MAE5834_Lista4_2020

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MAE 5834 - Estat́ıstica Avançada I
Lista de Exerćıcios 4 – 2o semestre de 2020 – Prof. Silvia L.P. Ferrari
1. Suponha que, dado θ, X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribúıdas tais que Xi|θ ∼ U(0, θ). Considere a seguinte distribuição a priori para θ: 1/θ ∼
Gama(a, b), com a, b > 0 conhecidos.1
(a) Mostre que o estimador de Bayes de θ sob perda quadrática é dado por θ̂(X(n)) com
X(n) = max(X1, . . . , Xn) e
θ̂(y) =
∫∞
y θ
1
θn+a+1
exp{−1/(θb)}dθ∫∞
y
1
θn+a+1
exp{−1/(θb)}dθ
.
(b) Mostre que θ̂(y) pode ser expresso como
θ̂(y) =
1
b(n+ a− 1)
P[χ22(n+a−1) < 2/(by)]
P[χ22(n+a) < 2/(by)]
.
2. Seja (X1, . . . , Xn) uma uma amostra aleatória de X, que tem distribuição geométrica com
função de probabilidade
f(x|θ) = θx(1− θ), x = 0, 1, . . . ; θ ∈ [0, 1].
Considere o problema de estimar θ. Obtenha (i) o estimador de máxima verossimilhança;
(ii) o estimador do método dos momentos e (iii) o estimador de Bayes com respeito à perda
quadrática tomando uma distribuição a priori uniforme no intervalo unitário.
3. Prove ou dê contra-exemplo.
(a) Se um estimador minimax é único, então ele é admisśıvel.
(b) Um estimador minimax não pode ser não viciado.
(c) Se um estimador tem risco constante e é admisśıvel, ele é minimax.
(d) Se um estimador equivariante por localização de risco ḿınimo é admisśıvel, ele é minimax.
4. Suponha que, dado θ, X1, . . . , Xn (n ≥ 1) sejam variáveis aleatórias independentes e identi-
camente distribúıdas com densidade f(x|θ) = exp(θ−x), x > θ. Considere que a distribuição
a priori para θ é exponencial padrão. Encontre a densidade a posteriori de θ e o estimador de
Bayes de θ sob perda quadrática.
5. Suponha que, dado θ (θ > 0), X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e iden-
ticamente distribúıdas com distribuição U(0, θ), θ > 0. Considere uma distribuição a priori
Pareto(α, γ) para θ com densidade
p(θ) =
αγα
θα+1
, 0 < γ < θ, α > 0.
Encontre o estimador de Bayes de θ sob perda quadrática.
1Se Y ∼ Gama(a, b), sua fdp é {baΓ(a)}−1ya−1 exp{−y/b}, y > 0.
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6. Admita que, dado θ, X1, . . . , Xn sejam i.i.d. e tenham distribuição de potência com função
densidade de probabilidade
f(x|θ) = θxθ−1I(0,1)(x); θ > 0.
Suponha que, a priori, θ tem distribuição exponencial de parâmetro γ e função densidade de
probabilidade p(θ) = γ exp(−θγ)I(0,+∞)(θ), sendo γ > 0 conhecido. Encontre o estimador de
Bayes de θ sob perda quadrática.
7. Seja X = (X1, . . . , Xn) um vetor de n variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribúıdas segundo uma distribuição N(0, σ2). Considere o problema de estimar σ2 com a
função de perda L(σ2, d) = (d/σ2 − 1)2 = (d− σ2)2/σ4. Considere uma distribuição a priori
Gama(a, b) para θ = 1/(2σ2) com densidade
π(θ) =
1
Γ(a)ba
θa−1 exp
{
−θ
b
}
; a > 0, b > 0.
(a) Encontre o estimador de Bayes de σ2.
(b) Mostre que o estimador minimax de σ2 é
∑n
i=1X
2
i /(n+ 2).
8. Seja X uma única observação de uma distribuição N(θ, 1) e considere a seguinte densidade
a priori imprópria para θ: π(θ) = exp{θ}. Considere perda quadrática. Encontre o estimador
de Bayes generalizado de θ e mostre que não é nem admisśıvel nem minimax.
9. Sejam X1, . . . , Xn uma amostra aleatória de uma distribuição de Poisson de média λ. Mostre
que X =
∑n
i=1Xi/n é estimador minimax de λ sob perda L(λ, d) = (d − λ)2/λ. Sugestão:
Considere uma distribuição a priori Gama(a, b) para λ, com a = 1. Use resultados que
relacionam estimador de Bayes e minimax, e faça b→∞.
10. Seja X = (X1, . . . , Xn) uma amostra aleatória da densidade
f(x; θ) = a(θ)h(x), θ1 ≤ x ≤ θ2,
onde h(x) > 0, θ = (θ1, θ2), −∞ < θ1 < θ2 <∞ e a(θ) = (
∫ θ2
θ1
h(x)dx)−1 é finita. Encontre
uma estat́ıstica suficiente (T1(X), T2(X)) bi-dimensional para θ.
11. Seja X uma única observação de uma distribuição U(0, θ) e considere a seguinte densidade
a priori para θ: π(θ) = 1/(1 + θ)2, θ > 0.
(a) Mostre que a densidade marginal de X é q(x) = log[(1 + x)/x]− 1/(1 + x), x > 0.
(b) Mostre que o estimador de Bayes (δ(X)) de θ sob perda L(θ, d) = |d− θ| é solução de
q(δ(X)) = q(X)/2.
12. Dizemos que X tem distribuição binomial negativa com parâmetros p e m (0 < p < 1, m
inteiro positivo) se sua função de probabilidade é
Pp,m(X = x) =
(
m+ x− 1
m− 1
)
pm(1− p)x, x = 0, 1, . . .
e escrevemos X ∼ BN(p,m). Seja (X1, . . . , Xn) uma amostra aleatória de X ∼ BN(p,m)
e admita que m é conhecido. Considere uma distribuição a priori Beta(α, β) para p. Encontre
o estimador de Bayes de p sob perda quadrática.
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13. Seja X única observação de uma variável aleatória com densidade f(x; θ) = 2x/θ2, 0 < x <
θ; θ > 0. Considere para θ uma distribuição uniforme no intervalo unitário.
(a) Obtenha a função densidade de probabilidade a posteriori de θ.
(b) Encontre o estimador de Bayes com respeito à perda θ2(d− θ)2.
14. Seja θ̂ um estimador não viciado de um parâmetro θ ∈ R. Seja R(θ, θ̃) o risco do estimador
θ̃ de θ.
(a) Sob perda quadrática, mostre que o estimador θ̂ + c, em que c 6= 0 é uma constante
conhecida, não é estimador minimax de θ, a menos que supθR(θ, θ̃) = ∞ para todo
estimador θ̃ de θ.
(b) Sob perda quadrática, mostre que o estimador cθ̂, em que c ∈ (0, 1) é uma constante
conhecida, não é estimador minimax de θ, a menos que supθR(θ, θ̃) = ∞ para todo
estimador θ̃ de θ.
(c) Considere a função de perda L(θ, d) = (d − θ)2/θ2, assumindo que θ 6= 0. Mostre
que o estimador θ̂ não é estimador minimax de θ, a menos que supθR(θ, θ̃) = ∞ para
todo estimador θ̃ de θ. Sugestão: Obtenha o risco de cθ̂ com c = 1/(1 + ζ), em que
ζ = supθR(θ, θ̂), e compare com o risco de θ̂.
15. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuições Pζ e Qη respectivamente.
Suponha que ζ e η são consideradas variáveis aleatórias independentes, reais, com distribuições
Λ e Λ′ respectivamente. Se, com perda quadrática, δΛ é o estimador de Bayes de ζ com base
em X e δΛ′ é o estimador de Bayes de η com base em Y ,
(a) mostre que δΛ′ − δΛ é o estimador de Bayes de η − ζ com base em (X,Y ).
(b) Se η > 0 e δ∗Λ′ é o estimador de Bayes de 1/η com base em Y , mostre que δΛ · δ∗Λ′ é o
estimador de Bayes de ζ/η com base em (X,Y ).
16. Seja X uma variável aleatória representando o tempo de vida de um sistema eletrônico, com
função distribuição acumulada Fθ(x), θ ∈ Ω. Defina a confiabilidade do sistema por
Rθ(τ) = Pθ(X > τ) = 1− Fθ(τ), τ > 0.
Considere n observações independentes X1, . . . , Xn de X. Admita que, dado θ, X tem distri-
buição exponencial de parâmetro θ e função densidade de probabilidade
f(x; θ) = θ exp(−θx), x > 0; θ > 0.
(a) Mostre que, neste caso, Rθ(τ) = exp{−τθ}.
(b) Encontre o estimador de máxima verossimilhança de Rθ(τ).
(c) Encontre o ENVVUM de Rθ(τ).
(d) Mostre que o estimador de Bayes de Rθ(τ) sob perda quadrática e função densidade a
priori para θ
π(θ) =
1
γνΓ(ν)
θν−1 exp(−θ/γ), θ > 0,
é dado por (
1 +
τ∑n
i=1Xi + 1/γ
)−(n+ν)
.
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17. Suponha que X tenha distribuição binomial b(θ, n). Considere uma distribuição a priori
Beta(a, b) com a = b = 0 (priori imprópria) e a perda quadrática. Considere estimadores
δ que satisfazem δ(0) = 0 e δ(n) = 1. Mostre que o risco a posteriori é minimizado em
δ(x) = x/n. [Ver Exemplo 2.8, p. 238-239, TPE].
18. Suponha que, dados θ e σ2, X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes com dis-
tribuição N(θ, σ2). Admita que, a priori, τ = 1/(2σ2) tem distribuição Gama(g, 1/α) e θ,
independente de τ , tem distribuição uniforme (imprópria) na reta.
(a) Mostre que a densidade conjunta a posteriori é proporcional a τ r+g−1e−τ [α+z+n(x̄−θ)
2]
onde z =
∑
(xi − x̄)2 e r = n/2.
(b) Mostre que distribuição a posteriori de τ é Gama(r + g − 1/2, 1/(α+ z)).
(c) Mostre que se α = g = 0, o estimador de Bayes (generalizado) de σ2 é Z/(n − 3) para
perda quadrática. Para a perda (d− σ2)2/σ4, este estimadoré Z/(n+ 1).
(d) Mostre que a densidade a posteriori de θ é simétrica em relação a X e que o estimador
de Bayes (generalizado) é X.
19. Suponha que X tem distribuição b(p, n) e considere o problema de estimar p com perda
(d− p)2/[(p(1− p)]. Obtenha o estimador minimax.
20. Seja X = (X1, . . . , Xn) um vetor de variáveis aleatórias independentes e identicamente dis-
tribúıdas com distribuição de Bernoulli(p). Considere o problema de estimar p com perda
quadrática. Mostre que X =
∑n
i=1Xi/n não é estimador mininax de p comparando seu risco
com o do estimador aleatorizado T (X) que é igual a X com probabilidade n/(n + 1) e 1/2
com probabilidade 1/(n+ 1).
21. Sejam X1, . . . , Xm e Y1, . . . , Yn amostras aleatórias independentes das distribuições N(µx, σ
2
x)
e N(µy, σ
2
y), respectivamente; aqui µx ∈ R, µy ∈ R, σ2x > 0 e σ2y > 0. Considere o problema
de estimar ∆ = µy − µx sob perda quadrática.
(a) Mostre que Y − X é estimador minimax de ∆ quando σx e σy são conhecidos; X =
m−1
∑m
i=1Xi e Y = n
−1∑n
i=1 Yi.
(b) Mostre que Y − X é estimador minimax de ∆ quando σ2x ≤ Mx e σ2y ≤ My, sendo
Mx > 0 e My > 0 constantes conhecidas.
Sugestão: Use o seguinte resultado: Se, dado ξ, Z1, . . . , Zn são independentes e têm distri-
buição N(ξ, σ2), e se a distribuição a priori para ξ é N(ζ, b2), então a distribuição a posteriori
de ξ, dado que Z1 = z1, . . . , Zn = zn, é normal de média (nz/σ
2 + ζ/b2)/(n/σ2 + 1/b2) e
variância (n/σ2 + 1/b2)−1, onde z =
∑n
i=1 zi/n.
22. Prove: Seja δ um estimador de Bayes (respectivamente NVVUM, minimax, admisśıvel) de
g(θ) sob perda quadrática. Então, aδ+b é um estimador de Bayes (respectivamente NVVUM,
minimax, admisśıvel) de ag(θ) + b. Aqui, a e b são números reais.