Área de regiões em cooerdenadas polares - Exercício resolvido

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• Calcule a área da região de intersecção das regiões determinadas pelas equações 
 e .r = 2sen 𝜃( ) r = 2cos 𝜃( )
Resolução:
Interseção:2cos 𝜃 = 2sen 𝜃 = tg 𝜃 = 1 𝜃 = ou 𝜃 =( ) ( ) →
sen 𝜃
cos 𝜃
( )
( )
2
2
→ ( ) →
𝜋
4
5𝜋
4
 
A = 2 ⋅ sen 𝜃 d𝜃+ 2 ⋅ cos 𝜃 d𝜃
0
∫
𝜋
4
( ( ))2 ∫
𝜋
2
𝜋
4
( ( ))2
A = 4 sen 𝜃 d𝜃+ 4 cos 𝜃 d𝜃
0
∫
𝜋
4 2( ) ∫
𝜋
2
𝜋
4
( )
sen 𝜃 = e cos 𝜃 =2( )
1 - cos 2𝜃
2
( )
2( )
cos 2𝜃 + 1
2
( )
A = 4 d𝜃+ 4 d𝜃
0
∫
𝜋
4 1 - cos 2𝜃
2
( ) ∫
𝜋
2
𝜋
4
cos 2𝜃 + 1
2
( )
A = 2 1 - cos 2𝜃 d𝜃+ 2 cos 2𝜃 + 1 d𝜃
0
∫
𝜋
4
( ( ) ∫
𝜋
2
𝜋
4
( ( ) )
 
 
A = 2 1d𝜃+ 2 -cos 2𝜃 d𝜃+ 2 cos 2𝜃 d𝜃+ 2 1d𝜃
0
∫
𝜋
4
0
∫
𝜋
4
( ( )) ∫
𝜋
2
𝜋
4
( ) ∫
𝜋
2
𝜋
4
Resolvendo as inegrais em suas formas indefinidas;
1d𝜃 = 𝜃+ c∫ 1
 
cos 2𝜃 d𝜃; u = 2𝜃∫ ( )
 du = 2d𝜃
 = d𝜃; 
du
2
substituindo : cos u = + c = + c∫ ( )du
2
sen u
2
( )
2
sen 2𝜃
2
( )
2
Voltando para a integral definida :
A = 2𝜃 - 2 ⋅ + 2 ⋅ + 2𝜃
0
𝜋
4 sen 2𝜃
2
( )
0
𝜋
4 sen 2𝜃
2
( )
𝜋
2
𝜋
4
𝜋
2
𝜋
4
A = 2 ⋅ - 0 - sen 2 ⋅ - sen 2 ⋅ 0 + sen 2 ⋅ - sen 2 ⋅ + 2 ⋅ -
𝜋
4
𝜋
4
( )
𝜋
2
𝜋
4
𝜋
2
𝜋
4
A = - 1 - 1 +𝜋-
𝜋
2
𝜋
2
 
A = 𝜋- 2 u. a.
 
 
(Resposta)