CAPÍTULO 6-Produto misto

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67
 
CAPÍTULO VI 
 
 PRODUTO MISTO 
 
 A operação produto misto será definida para vetores de V3 , em relação a base 
ortonormal positiva E = ( i

, j

, k

). 
 
6. PRODUTO MISTO 
 
 Sejam os vetores 1 2 3( , , )u u u u

 , 1 2 3( , , )v v v v

 e 1 2 3( , , )w w w w

. O produto 
misto dos vetores u

, v

 e w

 é o número real 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
u u u
v v vu v w
w w w
 
  
 
 
Notações: u v w
  
 e , ,u v w  
  
 ( lê-se: produto misto de u

, v

 e w

). 
 
Exemplificando: 
 Dados os vetores u

 = (2,0,1) , v

 = (3,1,2) e (2, 3, 0)w 

, pede u v w
  
 . 
 Solução: 
 
2 0 1
3 1 2
2 3 0
u v w 
  
 = (0 + 0 + 9) – (2 + 12 + 0) = –5 . 
Observação 6.1: 
 1) O produto misto, indicado por u v w
  
 , é o número real obtido pelo produto 
escalar dos vetores (u v
 
) e w

. 
 Temos que: 
 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
u u u u u u
u v i j k
v v v v v v
   
    
 e 1 2 3w w i w j w k  
   
. 
Logo, 
 ( )u v w 
  
 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
u u u u u u
i j k
v v v v v v
 
  
 
  
 1 2 3( )w i w j w k 
  
= 
 = 2 3 3 1 1 21 2 3
2 3 3 1 1 2
u u u u u u
w w w
v v v v v v
  e, pela regra de Laplace, 
 = 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
u u u
v v v
w w w
. 
 68
 2) Não é necessário utilizar parênteses para indicar o produto vetorial u v
 
 
quando se apresenta u v w
  
 ou w

 u v
 
, pois ele (produto vetorial) é realizado 
primeiro. 
 3) A expressão ( )u v w
  
 não representa produto misto de vetores, pois ( )v w
 
 
não é vetor e, neste caso, não é possível realizar o produto vetorial de u

 com ele. 
 
6.1. PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO 
 
 Sejam 1 2 3( , , )u u u u

, 1 2 3( , , )v v v v

 e 1 2 3( , , )w w w w

 vetores de V3 em relação a 
base ortonormal positiva E = ( i

, j

, k

) e   . 
 
6.1.1. , ,u v w  
  
 = , ,v w u  
  
 = , ,w u v  
  
 
 O produto misto é um determinante e o seu valor se mantém inalterado quando se 
permuta suas linhas em número par de vezes. 
 Observe que o segundo produto misto, indicado acima, tem em sua terceira linha 
as coordenadas do vetor u

, igual ao da primeira linha do primeiro produto misto. O 
terceiro produto misto tem em sua primeira linha as coordenadas de w

, igual ao da terceira 
linha do primeiro produto misto. Houve dupla permutação de linhas em relação ao primeiro 
determinante em ambos os casos e, por isso, são iguais. 
 O determinante troca o sinal quando se permutam suas linhas em número ímpar de 
vezes. Assim, , ,u v w  
  
=  , ,v u w  
  
. Houve permutação da primeira linha pela segunda, 
portanto, uma só permutação. 
 
 O exposto acima nos permite entender que: 
 
 , ,v u w  
  
 = , ,w v u  
  
 = , ,u w v  
  
 
 
 
Nota: 
 O ciclo ao lado nos ajuda memorizar os produtos mistos de mesmo valor. Basta 
considerar os produtos que têm os seus vetores seguindo a ordem horária ou anti-horária. 
Um produto de ordem horária tem sinal contrário ao de ordem anti-horária. 
 
 Uma conseqüência da propriedade é que: ( )u v w
  
 = w

 (u v
 
), pois o pro-
duto vetorial é realizado em primeiro lugar e, depois, o produto escalar que é comutativo. 
 
6.1.2. . , ,u v w  
  
 =  , ,u v w  
  
 
 
 Utilizando o fato “Um determinante fica multiplicado por  real se apenas uma 
de suas linhas for multiplicada pelo  ”, a propriedade fica provada. 
 w

 
 
 
 v

 
 u

 
 Fig.6.1 
 69
 
 
6.1.3. , ,u t v w  
   
 = , ,u v w  
  
 + , ,t v w  
  
 
 
 Temos que , ,u t v w  
   
 = ( )u t v w 
   
 = ( )u v t v w  
    
 = 
 = u v w t v w  
     
  = , ,u v w  
  
 + , ,t v w  
  
. 
 
Interpretação geométrica do produto misto: 
 
 Consideremos três vetores não coplanares u

, v

 e w

 (formam conjunto LI). 
 
 
 
 (u v
 
) w

 
 H 
 v

 
 
 
 u

 Fig. 6.2 
 
 ( u v
 
) 
 
 Vemos construído, a partir dos vetores, um paralelepípedo. 
 
 Queremos o seu volume: 
 O volume de um paralelepípedo é dado pelo produto da área da base pela 
respectiva altura. 
 Se u

 e v

 são os vetores do paralelogramo da base, então sua área é A = u v
 
. 
A altura H, distância entre as bases, é a medida da projeção de w

 na direção de u v
 
: 
 H = 
( )
proj ( )
( ).( )u v
u v w
w u v
u v u v

  
 
 
       
2
( )u v w
u v
u v

 

  
  
 
u v w
u v


  

  ou 
H = 
, ,u v w
u v
  

  
  . Então, 
 V = A . H = u v
 
.
u v w
u v


  

  = u v w
  
 . 
 O volume de um paralelepípedo determinado pelos vetores u

, v

 e w

 é igual ao 
valor absoluto do produto misto dos três vetores. 
 70
 O volume de um prisma de base triangular determinado pelos vetores u

, v

 e w

 é 
a metade do volume do paralelepípedo determinado pelos mesmos vetores. Daí, 
 
 
 
 w

 
 H 
 v

 
 Fig. 6.3 
 
 u

 
 
 O volume de uma pirâmide triangular determinado pelos vetores u

, v

 e w

 é 1/3 
do volume do prisma de base triangular e, portanto, 1/6 do volume do paralelepípedo 
determinado pelos mesmos vetores. Daí, 
 
 
 
 w

 
 H 
 v

 
 Fig. 6.4 
 
 u

 
 
Nota: 
 As alturas do tetraedro podem ter medidas diferentes, dependendo da base de 
vetores escolhida. 
 
 H1 = 
u v w
u v


  

  se a base é formada com u

 e v

. 
 H2 = 
u v w
u w


  

  se a base é formada com u

 e w

. 
 H3 = 
u v w
v w


  

  se a base é formada com v

 e w

.H4 = 
( ) ( )
u v w
v u w u

  
  

    se a base é formada com ( )v u
 
e ( )w u
 
. 
 Se u v w
  
 = 0 , então u

, v

 e w

 são coplanares e, daí, V = u v w
  
 = 0. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 TV = 2
u v w
  

 
e 
 TH =
u v w
u v


  

  
 TeV = 6
u v w
  

 
e 
 TeH =
u v w
u v


  

  
 71
EXEMPLO 6.1 
 
1) Dados os vetores u

 = (2,1, 1) , v

 = (0, 2, 1) e (2, 3, 0)w 

, pede u v w
  
 e discutir 
a posição relativa dos vetores. 
 Solução: 
 
2 1 1
0 2 1
2 3 0
u v w  
  
 = 0. Os vetores u

, v

 e w

 são coplanares, sendo w u v 
  
. 
 
2) Dados os pontos A(1, 2, 0), B(1, 3, 1), C(3,1,2) e D(0,2,3), determinar o volume do 
paralelepípedo que tem arestas AB , AC e AD . 
 Solução: 
 Temos: u

 = AB

= (0, 1, 1) , v

 = AC

 = (2, 1, 2) e w

 = AD

= (1, 0, 3). 
0 1 1
2 1 2
1 0 3
u v w  

  
 = 9. Os vetores não são coplanares, pois u v w
  
  0. 
 Portanto, V = u v w
  
 = 9 = 9 uv. 
 
3) Os pontos A(2, 1, 5), B(3, 1, 3), C(0, 2, 4) e D(1, 3, 2) são vértices de um tetraedro. 
Determine: 
 a) O volume do tetraedro ABCD. 
 Temos: u

 = AB

= (1, 2, 2) , v

 = AC

 = (2, 1, 1) e w

 = AD

= (1, 4, 3). 
 
1 2 2
2 1 1
1 4 3
u v w
 
   
  
  
 = 15. Portanto, VTe = 
6
u v w
  

 = 
15
6

 = 
15
6
 uv. 
 b) A altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC. 
1 2 2
2 1 1
i j k
u v   
 
  
 
 = (4, 5, 3) e, daí, u v
 
 = 2 2 24 5 ( 3)   = 5 2 . 
 Portanto, 
1T
H =
u v w
u v


  

  = 
15
5 2

 = 
3 2
2
 uc. 
 c) A altura do tetraedro ABCD relativa a base ABD. 
1 2 2
1 4 3
i j k
u w   
  
  
 
 = (2, 5, 6) e, daí, u w
 
 = 2 2 2( 2) 5 ( 6)    = 65 . 
 72
 Portanto, 
2T
H =
u v w
u w


  

  = 
15
65

 = 
15
65
= 
3 65
13
 uc. 
 d) A altura do tetraedro ABCD relativa a base BCD. 
 Temos que  BC 3, 3, 1v u   
  
 e  BD 2, 2, 1w u     
  
. 
 BC BD 3 3 1
2 2 1
i j k
  
  
  
 
 = (1,5, 12) e, daí, BC BD
 
= 2 2 2( 1) ( 5) 12    = 170 . 
 Portanto, 
3T
H =
BC BD
u v w

  

  = 
15
170

 = 
15
170
 = 
15 170
170
 = 
3 170
34
 uc. 
 Fica confirmado, no exemplo, que as alturas relativas a cada uma das bases têm 
valores diferentes. 
 
4) Os pontos X, Y e Z são distintos não colineares e estão no plano e A não pertence a  . 
Utilize a interpretação geométrica do produto misto para mostrar que a distância do ponto 
A ao plano  é igual a 
 
 XY XZ XA
XY XZ


  

  . 
 Solução: 
 Considerar que o ponto X é fixo em  . Tomemos os vetores XY

 e XZ

. Queremos 
calcular a altura H (distância de A até  : A,d  ) do paralelepípedo que tem os pontos X, Y 
e Z em sua base. 
 A área da base do paralelepípedo é baseA = XY XZ
 
. 
 O volume do paralelepípedo é ParalelepipedoV = (XY XZ) XA
  
 . 
 Altura do paralelepípedo A,d  = H = 
Paralelepipedo
base
V
A
 = 
 XY XZ XA
XY XZ


  

  . 
5) Calcule a distância de A(0,0,0) ao plano que tem os pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). 
 Solução: 
 Consideremos o plano  contendo o conjunto dos pontos X(1, 0, 0), Y(0,1, 0) e 
Z(0, 0, 1). O ponto X é fixo em  . O ponto A(0, 0, 0) não pertence a  . Tomemos os 
vetores XY

= (1, 1, 0) e XZ

 = (1, 0, 1) e XA

 = (1, 0, 0). 
 Queremos calcular a altura (distância de A até  ) do paralelepípedo que tem os 
pontos X, Y e Z em sua base. 
 Temos que XY XZ
 
 = 1 1 0
1 0 1
i j k


  
 = (1, 1, 1) e ( XY XZ
 
)  XA

 = 1. 
 73
 A área da base do paralelepípedo é baseA = XY XZ
 
 = 2 2 21 1 1  = 3 uc. 
 O volume do paralelepípedo é ParalelepipedoV = (XY XZ) XA
  
 = 1 = 1. 
 Altura do paralelepípedo d = H = Paralelepipedo
base
V
A
 = 
 XY XZ XA
XY XZ


  

  = 
1
3
 = 
3
3
. 
6) Supondo que 0u 
 
, mostre que é verdadeira a sentença: 
 “Se u v u w
   
  e u v u w  
   
, então v w
 
”. 
 Solução: 
 Temos, da hipótese, que 0u 
 
 e: 
 1º) u v u w
   
  , logo, 0u v u w 
   
  e, daí, ( ) 0u v w 
  
 . Assim, ( )u v w 
  
 (I) 
 2º) u v u w  
   
, logo, 0u v u w   
    
, daí, ( ) 0u v w  
   
. Assim, //( )u v w
  
 (II) 
 Comparando (I) e (II), verificamos que ( )v w
 
 é ortogonal e, também, paralelo a 
u

. Nestas condições, entende-se que ( ) 0v w 
  
 e, daí, segue que v w
 
. 
 
7) Apresente uma interpretação geométrica que justifique a conclusão do exercício acima. 
 Solução: 
 Temos, do exercício acima, que ( )u v w 
  
 e, também, que u v u w  
   
. Esta 
última relação nos informa que os vetores ( )u v
 
 e ( )u w
 
têm mesma direção e sentido. 
Logo, os vetores u

, v

 e w

 são coplanares. Vê-se, também, que u v u w  
   
e, daí, que 
as áreas dos paralelogramos formados a partir dos vetores u

e v

 e dos vetores u

 e w

 são 
iguais. 
 
 
 w

 v w
 
 H 
 
 v

 h 
 
 
 
 
 u

 
 Os paralelogramos possuem mesma base com medida u

 e alturas H e h, respectiva- 
mente, onde H = h + v w
 
. O fato das áreas e das bases serem iguais, impõe que H = h. 
Portanto, v w
 
=0 e, daí, 0v w 
  
. Então, segue que v w
 
. 
 Prof Aguinaldo diz: “Aprendi com o Prof. Dr. Paul G. Ledergerber” 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 74
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6.1 
 
 Resolva, em relação à base ortonormal positiva E = ( i

, j

, k

), as seguintes 
questões: 
1) Determinar o produto misto dos vetores u

, v

 e w

: 
 a) u

= (1, 1, 4) v

= (2, 1, 2) w

= (0, 2, 3) R. a) 3 
 b) u

= (4, 2, 3) v

= (5, 0, 1) w

= (8, 4, 6) R. b) 0 
 c) u

= (5, 1, 2) v

= (2, 1, 0) w

= (3, 1, 1) R. c) 9 
2) Verifique se os pontos A(3, 1, 2), B(1, 0, 1), C(2, 1, 3) e D(5, 2, 7) são coplanares. 
 R. Sim 
3) Determinar o volume do paralelepípedo que tem as arestas AB , AC e AD , onde 
 A(3, 1, 2), B(1, 1, 1), C(2, 1, 3), D(2, 3, 5).R. 2 
4) Determinar o volume do prisma triangular de base ABC e D o vértice da base oposta, 
 sendo A(2, 1, 0), B(1, 3, 1), C(1, 0, 1), D(3, 1, 0). 
 R. 3/2 
5) Determinar o volume do tetraedro de vértices A(0, 0, 1), B(3,1, 2), C(1,1,1), D(3,1,0). 
 R. 1 
6) Determinar o volume do tetraedro de vértices A(0, 2, 1), B(1,0, 1), C(1,1,2), D(0,3,2). 
 R. 0 (não temos um tetraedro) 
7) Dados os pontos A(0, 0, 1), B(1, 3, 1), C(0, 1, 1), D(2, 1, 1), determinar a altura do: 
 a) paralelepípedo que tem as arestas AB , AC e AD , relativa ao vértice D. 
 b) tetraedro ABCD, relativa à base ABC. 
 R. a) 2 b) 2 
8) Dados os pontos A(0, 2, 1), B(1,0, 1), C(1,1,2), D(3,2,1), determinar: 
 a) o volume do paralelepípedo que tem as arestas AB , AC e AD . 
 b) volume do prisma de base triangular ABC e arestas AB , AC e AD . 
 c) volume do tetraedro ABCD. 
 d) altura do tetraedro ABCD, relativa ao vértice D. 
 R. a) 6 b) 3 c) 1 d) 6 
9) Calcule a distância de O(0,0,0) ao plano que tem os pontos (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3). 
 R. 6/7 uc 
10) Utilizando coordenadas, mostre que ( )u v w
  
 = ( )u v w
  
 (comutam sinais). 
 
11) Considere os pontos O(0,0,0), I(1,0,0), J(0,1,0) e K(0,0,1). Calcule: 
 a) as distâncias entre O e I, O e J e O e K. 
 b) as áreas das faces do tetraedro OIJK 
 c) o volume do tetraedro determinado pelos pontos OIJK. 
 d) centro do tetraedro OIJK. 
 e) verifique se 2 2 2 2IJK OIJ OJK OKJA A A A      . 
 R. a) 1 uc, 1uc e 1uc b) base IJK = 
3
2
 ua e as demais iguais a 1/2 ua 
 c) 1/6 uv d) C(½, ½, ½) e) É verdadeiro.