Coordenadas Polares e Cartesianas

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11 Coordenadas Polares
1. Desenhe sobre o plano o ponto P que tem coordenadas polares:
a) (3,π/4)
a) (1, 5π/6)
a) (2, 3π/2)
a) (1, 5π/4)
Resposta:
2. Em cada um dos casos abaixo encontre a equação em coordenadas polares.
a) x2 − y2 = 16
b) 2xy = 25
c) (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2)
d) x3 + y3 − 6xy = 0.
e) 4x2 + 3y2 = 1
f) 2x2 − y2 = 1
g) y2 + 4x = 0
h) x2 − 2y = 0
i) x2 + 2y2 = 1
Resposta:
a)
r2 cos(2θ) = 16.
b)
r2 sin(2θ) = 25.
c)
r2 = 4 cos(2θ).
d)
r3 cos3(θ) + r3 sin3(θ)− 3r2 sin(2θ) = 0.
e)
r2 cos2(θ) + 3r2 = 1.
f)
r2 cos2(θ) + r2 cos(2θ) = 1.
g)
r2 sin2(θ) + 4r cos(θ) = 0.
h)
r2 cos2(θ)− 2r sin(θ) = 0.
i)
r2 + r2 sin2(θ) = 1.
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3. Em cada um dos casos abaixo encontre a equação em coordenadas cartesianas.
a) r = 52−2 cos θ
b) r2 = 2 sin 2θ
c) r = 62−3 sin θ
d) r2 = cos(θ).
e) r cos(θ − π/4) = 2
f) r sin(θ − π/3) = 3
g) r + r cos(θ − π/4) = 2
h) r + 2r cos(θ) = 1
i) 2r + r cos(θ) = 2
Resposta:
a)
2
�
x2 + y2 = 5 + 2x.
b)
(x2 + y2)2 = 4xy.
c)
2
�
x2 + y2 = 6 + 3y.
d)
(
�
x2 + y2)3 = x.
e) √
2(x+ y) = 4.
f)
y −
√
3x = 6.
g) �
x2 + y2 +
1√
2
x+
1√
2
y = 2
h) �
x2 + y2 + 2x = 1.
h)
2
�
x2 + y2 + x = 2.
4. Em cada um dos casos abaixo identifique a cônica. Determine a excentricidade,
a equação cartesiana da cônica e da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s)
foco(s) e do(s) vértice(s).
a) r = 52−2 cos θ
b) r = 63+sin θ
c) r = 32+4 cos θ
d) r = 42−3 cos θ .
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e) r = 12−cos(θ−π/4)
f) r = 11+3 sin(θ−π/3)
g) r = 11−sin(θ−π/6)
Resposta: Para ressolver os exercçios levamos a equação na forma
r =
r0e
1 + e cos(θ − φ)
para poder idetificar r0, e e φ utilizando as identidades trigonométricas
cos(α+ β) = cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β)
sin(α+ β) = sin(α) cos(β) + sin(α) sin(β).
Logo utilizamos esta informação para achar focos vértices e reta diretriz.
a) Parábola com
Foco F = O.
Vértice V =
�
5
4
,π
�
.
Reta diretriz r cos(θ − π) = 5
2
.
b) Elipse com
Focos F1 = O F2 =
�
3
2
,
3π
2
�
.
Vértices V1 =
�
3
2
,
π
2
�
V2 =
�
3,
3π
2
�
.
Reta diretriz r cos(θ − π/2) = 6.
c) Hipérbole com
Focos F1 = O F2 = (2, 0) .
Vértices V1 =
�
1
2
,π
�
V2 =
�
3
2
,π
�
.
Reta diretriz r cos(θ) =
3
4
.
d) Hipérbole com
Focos F1 = O F2 =
�
24
5
,π
�
.
Vértices V1 =
�
4
5
,π
�
V2 = (4,π) .
Reta diretriz r cos(θ − π) = 4
3
.
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e) Hipérbole com
Focos F1 = O F2 =
�
2
3
,
π
4
�
Vértices V1 =
�
1
3
,
5π
4
�
V2 =
�
1,
π
4
�
.
Reta diretriz r cos(θ − 5π/4) = 1.
f) Hipérbole com
Focos F1 = O F2 =
�
3
4
,
5π
6
�
Vértices V1 =
�
1
4
,
5π
6
�
V2 =
�
1
2
,
5π
6
�
.
Reta diretriz r cos(θ − 5π/6) = 1
3
.
g) Hipérbole com
Foco F1 = O.
Vértice V =
�
1
2
,
5π
3
�
.
Reta diretriz r cos(θ − 5π/3) = 1.
5. Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada por
r =
1
2 + sin(θ)
Determine
i- tipo de cônica
iii- a equação da cônica em coordenadas cartesianas.
Resposta:
Juntando as partes podemos responder:
i- Elipse
iii-
4x2 + 3y2 + 2y = 1.
6. (a) Encontre as coordenadas polares (r, θ) do ponto (1, 1) com r > 0 e 0 ≤
θ < 2π.
b) Determine as coordenadas cartesianas de todos os pontos que estão sobre
uma reta paralela ao eixo polar a θ = π unidades dele.
(c) Reescreva a equação 2x y = 25 em coordenadas polares.
(d) Reescreva a equação r = 3 cos(θ) em coordenadas cartesianas.
Resposta:
(a) As coordenadas polares são r =
√
2 e θ = π/4.
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(b) As coordenadas cartesianas de todos os pontos que estão sobre uma reta
paralela ao eixo polar a θ = π unidades dele são (x, y) com x < 0.
(c) A equação 2x y = 25 em coordenadas polares é escrita como r2 sin(2θ) =
25.
(d) A equação r = 3 cos(θ) em coordenadas cartesianas é escrita como
x2 + y2 = 3x.
7. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
• A equação em coordenadas polares r(2 − 3 cos(θ)) = 4 representa uma
parábola. Resposta: (FALSO)
• A equação em coordenadas polares r(1 − 2 cos(θ)) = 1 representa uma
elipse. Resposta: (FALSO)
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