Apostila Circuitos Elétricos 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
 
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS 
 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
EL-415 
Caderno de Exercícios 
Módulo 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
 
Prezados 
 
 
Os livros textos adotados para a disciplina EL-415, Circuitos 
Elétricos II apresentam uma lista bastante ampla de exercícios e 
possibilitam um aprendizado considerado básico para a 
disciplina. No caso particular da Engenharia Elétrica, contudo, 
exige-se um conhecimento bem mais aprofundado dos Circuitos 
Elétricos, uma vez que esta disciplina se constitui num dos 
pilares fundamentais para todos os demais componentes da 
grade curricular em vigor no DEE. 
O objetivo deste Caderno de Exercícios é, pois, prestar-se como 
um complemento aos problemas constantes dos livros textos, 
preparando o aluno para o tratamento de questões que serão, 
certamente, abordadas nas disciplinas dos períodos letivos 
vindouros. 
Por outro lado, considerando-se que a formação educacional 
brasileira apresenta, na atualidade, disparidades bastante 
acentuadas, as quais repercutem, inevitavelmente, no nível 
alcançado por cada aluno, este Caderno de Exercícios será 
sempre atualizado tendo em vista suprir as eventuais 
necessidades observadas em sala de aula. 
Os exercícios estão agrupados de conformidade com os módulos 
que compõem a disciplina e, dentro de cada módulo, 
classificados por temas específicos. 
 
Prof. Luiz Antônio Magnata da Fonte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO I 
Sistemas Polifásicos 
 
 
 
 
 
Este módulo da disciplina aborda o regime permanente senoidal 
dos Sistemas Polifásicos Equilibrados de um modo geral com 
uma ênfase particular nos Sistemas Trifásicos. Também será 
objeto deste módulo, o estudo dos desequilíbrios provocados nos 
Sistemas Trifásicos pela ocorrência de falhas, sempre em estado 
estacionário. Os exercícios deste módulo estão, pois, agrupados 
conforme os tópicos apresentados a seguir: 
 
 → Sistemas Polifásicos Equilibrados 
 
 → Sistemas Trifásicos Equilibrados 
 
 → Sistemas Trifásicos Desequilibrados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Polifásicos Equilibrados 
 
 
 
EXERCÍCIO 1 - Um sistema de fontes pentafásicas, senoidais e balanceadas possui os 
terminais marcados conforme indicações da figura ao lado. Pede-se estabelecer o 
diagrama fasorial das tensões dessas fontes com base nos seguintes resultados de 
medições: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 2 - Um engenheiro pretende utilizar um gerador pentafásico, senoidal e 
balanceado como uma fonte de seqüência positiva, porém não dispõe do diagrama de 
ligações dos seus enrolamentos. Determinou, com base em ensaios de continuidade, os 
terminais de cada bobina do gerador e numerou os mesmos numa seqüência crescente; 
1-2 (bobina#1), 3-4 (bobina#2) e assim por diante. Em seguida reuniu os terminais 2-4-
6-7-10 num ponto comum e procedeu às seguintes leituras de tensão com o gerador 
girando na velocidade nominal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Com base nessas leituras e adotando-se a tensão V12 como referência, determine as 
possíveis ligações dos enrolamentos do gerador para que se obtenha um sistema 
pentafásico de tensões em estrela. Se necessário, leituras adicionais de tensão deverão 
ser especificadas (Ligações dos enrolamentos, terminais de leitura e valores esperados) 
para reduzir, ao mínimo, o número de opções de conexões do gerador. 
 
b) Descreva que teste adicional será necessário para estabelecer, dentre as 
possibilidades levantadas no item anterior, aquela desejada pelo engenheiro. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 3 - Um sistema pentafásico de fontes de 200 V cada uma deverá operar 
com uma ligação em malha, figura ao lado, porém apenas duas delas encontram-se 
interligadas corretamente em série, como também mostra a figura ao lado. Desde que se 
dispõe apenas de um voltímetro, estabeleça que medições permitirão a identificação das 
demais fontes para uma conexão correta do conjunto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 4 - Uma fonte pentafásica conectada em estrela com neutro flutuante 
possui terminais de fase numerados de 1 a 5. Três desses terminais foram escolhidos para 
alimentar um motor trifásico com terminais a, b e c, e que, suprido nesta seqüência, gira 
na direção horária. Os resultados obtidos foram: 
 
 → Conectando 1, 4 e 5 respectivamente aos terminais a, b e c, o motor girou na 
 direção anti-horária; 
 
 → Conectando 1, 3 e 2 respectivamente aos terminais a, b e c, o motor girou na 
 direção horária; 
 
 → Conectando 1, 5 e 2 respectivamente aos terminais a, b e c, o motor girou na 
 direção horária; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se estabelecer a seqüência dos terminais da fonte para formar um sistema 
pentafásico equilibrado. 
 
NOTA : Registra-se que o motor somente rotaciona quando suprido por tensões com 
defasagens iguais ou próximas de 120º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 5 - Um engenheiro deseja utilizar um gerador pentafásico, de tensões 
senoidais e balanceadas, como uma fonte de seqüência positiva conectada em estrela, 
porém não dispõe do diagrama de ligações dos seus enrolamentos. Determinou, com base 
em ensaios de continuidade, os terminais de cada bobina do gerador e numerou os 
mesmos na seqüência mostrada na figura abaixo. Em seguida reuniu todos os terminais 
numa ligação série obtendo-se os resultados registrados na tabela abaixo para a tensão 
entre os pontos extremos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sabendo-se que cada uma das fases gera 100 V, pede-se determinar as duas 
possibilidades de conexão para obter-se o gerador pentafásico desejado. Sugere-se 
adotar a fase 1-5 como referência. (Justifique detalhadamente cada etapa da análise). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Trifásicos Equilibrados 
Teóricos 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 1 - Demonstre que um sistema trifásico equilibrado com fontes e cargas 
conectados em estrela com neutro flutuante pode ser substituído, para efeito de análise, 
pelo circuito equivalente para a fase A (Sugestão: Utilize as Leis de Kirchhoff). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 2 - Demonstre, utilizando as Leis de Kirchhoff, que uma fonte de tensão 
trifásica e equilibrada com impedância interna igual nas três fases e conectada em 
triângulo, alimentando uma carga trifásica equilibrada pode ser substituída por uma 
fonte trifásica equilibrada conectada em estrela com tensão dada por: 
o
CACNBCBNABAN VVVVVV 30
3
1
 , , , −





==== 

 
em série com impedâncias dada por: 
CCBBAA ẐẐẐẐẐẐ 





=





=





=
3
1
3
1
3
1
 , , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Trifásicos Equilibrados 
Temas Gerais 
 
 
 
EXERCÍCIO 1 - Uma fonte trifásica, equilibrada, impedância interna nula, seqüência 
de fases ACB e ligação em estrela com neutro solidamente aterrado é conectada a uma 
linha de transmissão trifásica, equilibrada e com impedância indutiva por fase de 1 . 
Essa linha de transmissão alimenta três cargas trifásicas, equilibradas, ligadas em 
paralelo e com as seguintes características: 
 → A primeira carga é formada por indutores de 30  conectados em estrela com 
 neutro aterrado através de uma impedância resistiva de 10 ; 
 → A segunda carga é constituída por resistores de 50  ligados em triângulo; 
 → A terceira carga reúne capacitores de 40  conectados em estrela com neutro 
 flutuante. 
Sabendo-seque uma corrente de 40 A circula no resistor conectado entre as fases A e B 
da segunda carga, pede-se: 
 a) Determinar as tensões e correntes nas fases A, B e C da fonte; 
 b) Traçar o diagrama fasorial da tensão e da corrente nos terminais das três fases 
 da fonte e de cada uma das cargas; 
 c) Calcular as potências ativa, reativa e aparente fornecida pela fonte e absorvida 
 por cada uma das cargas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 2 - Uma carga trifásica equilibrada é suprida pela rede elétrica de uma 
concessionária, formada por uma fonte equilibrada de sequência positiva do tipo barra 
infinita com 2.500 V de tensão de fase e um ramal de alimentação com impedância de 
j5 por fase. A concessionária pretende modelar esta carga por uma impedância 
constante e para isso decide conectar, em paralelo com a carga, um banco de capacitores 
trifásicos formados por elementos ajustáveis e ligados em triângulo. Observou que um 
fator de potência unitário foi atingido para o conjunto carga+capacitor quando os 
capacitores exibiam um valor de 123,12  por fase e a tensão de fase na carga atingia 
2.450 V. Determine o modelo da carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Trifásicos Equilibrados 
Máxima Transferência de Potência 
 
 
EXERCÍCIO 1 - Uma indústria possui 12 setores idênticos, cada um dispondo de uma 
carga equilibrada conectada em triângulo e com impedância constante por fase de 
47,07+j5,88 . Essa indústria é alimentada por uma fonte trifásica equilibrada de 
seqüência positiva conectada também em triângulo e exibindo uma tensão constante de 
5.000 V por intermédio de um ramal de alimentação simétrico com impedância de 1+j3 
 por fase. Pede-se determinar a quantidade de setores que deverão operar em paralelo 
para que a indústria absorva a máxima potência da fonte 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 2 - Uma indústria possui uma carga trifásica equilibrada de impedância 
constante que consome na tensão de linha de 2400 V, uma potência de 500 kVA com 
fator de potência atrasado de 0,8. A alimentação dessa carga provém de uma linha de 
transmissão com impedância 0,2 +j2 por fase alimentada por uma fonte trifásica 
equilibrada de seqüência positiva ligada em estrela com neutro diretamente aterrado. 
Considerando-se que a fonte é do tipo barra infinita com uma tensão de linha de 2400 V 
pede-se determinar a potência de um banco de capacitores que conectado em paralelo 
com a carga proporcione a máxima transferência de potência ativa para a mesma. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 3 - Uma carga trifásica equilibrada do tipo impedância constante está 
conectada em triângulo. Essa carga é alimentada, por intermédio de uma linha de 
transmissão com impedância por fase de 1+j10, suprida por uma fonte trifásica 
equilibrada de seqüência positiva conectada em estrela com neutro aterrado através de 
um resistor de 10. Considerando-se que; 
 → A fonte é do tipo barra infinita e gera uma tensão de fase de 3 kV; 
 → A carga consome 105 kW+j 49,9 kvar, quando alimentada por essa fonte; 
pede-se determinar que recurso deverá ser utilizado para que a carga absorva a máxima 
potência possível da fonte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Trifásicos Equilibrados 
Correção do Fator de Potência 
 
 
EXERCÍCIO 1 - Uma carga industrial trifásica e equilibrada é especificada para 
consumir 5 kVA com um fator de potência de 0,8 indutivo quando alimentada por uma 
fonte de seqüência positiva trifásica e equilibrada com uma tensão de linha de 2400 V. 
A concessionária de energia supre essa carga através de um alimentador trifásico com 
uma reatância indutiva de 2 .por fase. 
 
 
 
 
 
 Considerando-se que: 
 → A tensão de linha na fonte trifásica de alimentação está fixada em 2400 V; 
 → A potência ativa da carga permanece constante no valor especificado; 
pede-se determinar a potência por fase de um banco de capacitores conectado em 
paralelo com a carga que corrija o fator de potência da mesma para o valor unitário, 
quando suprida pela concessionária. 
 
 
EXERCÍCIO 2 – A rede elétrica trifásica de uma concessionária supre uma indústria 
por uma linha de transmissão com uma impedância por fase formada por uma resistência 
de 0,1  e uma indutância de 0,5 H. Essa rede elétrica é alimentada por uma fonte 
trifásica equilibrada de seqüência positiva conectada em estrela com neutro aterrado 
por uma impedância de 10+j50 . Essa fonte é considerada do tipo barra infinita, ou 
seja, fornece uma tensão de linha constante e igual a 380 V - 60 Hz. A indústria, por seu 
turno, possui uma carga trifásica equilibrada do tipo potência constante, ou seja, 
qualquer que seja a tensão de alimentação, as potências ativa e reativa solicitadas serão 
sempre as mesmas. Uma medição efetuada num determinado dia do ano constatou que 
a indústria operava com um fator de potência 0,8 indutivo e a tensão de fase na mesma 
era de 200 V. Pede-se: 
 a)Determinar a potência por fase de um banco trifásico de capacitores, que ligados 
 em triângulo e instalados em paralelo com a indústria, eleve o fator de potência 
 da mesma para 0,92 indutivo. 
 b) Estabelecer a tensão de linha na indústria antes e após a instalação do banco de 
 capacitores. 
 c) Comparar as perdas por fase na linha de transmissão antes e após a instalação 
 do banco de capacitores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 3 - Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva com tensão de 
linha constante em 13800 V, conectada em estrela com o neutro solidamente aterrado e 
do tipo barra infinita, supre uma carga através de uma linha de transmissão simétrica 
com impedância de 0,67+j8,72  por fase. Medições efetuadas nessas condições 
operacionais apontam que a carga é composta em cada fase por uma resistência de 35 
 em série com um banco de capacitores de 26  quando conectada em estrela com o 
neutro também aterrado diretamente. Essa carga demanda sempre a mesma potência 
ativa para qualquer tensão de trabalho e a reatância da mesma pode ser considerada 
constante. Com base nessas informações: 
 a) Pede-se determinar o tipo e o valor da impedância de um elemento de circuito que 
 conectado em estrela com neutro aterrado e em paralelo com a carga eleve o fator 
 de potência da mesma para 0,90; 
 b) Compare a tensão na carga antes e após a instalação do elemento. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 4 - Uma carga trifásica equilibrada do tipo impedância constante 
consome uma potência de 500 kVA com um fator de potência 0,8 indutivo quando 
alimentada por uma tensão de fase de 1000 V. Essa carga é suprida por uma fonte 
trifásica equilibrada de seqüência de fase positiva através de uma linha de transmissão 
com reatância de 2  por fase. Sendo a tensão de fase da fonte constante em 1.000 V, 
pede-se determinar a potência por fase de um banco de capacitores, que ligado em 
paralelo com a carga eleve o fator de potência da mesma para 0,92 indutivo. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 5 - Uma indústria possui uma carga trifásica equilibrada do tipo 
impedância constante e é alimentada pela concessionária por um sistema trifásico, 
balanceado e de seqüência positiva através de um ramal de suprimento com impedância 
de j2 , que mantém uma tensão sempre constante na mesma. Essa indústria pretende 
elevar o fator de potência para 0,92 indutivo e, para isso, realizou um teste com um 
banco de capacitores disponível nas instalações, o qual exibia uma ligação em triângulo 
e 144  por fase. Verificou, nessa oportunidade, que o fator de potência da indústria 
elevou-se para 0,8 indutivo. Determinar a impedância por fase do banco de capacitores 
que conectado em estrela e em paralelo com a indústria corrija o fator de potência para 
o valor desejado. Sabe-se que esta indústria, quando alimentada pela concessionária 
absorve 5 kVA por fase e solicita da fonteuma corrente de 14 A. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 6 – Uma fonte trifásica equilibrada, seqüência positiva e conectada em 
estrela com o neutro aterrado alimenta por uma linha de transmissão com resistência de 
0,1  e reatância de 0,2  por fase, três cargas trifásicas em paralelo assim 
discriminadas: 
 Carga A – Consome uma potência trifásica de 150 kVA com fator de potência de 0,8 
indutivo quando suprido por uma tensão de linha de 220 V. Essa carga comporta-se 
como uma impedância constante em qualquer tensão de trabalho. 
 Carga B – Conectada em triângulo e cuja impedância atingiu 8-50º quando uma 
tensão de linha de 220 V foi aplicada. Essa carga consome sempre a mesma potência, 
ativa e reativa, qualquer que seja a tensão de alimentação da mesma. 
 Carga C – Conectada em estrela com neutro aterrado, demanda na tensão de linha 
de 220 V uma potência de 38 kVA por fase com fator de potência de 0,6 indutivo. Essa 
carga mantém o mesmo consumo de potência ativa em qualquer tensão de operação, 
porém a potência reativa da mesma varia linearmente com o quadrado da tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a tensão de linha nessas cargas for de 200 V, pede-se determinar: 
 a) A potência por fase do banco de capacitores que, conectado em paralelo com 
 as três cargas, eleve o fator de potência das mesmas para 0,92 indutivo; 
 b) Selecionar na tabela abaixo, as unidades que comporão o banco de capacitores 
 para atender o item a), conectadas em estrela e em triângulo. As características 
 dos elementos da tabela estão referidas a tensão de 220 V; 
 c) As perdas na linha de transmissão antes e após a instalação dos capacitores. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 7 – Uma indústria possui uma carga trifásica equilibrada do tipo 
impedância constante conectada em estrela aterrada e que consome uma potência ativa 
de 16 kW sob um fator de potência de 0,8 indutivo, quando alimentada por uma tensão 
de linha de 380 V. Sabendo-se que uma fonte trifásica equilibrada de seqüência de fase 
positiva supre essa carga diretamente com uma tensão de linha constante de 400 V e 60 
Hz, e considerando-se que a indústria dispõe de 3 capacitores de 32 F cada um, pede-
se determinar se o fator de potência dessa carga poderá ser elevado para 0,92 indutivo 
com o uso desses capacitores em paralelo com a carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Trifásicos Equilibrados 
Controle de Tensão 
 
 
EXERCÍCIO 1 - A rede elétrica de uma concessionária de energia, conectada em estrela 
com neutro aterrado diretamente, supre uma indústria por intermédio de uma linha de 
transmissão, cuja impedância por fase é formada por uma resistência de 1  e uma 
reatância de 8 . Quando essa indústria é alimentada por uma tensão de fase de 3000 V 
eficazes, a mesma absorve uma potência de 300 kVA por fase com um fator de potência 
de 0,96 em atraso e essa carga pode ser considerada do tipo impedância constante. 
Pede-se determinar a reatância de um banco de capacitores que posto em paralelo com 
a carga torne a magnitude da tensão de fase da fonte igual àquela da carga quando essa 
opera em 2500 V. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 2 - Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva com tensão de 
linha de 13800 V, conectada em estrela com o neutro solidamente aterrado e do tipo 
barra infinita, supre uma carga através de uma linha de transmissão simétrica com 
impedância por fase de 0,67+j8,72 . Medições efetuadas nessas condições operacionais 
apontam que a carga é composta em cada fase por uma resistência de 35  em série com 
um banco de capacitores de 26  quando conectada em estrela com o neutro também 
aterrado diretamente. Essa carga demanda sempre a mesma potência ativa para 
qualquer tensão de trabalho e a reatância da mesma pode ser considerada constante. 
Com base nessas informações pede-se determinar o tipo e o valor da impedância de um 
elemento de circuito que conectado em paralelo com a carga reduza a magnitude da 
tensão de trabalho da mesma em 5%. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 3 - Uma fonte trifásica de seqüência positiva, equilibrada, conectada em 
estrela com neutro aterrado e tensão de fase de 2500 V alimenta uma carga trifásica e 
equilibrada, conectada em triângulo através de um ramal com impedância por fase de 
1+j2 . Sabe-se que essa carga consome por fase 250 kVA com fator de potência 0,8 
adiantado, quando alimentada por uma tensão de linha de 2500 V e é do tipo impedância 
constante. Pede-se determinar o tipo e a reatância do elemento, que conectado em série 
com o ramal, eleve a tensão na carga para o maior valor possível. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 4 - Uma indústria possui uma carga trifásica equilibrada de impedância 
constante que consome em 2400 V, tensão de linha, uma potência de 500 kVA com fator 
de potência atrasado de 0,8. A alimentação dessa carga provém de um sistema trifásico 
equilibrado formado por uma linha de transmissão com impedância 0,2 +j2 conectada 
a um gerador trifásico de seqüência positiva do tipo barra infinita que mantém uma 
tensão de linha de 2400 V nos terminais. Como a queda de tensão na linha de transmissão 
tem sido a causa de inúmeros problemas na indústria, deliberou-se instalar em paralelo 
com a carga um banco de capacitores capaz de elevar a tensão na mesma para o valor 
da fonte, 2400 V. quando esta encontrar-sena plena carga. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 5 - Uma carga trifásica equilibrada conectada em triângulo e do tipo 
impedância constante consome, quando a tensão de linha é de 380 V, 10 kW e 10 kvar 
capacitivo. Essa carga é suprida por uma linha de transmissão com impedância por fase 
de 1+j2  alimentada por uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva do tipo 
barra infinita com tensão de linha de 380 V, conectada em estrela aterrada por um 
resistor 100,. Pede-se determinar o tipo e a reatância do elemento que conectado em 
paralelo com a carga reduza a tensão de trabalho da mesma em 5%. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 6 - Uma carga trifásica equilibrada conectada em estrela aterrada é 
suprida com uma tensão constante V por uma fonte trifásica equilibrada de seqüência 
positiva ligada em estrela aterrada via um ramal de alimentação. Pede-se determinar 
para que condições operacionais desta carga, a tensão da fonte será mínima quando; 
 a) O ramal é puramente resistivo; 
 b) O ramal é puramente capacitivo; 
 c) O ramal é puramente indutivo. 
 
 
EXERCÍCIO 7 - Uma carga trifásica do tipo potência constante absorve 15 kVA com 
fator de potência 0,8 atrasado quando alimentada por uma tensão de linha de 200 V. 
Esta carga é suprida por uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva com 380 
V de tensão de linha, através de uma linha de transmissão com impedância de 1+j4 . 
Como a queda de tensão na linha foi considerada exagerada, decidiu-se introduzir um 
banco de capacitores em série na linha para reduzir em 10% a magnitude desta grandeza. 
Considerando-se que a tensão na carga permanecerá no mesmo valor verificado antes 
da introdução dos capacitores, pede-se determinar a reatância e a potência deste banco 
de capacitores. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 8 - A rede elétrica de uma concessionária supre uma indústria por 
intermédio de uma fonte e linha de transmissão. Esta fonte é trifásica equilibrada de 
seqüência positiva conectada em estrela com neutro aterrado através de uma impedância 
100+j50  e é do tipo barra infinita, mantendo uma tensão de linha constante de 4300 
V. A linha de transmissão exibe uma impedância formada por uma resistência de 1  e 
uma reatância indutiva de 8 . A indústria, por sai vez, possui duas cargas trifásicas em 
paralelo, perfeitamente equilibradas, sendo uma do tipo potência constante ligada em 
delta e a outra do tipo impedância constante conectada em estrela com neutro flutuante. 
Uma medição efetuada numdeterminado dia do ano constatou que quando a tensão de 
linha na indústria era de 4000 V, a impedância da carga de potência constante era de 
113-8,13º e a potência consumida pela outra carga era de 349 kVA com fator de 
potência 0,74 indutivo. Pede-se determinar a potência e a reatância do elemento que, 
conectado em paralelo no barramento da indústria, eleve a tensão de trabalho da mesma 
para um valor igual aquele imposto pela fonte. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 9 - Uma carga trifásica equilibrada, conectada em estrela aterrada, do 
tipo impedância constante, quando submetida a uma tensão de fase de 100 V absorve 
1.250 VA por fase com um fator de potência 0,8 atrasado. Esta carga é alimentada por 
um sistema formado por uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva, conectada 
em delta, do tipo barra infinita com tensão de linha de 380 V, dois ramais com 
impedância por fase de 0,5+j1  e 0,125+j0,25  respectivamente e um transformador 
ideal com ligação estrela com neutro flutuante dos enrolamentos e relação 2:1. 
 
 
 
 
 
 
Pede-se determinar o valor em  e o tipo do elemento (Resistor, indutor ou capacitor) 
que conectado em paralelo com a carga eleve a tensão de trabalho da mesma para um 
valor igual aquele em vazio do sistema, ou seja, o valor da tensão no ponto de conexão 
da carga quando esta se encontra desconectada do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
=== 10
3
R
XX CL

 
 
Sistemas Trifásicos Desequilibrados 
Temas Gerais 
 
 
EXERCÍCIO 1 - Uma fonte trifásica, equilibrada, com seqüência ABC e tensão de fase 
de 220 V exibe uma conexão estrela com o neutro aterrado através de uma impedância 
de 3+j4 . Essa fonte alimenta uma carga trifásica, balanceada com fator de potência 
capacitivo, conectada em triângulo e que consome 52.272,0 W e 69.696,0 var. 
Considerando-se que uma falha ocorreu na carga e que a fase C da mesma foi 
solidamente aterrada, pede-se: 
 a)Determinar a corrente nas três fases da fonte e da carga nessa condição faltosa; 
 b)Traçar o diagrama fasorial da tensão e da corrente em cada uma das fases da fonte. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 2 - Uma carga trifásica composta por um capacitor, um indutor e um 
resistor conectados em estrela com neutro flutuante é alimentada por uma fonte trifásica 
equilibrada de seqüência ABC conectada em estrela com neutro aterrado e que 
apresenta uma tensão de fase de 220 V. Assumindo: 
 
 
 
 a) Determine a tensão e a corrente em cada uma das fases da carga e a tensão 
existente entre o neutro da carga e o neutro da fonte de alimentação. Esboce o diagrama 
fasorial correspondente a essa situação operacional. 
 
 b) Considere que o capacitor da fase B da carga é desconectado da fonte, 
permanecendo o resistor e o indutor alimentados pela mesma. Determine as grandezas 
solicitadas no item anterior e trace o diagrama fasorial dessa nova condição operativa 
da carga. 
 
 c) Considere, agora, que, além do desligamento do capacitor da fase B, também o 
resistor da fase C da carga é desconectado da fonte de alimentação. Determine as 
mesmas grandezas solicitadas no item anterior e trace o diagrama fasorial 
correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 3 - A carga desequilibrada da figura abaixo é alimentada por um gerador 
trifásico equilibrado seqüência positiva conectado em estrela e aterrado por uma 
impedância de 10+j30 . A impedância interna do gerador pode ser considerada 
desprezível e a tensão de linha produzida pelo mesmo é de 220 V. Pede-se determinar: 
 
 a) A potência ativa, reativa e aparente em cada ramo da carga; 
 
 b) A potência ativa, reativa e aparente em cada fase da fonte, bem como a tensão 
 entre o neutro do gerador e a terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 4 - Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva conectada em 
estrela com tensão de linha de 220 V alimenta uma carga formada por três resistores 
iguais de 127  ligados também em estrela e com neutros interligados. A carga possui 
três chaves, numeradas 1, 2 e 3, instaladas nas posições indicadas na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule as tensões de linha e de fase e as correntes de fase e de neutro na carga, e esboce 
o diagrama fasorial correspondente para cada uma das seguintes configurações 
operativas: 
 a) Chaves 1 e 3 fechadas e chave 2 aberta. 
 b) Chaves 1 e 2 abertas e chave 3 fechada. 
 c) Chaves 1, 2 e 3 abertas. 
 d) Chaves 1 e 2 fechadas e chave 3 aberta. 
 e) Chaves 1 e 3 fechadas e chave 2 aberta, porém com a resistência da fase A 
 substituída por um capacitor com reatância de mesma magnitude. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 5 - Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva conectada em 
estrela aterrada com tensão de linha de 220 V alimenta uma carga formada por três 
resistores iguais de 381  ligados em triângulo. A carga possui duas chaves, numeradas 
1 e 2, instaladas nas posições indicadas na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule as tensões de fase e de linha e as correntes de fase e de linha da carga, e esboce 
o diagrama fasorial correspondente para cada uma das seguintes configurações 
operativas: 
 a) Chaves 1 e 2 fechadas. 
 b) Chave 1 aberta e chave 2 fechada. 
 c) Chaves 1 fechada e chave 2 aberta. 
 d) Chaves 1 e 2 fechadas e a resistência Zb é substituída por um capacitor com 
 reatância de mesma magnitude. 
 
 
EXERCÍCIO 6 - Uma carga trifásica equilibrada é formada por três impedâncias 
exatamente iguais conectadas em delta, sendo a resistência da mesma de 3  e a 
reatância indutiva de 15 . Essa carga está conectada aos terminais de uma linha de 
transmissão perfeitamente equilibrada e com impedância de 1 . A fonte trifásica de 
sequência positiva que alimenta essa linha exibe tensões de fase desequilibradas dadas 
por: 
o
aNV 90200 −=

 o
bnV 180100=

 o
cNV 60100=

 
Pede-se determinar: 
 a) As correntes nas três fases da linha de transmissão; 
 b) As correntes nas três fases da carga; 
 c) A tensão nos terminais da carga; 
 d) A potência ativa, reativa e aparente solicitada pela carga; 
 e) A potência ativa, reativa e aparente fornecida pela fonte; 
 f) A potência ativa, reativa e aparente solicitada pela linha de transmissão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 7 - Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva, tipo barra 
infinita, conectada em estrela aterrada, alimenta com uma tensão de linha de 400 V duas 
cargas do tipo impedância constante: 
 
 Carga A – trifásica equilibrada, conectada em estrela com neutro interligado à 
terra por uma impedância resistiva de 100  ao neutro da fonte e que está especificada 
para consumir 20 kVA com fator de potência 0,8 indutivo quando alimentada por uma 
tensão de linha de 380 V; 
 
 Carga B – trifásica equilibrada, conectada em triângulo e consumindo 30 kVA 
com fator de potência 0,65 indutivo quando suprido por uma tensão de linha de 380 V. 
 
Sendo a fase C da fonte aberta em decorrência de um defeito, pede-se determinar: 
 a) As correntes e as tensões em cada uma das fases das duas cargas; 
 b) A tensão e a corrente entre os neutros da fonte e da carga A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 8 - A rede elétrica de uma concessionária de energia supre na freqüência 
de 60 Hz uma indústria por intermédio de uma linha de transmissão que apresenta, por 
fase, uma impedância formada por uma resistência de 0,1  e uma indutância de 0,1326 
mH. Essa rede elétrica é alimentada por uma fonte trifásica equilibrada do tipo barra 
infinita, seqüência positiva, tensão de linhade 380 V, conectada em estrela com neutro 
aterrado por uma impedância de 10+j50 . A indústria, por seu turno, possui uma carga 
trifásica equilibrada conectada em estrela com neutro flutuante do tipo potência 
constante, ou seja, qualquer que seja a tensão de alimentação, as potências ativa e 
reativa solicitadas serão sempre as mesmas. Uma medição efetuada num determinado 
dia do ano constatou que a indústria operava com um fator de potência 0,7 indutivo e a 
tensão de fase na mesma era 200 V. Considere que um defeito ocorreu na indústria, o 
qual não somente colocou as fases B e C em curto-circuito, como também levou a fase C 
diretamente para a terra. Para essa condição de defeito, determine a corrente nas fases 
A, B e C da fonte e da carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 9 - Um sistema formado por uma fonte trifásica equilibrada do tipo barra 
infinita, conectada em triângulo e com seqüência ABC alimenta, através de um ramal 
com resistência de 0,1  e reatância indutiva de 0,2 , três cargas trifásicas equilibradas 
do tipo impedância constante, assim discriminadas: 
 
 Carga 1 - conectada em estrela com neutro aterrado diretamente, solicita uma 
 potência trifásica de 10 kVA com fator de potência de 0,65 indutivo 
 na tensão de linha de 220 V. 
 
 Carga 2 - conectada em triângulo com impedância por fase de 4065º. 
 
 Carga 3 - conectada em estrela com neutro flutuante, absorve uma potência de 
 1,2 kVA por fase com fator de potência unitário, quando a tensão de 
 linha é 220 V. 
 
Considerando que a tensão de linha da fonte é de 220 V e que, em conseqüência de um 
defeito, a ligação entre a fase A da linha de transmissão e a mesma fase da carga é 
interrompida, pede-se determinar: 
 a) A potência ativa, reativa e aparente consumida pelas três cargas; 
 b) As tensões e as correntes nas fases da fonte e das três cargas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Trifásicos Desequilibrados 
Deslocamento do Neutro 
 
 
EXERCÍCIO 1 - Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva conectada em 
estrela e com neutro aterrado diretamente alimenta uma carga trifásica formada pelos 
seguintes elementos conectados em estrela e com neutro isolado: 
 → Um capacitor de reatância X ohms; 
 → Um indutor de reatância X ohms; 
 → Um resistor de resistência variável R; 
Determine a fase em que cada um dos componentes deverá ser ligado e a relação entre R 
e X para que a tensão entre os neutros da carga N’ e da fonte N seja: 
 a) 0=N'NV

 
 b) bNN'N VV

2= 
 c) cNN'N VV

2
1
−= 
 
EXERCÍCIO 2 - Uma indústria possui uma fonte trifásica equilibrada conectada em 
estrela com neutro aterrado diretamente, cuja marcação das fases foi perdida. Mostre 
como a seqüência de fase dessa fonte poderá ser determinada fazendo-se uso dos 
seguintes elementos conectados em estrela não aterrada: duas lâmpadas incandescentes 
de mesma resistência ôhmica R e um capacitor com uma reatância de módulo igual à 
resistência das lâmpadas. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 3 - Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva conectada em 
estrela com neutro aterrado diretamente alimenta uma carga trifásica formada pelos 
seguintes elementos conectados em estrela e com neutro isolado: um capacitor de 
reatância Xc1 ohms na fase A, um indutor de reatância XL ohms na fase B e um capacitor 
de reatância Xc2 ohms na fase C. Tomando-se o diagrama fasorial das tensões na fonte 
como referência, estabelecer com exatidão a região ocupada pelo lócus do neutro N´ da 
carga quando: 
 a) A reatância do indutor XL variar no intervalo [0,); 
 b) O indutor for desligado e a reatância do capacitor Xc1 variar no intervalo [0,). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIO 4 - Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva conectada em 
estrela com neutro aterrado diretamente, alimenta uma carga trifásica formada pelos 
seguintes elementos conectados em estrela e com neutro isolado: um capacitor de 
reatância Xc ohms na fase A, um capacitor de reatância X ohms na fase B e um resistor 
de resistência X ohms na fase C. Tomando-se o diagrama fasorial das tensões na fonte 
como referência, estabelecer com exatidão a região ocupada pelo lócus do neutro N´ da 
carga quando a reatância do capacitor Xc da fase A variar no intervalo [0,). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 5 - Um sistema trifásico equilibrado de fontes de seqüência positiva 
conectada em estrela com neutro solidamente aterrado alimenta diretamente uma carga 
formada por um indutor em cada fase, também conectados em estrela, porém com o 
neutro isolado. Sabendo-se que na carga tem-se Xa  Xb  Xc, pede-se delimitar 
claramente no diagrama fasorial das tensões na fonte, a região em que o lócus do neutro 
N´ desta carga deverá situar-se, indicando com exatidão os limites desta região. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 6 - Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva conectada em 
estrela com neutro aterrado alimenta uma carga trifásica formada pelos seguintes 
elementos conectados em estrela com neutro isolado; um capacitor de reatância variável 
na fase A e dois indutores fixos de mesma reatância, sendo um na fase B e outro na C. 
Tomando-se o diagrama fasorial das tensões na fonte como referência, estabelecer com 
exatidão a região ocupada pelo lócus do neutro N´ da carga quando a reatância do 
capacitor é variada no intervalo (0,). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 7 - Uma fonte trifásica equilibrada, seqüência positiva, conectada em 
estrela com o neutro diretamente aterrado, alimenta duas cargas trifásicas ligadas em 
paralelo. A primeira é formada por três capacitores fixos de mesma reatância X, 
conectados em estrela e com o neutro flutuante. A segunda carga, por sua vez, é 
constituída por três indutores também conectados em estrela, dispondo de um neutro 
comum com a primeira carga. Os indutores conectados nas fases B e C possuem uma 
reatância fixa de valor 2X, enquanto o terceiro, ligado à fase A, possui uma reatância 
variável na faixa 0, ). Tomando-se o diagrama fasorial das tensões na fonte como 
referência, estabelecer com exatidão a região ocupada pelo lócus do neutro N´ da carga 
quando o indutor da fase A varia entre os valores extremos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 8 - Uma carga trifásica conectada em estrela não-aterrada é formada na 
fase A por um indutor de reatância X ohms, na fase B por um capacitor de reatância 
também de X ohms e na fase C por um resistor de R ohms. Essa carga é suprida por uma 
fonte trifásica equilibrada de seqüência ABC e ligada em estrela aterrada. Utilizando 
apenas o recurso de diagramas fasoriais pede-se determinar a relação entre R e X para 
que os neutros da carga e da fonte coincidam e descrever o comportamento da tensão 
entre os neutros da carga N´ e da fonte N, das correntes circulando nas fases da mesma 
quando a R variar no intervalo0,. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 9 - Um sistema trifásico equilibrado de fontes de seqüência positiva 
conectada em estrela com neutro solidamente aterrado alimenta uma carga 
desequilibrada também conectada em estrela, porém com o neutro isolado. Pede-se 
delimitar claramente no diagrama fasorial das tensões na fonte, a região em que o neutro 
da carga N´ deverá situar-se, inclusive as fronteiras, quando as cargas são capacitores, 
sendo Ca.> Cb e Cc variável no intervalo0,. As cargas da fase A e B não são nulas 
nem infinitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO10 - Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva, conectada em 
estrela com o neutro aterrado diretamente e tensão de linha de V, alimenta uma carga 
desbalanceada, também conectada em estrela, porém com o neutro isolado da terra. A 
carga é formada na fase A por um indutor XL, na fase B por um resistor R1 e na fase C 
por um resistor variável R2. Pede-se estabelecer, utilizando diagrama fasoriais, o lócus 
do neutro da carga N´ quando o resistor na fase C variar no intervalo [0,) admitindo-
se que XL=R1. As coordenadas dos pontos extremos desse lócus deverão ser determinadas 
fazendo-se uso, apenas, dos recursos geométricos oferecidos pelos diagrama fasorial e 
tomando-se o fasor correspondente a tensão de fase A da fonte na origem Va0o. 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO 11 - Um sistema trifásico equilibrado de fontes de seqüência positiva 
conectada em estrela com neutro solidamente aterrado alimenta uma carga 
desequilibrada também conectada em estrela, porém com o neutro isolado. Pede-se 
delimitar claramente no diagrama fasorial das tensões da fonte a região em que o neutro 
da carga N´ deverá situar-se, inclusive as fronteiras, quando as cargas são resistores, 
onde Ra.> Rb e Rc é variável entre 0 a . As cargas da fase A e B não são nulas nem 
infinitas. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 12 - Um sistema trifásico equilibrado de fontes de seqüência positiva 
conectada em estrela com neutro aterrado por uma resistência de 10  alimenta uma 
carga desequilibrada também conectada em estrela, porém com o neutro isolado, 
formada por um resistor na fase A e por capacitores de mesma reatância nas fases B e 
C. Pede-se, utilizando a técnica do diagrama fasorial, estabelecer o lócus do neutro da 
carga quando o resistor varia entre 0 a .