Exame de Cálculo Numérico - Questões sobre Trabalho, Integrais, EDOs e Circuitos

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
Área do Conhecimento de Ciências Exatas e Engenharias
Cálculo Numérico – Exame 3
Prof. Leonardo Dagnino Chiwiacowsky – Data: 17/12/2020
Aluno: ...............................................................
Questão 1 (2,5 pts): Calcular o trabalho realizado por um gás sendo aquecido conforme os da-
dos da tabela abaixo, sabendo que W =
∫ Vf
Vi
P dV onde Vi e Vf são os volumes inicial e final,
respectivamente.
V (m3) 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
P (kg/m2) 80 72 64 53 44 31 22
a) (1,0 pt) Com o objetivo de calcular uma estimativa mais precisa para a integral, identifique
a ordem de integração (n ≤ 4) e o número de subintervalos adequados a serem empregados;
b) (1,5 pts) Empregue o método de Newton-Cotes composto, com base nos parâmetros identifi-
cados no item anterior, e apresente a estimativa para o trabalho realizado por um gás sendo
aquecido.
Apresente os resultados representando os valores numéricos com 6 d́ıgitos significativos.
Questão 2 (2,5 pts): Considerando a seguinte integral:
I =
∫ 1,2
0
ex cos(x) dx
a) (1,0 pt) Calcule uma estimativa para I utilizando a regra de Boole com 1 subintervalo;
b) (1,0 pt) Calcule uma estimativa para I utilizando a primeira regra de Simpson com 7 subin-
tervalos;
c) (0,5 pts) Com base na solução exata obtida com aux́ılo do MATLAB, calcule os respectivos
erros relativos (ERB e ERS).
Apresente os resultados representando os valores numéricos com 6 d́ıgitos significativos.
Questão 3 (3,0 pts): Considere o PVI definido pela equação diferencial xy′ = x − y e a condição
inicial y(2) = 2.
x y(x) pelo método de Euler y(x) pelo método de RK4
5
10
a) (2,0 pts) Aplicando métodos numéricos para resolver a EDO, com h = 0, 05, complete a
tabela acima:
b) (1,0 pt) Com base na solução exata obtida com aux́ılio do software MATLAB, para o domı́nio
de solução [2, 10], determine o erro total máximo encontrado para cada um dos métodos
empregados no item anterior.
Apresente os resultados representando os valores numéricos com 4 d́ıgitos significativos, em notação
decimal ou cient́ıfica.
Questão 4 (2,0 pts): O circuito mostrado consiste de uma bobina enrolada em torno de um núcleo
de ferro, uma resistência R, um interruptor S e uma fonte de tensão V . A equação governante
para o fluxo magnético no núcleo de ferro é dada por:
dφ
dt
= V − 2, 5φ− 0, 015φ3 ,
onde φ é o fluxo magnético medido kilolines, t é
o tempo em milisegundos, e V é a voltagem da
fonte em Volts.
a) (1,0 pt) Se V = 50 V, encontre o fluxo magnético φ em t = 0, 5 s se φ(0) = 0. Empregue o
método numérico de sua escolha, devendo ser informado, utilizando o passo h = 0, 01 s;
b) (1,0 pt) Encontre o tempo necessário para o fluxo magnético atingir o valor de φ = 10 kilo-
lines, com uma tolerância de 0,05 segundos, aplicando o mesmo método do item (a).
Apresente os resultados representando os valores numéricos com 4 d́ıgitos significativos, em notação
decimal ou cient́ıfica.