APX2-MD2-2020-2 - Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX2 - Métodos Determinísticos II (2020-2)
Código da disciplina EAD06077
GABARITO
Questão 1: [2,5 pts] Sejam f e g funções contínuas em R, com f (3) = 5 e lim
x→3[2 f (x)− g (x)] = 4. Encontre
g (3).
Solução: Pelas propriedades de limites, temos:
4 = lim
x→3[2 f (x)− g (x)] = 2 limx→3 f (x)− limx→3 g (x),
donde
lim
x→3 g (x) = 2 limx→3 f (x)−4. (1)
Como f é contínua, segue que lim
x→3 f (x) = f (3) = 5. Analogamente, como g é contínua, temos que limx→3 g (x) =
g (3). Substituindo esses dados em (1), obtemos:
lim
x→3 g (x) = 2 limx→3 f (x)−4 ⇔ g (3) = 2×5−4 = 6.
Portanto, g (3) = 6.
Questão 2: [2,5 pts] Seja f uma função diferenciável em a, com a > 0. Calcule o limite abaixo, em termos
de f ′(a):
lim
x→a
f (x)− f (a)p
x −pa .
Solução: Lembremos que se f é diferenciável em a, então
f ′(a) = lim
4x→0
f (a +4x)− f (a)
4x = limx→a
f (x)− f (a)
x −a .
Assim,
lim
x→a
f (x)− f (a)p
x −pa = limx→a
f (x)− f (a)p
x −pa ×
(
p
x +pa)
(
p
x +pa) = limx→a
( f (x)− f (a))(px +pa)
x −a =
[
lim
x→a
f (x)− f (a)
x −a
]
×
[
lim
x→a(
p
x +pa)
]
.
Como f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x −a e limx→a
(p
x +pa)= 2pa, segue que
lim
x→a
f (x)− f (a)p
x −pa =
[
lim
x→a
f (x)− f (a)
x −a
]
×
[
lim
x→a(
p
x +pa)
]
= f ′(a)×2pa.
Dessa forma, lim
x→a
f (x)− f (a)p
x −pa = 2
p
a f ′(a).
Questão 3: [2,5 pts] Seja x a quantidade de produtos produzida por uma fábrica. Mostre que se a fábrica
obtém um lucro total máximo produzindo x0 unidades, então a receita marginal em x0 e o custo marginal
em x0 em coincidem.
Solução:
Considere:
• R(x) → função receita total;
• C (x) → função custo total;
• L(x) → função lucro total.
Assim, pelo que vimos na Aula 12, a função lucro total é descrita como sendo L(x) = R(x)−C (x). Portanto,
derivando ambos os membros dessa igualdade em relação a x, temos que L′(x) = R ′(x)−C ′(x).
Como a fábrica atinge um lucro total máximo em x0, concluímos que L′(x0) = 0. Dessa forma,
0 = L′(x0) = R ′(x0)−C ′(x0) ⇔ R ′(x0) =C ′(x0).
Portanto, a receita marginal em x0 e o custo marginal em x0 são iguais.
Questão 4: [2,5 pts] Calcule
∫
xex
(x +1)2 d x.
Solução: Usando a integração por partes, faremos:
 u = xe
x
d v = 1
(x +1)2 d x
⇒
 du = (e
x +xex )d x
v =− 1
x +1
.
Assim,∫
xex
(x +1)2 d x = −
xex
x +1 −
∫ −1
x +1 (e
x +xex )d x
= − xe
x
x +1 +
∫
1
x +1 e
x (x +1)d x
= − xe
x
x +1 +
∫
ex d x
= − xe
x
x +1 +e
x +C
= −xe
x +xex +ex
x +1 +C
= e
x
x +1 +C
Logo,
∫
xex
(x +1)2 d x =
ex
x +1 +C .
2