Exercício MATEMÁTICA INSTRUMENTAL

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MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
ARA0034
Disciplina: ARA0034 – MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
Turmas: 3001
Horários de aula: Segunda-feira – 18:30 às 21:20
Professora: Marluce Miranda
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
Módulo 1: Interpretar os conceitos básicos de intervalo
Módulo 2: Identificar pontos no plano
Módulo 3: Interpretar as informações contidas em um gráfico
Módulo 4: Identificar pontos notáveis de um gráfico
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
O que é um intervalo?
Matematicamente falando, um intervalo é um conjunto limitado. Ou seja, é um subconjunto do conjunto dos números reais a ser analisado, numa determinada situação.
Exemplos:
O período da 10 às 12 horas.
A escala de graus Celsius: 0° a 270°C.
A reta real é uma reta, na qual se representa, de forma linear, o conjunto dos números reais. Ela é infinita e cresce da esquerda para direita, de menos infinito () a mais infinito (). 
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
O que é um intervalo?
Matematicamente falando, um intervalo é um conjunto limitado. Ou seja, é um subconjunto do conjunto dos números reais a ser analisado, numa determinada situação.
Exemplos:
O período da 10 às 12 horas.
A escala de graus Celsius: 0° a 270°C.
A reta real é uma reta, na qual se representa, de forma linear, o conjunto dos números reais. Ela é infinita e cresce da esquerda para direita, de menos infinito () a mais infinito (). 
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
Representação de um intervalo na reta real:
Um número contido no intervalo citado é representado por uma bola cheia: 
Representado por (maior ou igual) e (menor ou igual) ou [] (colchetes)
Intervalo fechado com extremos a e b a todos os números reais x ∈ R tal que a ≤ x e x ≤ b, denotamos por: [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}.
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
Um número não contido no intervalo citado é representado por uma bola vazada: 
Representado por (maior) e (menor) ou () (parênteses) / ][ (colchetes invertidos)
Intervalo aberto com extremos a e b a todos os números reais x ∈ R tal que a < x e x < b, denotamos por: (a, b) = {x ∈ R; a < x < b}.
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
Exemplo de intervalo totalmente fechado:
[3,8] = { / 
Exemplo de intervalo totalmente aberto:
]3,8[ = { / 
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
Amplitude de um intervalo:
É a diferença entre o limite superior (mais à direita) e o limite inferior (mais à esquerda).
A amplitude independe se os intervalos são abertos ou fechados, haja vista que, por se tratar do conjunto dos números reais, e no caso do intervalo aberto, os números contidos neles podem ser infinitamente próximos aos seus limites.
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
Representações com o infinito:
Semirreta (só possui uma extremidade) fechada:
( = { / 
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
Semirreta (só possui uma extremidade) aberta:
() = { / x
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
Exercicio:
Represente na reta numérica os seguintes conjuntos:
{ / }
b) ()
c)
2) Considere os meses do ano e informe o intervalo que compreende o segundo quadrimestre do ano.
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
Plano Cartesiano
O sistema cartesiano ortogonal é utilizado para localizar e representar pontos do sistema de coordenadas cartesiano. Ele consiste em duas retas perpendiculares, que se cruzam formando dois eixos. Vejamos os seus componentes:
Eixo horizontal – eixo do x ou abcissa
Eixo vertical – eixo do y ou ordenadas
Origem – encontro dos zeros dos dois eixos formando o ponto (0,0). É onde eles se interceptam.
Quadrantes: cada uma das quatro partes formadas pela interseção dos dois eixos.
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
1º quadrante: x e y positivos
2º quadrante: x negativo e y positivo
3º quadrante: x e y negativos
4º quadrante: x positivo e y negativo
Matemática do dia-a-dia
Gráficos e interpretações gráficas
Par ordenado: é um par arrumado e apresentado com o valor da abcissa (x) sempre na frente do valor da ordenada (y). 
Ponto a: (1,3)
Ponto b: (-1,-3)
Ponto c: (2,4)
Ponto d: (-4,-1)
Matemática do dia-a-dia
Funções
Funções:
Uma função é uma regra, uma lei, que relaciona elementos de um conjunto com outro. O estudo das funções matemáticas tem se mostrado essencial nos dias de hoje, auxiliando as mais variadas ciências.
Função afim ou polinomial:
Dita como base do estudo das funções, a afim ou polinomial do 1° grau é uma função do tipo f(x) = ax +b, com a, b, e a ≠ 0.
Notações:
Aqui, tem-se x variando e y = f(x) variando em função dele.
Exemplos de funções:
 é uma função afim com a = 6 e b = 9
 é uma função afim com a = 0,7 e b = 0,8
Matemática do dia-a-dia
Funções
Elementos do estudo das funções:
Domínio: é o conjunto A, também chamado de conjunto de partida. Ele é representado por D(f) e é o conjunto do x ou variável independente.
Contradomínio: é o B, também chamado de campo de valores de f.
Imagem: é o conjunto de números do contradomínio, que são associados a elementos de A [D(f)]. É o conjunto do y ou variável dependente, também chamado de f(x).
Diagrama de flecha: forma representativa de uma função.
Matemática do dia-a-dia
Funções
Representações de uma função:
Verbal
Numérica: descrição por meio de tabelas de valores
Visual: descrição por meio de gráficos e diagramas
Algébrica: descrição por meio de fórmulas explícitas
Gráficos:
Seja f uma função, o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos, pares ordenados, (x, f(x)) ou (x, y) de um plano coordenado, no qual x a D(f) e y = f(x) a Im.
Matemática do dia-a-dia
Funções
Simetria:
Função par:
*Significado gráfico de uma função par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
*Representação gráfica de uma função par:
*Função par: 
*Exemplo: 
 
 
 
Matemática do dia-a-dia
Funções
Função ímpar:
*Significado gráfico de uma função ímpar: o gráfico é simétrico em relação á origem.
*Representação gráfica de uma função ímpar:
*Função ímpar: 
*Exemplo: 
 , para x = 1
Matemática do dia-a-dia
Funções
Exercício: Determine se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhum dos dois.
a) 			b) 			c) 
Função par: 
Não é par!
Função ímpar: 
É uma função ímpar	
Função par: 
É uma função par 	
Função par: 
Não é par!
Não é ímpar
Matemática do dia-a-dia
Funções
Tipos de função:
Injetora ou injetiva: é aquela, para a qual existe imagens distintas para elementos distintos do conjunto Domínio.
Característica: ela é injetora se, e somente se, toda reta horizontal intersecta seu gráfico em, no máximo, um ponto.
Sobrejetora ou sobrejetiva: é aquela, cujo conjunto contradomínio coincide com o conjunto Imagem.
Matemática do dia-a-dia
Funções
Bijetora ou bijetiva: é aquela, que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Além de só existir um elemento no conjunto B associado a um elemento de A, também não sobra nenhum elemento sem associação no conjunto Imagem.
Matemática do dia-a-dia
Funções
Função afim:
É toda a função polinomial de 1º grau, pois o maior expoente é 1. É uma função linear. 
Raiz da função afim:
É o ponto em que o gráfico da função intercepta o eixo das abcissas e isto só ocorre quando o valor de y é zero. Ou seja, basta igualar a função a zero, para determiná-la.
Sendo uma função de 1° grau representada pela forma geral , temos que a sua raiz é dada da seguinte forma:
 – faz-se 0, então:
Matemática do dia-a-dia
Funções
Raízes de uma função: são os valores de x, que zeram uma função. Ou seja, as raízes são pontos do tipo (x,0) e se localizam sobre o eixo das abcissas.
Matemática do dia-a-dia
Funções
Exemplo: Determinando asraízes das funções abaixo:
 
 
d) 
Continuação:
As raízes desta equação são reais e distintas, porque o discriminante é maior do que zero.
Matemática do dia-a-dia
Funções
Exemplo: Determinando as raízes das funções abaixo:
f) 
Continuação:
As raízes são reais e iguais, porque o discriminante é igual a zero.
Não existem raízes reais para esta equação, porque o discriminante é menor do que zero.
Matemática do dia-a-dia
Funções
Exemplo: Determinando as raízes das funções abaixo:
 (COMPLETA: )
c) (COMPLETA: )
c
Condições:
d) 0
0
Continuação:
6
Matemática do dia-a-dia
Funções
Coeficientes da função afim:
Coeficiente angular () é o coeficiente do x, dado pela tangente do ângulo formado pelo gráfico (reta) e o eixo das abcissas.
Coeficiente linear () é o coeficiente do x0 e representa o ponto onde gráfico (reta) intercepta o eixo das ordenadas. Ou seja, quando x = 0.
 – faz-se 0, então:
Matemática do dia-a-dia
Funções
Crescimento e decrescimento de uma função afim (taxa de crescimento):
Crescente: a > 0
Decrescente: a < 0
Tipos de função afim:
Linear: ocorre quando = 0 e . Neste caso, o gráfico passa necessariamente pela origem (0,0):
Exemplo: 
 
 
 
Matemática do dia-a-dia
Funções
Identidade: ocorre quando = 1 e = 0. Neste caso, o gráfico também passa pela origem (0,0), mas é caracterizada pelo fato de que o seu gráfico faz um ângulo de 45° com eixo das abcissas.
Exemplo:
 
 
. 
 
Constante: ocorre quando = 0. O gráfico é paralelo ao eixo das abcissas.
 
 
, ou seja, independente do valor de x, y continua sendo a constante.
Matemática do dia-a-dia
Funções
Identidade: ocorre quando = 1 e = 0. Neste caso, o gráfico também passa pela origem (0,0), mas é caracterizada pelo fato de que o seu gráfico faz um ângulo de 45° com eixo das abcissas.
Exemplo:
 
 
. 
 
Constante: ocorre quando = 0. O gráfico é paralelo ao eixo das abcissas.
 
 
, ou seja, independente do valor de x, y continua sendo a constante.
Matemática do dia-a-dia
Funções
Se , qual é o valor de x, para que 
Uma função é dada por . Qual é a raiz desta função?
Dada a função 1 , quais os valores de , e ?
Determine os zeros das funções a seguir:
a) 			b) 			c) 
5) Classifique cada uma das funções seguintes em crescente ou decrescente:
			b) f(x)			c) 
6) Para qual valor de a, a função é crescente?
7) O gráfico da função passa pelos pontos 
8) Uma função de 1° grau é dada por b . Sabendo-se que e , determine esta função.
Matemática do dia-a-dia
Funções
9) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00 mais uma parte variável de 12% sobre o valor das vendas no mês. Calcule o valor do salário que ele receberá, caso consiga vender R$ 45.000,00.
10) O custo mensal de um carro depende do numero de quilômetros rodados. Lia descobriu que em maio gastou$R 380,00 e guiou 768 km. Já em junho, gastou R$ 460,00 e guiou 1280 km.
Expresse o custo mensal C como uma função da distancia percorrida (d), supondo que a relação linear forneça um modelo apropriado.
A partir da função determinada no item anterior, determine o custo quando forem percorridos 2.400 km num mês.
Esboce o gráfico da função e determine a inclinação e diga o que ela representa.
Matemática do dia-a-dia
Funções
Indicação:
Conteúdo digital – SAVA
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/
https://www.todamateria.com.br/