Sistema de Partículas - Colisão Elástica e Inelástica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FÍSICA
JULIA DE SOUZA
SISTEMA DE PARTÍCULAS - COLISÃO ELÁSTICA E INELÁSTICA
1
RIO DE JANEIRO
2018
RESUMO
O experimento a seguir consiste na colisão unidimensional elástica e frontal de dois blocos de
massas diferentes conhecidas. Utilizando-se de uma câmera foram coletados dados e posição
dos blocos e foi feito um estudo da sua conservação do momento linear e energia cinética,
encontrando-se valores finais compatíveis com os iniciais.
2
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO…………………………………………………...…………………………3
2 MÉTODO EXPERIMENTAL……………………...……………………………………….4
2.1 MÉTODO 1………………………………………………....………………………...4
2.2 MÉTODO 2………………………………………………...….……………………...5
2.3 MÉTODO 3………………………………………………...….……………………...6
3 RESULTADOS E DISCUSSÕES…………………………..…………………………….6
3.1 ANÁLISE QUALITATIVA DA COLISÃO ELÁSTICA……….……………………..6
3.2 ANÁLISE QUANTITATIVA DA COLISÃO ELÁSTICA…….……………………...8
4 CONCLUSÕES………...…………………………………………………………………12
5 REFERÊNCIAS………………...…...……………………………………………………13
APÊNDICE A………………………………………………………………………………..14
3
1. INTRODUÇÃO
Uma colisão trata-se de um processo no qual duas partículas interagem por um período
de tempo trocando energia e momento. Em colisões, a energia total do sistema é conservada e
o estudo da física é responsável por determinar a forma pela qual essa energia é transferida.
Dessa forma, é possível classificar de forma geral as colisões unidimensionais de partículas em
dois grandes grupos: as colisões elásticas e as colisões inelásticas. Ambos tipos, envolvem
importantes leis de conservação de energia. Nas colisões elásticas há conservação da energia
cinética total, ou seja, nesse tipo de colisão não há transferência de energia em outra forma
que não seja a cinética. Já nas colisões inelásticas alguma parte da energia cinética inicial é
convertida em outros tipos de energia como potencial, térmica ou sonora. No entanto todas
colisões tem seu momento linear conservado quando as forças externas atuantes sobre as
partículas na colisão tem resultante nula.
Por fim, o experimento em questão tem como principal objetivo estudar a conservação
da energia cinética e do momento linear em uma colisão unidimensional elástica e frontal de
dois blocos. Para isso, foram feitos de forma direta as medições de tempo, massa dos blocos e
a posição dos mesmos em pixels. Por outro lado, foram tomadas de forma indireta as medidas
de posição dos blocos e do centro de massa do sistema em centímetros, da velocidade e das
energias cinéticas e momento linear dos blocos. A fim de aproximar ao máximo a colisão dos
blocos de uma elástica, foram colocados elásticos em cada um deles como na Figura 1.1 de
forma que a transformação de energia cinética em outros tipos de energia fosse mínima.
Ligando o trilho de ar foi possível minimizar a força de atrito do bloco com o trilho, já a força de
atrito do ar foi desprezada. Dessa maneira, atuam sobre ambos os blocos apenas a força peso
e a força de reação normal ao trilho. O objetivo de minimizar a ação de quaisquer outras forças
é permitir que a variação da energia mecânica do sistema se dê pela variação da energia
cinética. Além disso, como atuam apenas sobre os blocos as forças indicadas na Figura 1.1, a
força resultante sobre o sistema é zero, logo há conservação do momento linear. Como a
conservação do momento linear implica a resultante das forças externas ser nula, ao lançar um
bloco contra o outro, tal lançamento foi feito de maneira que não houvesse aceleração, ou seja,
4
a velocidade do bloco em movimento fosse aproximadamente constante. É pertinente lembrar
que no curto intervalo de tempo de colisão um bloco aplica uma força de contato sobre o outro
e vice-versa. Pelo fato de segundo a terceira lei de newton essas forças serem um par
ação-reação a ação de forças externas continua nula. Esse par de forças é a força de impulso,
a qual é responsável nesse curto intervalo por variar o momento de cada um dos blocos.
Figura 1.1: Blocos com suas respectivas velocidades antes da colisão.
2. MÉTODO EXPERIMENTAL
2.1 MÉTODO 1
Para o método 1, primeiramente foram medidas as massas do carrinho com e o sem
massa extra e por fim a massa de ambos juntos. Uma câmera foi posicionada sobre um tripé
para filmar o trilho de ar de modo que captasse toda sua extensão. O trilho de ar foi ligado e os
blocos já com os elásticos colocados em suas pontas consoante a Figura 1.1 foram
posicionados sobre o trilho. Observou-se que os blocos moviam-se sozinhos, logo o trilho
estava levemente inclinado. O problema pode ser resolvido colocando algumas folhas de papel
embaixo da base do trilho. Escolheu-se o bloco com massa extra para ser lançado em direção
ao outro de menor massa que ficaria em repouso. Isso porque o bloco de menor massa era
menos sensível a mínima e imperceptível inclinação do trilho. O processo de colisão baseou-se
então em manter o bloco de menor massa (bloco 2) em repouso num lado do trilho e lançar o
outro de maior massa (bloco 1) de forma sutil no sentido oposto da posição do bloco 2. Isso foi
feito com o intuito de que o bloco lançado colidisse antes com uma das extremidades do trilho
5
e pudesse voltar em direção ao bloco 2 com velocidade aproximadamente constante. Todo o
processo de colisão foi gravado com a câmera e transferido para o computador.
2.2 MÉTODO 2
Para o método 2, o vídeo produzido foi convertido ao formato AVI para ser analisado no
programa ImageJ. Foram obtidas então 12 posições de ambos os bloco no trilho de ar em
pixels. Tais posições em pixels foram coletadas em dois momento: antes e depois da colisão.
Os momentos antes e após a colisão foram delimitados seguindo-se o critério de não
considerar a posição dos blocos enquanto estivessem em contato. Essas medidas de posição
foram obtidas diretamente com as ferramentas do programa ImageJ. Como a câmera utilizada
tinha uma resolução de 1/30 (30 quadros por segundo) a posição dos blocos foi determinada
em intervalos de 0,1 segundos, logo 3 quadros. Além da posição em pixels, foi determinado
junto desta medida a incerteza da posição em pixels. A última medida é o número de pixels os
quais não é possível dizer se são parte do bloco ou do trilho de ar.
Com o objetivo de transformar as medidas em pixels para centímetros, foi escolhido um
objeto referência captado no vídeo para a partir dessa distância conhecida determinar uma
constante de calibração capaz de transformar as medidas. Foi utilizado a própria graduação
milimetrada do trilho de ar para servir de objeto referência. A partir da fórmula (I), com L igual
ao comprimento do objeto referência e P a medida em pixels desse mesmo objeto foi obtida a
constante K de calibração. Como K é obtido de forma indireta é necessário calcular sua
incerteza δ por meio da fórmula (II):
(I)𝐿 = 𝐾 * 𝑃
(II)[δ(𝐾)]2 = [(1/𝑃) * δ(𝐿)]2 + [(𝐿/𝑃2) * δ(𝑃)]2
2.3 MÉTODO 3
No método 3 foram obtidas as medidas indiretas de posição do centro de massa por
meio da fórmula (III) e a respectiva incerteza do centro de massa por (IV). Já com os dados de
posição em relação ao tempo de ambos blocos antes e após a colisão foram determinadas 4
velocidades em centímetros por segundo, distintas por meio de um ajuste linear com os dados
6
de posição em centímetros, tempo e incerteza da posição em centímetros. Também por meio
de (V) e (VI) foram obtidas as energias cinéticas e suas respectivas incertezas dos blocos
antes e depois da colisão. O mesmo foi feito para o momento linear dos blocos utilizando (VII)
e (VIII).
(III)1𝑋
𝐶𝑀
=
(𝑚
1
*𝑥
1
)+(𝑚
2
*𝑥
2
)
𝑀
[δ (𝑋
𝐶𝑀
)]2 = (
𝑥
1
𝑀 * δ 𝑚1)
2 + (
𝑚
1
𝑀 * δ 𝑥1)
2 + (
𝑥
2
𝑀 * δ 𝑚2)
2 + (
𝑚
2
𝑀 * δ 𝑥2)
2 + (
−(𝑚
1
*𝑥
1
)−(𝑚
2
*𝑥
2
)
𝑀2
* δ𝑀
(IV)
(V)2𝐸𝑐
𝑛
= 12 𝑚𝑛 ∗ 𝑣𝑛
2
[ (VI)δ (𝐸𝑐
𝑛
)]2 = ( 12 𝑣𝑛
2 * δ𝑚
𝑛
)2 + ( 12 𝑚𝑛 * 2𝑣𝑛 * δ𝑣𝑛)
2
(VII)𝑝
𝑛
= 𝑚
𝑛
* 𝑣
𝑛
[ (VIII)δ (𝑝
𝑛
)]2 = (𝑣
𝑛
* δ𝑚
𝑛
)2 + (𝑚
𝑛
* δ𝑣
𝑛
)23. RESULTADOS E DISCUSSÕES
O Experimento 4 foi separado em duas partes: uma que consistia na observação e
discussão de uma colisão elástica envolvendo dois blocos de massas iguais, um deles com
velocidade inicial diferente de zero enquanto outro não possuía velocidade; e outra que era
uma análise dos dados coletados de uma colisão elástica entre blocos com massas diferentes,
um partindo com velocidade inicial diferente de zero enquanto o outro partia do repouso.
3.1 ANÁLISE QUALITATIVA DE UMA COLISÃO ELÁSTICA
Antes do início do experimento, a turma se reuniu em volta do professor para analisar,
qualitativamente, um caso bem particular de uma colisão elástica quando ambas os blocos
analisados possuem massas iguais e uma das velocidades é nula,
ou seja, um se encontra em repouso enquanto o outro possui uma velocidade constante em
relação ao mesmo referencial inercial.
Com um dos blocos em repouso (1) sobre o trilho de ar, foi aplicada uma força externa
sobre o outro bloco (2), implicando a um ganho de velocidade. A partir do momento que a força
7
externa (o empurrão) foi cessado, o movimento deixou de ser acelerado e passou a ser um
movimento retilíneo uniforme (MRU). Ou seja, durante a aplicação de força externa, (2) possuía
uma aceleração que alterava o módulo de sua velocidade, como á foi discutido previamente
durante o Experimento 3, até que essa força externa deixou de ser aplicada, quando o carrinho
passou a se movimentar segundo o MRU.
O princípio de uma colisão elástica parte da conservação do momento linear (p), do
mesmo modo que a colisão inelástica, além da conservação da energia cinética (Ec).
Idealmente, antes da colisão, apenas (2) possui energia cinética e momento linear, uma vez
que (1) não possui velocidade por encontrar-se no repouso, portanto, o momento e a energia
total do sistema corresponde, numericamente, ao calculado para (2):
𝑝
𝑖
= 𝑚 * 𝑣
𝑖
𝐸𝑐
𝑖
= 12 𝑚 ∗ 𝑣𝑖
2
Como há conservação do momento linear, pois as únicas forças atuantes no sistema
são um par de ação e reação que se anulam e são as responsáveis pelo impulso que modifica
o momento linear individual de cada bloco, o momento linear final deve ser igual ao inicial. De
forma análoga, há conservação da energia cinética do sistema analisado.
𝑝
𝑓
= 𝑚 * 𝑣
𝑓1
+ 𝑚 * 𝑣
𝑓2
= 𝑚 * 𝑣
𝑖
 
𝐸𝑐
𝑓
= 12 𝑚 ∗ 𝑣𝑓1
2 + 12 𝑚 ∗ 𝑣𝑓2
2 = 12 𝑚 ∗ 𝑣𝑖
2 
Com massas iguais, a equação se reduz a:
(3.1.1)𝑣
𝑓1
+ 𝑣
𝑓2
= 𝑣
𝑖
(3.1.2)𝑣
𝑓1
2 + 𝑣
𝑓2
2 = 𝑣
𝑖
2 
Dividindo-se a (3.1.2) pela (3.1.1), obtêm-se:
(3.1.3)𝑣
𝑓1
− 𝑣
𝑓2
= 𝑣
𝑖
Somando, por fim, (3.1.1) com a (3.1.3), tem-se, como resultado final que e, por𝑣
𝑓1
= 𝑣
𝑖
consequência para a conservação do momento e da energia , ou seja, em uma colisão 𝑣
𝑓2
= 0
elástica entre dois blocos com massas iguais, há troca de suas velocidades.
8
3.2 ANÁLISE QUANTITATIVA DA COLISÃO ELÁSTICA
Os dados coletados no ImageJ antes da colisão dos blocos foram organizados e outras
informações foram calculadas para o preenchimento das Tabelas 3.1 a 3.5.
Tabela 3.1: Dados experimentais coletados e calculados para o carrinho 1 antes da colisão.
Tabela 3.2: Dados experimentais coletados e calculados para o carrinho 2 antes da colisão.
9
Tabela 3.3: Dados experimentais coletados e calculados para o carrinho 1 após a colisão.
Tabela 3.4: Dados experimentais coletados e calculados para o carrinho 2 após a colisão.
Tabela 3.5: Evolução da posição do centro de massa pelo tempo.
Primeiramente foram analisados os dados do movimento de ambos carrinhos antes da
colisão ocorrer(tabelas 3.1 e 3.2). Foi considerado o movimento do bloco 2 porque mesmo que
aparentemente em repouso, o mesmo movimentou-se um pouco devido a inclinações
10
imperceptíveis do trilho de ar. Foi feito um gráfico de posição em centímetros por tempo em
segundos do bloco 1 com nas figuras 3.1 e do bloco 2 na figura 3.2, a partir dos dados das
tabelas acima, de ambos blocos e do respectivo centro de massa do sistema formado pelos
blocos (Figura 3.3).
Tabela 3.6: Velocidades obtidas pelo ajuste linear.
Em seguida por meio de um ajuste linear determinou-se a velocidade dos blocos e do
centro de massa do sistema (Tabela 3.6). O resultado obtido para os blocos foi conforme o
esperado: uma variação linear da posição em relação ao tempo caracterizando o movimento
unidimensional uniforme. Como o centro de massa e determinado por uma média ponderada
das posições dos blocos (III) levando em conta sua posição e sua massa, foi assim como
esperado verificado que a velocidade do centro de massa do sistema era praticamente
constante e muito próxima da velocidade do bloco 1, uma vez que apenas esse se encontrava
em movimento efetivo no início do experimento.
Com os dados de posição em relação ao tempo de ambos blocos após a colisão foram
feitos também gráficos de posição em relação ao tempo do bloco 1(figura 3.4), do bloco
2(figura 3.5) e de seus centros de massa(figura 3.6). Foram obtidos novamente os resultados
esperados: variações lineares da posição e centro de massa indicando movimento do tipo
unidimensional uniforme. Todos os ajustes lineares foram feitos com o auxílio do QtiPlot, porém
os gráficos encontram-se desenhados à mão em folha de papel milimetrado.
No momento pós colisão, foram coletadas apenas 9 posições diferentes ao contrário do
momento inicial quando foram coletadas 12 posições distintas. Isso porque não houve tempo
de registrar maior número de posições dos blocos antes que os mesmos colidissem
novamente. O intervalo de tempo deixado entre os blocos antes e depois da colisão foi uma
necessidade encontrada pelo experimento para se garantir que nenhum dos pontos pegos ao
analisar a velocidade fossem pontos em que ainda houvesse contato entre os blocos, ou seja,
que houvesse impulso modificando v. Dessa forma, determinou-se que o impulso ocasionado
11
pelas forças internas foi exercido durante o intervalo compreendido entre 3.97 e 4.1 segundos.
Tabela 3.7: Energia cinética e momento linear do sistema antes e após a colisão.
Por fim, foram calculados os momentos lineares dos blocos antes e depois da colisão
com (VII) e a respectiva incerteza do momento linear (VIII). Dessa forma, foi possível analisar a
conservação do momento linear do sistema, dados expostos na Tabela 3.7. Para isso, é feita
uma análise de compatibilidade dos momento lineares totais antes e depois. Isso porque como
supostamente a resultante das forças externas sobre o sistema é nula, o momento linear total
antes da colisão deve ser igual ao momento linear após a colisão. Calcula-se os dois
momentos lineares totais antes e após a colisão com (IX). Em seguida realiza-se uma análise
de compatibilidade dos valores (X), cujo resultado foi de aproximadamente 0,084. Como o
resultado é consideravelmente menor que 3 (seguindo a convenção adotada pelo curso de
Física Experimental 1, de que todos valores de compatibilidade menores que 3 são
considerados compatíveis), houve conservação do momento linear total do sistema.
Também foram calculadas as energias cinéticas antes e a após a colisão dos
blocos(XII). Como trata-se de uma colisão elástica espera se que a energia cinética final seja
aproximadamente igual a inicial. Calculou-se, portanto, a porcentagem de perda (ou ganho) de
energia cinética no movimento para garantir que esse valor fosse o menor possível,
configurando uma colisão elástica onde a energia se conserva. Tal cálculo foi realizado a partir
12
de (XI), dando um valor percentual igual a 10,0%, indicando perda de energia cinética, visto
que a energia final é menor que a inicial. Realizando-se a compatibilidade dos valores de
energia cinética total encontrados obtém-se o resultado de aproximadamente 2,009. Pelo fato
do número encontrado ser menor que 3, é possível deduzir que houve conservação da energia
cinética total do sistema.
4. CONCLUSÕES
Ao achar um valor de compatibilidade do momento linear muito próximode zero (0,084)
pode-se concluir que houve conservação do momento linear, visto que o experimento estava
sujeito apenas a flutuações aleatórias dos valores. A mesma conclusão pode ser tomada para
a energia cinética, uma vez que foi conservada por ser compatível (2,009). O resultado
encontrado de perda de energia cinética de cerca de 10% pode ser explicada pelo tamanho
dos erros absolutos de cada medida de energia, o que permite uma variação muito grande dos
resultados considerados corretos. Para diminuir tal erro, pode-se usar instrumentos de medição
mais precisos ou de diferentes unidades, para evitar conversão de medidas (de pixel para
centímetro, por exemplo) propagando erros. Outro fator que pode ter afetado a análise de
dados experimento foi o fato de que só se foi possível analisar 9 pontos após a colisão,
influenciando diretamente nos resultados obtidos após a colisão e, portanto, podendo ter
alterado o resultado da energia cinética final e sua perda de energia constatada.
5. REFERÊNCIAS
Instituto de Física, Apostila de física experimental 1, Universidade Federal do Rio de Janeiro.
Rio de Janeiro, 2018
Nussenveig, H.Moysés, Curso de Física Básica 1, 5ªed, Edgard Blucher Ltda. São Paulo,
2013.
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APÊNDICE A
- (I)𝐿 = 𝐾 * 𝑃
- (II)[δ(𝐾)]2 = [(1/𝑃) * δ(𝐿)]2 + [(𝐿/𝑃2) * δ(𝑃)]2
- (III)𝑋
𝐶𝑀
=
(𝑚
1
*𝑥
1
)+(𝑚
2
*𝑥
2
)
𝑀
- [δ (𝑋
𝐶𝑀
)]2 = (
𝑥
1
𝑀 * δ 𝑚1)
2 + (
𝑚
1
𝑀 * δ 𝑥1)
2 + (
𝑥
2
𝑀 * δ 𝑚2)
2 + (
𝑚
2
𝑀 * δ 𝑥2)
2 + (
−(𝑚
1
*𝑥
1
)−(𝑚
2
*𝑥
2
)
𝑀2
(IV)
- (V)𝐸𝑐
𝑛
= 12 𝑚𝑛 ∗ 𝑣𝑛
2
- [ (VI)δ (𝐸𝑐
𝑛
)]2 = ( 12 𝑣𝑛
2 * δ𝑚
𝑛
)2 + ( 12 𝑚𝑛 * 2𝑣𝑛 * δ𝑣𝑛)
2
- (VII)𝑝
𝑛
= 𝑚
𝑛
* 𝑣
𝑛
14
- [ (VIII)δ (𝑝
𝑛
)]2 = (𝑣
𝑛
* δ𝑚
𝑛
)2 + (𝑚
𝑛
* δ𝑣
𝑛
)2
- [ (IX), onde =δ 𝑓(𝑝
1
, 𝑝
2
)]2 = (𝑝
1
* δ𝑝
2
)2 + (𝑝
2
* δ𝑝
1
)2 𝑓(𝑝
1
, 𝑝
2
) 𝑝
1
+ 𝑝
2
- (X)
|𝑥
1
−𝑥
2
|
(δ(𝑥1)² + δ(𝑥2)²)
- (XI)
|𝐸𝑐
𝑓
−𝐸𝑐
𝑖
|
𝐸𝑐
𝑖
* 100
- [ (IX), onde = (XII)δ 𝑓(𝐸
1
, 𝐸
2
)]2 = (𝐸
1
* δ𝐸
2
)2 + (𝐸
2
* δ𝐸
1
)2 𝑓(𝐸
1
, 𝐸
2
) 𝐸
1
+ 𝐸
2