Lista de exercício N 1 - Engenharia da Qualidade

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Engenharia da Qualidade 
Lista de exercícios 01 
1. Seja a variável aleatória X tendo uma distribuição discreta uniforme nos inteiros 1 ≤ 𝑥 ≤ 3. 
Determine a média e a variância de X. 
𝜇 = E(x) =
3 + 1
2
= 2 
𝜎2 =
(3-1 + 1)2-1
12
= 0.667 
2. Medidas de espessura em um processo de recobrimento são feitas com a precisão de centésimo 
de milímetro. As medidas de espessura estão uniformemente distribuídas, com valores: 0,15; 
0,16; 0,17; 0,18 e 0,19. Determine a média e a variância da espessura de recobrimento para esse 
processo. 
𝜇 = E(x) =
0,19 + 0,15
2
= 0,17 
𝜎2 =
(0,19-0,15 + 1)2-1
12
= 0.0068 
 
3. Em um percurso matinal diário, um determinado sinal de trânsito demorado está verde 20% das 
vezes em que você se aproxima dele. Suponha que cada manhã represente uma tentativa 
independente. 
a. Em cinco manhãs, qual é a probabilidade de que o sinal esteja verde exatamente um dia. 
f(x) = (
5
1
) 0,201(1-0,20)4=0,4096 
b. Em 20 manhãs, qual é a probabilidade de que o sinal esteja verde exatamente quatro 
dias? 
f(x) = (
20
4
) 0,204(1-0,20)16=0,2181 
c. Em 20 manhãs, qual é a probabilidade de que o sinal esteja verde em mais de quatro dias? 
𝑓(𝑥) = 1 − {𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4)} 
f(x) = 1- {(
20
0
) 0,200(1-0,20)20 + (
20
1
) 0,201(1-0,20)19 + (
20
2
) 0,202(1-0,20)18 +
(
20
3
) 0,203(1-0,20)17 + (
20
4
) 0,204(1-0,20)16}=0,37035 
4. Suponha que a probabilidade dos pais terem um filho(a) com cabelos loiros seja ¼. Se houverem 
6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos loiros? 
f(x) = (
6
3
) 0,2530,753 = 0.1318 
5. Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a probabilidade de que em 
4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes? 
𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≥ 3) = 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) 
f(x) = (
4
3
) 0,330,71 + (
4
4
) 0,340,70 = 0,0837 
6. Um inspetor de qualidade extraí uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito 
grande de tubos que se sabe que contém 20% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de 
que não mais do que 2 tubos extraídos sejam defeituosos? 
𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + P(x = 2) 
f(x) = (
10
0
) 0,200,810 + (
10
1
) 0,210,29 + (
10
2
) 0,220,88 = 0,6778 
 
7. Suponha que a variável aleatória X tenha uma distribuição geométrica, com p=0,5. Determine as 
seguintes probabilidades: 
a. P(X=1)=(1-0,5)1-10,5 = 0,5 
b. P(X=4)= (1-0,5)4-10,5 = 0,0625 
c. P(X=8)= (1-0,5)8-10,5 = 0,0039 
d. P(X<=2)= (1-0,5)1-10,5 + (1-0,5)2-10,5 = 0,75 
e. P(X>2)=1-P(X<=2)=0,25 
8. A probabilidade de um alinhamento óptico com sucesso em um arranjo de um produto de 
armazenamento de dados ópticos é de 0,8. 
a. Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira exatamente 
quatro tentativas? 
P(X=4)= (1-0,8)4-10,8 = 0,0064 
b. Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no máximo 
quatro tentativas? 
𝑓(𝑥) = P(x ≤ 4) = 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(x = 4) 
f(x) = (1-0,8)1-1*0,8 + (1-0,8)2-1*0,8 + (1-0,8)3-1*0,8 + (1-0,8)4-1*0,8 = 0,9984 
 
c. Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no mínimo 
quatro tentativas? 
𝑓(𝑥) = P(x > 4) = 1- {𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(x = 4)} 
f(x) = 1-0,9984 = 0,0016 
 
9. Suponha que cada uma das suas chamadas para uma estação popular de rádio tenha uma 
probabilidade de 0,02 de se completar; ou seja, de não obter um sinal de ocupado. Considere que 
suas chamadas sejam independentes. 
a. Qual é a probabilidade de que sua primeira chamada a se completar seja sua décima 
tentativa? 
f(x) = P(x = 10) = (1-0,02)10-10,02 = 0,01667 
b. Qual é a probabilidade de se necessitar mais de cinco chamadas para que a ligação se 
complete? 
𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥 > 5) = 1 − {𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5)} 
f(x) = 1-{(1-0,02)1-1*0,02 + (1-0,02)2-1*0,02 + (1-0,02)3-1*0,02 + (1-0,02)4-1*0,02 +
(1-0,02)5-1*0,02} =0,9039 
c. Qual é o número médio necessário de chamadas para que a ligação se complete? 
E(x) = 1/p = 1/0,02 = 50 
10. Uma companhia emprega 800 homens com menos de 55 anos. Suponha que 30% carreguem um 
marcador no cromossomo masculino que indique um risco crescente de pressão sanguínea alta. 
a. Se 10 homens na companhia fossem testados em relação ao marcador nesse 
cromossomo, qual será a probabilidade de exatamente um homem ter esse marcador? 
f(x) =
(
240
1
) (
800-240
10-1
)
(
800
10
)
= 0,1201 
 
b. Se 10 homens na companhia forem testados em relação ao marcador nesse cromossomo, 
qual será a probabilidade de mais de um homem ter esse marcador? 
𝑓(𝑥) = 1 − {𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1)} 
f(x) = {
(
240
0
) (
800-240
10-0
)
(
800
10
)
+
(
240
1
) (
800-240
10-1
)
(
800
10
)
} = 0,8523 
11. Uma fita magnética é cortada em pedaços, com uma largura de meia polegada, que são enrolados 
em cartuchos. Um arranjo contém 48 lâminas. Cinco lâminas são selecionadas ao acaso e 
avaliadas a cada dia em relação ao afiamento. Se alguma lâmina não afiada for encontrada, o 
arranjo será trocado por um novo conjunto de lâminas afiadas. 
a. Se 10 das lâminas em um arranjo não estiverem afiadas, qual será a probabilidade de que 
o arranjo seja trocado no primeiro dia que ele seja avaliado? 
Nessa questão tem um truque bem rápido que alguns de vocês não perceberam, a probabilidade 
de que pelo menos uma das lâminas seja descoberta no primeiro dia, é 1 – a probabilidade de que 
nenhuma seja descoberta. 
f(x) = 1-
(
10
0
) (
48-10
5-0
)
(
48
5
)
= 0,7069 
b. Se 10 das lâminas em um arranjo não estiverem afiadas, qual será a probabilidade de que 
o arranjo não seja trocado até o terceiro dia de avaliação? 
Nesse caso a dica é usar a distribuição geométrica para descobrir essa probabilidade, supondo 
que as decisões diárias são independentes. Mesmo sabendo que essa não é a realidade, 
porque a probabilidade muda diariamente porque cada vez eu estou diminuindo a 
quantidade de lâminas devido as retiradas que ocorrem. 
Mas fazendo de forma simplificada temos: 
P(x = 3) = (1-0,7069)3-10,7069 = 0,06072 
12. O número de mudanças de conteúdo em uma página da internet segue a distribuição de Poisson, 
com uma média de 0,25 por dia. 
a. Qual é a probabilidade de duas ou mais mudanças em um dia? 
𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − {𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1)} 
f(x) = 1- {
e-0,250,250
0!
+
e-0,250,251
1!
} = 0,026499 
b. Qual é probabilidade de nenhuma mudança em cinco dias? 
Nova média=0,25*5=1,25 
f(x) =
e-1,251,250
0!
= 0,2865 
c. Qual é a probabilidade de duas ou menos mudanças em cinco dias? 
P(x<=2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) 
f(x) =
e-1,251,250
0!
+
e-1,251,251
1!
+
e-1,251,252
2!
= 0,8684