Aula 3 - Matriz inversa

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Álgebra linear
Matriz inversa
Professor Dr. Josivan Pedro
Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Noções iniciais
No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a condição:
a.b = b.a =1
É bastante comum indicarmos o inverso de a por ou a -1. 
 Exemplo:
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Definição 
Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se invertível se, e somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que: 
Em que In é a matriz identidade de ordem n e B é denominada inversa de A e indicada por A-1 .
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Exemplo 1:
 Verifique que a matriz é a inversa da matriz . 
Como A · B = B · A = I2 , a matriz B é a inversa de A, isto é, B = A-1.
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Para verificar se uma matriz quadrada é ou não invertível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa, apresentaremos, a seguir, um processo baseado na definição de matriz inversa e na resolução de sistemas lineares. 
Quando uma matriz é invertível, dizemos que ela é uma matriz não singular, caso contrário, será uma matriz singular. 
Observações: 
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Exemplo 2:
 Vamos encontrar, se existir, a inversa de . 
Devemos verificar se existe , tal que A . A-1 = In. 
Logo: 
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Exemplo 2 (continuação):
Do conceito de igualdade, seguem os sistemas: 
, cuja solução é a = 2 e c = -5/2
, cuja solução é b = -1 e d = 3/2
Então,
É fácil ver que A-1 . A = In também está satisfeita. 
 
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Exemplo 3:
 Vamos encontrar, se existir, a inversa de . 
Fazendo A.A-1 = In , temos: 
 
Logo: 
 
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Exemplo 4:
Com o primeiro sistema não admitindo solução, já seria possível concluir que não existe a inversa de A (O segundo sistema também não admitiu solução). . 
.(-2)
.(-2)
Resolvendo os sistemas pelo método da adição, temos: 
(Impossível) 
(Impossível) 
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O processo apresentado nos exemplos anteriores, apesar do grande nível de complexidade, pode ser usado para o cálculo de inversas de matrizes quadradas de ordem n, com n ≥ 2. 
Estudar métodos para solução de sistemas lineares será bastante eficaz para o cálculo de matrizes inversas de ordem n, com n ≥ 3. 
Observações: 
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Exercícios 
01. Obter a matriz inversa da matriz . 
Resolução:
Sendo , temos: 
, cuja solução é a = 1 e c = -1
, cuja solução é b = -1 e c = 2
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Exercícios 
02. Verifique se é a inversa de . 
Resposta: SIM
03. Determine, se existir, a inversa da matriz . 
Resposta:
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Exercícios 
04. Verifique se a inversa de é a matriz . 
Resposta: SIM
05. A inversa de é a matriz . Determine x e y. 
Resposta: x = 7 e y = 1
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Matriz Inversa
Método utilizando matriz dos cofatores 
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Método utilizando matriz dos cofatores 
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Método utilizando matriz dos cofatores 
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Método utilizando matriz dos cofatores 
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Método utilizando matriz dos cofatores 
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Exemplo 5:
 Encontre a matriz inversa de utilizando o método da matriz adjunta
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Propriedades
Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e invertíveis, temos as seguintes propriedades:
Dada A, se existir A-1, então ela é única;
(A-1)-1 = A;
(A . B)-1 = B-1 . A-1;
(A-1)t = (At)-1.
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Propriedades
Se uma matriz A é invertível, então esta inversa é única. 
Demonstração: 
De fato, vamos supor que A seja invertível de ordem n, que B e C sejam suas inversas e ainda que B ≠ C. Dessa forma, AB = BA = In e AC = CA = In. Tomando a primeira equação e multiplicando ambos os lados da equação, à esquerda, por C, temos C (AB) = CIn, ou seja, (CA)B= CIn, como CA = In. Logo: B = C. 
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Matriz Inversa
Propriedades
Se uma matriz A é invertível, então a inversa A-1 é invertível e (A-1)-1 = A . 
Demonstração: 
Sabemos que uma matriz B é inversa de A se, e somente se,
 A.B=B.A = In. 
Como A-1 é a inversa e A, então AA-1 = A-1A =In.
Pela demonstração anterior, temos que a inversa é única, então B = A é a inversa e A-1 , ou seja, (A-1)-1= A. 
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Propriedades
Se A e B são invertíveis, então AB também é e (AB)-1 = B-1A-1. 
Demonstração: 
Para verificarmos esta propriedade, devemos mostrar que 
(AB)B-1A-1=In e B-1A-1(AB) = In .
(AB)B-1A-1=A(BB-1)A-1 =AInA-1 =AA-1 = In .
A segunda identidade é inteiramente análoga. 
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Exemplo 6:
 Encontrando as inversas e o produto de e . 
Calculando (AB)-1 e B-1A-1 , podemos confirmar a igualdade: 
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Propriedades
Se A é invertível, então At também é e (At)-1 = (A-1)t.
Demonstração: 
Com efeito, fazendo uso da propriedade anterior, temos: 
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Exemplo 6:
 Vamos verificar a propriedade (At)-1 = (A-1)t para a matriz 
Calculando At e A-1 , teremos respectivamente: 
Fazendo uso dos recursos expostos anteriormente, temos:
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Matriz Inversa
Aplicação prática:
As senhas numéricas de quatro dígitos dos clientes de um determinado banco são representadas como uma matriz S2 x 2, em que os dois primeiros são a 1ª linha e os dois últimos, a 2ª linha. O banco usa uma matriz invertível denominada matriz chave, para 
 manter o sigilo das senhas de seus clientes. E, por questões de segurança, o banco gera uma nova matriz T = S.X , denominada matriz transmitida. 
Como ‘recuperar’ a senha de um cliente, se só conhecemos a matriz chave e a matriz transmitida?
Sabendo que a matriz transmitida de um determinado cliente é , qual sua senha? 
Resposta: 
a) (SX)X-1=S(XX-1)= SI2 =S 
b) 2509
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Exercícios de fixação
01. Encontre a inversa de cada matriz dada, se possível: 
Resp: é singular
Resp:
Resp:
cosɵ senɵ
-senɵ cosɵ 
1/5 √2 1/5 √2 
-2/5 √2 1/10 √2 
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Exercício de Fixação
02. Dadas as matrizes ,calcule: 
a) (AB)-1 b) (AB)t c) AA-1 – I d) (2B)-1 
1/2 3/2
-3 -8
Resp: a) b) c) 0 d)
-16 6
-3 1
1/4 0
-1 1/2
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03. São dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem n e invertíveis. A solução da equação (BAX)t = B, em que (BAX)t é a transposta da matriz (BAX), é a matriz X tal que:
Exercício de Fixação
a)
b)
c)
d)
Resposta: B
Exercícios de fixação
04. Se e , determine a matriz X2x2 tal que (A-1.X)-1 = B.
Resposta:
a
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