Vetores (Resumo)

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• Segmento orientado é um par ordenado (𝐴, 𝐵) de 
pontos no espaço; 
• Segmentos são equipolentes, (𝐴, 𝐵)~(𝐶,𝐷), se 
ambos forem nulos ou possuem a mesma direção, 
comprimento e sentido; 
• A classe de equipolência de (𝐴, 𝐵) é o conjunto de 
todos os segmentos orientados equipolentes a 
(𝐴, 𝐵), no qual, (𝐴, 𝐵) é o representante da classe. 
 
𝛼�⃗� e 𝑣 tem mesmo sentido para 𝛼 > 0 
e sentido contrário quando 𝛼 < 0. 
VETORES 
 
1. Vetor
Def.: classe de equipolência de segmentos 
orientados, que possuem todos a mesma 
intensidade (comprimento), direção e sentido. 
Obs.: O vetor é nulo se (𝐴, 𝐴) e oposto, −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
2. Norma: comprimento do vetor 
 ‖𝑣 ‖ = √𝑥2 + 𝑦2 no qual, 𝑣 = (𝑥, 𝑦). Obs.: Um vetor é unitário quando ‖𝑣 ‖ = 1. 
 
Proposição: �⃗� = 𝑣 ⇔ ‖�⃗� ‖ = ‖𝑣 ‖, para �⃗� e 𝑣 não nulos. 
 
3. Soma: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
i. Associativa: �⃗� + (𝑣 + �⃗⃗� ) = (�⃗� + 𝑣 ) + �⃗⃗� 
ii. Comutativa: �⃗� + 𝑣 = 𝑣 + �⃗� 
iii. Vetor nulo: ∃! 𝑜 ; �⃗� + 𝑜 = �⃗� 
iv. Vetor oposto: ∃! − �⃗� ; �⃗� + (−�⃗� ) = 𝑜 
 
4. Produto de 𝑣 por 𝛼 ∈ ℝ.
i. 𝛼 = 0 ou 𝑣 = 𝑜 ⇒ 𝛼𝑣 = 𝑜 
ii. 𝛼 ≠ 0 e 𝑣 ≠ 𝑜 ⇒ {
𝛼𝑣 //𝑣 
‖𝛼�⃗� ‖ = |𝛼| ∙ ‖�⃗� ‖
 
 
Proposições imediatas 
i. 𝛼(�⃗� + 𝑣 ) = 𝛼�⃗� + 𝛼𝑣 
ii. (𝛼 + 𝛽)𝑣 = 𝛼𝑣 + 𝛽𝑣 
iii. 1𝑣 = 𝑣 
iv. 𝛼(𝛽𝑣 ) = 𝛽(𝛼𝑣 ) 
Regra dos Sinais 
i. (−𝛼)𝑣 = −(𝛼𝑣 ) = 𝛼(−𝑣 ) 
ii. (−𝛼)(−𝑣 ) = 𝛼𝑣 
 
 
Proposições
i. �⃗� //𝑣 (�⃗� ≠ 𝑜 𝑒 𝑣 ≠ 𝑜 ) ⇔ ∃𝜆 ∈ ℝ; �⃗� = 𝜆𝑣 ii. �⃗� ∦ 𝑣 ⟺ 𝛼�⃗� + 𝛽𝑣 = 𝑜 ⇒ 𝛼 = 𝛽 = 0 
iii. �⃗� ∦ 𝑣 ⟺ 𝛼�⃗� + 𝛽𝑣 = 𝛾�⃗� + 𝛿𝑣 ⇒ 𝛼 = 𝛾 𝑒 𝛽 = 𝛿 
 
5. Soma de um ponto com vetor: 𝑃 + 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑄 ⟺ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑄 − 𝑃
i. (𝐴 + �⃗� ) + 𝑣 = 𝐴 + (�⃗� + 𝑣 ) 
ii. 𝐴 + �⃗� = 𝐴 + 𝑣 ⇒ �⃗� = 𝑣 
iii. 𝐴 + �⃗� = 𝐵 + �⃗� ⇒ 𝐴 = 𝐵 
iv. (𝐴 − �⃗� ) + �⃗� = 𝐴 
Equivalentemente: 
|
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
| = |
𝑎1 𝑐1
𝑎2 𝑐2
| = |
𝑏1 𝑐1
𝑏2 𝑐2
| = 0 
 
 
Definições adicionais: 
• �⃗� e 𝑣 não nulos são ortogonais ⇔ �⃗� ⊥ 𝑣 ; 
• 𝑜 é ortogonal a qualquer vetor; 
• (𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗, 𝑒3⃗⃗ ⃗) é ortogonal quando 𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗ e 𝑒3⃗⃗ ⃗ 
são unitários e dois a dois ortogonais. 
6. Dependência Linear 
Def.:
• 𝑣 ≠ 𝑜 é LI e 𝑣 = 𝑜 é LD 
• (�⃗� , 𝑣 ) é LI ⇔ �⃗� //𝑣 e LD se �⃗� ∦ 𝑣 
• (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) é LI, se paralelos ao mesmo plano 
• Toda sequência de 𝑛 vetores 𝑛 > 4, é LD 
• �⃗� = 𝛼1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2𝑣2⃗⃗⃗⃗ + …+ 𝛼𝑛𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ , diz-se que 
�⃗� é gerado por (combinação linear) de 𝑣𝑖⃗⃗⃗ , 
no qual, 𝛼𝑖 são os coeficientes da 
combinação linear. 
 
Proposições
i. (�⃗� , 𝑣 ) é LI ⇒ [(�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) é 𝐿𝐷 ⇔ �⃗⃗� = 𝛼1�⃗� + 𝛼2𝑣 ] 
ii. (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) é 𝐿𝐷 ⇔ um dos vetores é gerado pelos outros 
iii. (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) é 𝐿𝐼 ⇒ 𝑥 é gerado por �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� 
iv. 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ com 𝑛 ≥ 2 é LD ⇔ algum desses vetores é gerado pelos demais 
v. 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ com 1 ≤ 𝑛 ≤ 3 é LI ⇔ a equação 𝛼1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2𝑣2⃗⃗⃗⃗ + …+ 𝛼𝑛𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ = 𝑜 admite apenas 
a solução nula, isto é, 𝛼1 = 𝛼2 = … = 𝛼𝑛 = 0. 
vi. 𝛼1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2𝑣2⃗⃗⃗⃗ + …+ 𝛼𝑛𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ = 𝛽1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝛽2𝑣2⃗⃗⃗⃗ + …+ 𝛽𝑛𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝛼1 = 𝛽1, 𝛼2 = 𝛽2,… ,𝛼𝑛 = 𝛽𝑛 
sempre que 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ for LI. 
 
7. Base 
Def.: Uma tripla ordenada LI 𝐸 = (𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗, 𝑒3⃗⃗ ⃗) 
chama-se base de 𝑽3. 
Obs.: 𝐸 = (𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗, 𝑒3⃗⃗ ⃗, … , 𝑒𝑛⃗⃗⃗⃗ ) LI é base de 𝑽
𝑛. 
 
 
 
Operações 
i. (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)𝐸 + (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)𝐸 = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3)𝐸 
ii. 𝛼(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)𝐸 = (𝛼𝑎1, 𝛼𝑎2, 𝛼𝑎3)𝐸 
 
Proposições
i. �⃗� = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1)𝐸 e 𝑣 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2)𝐸 são LD ⇔ 
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
 
ii. �⃗� = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1)𝐸, 𝑣 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2)𝐸 e 𝑤1⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑎3, 𝑏3, 𝑐3)𝐸 são LD ⇔ |
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
| = 0 
iii. �⃗� e 𝑣 são ortogonais ⇔ ‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 + ‖𝑣 ‖2 
iv. Seja (𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗, 𝑒3⃗⃗ ⃗) uma base ortogonal e �⃗� = 𝛼𝑒1⃗⃗ ⃗ + 𝛽𝑒2⃗⃗ ⃗ + 𝛾𝑒3⃗⃗ ⃗ ⇒ ‖�⃗� ‖ = √𝛼
2 + 𝛽2 + 𝛾2 
 
Corolário: 𝑀𝐹𝐸 = 𝑀𝐸𝐹
−1
 
 
 
• �⃗� ∙ 𝑣 > 0 (ângulo agudo) 
• �⃗� ∙ 𝑣 < 0 (ângulo obtuso) 
 
 
8. Mudança de base 
Def.: Dadas as bases 𝐸 = (𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗, 𝑒3⃗⃗ ⃗) e 𝐹 = (𝑓1⃗⃗ ⃗, 𝑓2⃗⃗ ⃗, 𝑓3⃗⃗ ⃗), tais que, {
𝑓1⃗⃗ ⃗ = 𝑎11𝑒1⃗⃗ ⃗ + 𝑎21𝑒2⃗⃗ ⃗ + 𝑎31𝑒3⃗⃗ ⃗
𝑓2⃗⃗ ⃗ = 𝑎12𝑒1⃗⃗ ⃗ + 𝑎22𝑒2⃗⃗ ⃗ + 𝑎32𝑒3⃗⃗ ⃗
𝑓3⃗⃗ ⃗ = 𝑎13𝑒1⃗⃗ ⃗ + 𝑎23𝑒2⃗⃗ ⃗ + 𝑎33𝑒3⃗⃗ ⃗
, a matriz 
𝑀𝐸𝐹 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
), chama-se matriz de mudança de base de 𝐸 para 𝐹. 
Proposições 
i. Toda matriz de mudança de base possui inversa; 
ii. 𝐸 = (𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗, 𝑒3⃗⃗ ⃗), 𝐹 = (𝑓1⃗⃗ ⃗, 𝑓2⃗⃗ ⃗, 𝑓3⃗⃗ ⃗) e 𝐺 = (𝑔1⃗⃗⃗⃗ , 𝑔2⃗⃗⃗⃗ , 𝑔3⃗⃗⃗⃗ ) ⇒ 𝑀𝐸𝐹 ∙ 𝑀𝐹𝐺 = 𝑀𝐸𝐺. 
 
9. Produto escalar 
Def.: O produto escalar ou interno (�⃗� ∙ 𝑣 ) é o número real tal que: 
i. �⃗� ∙ 𝑣 = 0, caso �⃗� ou 𝑣 seja nulo; 
ii. �⃗� ∙ 𝑣 = ‖�⃗� ‖ ∙ ‖𝑣 ‖ ∙ cos 𝜃 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2. 
 
Proposições
i. ‖�⃗� ‖ = √�⃗� ∙ �⃗� ii. �⃗� ⊥ 𝑣 ⇔ �⃗� ∙ 𝑣 = 0 
 
Propriedades
i. �⃗� ∙ (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� ∙ 𝑣 + �⃗� ∙ �⃗⃗� 
ii. �⃗� ∙ (𝜆𝑣 ) = (𝜆�⃗� ) ∙ 𝑣 = 𝜆(�⃗� ∙ 𝑣 ) 
iii. �⃗� ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ �⃗� 
iv. �⃗� ≠ 𝑜 ⇒ �⃗� ∙ �⃗� > 0 
 
Def.: O vetor 𝑝 é a projeção ortogonal de 𝑣 sobre �⃗� ≠ 𝑜 (Proj �⃗� �⃗� = 𝑝 ), quando satisfaz as condições: 
i. 𝑝 //�⃗� ii. (𝑣 − 𝑝 ) ⊥ �⃗� 
 
Proposições
i. Proj �⃗� �⃗� =
�⃗⃗� ∙�⃗� 
‖�⃗⃗� ‖2
∙ �⃗� ii. ‖Proj �⃗� �⃗� ‖ =
�⃗⃗� ∙�⃗� 
‖�⃗⃗� ‖
 
10. Orientação 
Def.: Sejam 𝐸 e 𝐹 bases de 𝑽3, diz que 𝐸 é concordante com 𝐹 se 𝑀𝐸𝐹 > 0 e discordante se 𝑀𝐸𝐹 < 0. 
 
Relação de equivalência
i. 𝐸 é concordante com 𝐸 (reflexiva); 
ii. 𝐸 é concordante com 𝐹 ⇒ 𝐹 é concordante com 𝐸 (simétrica); 
iii. 𝐸 é concordante com 𝐹 e 𝐹 é concordante com 𝐺 ⇒ 𝐸 é concordante com 𝐺 (transitiva). 
�⃗� ∧ 𝑣 = ‖(
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
)‖ 
 
Proposição
O conjunto das bases de 𝑽3 é reunião de dois conjuntos não vazios e disjuntos 𝐴 e 𝐵, tais que, 
duas bases estão no mesmo conjunto se, e somente se, elas são concordantes. 
 
Def.: Cada um dos conjuntos 𝐴 e 𝐵, chama-se orientação de 𝑽3. Uma vez fixado um deles, diz-se que 
𝑽3 está orientado e assim, cada base da orientação escolhida é chamada de base positiva e cada base 
da outra base é chamada de base negativa. Nessas condições, se 𝐸 = (𝑢1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , 𝑤3⃗⃗⃗⃗ ⃗) é base positiva, diz-
se que 𝑽3 está orientado pela base de 𝐸. 
 
11. Produto Vetorial 
 
Def.: O produto vetorial �⃗� ∧ 𝑣 (área do paralelogramo), no qual, 𝜃 = 𝑎𝑛𝑔(�⃗� , 𝑣 ), é tal que: 
• (�⃗� , 𝑣 ) é LD ⇒ �⃗� ∧ 𝑣 = 0; 
• (�⃗� , 𝑣 ) é LI ⇒ {
‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖ = ‖�⃗� ‖ ∙ ‖𝑣 ‖ ∙ sen 𝜃
�⃗� ∧ 𝑣 é 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 �⃗� 𝑒 𝑣 
(�⃗� , 𝑣 , �⃗� ∧ 𝑣 ) é 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
 
 
 
 
Propriedades
i. �⃗� ∧ 𝑣 = −𝑣 ∧ �⃗� 
ii. �⃗� ∧ (𝜆𝑣 ) = (𝜆�⃗� ) ∧ 𝑣 = 𝜆(�⃗� ∧ 𝑣 ) 
iii. �⃗� ∧ (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� ∧ 𝑣 + �⃗� ∧ �⃗⃗� 
iv. (�⃗� + 𝑣 )�⃗⃗� = �⃗� ∧ �⃗⃗� + 𝑣 ∧ �⃗⃗� 
 
Proposição
i. (�⃗� ∧ 𝑣 ) ∙ �⃗⃗� = (�⃗� ∙ �⃗⃗� ) ∙ 𝑣 − (𝑣 ∙ �⃗⃗� ) ∙ �⃗� ii. �⃗� ∧ (𝑣 ∧ �⃗⃗� ) = (�⃗� ∙ �⃗⃗� ) ∙ 𝑣 − (�⃗� ∙ 𝑣 ) ∙ �⃗⃗� 
 
12. Produto Misto 
 
Def.: O produto misto [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] dos vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� , nessa ordem, é o número real (volume do 
paralelepípedo) �⃗� ∧ 𝑣 ∙ �⃗⃗� . 
 
 [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = |(
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
)| 
 
Proposição: (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) é LD ⇔ [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = 0