Exercícios de Geometria Plana Resolvidos e Comentados

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1) (UPF/2009). Se os ângulos externos de 
um polígono regular medem 18°, então o 
número de diagonais desse polígono é: 
a) 190 
b) 170 
c) 120 
d) 135 
e) 162 
2) (UNISC INV/2014). Os lados de um 
losango medem 4 cm e um de seus 
ângulos 60º. As medidas da diagonal 
menor e da diagonal maior do losango 
medem, respectivamente, 
a) 2 cm e 2√3 cm. 
b) 2√3 cm e 4 cm. 
c) 2√3 cm e 4√3 cm. 
d) 4 cm e 4√3 cm. 
e) 4 cm e 8 cm. 
3) (UERJ/2015). Uma chapa de aço com a 
forma de um setor circular possui raio R e 
perímetro 3R, conforme ilustra a imagem. 
 
A área do setor equivale a: 
a) R² 
b) R²/4 
c) R²/2 
d) 3R²/2 
 
4) (ENEM 2010). Um arquiteto está 
fazendo um projeto de iluminação de 
ambiente e necessita saber a altura que 
deverá instalar a luminária ilustrada na 
figura. Sabendo-se que a luminária deverá 
iluminar uma área circular de 28,26 m², 
considerando π = 3,14, a altura h será igual 
a: 
 
a) 3 m 
b) 4 m 
c) 5 m 
d) 9 m 
5) (Fuzileiros Navais Turmas I e II 2019) 
A figura abaixo representa um quadrado 
com um círculo circunscrito. Qual a área 
da figura hachurada? Considere π = 3,14. 
 
 
Exercícios de Geometria Plana 
Resolvidos e Comentados 
 
https://1.bp.blogspot.com/-Iptc7dkbFmI/XCD44GGin0I/AAAAAAAAHvM/4dcX07Vpq6E1E6EENqyWPA5bXFUIxOolwCK4BGAYYCw/s1600/exercicios-quadradro-circunscrito-circulo.png
 
 
a) 1028 / 100 
b) 314 / 100 
c) 86/100 
d) -228 / 100 
e) 1 
6) (ENEM 2019). Em um condomínio, uma 
área pavimentada, que tem a forma de um 
círculo com diâmetro medindo 6 m, é 
cercada por grama. A administração do 
condomínio deseja ampliar essa área, 
mantendo seu formato circular, e 
aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa 
região, mantendo o revestimento da parte 
já existente. O condomínio dispõe, em 
estoque, de material suficiente para 
pavimentar mais 100 m² de área. O síndico 
do condomínio irá avaliar se esse material 
disponível será suficiente para pavimentar 
a região a ser ampliada. 
 
Utilize 3 como aproximação para π. 
 
A conclusão correta a que o síndico deverá 
chegar, considerando a nova área a ser 
pavimentada, é a de que o material 
disponível em estoque 
 
A) será suficiente, pois a área da nova 
região a ser pavimentada mede 21 m². 
B) será suficiente, pois a área da nova 
região a ser pavimentada mede 24 m². 
C) será suficiente, pois a área da nova 
região a ser pavimentada mede 48 m². 
D) não será suficiente, pois a área da nova 
região a ser pavimentada mede 108 m². 
E) não será suficiente, pois a área da nova 
região a ser pavimentada mede 120 m². 
7) (Colégio Naval - 2019). Um ponto P, 
pertencente a uma circunferência de raio 
de 5 unidades, dista 4,8 unidades de um 
diâmetro dessa circunferência. Qual a 
soma das distâncias de P até os extremos 
desse diâmetro? 
 
a) 14 
b) 12 
c) 7 
d) 6 
e) 5 
8) (ENEM - 2018) A figura mostra uma 
praça circular que contém um chafariz em 
seu centro e, em seu entorno, um 
passeio. Os círculos que definem a praça 
e o chafariz são concêntricos. 
 
 
 
 
O passeio terá seu piso revestido em 
ladrilhos. Sem condições de calcular os 
raios, pois o chafariz está cheio, um 
engenheiro faz a seguinte medição: esticou 
uma trena tangente ao chafariz, medindo a 
distância entre os dois pontos A e B, 
conforme a figura. Com isso, obteve a 
medida do segmento de reta AB: 16m. 
 
 
 
 
 
Dispondo apenas dessa medida, o 
engenheiro calculou corretamente a medida 
da área do passeio, em metro quadrado. 
 
 
A medida encontrada pelo engenheiro foi 
 
 
a) 4π 
b) 8π 
c) 48π 
d) 64π 
e) 192π 
 
9) (ESA 2019). Em um triângulo equilátero 
ABC inscreve-se um quadrado MNOP de 
área 3 m². Sabe-se que o lado MN está 
contido em AC, o ponto P pertence a AB e 
o ponto O pertence a BC. Nessas 
https://3.bp.blogspot.com/-RAYxD1VVk-4/XCw4WeJHAEI/AAAAAAAAH24/bji5lKv3kX4GA9u0OemFrTGc37I4NT6CgCK4BGAYYCw/s1600/1111.png
https://1.bp.blogspot.com/-oPHMBPB3bRo/XCw5N19jmmI/AAAAAAAAH3E/WoR7YlpfQNU5F7YaQB0x_I0Lc7otiJcCACK4BGAYYCw/s1600/2222.png
condições, a área em m² do triângulo ABC 
mede: 
 
 
10) (UNICAMP - 2020) A figura abaixo 
exibe o triângulo 𝐴𝐵𝐶, em que AB = BC 
e AD é uma altura de comprimento ℎ. A 
área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é igual a 
 
 
 
 
a) h² b) √2 h² c) √3 h² d) 2 h² 
QUESTÃO EXTRA) (ENEM 2017) A 
manchete demonstra que o transporte de 
grandes cargas representa cada vez mais 
preocupação quando feito em vias urbanas. 
 
Caminhão entala em viaduto no Centro 
 
Um caminhão de grande porte entalou 
embaixo do viaduto no cruzamento das 
avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da 
Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à 
Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo 
vinha de São Paulo para Porto Alegre e 
transportava três grandes tubos, conforme 
ilustrado na foto. 
 
 
 
Considere que o raio externo de cada cano 
da imagem seja 0,60 m e que eles estejam 
em cima de uma carroceria cuja parte 
superior está a 1,30 m do solo. O desenho 
representa a vista traseira do 
empilhamento dos canos. 
 
 
A margem de segurança recomendada 
para que um veículo passe sob um viaduto 
é que a altura total do veículo com a carga 
seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a 
altura do vão do viaduto. 
 
Considere 1,7 como aproximação para √3. 
 
Qual deveria ser a altura mínima do 
viaduto, em metro, para que esse 
caminhão pudesse passar com segurança 
sob seu vão? 
 
a) 2,82 
b) 3,52 
c) 3,70 
d) 4,02 
e) 4,20 
 
https://1.bp.blogspot.com/-pOAK-_M_v8c/XWPTt3Qm7CI/AAAAAAAAIhY/f0lYNZ9HgTQ64c5g7LkTRP6tisyu0NEmgCLcBGAs/s1600/opcoes1.png
https://1.bp.blogspot.com/-Gk5psU3RW7k/Xg_7rRGTobI/AAAAAAAAJXE/bQAlsHFA01gu7rlDaCTterAxyVemFXAmQCLcBGAsYHQ/s1600/%25C3%25A1rea-triangulo-unicamp-2020.png
https://1.bp.blogspot.com/-_GbJ8A07uxQ/XWK7mQIASeI/AAAAAAAAIgI/CggAHM-GCUAEZJV5p9Im5NotnuK9OOvDACLcBGAs/s1600/enem-caminhao.png
https://1.bp.blogspot.com/-Ev06Pxb5UXI/XWK8GUPrfLI/AAAAAAAAIgQ/AtH9dpgcPHAxtam8SlyID6NiwGm3tC3HwCLcBGAs/s1600/enem-canos-caminhao-viaduto.png
 
1) (UPF/2009). Para encontrar o número de diagonais temos que saber quantos lados possui 
esse polígono. Sabendo que a soma dos ângulos externos de um polígono é 360º, assim 
360°/18° = 20. 
Dessa forma, sabemos que o polígono em questão é um icosaedro, pois possui 20 lados. 
O número de diagonais de um polígono pode ser calculado utilizando a seguinte fórmula: 
 
Onde n é o total de lados do polígono. 
Portanto, 
 
2) (UNISC INV/2014). Sabe-se que um losango possui lados congruentes e ângulos opostos 
também congruentes. 
Os ângulos internos do losango dois são agudos e dois obtusos, então 60° corresponde aos 
ângulos agudos. 
 
As diagonais são as bissetrizes dos ângulos, elas se interceptam formando quatro triângulos 
retângulos. 
Assim, chamando de x a medida da metade da diagonal menor e y a metade da diagonal 
maior, temos que: 
 
Gabarito e Resoluções 
 
https://matematicabasica.net/triangulo-retangulo/
https://matematicabasica.net/triangulo-retangulo/
 
Agora basta multiplicar o resultado de x e y por 2 e teremos as medidas da diagonal menor e 
maior, respectivamente. 
Logo: 
d = 2 . 2 = 4 cm 
D = 2 . 2√3 = 4√3 cm 
Portanto, resposta D. 
3) (UERJ/2015) A área do setor circular aumenta proporcionalmente ao crescimento do arco. 
Sendo assim, a área do setor circular é proporcional a área de um círculo. 
Então, temos a seguinte proporção: 
 
Então, a área do setor circular é: 
 
Portanto, resposta C. 
4) (ENEM 2010). Temos os seguintes dados: 
Área circular: 28,26 m² 
geratriz: 5 m 
π = 3,14 
Sabendo que a área circular é calculada pela fórmula: A = π . r² 
Substituindo, temos: 
28,26 = 3,14. r² 
28,26 / 3,14 = r² 
r = √9 = 3 m 
Agora que temos o valor do raio podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar a 
medida da altura, pois a altura mais a geratriz e o raio formam um triângulo retângulo. 
Logo: 
g² = h² + r² ⇒ 
https://matematicabasica.net/razao-e-proporcao/
https://matematicabasica.net/area-do-circulo/
https://matematicabasica.net/teorema-de-pitagoras/
https://matematicabasica.net/triangulo-retangulo/5² = h² + 3² ⇒ 
25 = h² + 9 ⇒ 
25 – 9 = h² ⇒ 
h = √16 = 4 m 
Portanto, a altura equivale a 4 m e a resposta da questão é a letra B. 
5) (Fuzileiros Navais Turmas I e II 2019). Para calcular a área da parte hachurada, podemos 
calcular a área do quadrado e diminuir pela área do círculo. Assim teremos como sobra esta 
parte hachurada. 
A área do quadrado é dada por A ☐ = lado 2 = 22 = 4 unidades de área 2 
A área do círculo é dada por Ao = π raio2 
Mas quem é o raio? 
Pela figura fica fácil visualizarmos que o diâmetro deste círculo é igual ao lado do quadrado, 
ou seja, temos que ( 2 x Raio do círculo) = Lado do quadrado 
 
 
 
 
Logo área do círculo é dada por Ao = 3,14. 12 = 3,14 unidades de área 2 
Agora basta subtrairmos A ☐ - Ao = 4 - 3,14 = 0,86 ua2 
Como 0,86 = 86 / 100 a alternativa correta é a letra C. 
 
6) (ENEM 2019) Questão interessante onde precisaremos calcular a área da coroa 
circular. Vejamos o problema de forma ilustrada: 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-K6_K-dPXrUA/XCEIamqDQdI/AAAAAAAAHvY/Yf6NdjOye_wYfs2fOqPPV3LDEllSKSD0gCK4BGAYYCw/s1600/exercicios-CIRCULO-INSCRITO.png
https://1.bp.blogspot.com/-SetVNkZOFvA/XhzYR_MJgJI/AAAAAAAAJiw/BxFEBzWu0ncY7vbRS643GBG2pG4dJrLXwCLcBGAsYHQ/s1600/area-coroa-circular-enem-2019.png
 
A área a ser pavimentada é a área da circunferência maior menos a área da circunferência 
menor. Ou seja, é a área da coroa circular. 
A = π ( R² - r²) -> fórmula da área da coroa circular. 
onde R = 4+3 = 7 m ; r = 3 m ; e π = 3. 
A = π ( 7² - 3²) = 3 ( 49 - 9) = 3 . 40 m² = 120 m². Alternativa correta é a letra E. 
 
7) (Colégio Naval - 2019). Primeiramente, vamos ilustrar o nosso problema. 
 
 
 
 
Perceba que os pontos P, A e B formam um triângulo. Um detalhe importante é que este 
triângulo PAB inscrito na circunferência é retângulo, pois um de seus lados é o diâmetro da 
circunferência. Podemos então aplicar a seguinte relação métrica no triângulo retângulo, 
referente a altura relativa a hipotenusa. 
 
a.b = 4,8. 10 
a.b = 48 
 
Além disso, do Teorema de Pitágoras: 
 
a² + b² = 10² 
a² + b² = 100 
 
Agora vamos utilizar produtos notáveis, sabemos que: 
 
(a+b)² = a² + 2a.b + b² 
(a+b)² = 100 + 2.48 
(a+b)² = 100 + 96 
(a+b)² = 196 
(a+b) = √196 
(a+b) = 14 
 
Alternativa correta é a letra a). 
 
8) (ENEM - 2018) Aqui temos uma questão de matemática onde precisaremos utilizar os 
conhecimentos de área da coroa circular e relações métricas na circunferência. 
 
Note que neste exercício o objetivo é calcular a área da coroa circular. 
 
 
https://1.bp.blogspot.com/-q14BBj6gZBg/YCvVw25G1LI/AAAAAAAALVA/PZSCMj3h5ewEpahelmL89XD2E9ehK5sZQCLcBGAsYHQ/s569/triangulo-retangulo-inscrito-na-circunferencia.png
 
 
 
 
Aqui precisamos re-lembrar a seguinte relação que é válida em uma circunferência. 
 
 
 
 
Muitas são as relações existentes, mas neste exercício precisamos apenas desta. 
 
Agora, segundo as medições feitas pelo engenheiro, podemos re-escrever nosso problema 
da seguinte maneira: 
 
 
 
 
Agora temos que 64 = R2 - r2 
Como a área da coroa circular é dada por π (R² - r²) 
Logo a área será 64 π m2 (Resposta alternativa D) 
 
 
9) (ESA 2019) questão interessante da Escola de Sargentos das Armas de 2019 de geometria 
plana sobre inscrição e circunscrição. Vamos desenhar a questão para uma melhor 
visualização. 
 
https://2.bp.blogspot.com/-pyXF7xPmic0/XB0oR2Dz7uI/AAAAAAAAHts/R5aQ6jKT1OsISs0Q4fEo57FqAYzBbC96gCK4BGAYYCw/s1600/exerc%25C3%25ADcios-area-coroa-circular.png
https://4.bp.blogspot.com/-4_2ftoZPCOE/XC2DYy01SuI/AAAAAAAAH3o/X8PtZDEr2-AVavQsWNX7tycClh7d6s3iwCK4BGAYYCw/s1600/exercicios-resolvidos-enem-potencia-de-um-ponto-circunferencia.png
https://3.bp.blogspot.com/-0AsI7_miL2k/XC2EtuANbnI/AAAAAAAAH30/jYZ1Vv9kwX8hkGKlAdHKzMBdt3cJODLFQCK4BGAYYCw/s1600/exercicios-potencia-ponto-relacao-circunferencia.png
 
 
 
Podemos encontrar x por meio das relações trigonométricas em um triângulo retângulo. 
 
tg 60º = √3/x 
√3 = √3/x 
x = 1 
 
Desse modo, o lado deste triângulo equilátero será igual a 
L = 2 + √3 
 
Agora basta calcularmos a área do triângulo. 
 
Área = L x L x sen 60º x 1/2 
 (2 + √3)² x √3/2 x 1/2 
(4 + 2.2.√3 + 3) x √3/4 
(7 + 4√3) x √3/4 
(7√3 + 12)/4 
Alternativa correta é letra E 
 
10) (UNICAMP - 2020) questão de geometria plana muito boa onde utilizaremos (área do 
triângulo e relações trigonométricas). Vejamos uma ilustração do nosso problema. 
 
 
 
 
O objetivo da questão é calcular, em função de h, a área do triângulo ABC que é igual a (base 
x altura) / 2. 
Área de ABC = (x. h) / 2 
https://1.bp.blogspot.com/-EM_Wt75tErw/XXbPSTbFrtI/AAAAAAAAIko/oOXJF3oQp-AjwSpc3SPLtFii-QEMo5gGgCLcBGAs/s1600/esa-2019-quadrado-inscrito-triangulo-equilatero.png
https://1.bp.blogspot.com/-TnNgZd4Do2U/XhC3QS-50sI/AAAAAAAAJXo/hKMC4iQG6KI_hDseIYtFANfBoxu0L3dKQCLcBGAsYHQ/s1600/unicamp-triangulo-isosceles-2020.png
 
Podemos encontrar x por meio das relações trigonométricas no triângulo retângulo ABD. 
 
sen 30º = h/x 
1/2 = h/x 
x=2h 
 
Agora é só substituir: 
 
Área de ABC = (2h. h) / 2 = 2h²/2 
Área de ABC = h² 
A alternativa correta é a letra A. 
 
 
QUESTÃO EXTRA) (ENEM 2017) Questão bem interessante do ENEM sobre geometria que 
vai requerer um desenho ilustrativo para nos auxiliar na resolução. Veja como poderíamos 
ilustrar o cálculo objetivado pela questão. 
 
 
 
A altura total (Ht) é dada por 0,50 + 0,60 + h triângulo equilátero + 0,60 + 1,30 
Ht = 3,00 + h triângulo equilátero. 
 
O cano superior formará com os canos inferiores um triângulo equilátero onde os vértices 
deste triângulo são os centros dos três canos. A distância entre cada centro será de 2 raios, 
ou seja, 1,20 m. Vejamos de forma ilustrada como fica: 
 
 
Podemos encontrar h por meio do Teorema de Pitágoras. 
https://1.bp.blogspot.com/-PDMsJbklO-I/XWLF661AYjI/AAAAAAAAIgc/BK_jblMDrmcFkd_CuNlSoSt6EVG7Hy_uwCLcBGAs/s1600/questao-enem-caminhao-canos-limite.png
https://1.bp.blogspot.com/--vpqkuvhEts/XWLH87bizoI/AAAAAAAAIgo/Vy01W-zcELw9JM9y29vNYdHsQ3tjuW7ZwCLcBGAs/s1600/enem-triangulo-equilatero.png
 
{Vou andar a vírgula uma casa para direita em todos os números para facilitar a conta.} 
h² + 6² = 12² 
h² = 144 - 36 
h² = 108 
h² = 2² . 3³ 
h = 2.3 . √3 = 6. 1,7 = 10,2 {agora volto a vírgula uma casa para a esquerda h = 1,02 m} 
 
Também podemos encontrar a altura de um triângulo equilátero aplicando a fórmula (h = lado 
vezes a raiz de 3 dividido por dois) 
h = l √3 / 2 
h = 0,60 . 1,7 = 1,02 m 
 
 
Finalmente precisamos somar essa altura na fórmula objetivo: Ht = 3,00 + h triângulo 
equilátero. 
 
Ht = 3,00 + 1,02 
Ht = 4,02 m 
Alternativa correta é a letra D