Material Teórico 1 - Trigonometria no Triângulo Retângulo

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Matemática 2 – Curso Técnico Integrado – Trigonometria (Semana 1) 
 
 
 
TRIGONOMETRIA NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
SITUAÇÃO PROBLEMA 1 
Na praça de uma determinada cidade tem uma rampa 
que une dois pisos em desnível, conforme a figura. 
Subindo essa rampa, 
Pedro percorre a 
distância de 3m, 
com deslocamento 
na vertical de 1m. 
Qual será o 
deslocamento de 
Pedro na vertical se ele percorrer 6m da rampa? 
 
Situação como essa, que envolve medidas de lados e 
ângulos de triângulos, pode ser resolvida com a 
Trigonometria, que estabelece relações entre as 
medidas de ângulos e segmentos. 
A razão entre o deslocamento na vertical e a distância 
percorrida sobre a rampa depende exclusivamente do 
ângulo que a rampa forma com o plano horizontal. 
Em cada subida, um ponto P é obtido a partir de um 
percurso, que determina uma altura e um afastamento 
(deslocamento), como nos exemplos abaixo: 
 
 
Voltando a situação problema 1: 
 
Como os triângulos OAB e OCD são semelhantes, 
temos: 
1
3
= 
𝑥
6
 ⇒ 𝑥 = 2. 
 
 
Logo, percorrendo 6m da rampa, o deslocamento de 
Pedro na vertical será de 2m. 
Para cada subida com ângulo de inclinação de medida 
𝛼, ficam determinados o percurso, a altura e o 
afastamento. 
A razão entre as medidas da altura e do afastamento é 
um valor constante conhecido como índice de subida 
ou por tangente de 𝛼 (tan 𝛼), além desse valor, 
podemos determinar outros dois: seno de 𝛼 (sin 𝛼) e 
cosseno de 𝛼 (cos 𝛼). 
 
 
Considere o triângulo retângulo abaixo. 
 
 
Definição: Seno de um ângulo agudo é a razão entre o 
cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. 
sin 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
Definição: Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre 
o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do 
triângulo. 
cos 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
Definição: Tangente de um ângulo agudo é a razão 
entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. 
tan 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
 
sin 𝛼 =
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜
 
cos 𝛼 =
𝑎𝑓𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜
 
tan 𝛼 =
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑎𝑓𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
 
Matemática 2 – Curso Técnico Integrado – Trigonometria (Semana 1) 
 
 
 
EXEMPLOS 
1) Calcule o valor de 𝑥 em cada caso, considerando 
sin 28° = 0,47, cos 28° = 0,88 e tan 28° = 0,53. 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um engenheiro precisa determinar a altura de um 
prédio. Para isso, ele procede da seguinte maneira. Ele 
se posiciona a uma distância que torne possível 
observar o prédio todo. Com um teodolito, ele mira o 
alto do prédio, obtendo o ângulo que essa linha virtual 
faz com a horizontal. Suponhamos que obteve 34°. 
Depois, usando uma trena, ele mede a distância que vai 
do teodolito ao prédio, obtendo 46m. Sabendo que o 
teodolito tem 1m de altura, calcule a altura do prédio. 
(Considere sin 34° = 0,56, cos 34° = 0,83 e tan 34° =
0,67.) 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE DE 
ÂNGULOS AGUDOS 
Considere o triângulo ABC: 
 
 
Como 𝛼 e 𝛽 são complementares, podemos escrever 
𝛽 = 90° − 𝛼, e assim: 
sin 𝛼 = cos 𝛽 = cos(90° − 𝛼) 
 
cos 𝛼 = sin 𝛽 = sin(90° − 𝛼). 
Temos que: 
sin 𝛼 =
𝑏
𝑎
⇒ 𝑏 = 𝑎 sin 𝛼 
 
cos 𝛼 =
𝑐
𝑎
⇒ 𝑐 = 𝑎 cos 𝛼 
 
tan 𝛼 =
𝑏
𝑐
⇒
𝑎 sin 𝛼
𝑎 cos 𝛼
. 
 
Portanto, 
tan 𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
. 
 
Teorema: Quaisquer que sejam as medidas dos 
ângulos de um triângulo retângulo, vale a igualdade 
(sin 𝛼)2 + (cos 𝛼)2 = 1. 
De fato, 
(sin 𝛼)2 + (cos 𝛼)2 = (
𝑏
𝑎
)
2
+ (
𝑐
𝑎
)
2
=
𝑏2 + 𝑐2
𝑎2
, 
 
pelo Teorema de Pitágoras, temos 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, assim 
Resolução: 
cos 28° =
𝑥
4
 
0,88 =
𝑥
4
 
 
𝑥 = 3,52 𝑐𝑚 
Resolução: 
sin 28° =
𝑥
5
 
 
0,47 =
𝑥
5
 
 
𝑥 = 2,35 𝑐𝑚 
Resolução: 
tan 28° =
𝑥
10
 
 
0,53 =
𝑥
4
 
 
𝑥 = 5,3 𝑑𝑚 
Curiosidade: O teodolito é um 
instrumento óptico utilizado na 
Topografia e na Agrimensura para 
realizar medidas de ângulos verticais e 
horizontais, usado em redes de 
triangulação. Basicamente é um 
telescópio com movimentos graduados 
na vertical e na horizontal, e montado 
sobre um tripé, podendo possuir ou não 
uma bússola incorporada. Há muitas 
variedades de teodolitos, alguns para 
fins de Topografia e outros, com maior 
precisão, de uso em Astronomia. 
 
Resolução: 
𝐻 = ℎ + 1 
 
tan 34° =
ℎ
46
 
 
ℎ = 30,82 
 
 
𝐻 = 31,82 𝑚 
sin 𝛼 =
𝑏
𝑎
 
 
cos 𝛼 =
𝑐
𝑎
 
 
tan 𝛼 =
𝑏
𝑐
 
sin 𝛽 =
𝑐
𝑎
 
 
cos 𝛽 =
𝑏
𝑎
 
 
tan 𝛽 =
𝑐
𝑏
 
Matemática 2 – Curso Técnico Integrado – Trigonometria (Semana 1) 
 
 
(sin 𝛼)2 + (cos 𝛼)2 =
𝑏2 + 𝑐2
𝑎2
=
𝑎2
𝑎2
= 1. 
SENO, COSSENO E TANGENTE DE ÂNGULOS DE 30°, 
45° E 60° 
Considere o quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷: 
 
 
 
 
 
Do Triângulo ADC, temos: 
 
 
Considere o triângulo equilátero ABC: 
 
 
 
 
 
 
 
Do Triângulo AHB, temos: 
 
 
 
 
Portanto: 
 𝛼 = 30° 𝛼 = 45° 𝛼 = 60° 
sin 𝛼 
1
2
 
√2
2
 
√3
2
 
cos 𝛼 √
3
2
 
√2
2
 
1
2
 
tan 𝛼 √
3
3
 1 √3 
 
EXEMPLOS 
1) Determine o valor de 𝑥 e 𝑦: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um foguete foi lançado, formando com o solo um 
ângulo de 45°. Depois de percorrer 1.000 metros em 
linha reta, a que altura estava o foguete? 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
3) Uma das extremidades de uma cabo de aço está 
presa ao topo de um poste, formando com este um 
ângulo de 30°, enquanto a outra extremidade está 
fixada no chão 5m do pé do poste. Qual é o 
comprimento do cabo de aço? Qual é altura do poste? 
 
Temos que: 
 
𝑦2 = 𝑥2 + 𝑥2 
 
𝑦 = 𝑥√2 
sin 45° = 
𝑥
𝑦
 
 
sin 45° =
𝑥
𝑥√2
 
 
sin 45° =
√2
2
 
cos 45° = 
𝑥
𝑦
 
 
cos 45° =
𝑥
𝑥√2
 
 
cos 45° =
√2
2
 
 
tan 45° = 
𝑥
𝑥
 
 
tan 45° = 1 
 
 
Temos que: 
 
𝑥2 = ℎ2 + (
𝑥
2
)
2
 
 
ℎ =
𝑥√3
2
 
sin 30° = 
𝑥
2
𝑥
 
 
sin 30° =
1
2
 
 
 
cos 30° = 
ℎ
𝑥
 
 
cos 30° =
𝑥√3
2
𝑥
 
 
cos 30° =
√3
2
 
 
tan 30° = 
𝑥
2
ℎ
 
 
tan 30° =
𝑥
𝑥√3
2
 
 
tan 30° = 
√3
3
 
 
sin 60° = 
ℎ
𝑥
 
 
sin 60° =
𝑥√3
2
𝑥
 
 
sin 60° = 
√3
2
 
cos 60° = 
𝑥
2
𝑥
 
 
cos 60° =
1
2
 
 
 
 
tan 60° = 
ℎ
𝑥
2
 
 
tan 60° =
𝑥√3
2
𝑥
2
 
 
tan 60° = √3 
 
Resolução: 
sin 60° = 
𝑥
30
 
 
√3
2
=
𝑥
30
 
 
𝑥 = 15√3 𝑐𝑚 
cos 60° = 
𝑦
30
 
 
1
2
=
𝑦
30
 
 
𝑦 = 15 𝑐𝑚 
sin 45° = 
ℎ
1.000
 
 
 
ℎ = 500√2 𝑐𝑚 
Matemática 2 – Curso Técnico Integrado – Trigonometria (Semana 1) 
 
 
Resolução: 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
[1] BARROSO, Juliane Matsubara. Conexões com a 
Matemática. Vol. 2. São Paulo: Moderno, 2010. 
 
[2] DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & 
Aplicações. Vol. 1. São Paulo: Editora Ática, 2017. 
 
[3] IEZZI, Gélson. Fundamentos da Matemática 
Elementar. Vol. 3. São Paulo: Atual Editora, 2002. 
 
sin 30° = 
5
𝑐
 
 
1
2
=
5
𝑐
 
 
𝑐 = 10 𝑚 
tan 30° = 
5
ℎ
 
 
√3
3
=
5
ℎ
 
 
ℎ =
15√3
3
 𝑚