4- Espacovetorial-subespaço-combinação-base

Prévia do material em texto

1 
 
5 – ESPAÇO VETORIAL – SUBESPAÇO VETORIAL – COMBINAÇÃO LINEAR 
BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
Espaço Vetorial 
Definição 1] Um espaço vetorial ou espaço de vetores é uma estrutura (V,+, .) formada por um conjunto V de elementos, uma 
operação “+” de adição de elementos de V e uma operação “.” de multiplicação de elementos de V por elementos de um corpo K, 
chamados escalares, satisfazendo às propriedades: 
1. Quaisquer que sejam u,v ∈ V, (fechamento da adição) → A soma de dois elementos de V é um elemento de V. 
(u+v) ∈ V 
2. Quaisquer que sejam v ∈ V e c ∈ K, (fechamento da multiplicação por escalar) → O produto de um elemento qualquer 
de K com um elemento qualquer de V, é um elemento de V. 
cv ∈ V 
3. Quaisquer que sejam u,v,w ∈ V (a adição é associativa): 
(u+v)+w = u+(v+w) 
4. Existe 0 ∈ V (elemento nulo ou elemento neutro da adição) tal que para todo v ∈ V: 
0 + v = v 
5. Para cada v ∈ V, existe –v ∈ V (elemento oposto) tal que 
v+(–v)= 0 
6. Quaisquer que sejam u,v ∈V, segue que (a adição é comutativa) 
u+v=v+u 
7. Para todo escalar k ∈ K e quaisquer v,w ∈ V (distributividade da multiplicação por escalar em relação a soma de elementos 
de V): 
k.(v+w) = k.v + k.w 
8. Para quaisquer k,m ∈ K e todo v ∈ V (distributividade da soma de escalares em relação ao produto por um elemento de V): 
(k+m).v = k.v + m.v 
9. Para quaisquer k,m ∈ K e qualquer v ∈ V (associatividade do produto de escalares em relação ao produto por um elemento 
de V): 
(km).v = k(m.v) 
10. Para qualquer v ∈V tem-se que (elemento neutro do produto por escalar) 
1.v = v 
 
 
Observações: 
a) Escrevemos – 1.u, como –u, e v+(– u), como v – u. 
b) De modo simples, um espaço vetorial é qualquer conjunto V em que podemos somar seus elementos e multiplicá-los por 
elementos de um corpo, em particular, por um número real. 
c) Os elementos de V, são denominados vetores. 
d) Um espaço vetorial sobre um corpo K, também é chamado um K-espaço vetorial. 
e) No nosso contexto, K será o conjunto dos números reais, R, ou seja, trabalharemos com os R-espaço vetoriais. 
f) Na Geometria Analítica, estudamos vetores no plano R2 e vetores no espaço tridimensional R3. Esses vetores podem ser 
somados entre si e podem ser multiplicados por um número real, ou seja, R2 e R3 são R-espaço vetoriais. 
 
 
2 
 
Outras propriedades em um espaço vetorial 
Se V(+, .) é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades: 
1. Para todo k∈ K segue que k. 0=0. 
2. O vetor nulo 0 é único. 
3. Para todo v∈V tem-se que 0.v=0. 
4. Para cada v∈V o vetor oposto –v∈V é único. 
5. Seja k∈K e v∈V. Se k.v=0 então k=0 ou v=0. 
6. Se v+u=v+w para u,v,w∈V, então u=w. 
7. Quaisquer que sejam v,w∈V, existe um único u∈V tal que v+u=w. 
8. Para todo k∈K e para todo v∈V segue que: 
(–k).v = –(k.v) = k.(–v) 
9. Para todo k∈K e para todo v∈V segue que 
(–k)(–v) = kv 
10. Se k1,k2,…,kn∈K e v∈V, então: 
(k1+k2+…+kn)v = k1v + k2v+…+knv 
11. Se k∈K e v1,v2,…,vn∈V, então: 
k(v1+v2+…+vn) = kv1 + kv2+…+kvn 
 
Exemplos de espaços vetoriais 
1. Todo corpo K é um espaço vetorial sobre o próprio corpo K com as operações usuais de adição e multiplicação de K. 
2. O corpo R dos números reais é um espaço vetorial sobre o corpo Q dos números racionais com as operações de adição e 
multiplicação de R. 
3. O corpo C dos números complexos é um espaço vetorial sobre o corpo R dos números reais com as operações de adição e 
multiplicação de C. 
4. R²={(x,y): x∈R, y∈R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por 
(espaço euclidiano de dimensão 2): 
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) 
k(x,y)=(kx,ky) 
5. Rn={(x1,x2,…,xn): xi∈R, i=1,2,…,n} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação por escalar 
definidas por (espaço euclidiano de dimensão n): 
(x1,x2,…,xn)+(y1,y2,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn) 
k.(x1,x2,…,xn)=(kx1,kx2,…,kxn) 
6. O conjunto Mn(R) das matrizes quadradas de ordem n com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K (espaço 
das matrizes quadradas). 
7. O conjunto Mm×n(R) das matrizes com m linhas e n colunas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K 
(espaço das matrizes). 
8. O conjunto F(R)={f:R→R} das funções reais cujo domínio é o conjunto dos números reais é um espaço vetorial sobre R 
(espaço das funções reais). 
9. O conjunto P[R] de todas as funções polinomiais da forma: 
p(x) = a0 + a1 x + a2 x² +…+ an xn 
onde ai∈R (i=0,1,2,…,n) é um espaço vetorial sobre o corpo K (espaço dos polinômios). 
3 
 
10. O conjunto F([a,b],R)={f:[a,b] →R} das funções reais cujo domínio é o intervalo fechado [a,b] é um espaço vetorial sobre R. 
Como exercício, certifique-se de que os exemplos dados acima são realmente espaços vetoriais. É só verificar que eles 
satisfazem as dez propriedades da página 1. 
Subespaço Vetorial 
Definição 2] Seja (V,+,.) um espaço vetorial sobre um corpo K e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial de 
V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para V. É comum escrever (S,+,.) 
para um subespaço. 
Caracterização de subespaço vetorial 
Teorema I: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se: 
1. S é não vazio. 
2. Se v,w ∈ S, então v+w ∈ S. 
3. Se k ∈ K e v ∈ S, então k.v ∈ S. 
Observação: Muitas vezes, para simplificar, usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de 
espaço vetorial quando não existir possibilidade de dúvida. 
Exemplos de subespaços vetoriais 
1. O conjunto nulo S={0} e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V. 
2. O corpo Q dos números racionais é um subespaço do corpo R dos números reais. 
3. O corpo R dos números reais é um subespaço do corpo C dos números complexos. 
4. O conjunto W={(x, y) ∈R2; y=3x} é um subespaço do R2. 
5. Toda reta que passa pela origem de R² é um subespaço de R². 
6. O conjunto W={(x, y) ∈R2; y=3x+2} não é um subespaço do R2 
7. O conjunto Sn(R) das matrizes simétricas é um subespaço de Mn(R). 
8. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada nula (plano z=0) é um subespaço de R³. 
9. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada igual a 1 (plano z=1) não é um subespaço de R³. 
10. O conjunto P={(x,y,z) ∈ R³: 2x+3y–6z=0} (plano contendo a origem) é um subespaço de R³. 
11. O conjunto Q={(x,y,z) ∈ R³: 2x+3y–6z=12 (plano não contendo a origem) não é um subespaço de R³. 
12. O conjunto P3[R] de todas as funções polinomiais com coeficientes reais com grau menor ou igual a 3 é um subespaço de 
P[R]. 
13. O conjunto F'={f:(a,b) →R, f é derivável} é um subespaço de F={f:(a,b) →R}. 
Observação 1: Nem sempre é bom trabalhar com um espaço vetorial amplo e às vezes é útil trabalhar com as propriedades dos 
subespaços, mas se tais subespaços são simples também não resolvem nossos problemas, assim, são criados outros subespaços 
com operações de adição, interseção ou reunião de conjuntos. 
Soma de subespaços vetoriais 
Definição 3] Em um espaço vetorial V, definimos a soma dos seus subespaços U e W, denotada por U+W, como o conjunto de 
todos os vetores da forma v=u+w, onde u∈U e w∈W, isto é: 
U+W = { u+w : u∈U; w∈W } 
4 
 
Proposição: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V, então a soma U+W é um subespaço de V. 
Exemplo: Sejam os subespaços de R³ definidos por: 
U={(x,y,0): x∈R, y∈R} 
W = {(0,0,z): z∈R } 
O conjunto U+W é um subespaço de R³ e na realidade, segue que U+W=R³. 
Interseção de subespaços vetoriais 
Definição 4] Em um espaço vetorial V, definimos a interseção dos subespaços de U e W, denotada por U∩W, como o conjunto de 
todos os vetores pertencentes a ambos os subespaços, isto é: 
U∩W = {v: v ∈ U e v ∈ W } 
Proposição: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V, então a interseção U∩W é um subespaço de V. 
Exemplo: Sejam U e W subespaços vetoriais de R³, definidos por: 
U = {(x,y,0):x∈R, y∈R } 
W = {(0,0,z): z∈R } 
O conjunto U∩W é um subespaço de R³ e observamos que U∩W ={0} o subespaço nulo. 
Combinações lineares 
Definição 5] Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K e C={v1,v2,…,vn} uma coleção de vetores em V. Dizemos que um vetor v 
é combinação linear dos elementos de C, se existem escalares k1,k2,…,kn ∈ K tal que 
v = k1 v1 + k2 v2 +…+ kn vn 
Exemplo: O vetor v=(3,-2,1) ∈ R³ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de C={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} pois 
existem escalares k1=5, k2=-3 e k3=1 tal que 
(3,-2,1) = 5(1,0,0) + (-3)(1,1,0) + 1(1,1,1) 
 
 
Subespaço gerado (ou subespaço finitamente gerado) 
Definição 6] Se S é um subconjunto de um espaço vetorial V, definimos o subespaço gerado por S, W, que também pode ser 
denotado por <S>, como o conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S. 
Então, se S = { v1, v2, ... , vn}, o subespaço gerado por S é indicado por W= <S> ou W=[ v1, v2, ... , vn], e os vetores v1, v2, ... , vn 
são denominados geradores de W. 
Exemplos de subespaços gerados 
(1) O conjunto gerado pelo vetor v=(1,2) de R² é a reta que passa pela origem de R² e possui a direção do vetor v=(1,2). 
(2) O conjunto gerado pelos vetores de R², u=(1,0) e v=(0,1) é todo o espaço R². 
5 
 
(3) Os subespaços U e W, dados no terceiro tópico acima deste, são conjuntos gerados: 
 
U=<(1,0,0),(0,1,0)>={(x,y,0): x∈R, y∈R} e 
W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): z∈R } 
 
Dependência e independência linear 
 
Definição 7] Seja V espaço vetorial sobre R e v1, v2, ....vn ∈ V. Dizemos que o conjunto {v1, v2, ...vn} é linearmente 
dependente (L.D.) ou que os vetores v1, v2, ...vn são linearmente dependentes quando pelo menos um deles pode ser escrito 
como combinação linear dos demais. Caso isso não ocorra, isto é, quando nenhum deles puder ser escrito como combinação 
linear dos demais, dizemos que eles são linearmente independentes ( L.I. ). 
 
Dizer que v1, v2, ....vn são linearmente independentes ( L.I.), significa que a única solução da equação α1v1 + α2 v2 + ...+ αnvn = 
0 é a trivial, isto é, α1 = α2 = ...= αn = 0. Se a equação acima admite uma solução não trivial, isto é, existe pelo menos um αj ≠ 0, 
tal que α1v1 + α2 v2 + ...+ αj vj + ...+ αnvn = 0, então dizemos que o conjunto {v1, v2, ...vn} é linearmente dependente ( L.D. ) ou que 
os vetores são linearmente dependentes. 
 
A definição 7, na realidade, é resultado do seguinte teorema: 
 
Teorema II: Seja V espaço vetorial sobre R e v1, v2, ....vn ∈ V. Então 
i) {v1, v2, ....vn } é L.D. ⇔ um dos vetores for combinação linear dos outros. 
ii) {v1, v2, ....vn} é L.I. ⇔ nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros 
 
Como conseqüências do teorema anterior temos os seguintes resultados: 
 
1. Qualquer conjunto de vetores que contenha um subconjunto L.D. é L.D. 
2. Qualquer conjunto de vetores contendo o vetor nulo é L.D. 
3. Todo subconjunto de um conjunto L.I. é L.I. 
4. Um conjunto de dois vetores é L.D. se e somente se um deles é um múltiplo escalar do outro 
 
1. Em R3 e em R2 dois vetores são L.D. ⇔ estão sobre uma reta passando pela origem. 
2. Em R3 três vetores são L.D. ⇔ estão sobre um mesmo plano passando pela origem. 
 
Critérios práticos para verificar se um conjunto de vetores em um espaço euclidiano é LI ou LD: 
 
I - Critério dos determinantes (só pode ser utilizado quando o número de vetores é igual à dimensão do espaço ao qual eles 
pertencem) – um conjunto de vetores é LI se e somente se, o determinante formado pelas coordenadas dos vetores é diferente de 
zero. 
II – Critério do escalonamento – um conjunto de vetores é LI se e somente se, a matriz LRFE não possui linhas nulas, ou seja, o 
posto da matriz formada pelos coeficientes dos vetores é igual ao número desses vetores.. 
 
Exercícios: 
1) Verifique se são LI ou LD os conjuntos de vetores: 
a) v1=(1, 0, 1, 1), v2=(1, 1, 1, 0) e v3=(0, 1, 0, 2). 
b) v1=(1, 0, 1, 1), v2=(1, 1, 1, 0) e v3=(1, -1, 1, 2). 
c) v1=(1, 0, 1, 1), v2=(1, 1, 1, 0) e v3=(0, 1, 0, 2), v4=(0, 0, 1, 0). 
 
2) Determine o espaço gerado por v1=(1, 1, 2), v2=(1, 2, 3) e v3=(0, 1, 1) (para isso é preciso primeiro verificar se os vetores 
são ou não são LI, para ver se devemos retirar algum vetor). 
3) Determine o subespaço gerado por e1=(1, 0, 0) e e2= (0, 1, 0) 
 
 
 
 
6 
 
Base de um Espaço Vetorial 
 
Definição 8] Um conjunto {v1, v2,..., vn} de vetores de V é dito uma base de V se e somente se: 
1) {v1, v2,... vn} é LI 
2) V = [ v1, v2, ...vn ] 
 
Observação 2: Se {v1, v2,..., vn} é uma base para V, então qualquer vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear 
de {v1, v2,..., vn } 
 
Exemplos: 
1. {(1,0), (0,1)} é uma base do R2 (base canônica) 
2. {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base do R3 (base canônica) 
3. {(1,1,1), (1,0,1), (1,1,0 )} é uma base do R3 
4. {(1,0), (0,1), (1,1)} não é uma base do R2 . O conjunto gera o R2 , mas não é L.I. 
 
Observação 3: No espaço euclidiano Rn, uma base desse espaço é, na verdade, o maior conjunto de vetores LI possível de se 
obter nesse espaço. 
 
Teorema III: Sejam v1, v2,..., vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então, entre v1, v2,..., vn podemos extrair uma 
base para V. 
 
Teorema IV: Seja V espaço vetorial sobre R e V = [v1, v2,..., vn]. Então qualquer subconjunto de V com mais de n vetores é 
necessariamente L.D. 
 
Exemplos: 
1. Três vetores no plano (R2) são sempre L.D. 
2. Quatro vetores no espaço (R3) são sempre L.D. 
 
Observação 4: O Teorema anterior é equivalente a “Um espaço vetorial gerado por n vetores tem no máximo n vetores L.I.” e tem 
como conseqüência que qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o mesmo número de vetores. Este número é 
chamado dimensão de V e denotado por dimV. 
 
Assim, para verificar se um conjunto de vetores forma uma base, isto é, o número de vetores de um conjunto é igual à dimensão 
do espaço do espaço que os contém, basta que ele tenha uma das propriedades: 
(I) – gerar o espaço ou 
(II) – serem LI. 
 
Base de um Subespaço Vetorial 
Definição 9] Um conjunto B={v1, v2, ...vr} é dito ser uma base para de um subespaço W se esses vetores de B são Li e W = [v1, 
v2,..., vr]. O número r é a dimensão de W. 
 
Exercícios: 
1) Determine a dimensão do espaço gerado no exercício 2 do segundo tópico acima. 
2) Determine a dimensão do espaço gerado no exercício 3 do segundo tópico acima. 
3) Determine uma base para o conjunto das matrizes reais de ordem 2 e determine a dimensão desse espaço.