WESTFALL;
DIAS, 2012).
Considerando essas informações, imagine que uma bola é lançada verticalmente para cima, partindo do solo,
com uma velocidade de 39,2 m/s².
Pense nas questões: como podemos expressar a altura , em metros, em função do tempo , em segundos,
decorrido após o lançamento do objeto? Quanto tempo decorrido após o lançamento a bola retorna para o solo?
Vamos iniciar a análise do problema considerando as informações fornecidas no enunciado. A primeira
informação dada é que a bola é lançada do chão, o que significa que sua altura inicial é zero e, em termos
matemáticos, . Além disso, sabemos que a velocidade inicial será de 39,2 m/s², ou seja, .
VOCÊ O CONHECE?
Galileu Galilei(1564-1642) foi um matemático e astrônomo italiano que descobriu
regularidades matemáticas no movimento dos corpos em queda. Foi ele quem realizou
experiências com corpos rolando por um plano inclinado, mostrando a importância de
experimentos controlados no estudo dos fenômenos naturais. Nos últimos anos de sua vida,
Galileu escreveu o livro “Discursos e Demonstrações Matemáticas sobre Duas Novas Ciências”,
em que expôs seu trabalho com o movimento de corpos em planos inclinados. Utilizando as
leis do movimento planetário de Kepler, Galileu criou uma nova matéria: a , ou seja, oMecânica
estudo matemático dos corpos em movimento (STEWART, 2014).
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Agora, podemos substituir esses valores na expressão , em que obtemos a expressão adequada ao
problema: .
Para determinarmos o tempo necessário para que a bola retorne ao solo, precisamos resolver a seguinte equação
de segundo grau: .
Repare que a equação é da forma , assim, podemos resolvê-la usando sua forma fatorada: .
Desse modo, .
As duas soluções possíveis serão: e . Isso significa que a bola atingirá novamente o chão (altura
zero) após 8 segundos do momento em que foi lançada.
2.3.5 Problema 5: paralelepípedo
Considere a seguinte informação: “O volume de um paralelepípedo de dimensões 3 cm, 6 cm e 12 cm equivale ao
de um cubo de dimensões . Se o volume do paralelepípedo for reduzido à metade, a quanto será reduzido o lado
do cubo?” (GÓES, 2015, p. 62).
Figura 4 - Representação do Paralelepípedo e do cubo.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Para resolvermos o problema, precisamos lembrar da definição de volume do paralelepípedo e do cubo. Nos dois
casos, o volume é dado pela multiplicação entre as três dimensões: comprimento, largura e altura. Assim,
denominando de e de os volumes do paralelepípedo e do cubo, respectivamente, temos que 
 e .
Sabemos que os dois volumes são iguais, logo, podemos igualar as equações, obtendo .
Observe que chegamos à uma equação cúbica incompleta, uma vez que os termos e não aparecem. Assim, é
fácil resolvermos a equação sem haver a necessidade de utilizarmos um método mais complexo. Basta usarmos a
operação inversa da potenciação, ou seja, a radiciação. Daí, temos que .
Agora que já encontramos o valor das dimensões do cubo, devemos encontrar a medida do lado do cubo quando
o volume do paralelepípedo é reduzido à metade, ou seja, quando .
Utilizando a mesma ideia usada para determinarmos as dimensões do cubo anteriormente, temos que 
. Portanto, o lado do cubo que tinha 6 cm passa a ter 4,76 cm quando
reduzimos o volume do paralelepípedo pela metade.
Agora que já aplicamos as equações em problemas comuns, vamos estudaro conceito de inequação e alguns
- -17
Agora que já aplicamos as equações em problemas comuns, vamos estudar o conceito de inequação e alguns
métodos de resolução que utilizam ideias e procedimentos estudados anteriormente em equações algébricas.
2.4 Inequações
Você consegue se lembrar da diferença entre equações e inequações?
Para ajudá-lo a recordar o conceito de inequação, vamos analisar o seguinte problema: uma pessoa quer dirigir
105 km em não mais do que duas horas. Sendo assim, qual é a velocidade média que ela deve manter enquanto
dirige? (DEMANA et al., 2013).
Para resolver o problema, devemos lembrar que a distância percorrida é calculada por meio do produto entre a
velocidade média e o tempo que levamos para percorrê-la. Então, vamos supor que a pessoa queira dirigir os
105 km em exatamente duas horas. Daí, devemos resolve a equação , sendo a
velocidade média. Isto é, a pessoa deve manter uma velocidade média de 52,5 km/h para percorrer 105 km em
exatamente duas horas. Porém, o problema não quer saber a velocidade média para que a pessoa realize o
trajeto em exatamente duas horas, mas para que ela realize o trajeto em menos do que duas horas.
Assim, perceba que, para velocidades maiores do que 52,5 km/h, a pessoa completará o trajeto de 105 km mais
rápido, antes de duas horas. No entanto, se a velocidade média for menor do que 52,5 km/h, serão necessárias
mais do que duas horas para que a pessoa realize o trajeto de 105 km. Dessa forma, a pessoa deve manter a
velocidade média maior ou igual a 52,5 km/h para completar o trajeto de 105 km em não mais do que duas
horas.
Em termos matemáticos, temos que . No problema, a inequação representa todos os números reais 
 que são maiores ou iguais a 52,5. Assim, quando desejamos encontrar a solução de uma inequação, estamos
buscando determinar todos os valores de que satisfaçam uma desigualdade, o que é diferente de encontrar
valores que satisfaçam uma igualdade.
Veja as diferentes formas que podemos representar a inequação com a tabela a seguir.
Tabela 2 - Diferentes maneiras de representar uma inequação.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Cabe destacar que o infinito ( ) não representa um número, mas um símbolo cujo significado é a continuidade
indefinida para a direita na reta real. Sendo assim, utilizamos o parêntese na notação de intervalo, e não um
colchete. Além disso, na representação gráfica, utilizamos parênteses e colchetes para indicar se o ponto da
extremidade está incluído ou não no intervalo, respectivamente. Outro símbolo que pode ser usado são as bolas
abertas ou fechadas.
Assim como estudamos as equações lineares, vamos estudar as inequações lineares. Uma inequação linear em 
pode ser escrita como , sendo os coeficientes números reais e .
Observe que os sinais que representam uma desigualdade são: (menor), (maior), (menor ou igual) e 
(maior ou igual). Alguns exemplos de inequações lineares são:
• ;
• ;
•
•
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• ;
• .
Segundo Young (2017), a diferença entre uma equação linear e uma inequação linear é que a equação tem, no
máximo, apenas uma solução ou valor de que torna a sentença verdadeira, enquanto que a inequação pode ter
um intervalo de números que tornam a sentença verdadeira.
Para resolvermos inequações, devemos seguir as seguintes propriedades descritas na tabela a seguir.
Tabela 3 - As propriedades das inequações.
Fonte: DEMANA et al., 2013, p. 55.
Devemos ficar atentos ao fato de que, quando multiplicamos (ou dividimos) uma inequação por uma constante
negativa, a desigualdade deve ser invertida. Caso o número multiplicado (ou dividido) seja positivo, a
desigualdade deve ser preservada. Além disso, as propriedades continuam verdadeiras caso o símbolo seja
substituído por menor ou igual ( ). As propriedades são similares quando usamos os símbolos maior ( ) ou
maior ou igual ( ).
Agora, vamos resolver as inequações lineares apresentadas no último exemplo, utilizando as propriedades
anteriores e considerando que pode assumir valores reais:
Somando −4 (o oposto de 4) nos lados da desigualdade, obtemos a inequação equivalente . 
Multiplicando a nova inequação por nos lados, obtemos .
Nesse caso, a desigualdade não se alterou, pois o número multiplicado é positivo.
Agora, basta efetuarmos a multiplicação para obtermos .
Portanto, a solução da inequação, em suas diferentes representações, pode ser observada com a tabela a seguir.
Tabela 4 - Diferentes maneiras de representar a solução da inequação 2x + 4 < 0.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Somando 16 nos lados da desigualdade, obtemos a inequação equivalente .
•
•
- -19
Somando 16 nos lados da desigualdade, obtemos a inequação equivalente .
Multiplicando a nova inequação por nos lados, obtemos .
Observe que devemos inverter o sinal da desigualdade, pois o número multiplicado é negativo.
Agora, efetuando a multiplicação, obtemos .
Portanto, a solução da inequação, em forma de intervalo, é .
Como notação de conjunto, temos .
Vamos eliminar as frações multiplicando os lados por 15, que é o MMC entre 3 e 5, ou seja: 
.
Realizando a distributiva e simplificando as frações, temos que .
Agora, vamos somar e nos lados da desigualdade, em que obtemos .
Portanto, a solução da inequação, em forma de intervalo, é .
Como notação de conjunto, .
Eliminando as frações multiplicando os lados por 8, que é o MMC entre 2 e 8, temos: .
Realizando a distributiva e simplificando as frações, temos a inequação: .
Somando nos lados da desigualdade, obtemos .
Portanto, a solução da inequação, em forma de intervalo, é .
Como notação de conjunto, .
Vimos as inequações lineares que apresentam apenas um sinal de desigualdade. Contudo, é possível encontrar
inequações que apresentam uma inequação dupla (ou combinada), como em , cujo significado é “ é
maior ou igual a –9 e menor do que 8”. O conjunto solução, nesse caso, são todos os números reais no intervalo 
.
Vamos observar um caso de aplicação das inequações na resolução de um problema.
- -20
A seguir, vamos analisar dois problemas que envolvem inequação dupla.
2.4.1 Problema 1: temperatura de Nova York
Considera que a cidade de Nova York possui, em média, uma faixa anual de temperaturas entre 23 graus
Fahrenheit e 86 graus Fahrenheit. Dessa forma, qual é a faixa em graus Celsius, dado que a relação de conversão
é ? (YOUNG, 2017).
A temperatura em Nova York varia de 23ºF até 86ºF, que, em linguagem matemática, é . Substituindo 
pela relação de conversão em graus Celsius, temos a desigualdade . Nesse caso, devemos subtrair
32 de todos os termos da inequação, obtendo .
Agora, multiplicando as três partes da desigualdades por , temos que .
Portanto, podemos afirmar que a cidade de Nova York possui, em média, temperaturas que variam de −5ºC até
30ºC.
2.4.2 Problema 2: custo de produção
O custo diário de produção de um determinado produto é dado por , sendo a quantidade diária
produzida. Sabendo-se que, no último mês, o custo diário variou entre um máximo de R$ 4.700 e um mínimo de
R$ 3.420, qual é o intervalo de variação da produção diária no último mês?
Como o custo diário oscilou entre os valores do intervalo , podemos representar a variação do custo
CASO
Silvio está pesquisando tarifas de aluguel semanal de carros de grande porte. Ele está
analisando a proposta de duas empresas:
Sendo assim, quantos quilômetros Silvio precisa percorrer para que o aluguel da Americar
fique mais conveniente do que o aluguel na Eletrocar?
Para resolver o problema de Silvio, vamos denominar de o número de quilômetros rodados
durante uma semana. Assim, podemos representar o custo do aluguel na Americar,
matematicamente, pela expressão: . Já o custo do aluguel na Eletrocar é dado pela
expressão .
Agora, vamos escrever a inequação representando que a America é mais barata do que a
Eletrocar: .
Resolvendo a inequação, obtemos: , ou, de forma equivalente, .
Portanto, Silvio precisa dirigir mais do que 200 quilômetros para que a Americar seja um
melhor negócio do que a Eletrocar.
• a empresa Americarestá anunciando uma tarifa de aluguel de R$ 320,00, mais 
um adicional de R$ 0,40 por quilômetros rodados;
• a Eletrocar está propondo uma tarifa de aluguel de R$ 240,00, mais US$ 0,80 
por quilômetros.
•
•
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Como o custo diário oscilou entre os valores do intervalo , podemos representar a variação do custo
diário com a inequação dupla . Subtraindo 220 em cada um dos três termos, obtemos 
.
Agora, basta dividirmos todos os termos por 8 e obtemos .
Sendo assim, foram produzidas, no último mês, de 400 a 560 unidades diárias.
Aqui, você teve a oportunidade de aprender sobre as equações e seus diferentes métodos de resolução.
Estudamos, ainda, o conceito de inequação e os procedimentos de resolução das inequações lineares e
inequações lineares com frações. Assim, esses conhecimentos podem ser utilizados no dia a dia, sempre que for
preciso.
Síntese
Neste capítulo, você estudou os conceitos de equações e inequações algébricas, sendo possível o
desenvolvimento do pensamento algébrico e a identificação de situações e problemas que utilizam desse
pensamento para a organização das informações. Assim, analisamos problemas reais e utilizamos o pensamento
algébrico na busca da sua solução.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• rever o conceito de expressões algébricas fracionárias e a ideia de fatoração;
• reconhecer os diferentes tipos de equações algébricas;
• aprender métodos e procedimentos de equações algébricas;
• utilizar os conhecimentos de equações algébricas para resolver problemas e situações aplicadas;
• aprender o conceito de inequações e reconhecer seus diferentes tipos.
Bibliografia
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. : Mecânica. Porto Alegre: AMGH, 2012.Física para Universitários
DEMANA, F. D. et al. . 2. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.Pré-cálculo
GÓES, A. R. T. . Curitiba: InterSaberes, 2015.Números Complexos e equações algébricas
M3 MATEMÁTICA Multimídia. . 19 mar. 2012. Disponível em: <Um encontro inusitado https://www.youtube.
>. Acesso em: 17/07/2018.com/watch?time_continue=143&v=R9n8x6lP1GE
MILIES, C. P. A Solução de Tartaglia para a Equação do Terceiro Grau. , v.Revista do Professor de Matemática
25, 1994. Disponível em: < >. Acesso em: 06/07/2018.http://www.rpm.org.br/cdrpm/25/4.htm
RPM. A Fórmula é de Bhaskara?. , 1999. Disponível em: <Revista do Professor de Matemática http://rpm.org.br
>. Acesso em: 06/07/2018./cdrpm/39/12.htm
STEWART, I. : Uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos. Rio deEm busca do infinito
Janeiro: Zahar, 2014.
YOUNG, C. Y. . Rio de Janeiro: LTC, 2017.Álgebra e Trigonometria
ZEFERINO, M. V. C. . Programa de Educação Tutorial –Projeto Fundamentos de Matemática Elementar
Matemática. Espírito Santo: Universidade Federal do Espírito Santo, 2018. Disponível em: <http://web3.ufes.br
>. Acesso em: 06/07/2018./petmat/sites/web3.ufes.br.petmat/files/Aula%2004%20-%20Marcus.pdf
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•
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•
https://www.youtube.com/watch?time_continue=143&v=R9n8x6lP1GE
https://www.youtube.com/watch?time_continue=143&v=R9n8x6lP1GE
http://www.rpm.org.br/cdrpm/25/4.htm
http://rpm.org.br/cdrpm/39/12.htm
http://rpm.org.br/cdrpm/39/12.htm
http://web3.ufes.br/petmat/sites/web3.ufes.br.petmat/files/Aula%2004%20-%20Marcus.pdf
http://web3.ufes.br/petmat/sites/web3.ufes.br.petmat/files/Aula%2004%20-%20Marcus.pdf
	Introdução
	2.1 Expressões algébricas fracionárias
	2.2 Equações algébricas
	2.2.1 Equações algébricas de segundo grau
	2.3 Aplicações das equações algébricas
	2.3.1 Problema 1: viagem ao acampamento
	2.3.2 Problema 2: novo negócio
	2.3.3 Problema 3: campo de futebol
	2.3.4 Problema 4: lançamento de objetos
	2.3.5 Problema 5: paralelepípedo
	2.4 Inequações
	2.4.1 Problema 1: temperatura de Nova York
	2.4.2 Problema 2: custo de produção
	Síntese
	Bibliografia