aula_epcar_29_06_2021_prova_2019_2020

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1. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) No dia 21 de maio de 2019, comemorou-se 70 anos da Escola Preparatória de Cadetes do Ar
“A Escola Preparatória de Cadetes do Ar é uma instituição militar de ensino médio, com missão de preparar os Alunos para ingresso no Curso de Oficiais Aviadores por meio do Curso Preparatório de Cadetes do Ar (CPCAr).”
Disponível em: <<http://www2.fab.mil.br/epcar/>> Acesso em 30 de março de 2019.
“A sua história teve início em 1949, com a criação do Curso Preparatório de Cadetes do Ar (...) [Esta Escola] tem procurado cumprir sua missão de formar e honrar as suas tradições no ensino, com os pés no passado, as mãos no presente e os olhos no futuro.”
Disponível em <<http://www2.fab.mil.br/epcar/>> Acesso em 30 de março de 2019.
Depois das comemorações dos 70 anos da EPCAR, foi feita uma pesquisa de opinião com os seus alunos sobre as atividades que ocorreram durante as comemorações.
Essas atividades foram avaliadas conforme critérios estabelecidos no seguinte quadro:
	Nota
	Critérios de Notas
	5
	ÓTIMA
	4
	BOA
	3
	REGULAR
	2
	RUIM
	1
	INDIFERENTE
Os resultados obtidos estão registrados no gráfico abaixo:
Se, nessa pesquisa, cada aluno opinou apenas uma vez, então, é INCORRETO afirmar que 
a) o número que representa a quantidade de alunos que participou dessa pesquisa possui mais de divisores naturais. 
b) a nota média atribuída pelos alunos foi BOA. 
c) exatamente dos alunos considerou a programação ÓTIMA. 
d) mais de dos alunos opinaram com INDIFERENTE ou REGULAR em relação à programação. 
Resposta:[C]
De acordo com o gráfico, tem-se que a quantidade de alunos que participou da pesquisa foi
Tal número possui divisores positivos.
A nota média atribuída pelos alunos é dada por
ou seja, BOA.
Aproximadamente dos alunos considerou a programação ÓTIMA. 
O percentual de alunos que opinaram com INDIFERENTE ou REGULAR em relação à programação foi 
 
2. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Considere os números reais representados na reta real abaixo.
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.
( ) é, necessariamente, um número que pertence a 
( ) é tal que 
( ) O inverso do oposto de é um número compreendido entre e 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) apenas uma é verdadeira. 
b) apenas duas são verdadeiras. 
c) apenas três são verdadeiras. d) todas são falsas. 
Resposta:[A]
Tomando e vem 
que é um número irracional. 
Portanto, dependendo dos valores de e a expressão pode não ser um racional não positivo. 
Desde que temos
e
Portanto, vem 
Sabendo que temos o que implica em ou seja, um número compreendido entre e 
 
3. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Considere as expressões e com os números e reais positivos e distintos entre si.
A expressão é representada por 
a) b) c) d) 
Resposta:[B]
Tem-se que
e
Portanto, encontramos
 
 
4. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Dona Lourdes trabalha em uma livraria, precisa guardar livros em caixas e vai utilizar todas elas.
Se em das caixas ela guardar livros em cada caixa e, nas demais, guardar livros em cada caixa, então, sobrarão alguns livros para serem guardados.
Entretanto, se em das caixas ela guardar livros em cada caixa e livros em cada uma das demais, então, não haverá livros suficientes para ocupar todas as caixas.
Assim, a soma dos algarismos do número é igual a 
a) b) c) d) 
Resposta:[B]
Tem-se que 
e
Desse modo, como o único múltiplo de compreendido entre e é vem
A resposta é 
 
5. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Para dinamizar suas aulas no 8º ano a professora Luíza organizou um jogo distribuindo duas fichas contendo operações com os números reais.
Dois alunos participaram da 1ª rodada do jogo: Lucas e Mateus.
Ao jogarem, esses alunos receberam as seguintes fichas:
	Aluno
	Ficha 1
	Lucas
	
	Mateus
	
	Aluno
	Ficha 2
	Lucas
	
	Mateus
	
Depois de resolverem as operações, cada aluno deveria associar corretamente os resultados obtidos em cada ficha a somente um dos conjuntos abaixo.
Os resultados obtidos por Lucas e Mateus foram os seguintes:
- Lucas afirmou que e 
- Mateus afirmou que e 
Se Lucas e Mateus acertaram as operações nas suas duas fichas, então 
a) Lucas e Mateus acertaram todas as correspondências entre os números calculados e os conjuntos. 
b) Mateus acertou as duas correspondências e Lucas errou a correspondência de um dos números ou 
c) Lucas e Mateus erraram uma das correspondências, cada. 
d) Lucas acertou as duas correspondências e Mateus errou a correspondência de um dos números ou 
Resposta:[A]
Tem-se que
e
Desse modo, como e Lucas acertou as correspondências entre os números e os conjuntos. Ademais, como e Mateus também acertou as correspondências entre os números e os conjuntos. 
 
6. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Em um jogo de videogame há uma etapa em que o personagem, para se livrar do ataque de monstros, precisa subir pelo menos dos andares de um prédio, utilizando, necessariamente, um elevador.
O personagem encontra-se no térreo e pode escolher e acionar um dos elevadores ali existentes. Todos eles estão em perfeito funcionamento e são programados de modo a parar em andares diferentes, conforme esquema a seguir:
	Elevador
	Programado para parar apenas nos andares de números
	
	pares
	
	
múltiplos de 
	
	
múltiplos de 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa, apenas para os andares de até 
( ) Não há possibilidade de um mesmo andar receber os três elevadores e 
( ) Em andares desse prédio, chegam, exatamente, elevadores.
( ) Se em andares desse prédio chega apenas elevador, então, é menor que 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) apenas uma afirmação é verdadeira. 
b) apenas duas afirmações são verdadeiras. 
c) todas as afirmações são verdadeiras. 
d) nenhuma afirmação é verdadeira. 
Resposta:[B]
O elevador para apenas nos andares pertencentes ao conjunto Já o elevador para apenas nos andares pertencentes ao conjunto enquanto que o elevador para apenas nos andares pertencentes ao conjunto 
Em consequência, como a interseção dos conjuntos e é vazia, não há possibilidade de um mesmo andar receber os três elevadores e 
Desde que e podemos afirmar que em seis andares desse prédio, chegam, exatamente, dois elevadores. 
Os andares em que chega apenas um elevador pertencem ao conjunto Portanto, segue que ou seja, um número maior do que 
 
7. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) À noite, um helicóptero da Força Aérea Brasileira sobrevoa uma região plana e avista um VANT (Veículo Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura desprezível, com raio de estacionado paralelamente ao solo a de altura.
O VANT está a uma distância metros de um holofote que foi instalado no helicóptero.
O feixe de luz do holofote que ultrapassa o VANT incide sobre a região plana e produz uma sombra circular de centro e raio 
O raio da circunferência da sombra forma um ângulo de com o feixe de luz, conforme se vê na figura seguinte.
Nesse momento, uma pessoa que se encontra num ponto da circunferência da sombra corre para o ponto pé da perpendicular traçada do holofote à região plana.
A distância, em metros, que essa pessoa percorre de até é um número entre 
a) e b) e c) e d) e 
Resposta:[C]
Considere a figura.
Desde que os ângulos e são correspondentes, temos
Portanto, segue que
É imediato que 
8. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Para homenagear os aniversariantes do mês de junho, um grupo de alunos das turmas FOX e GOLF do esquadrão SABRE decidem fazer um churrasco comemorativo e dividir a despesa total.
Na véspera do churrasco, desses alunos foram convocados pelo seu Comandante para uma atividade que os impediu de comparecerem ao evento comemorativo, sendo esses alunos excluídos do rateioda despesa total.
Com a ausência desses alunos, foi cobrado de cada um dos demais, certo valor a mais.
Ao fazerem o rateio, os alunos perceberam que a despesa total era igual ao valor cobrado a mais de cada um dos alunos que contribuíram, multiplicado por 
Se o número de alunos que foram ao churrasco é então, a soma dos algarismos de é 
a) b) c) d) 
Resposta:[A]
Sejam a cota que cabia a cada um dos alunos e o total da despesa. Logo, temos
Por outro lado, é o valor que será cobrado a mais dos alunos, vem
 e 
implicando em 
A resposta é 
 
9. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Seja o conjunto solução, na variável da equação irracional dada por 
Sugestão: use 
Analise as alternativas e marque a FALSA. 
a) Os elementos de são tais que 
b) O produto dos elementos de é um número positivo. 
c) A soma do maior e do menor elemento de é igual a 
d) A soma dos elementos de é igual a 
Resposta:ANULADA
Questão anulada no gabarito oficial.
Tomando com temos 
Logo, vem
Em consequência, temos 
Portanto, segue que:
i) os elementos de não números irracionais;
ii) o produto dos elementos de é um número negativo, pois 
iii) a soma dos elementos de é 
Existem duas alternativas corretas. 
10. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Uma pessoa aplicou reais durante o ano de 2018. Parte desse dinheiro aplicou no investimento e a outra parte, no investimento 
No final de 2018, retirou o dinheiro das duas aplicações e verificou que, somando os dois valores, não obteve lucro nem prejuízo.
O investimento rendeu mas, sobre o rendimento, foi cobrada uma taxa de já o investimento deu prejuízo de 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que 
a) a razão entre o valor aplicado em e o valor aplicado em é 
b) com o que essa pessoa recebeu do investimento no final de 2018, seria possível comprar um carro de reais. 
c) a diferença entre o maior e o menor valor aplicados, em reais, é maior que reais. 
d) essa pessoa aplicou mais de reais no investimento 
Resposta:[D]
Seja o valor aplicado em Logo, temos 
Portanto, segue que o valor aplicado em foi 
A razão entre o valor aplicado em e o valor aplicado em é 
Com o que essa pessoa recebeu do investimento no final de 2018, seria possível comprar um carro de 
A diferença entre o maior e o menor valor aplicados, em reais, é ou seja, menor do que 
Como mostramos anteriormente, o investidor aplicou mais de no investimento 
 
11. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Dois irmãos, Luiz e Guilherme, têm uma pequena fábrica de móveis de madeira.
Luiz fabrica cadeiras do modelo em dias de horas de trabalho por dia. Já Guilherme fabrica cadeiras do modelo em dias de horas de trabalho por dia.
Uma empresa fez uma encomenda à fábrica de cadeiras do modelo 
Para atender à demanda, os irmãos trabalharam juntos, no ritmo de horas por dia, gastando então, dias para concluir o trabalho e entregar a encomenda.
O número é tal que 
a) possui raiz quadrada exata. b) divide 
c) é divisor de d) é múltiplo de 
Resposta:[A]
O número total de horas necessárias para concluir o trabalho é igual a
Portanto, segue que isto é, um quadrado perfeito que não é divisor de nem de e não é múltiplo de 
 
12. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Um professor, após ter ministrado os conteúdos de função polinomial do 1º grau e função polinomial do 2º grau, elaborou, juntamente com os alunos do 9º ano, um projeto de uma pista virtual de um percurso de aviões em um jogo eletrônico.
A figura abaixo é a vista frontal dessa pista, num plano cartesiano, que é composta por:
- três percursos em linha reta: e e
- duas curvas parabólicas: do ponto até o ponto com vértice em e do ponto ao ponto com vértice em 
Sabe-se que:
 e é ponto médio de 
					
			
 e são eixos de simetria das curvas parabólicas. 
Se todas as medidas indicadas têm a mesma unidade de comprimento, então, o valor de nessa mesma unidade de comprimento, é 
a) b) c) d) 
Resposta:[D]
Desde que é eixo de simetria, temos Logo, sendo vem
Seja a parábola que passa por e 	
Sabendo que e temos 
Daí, como vem 
Portanto, segue que 
A reta que passa por e tem por equação Logo, sendo vem
Desse modo, como encontramos 
Finalmente, sendo e temos 
A resposta é
 
 
13. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Isabel confecciona envelopes a partir de folhas retangulares de papel conhecido por ter medidas por e 
O processo de preparação de cada envelope envolve:
- dobrar a folha ao meio tanto no sentido da maior medida quanto da menor medida;
- com a folha aberta e a determinação do seu centro, tomar, a partir deste, sobre a dobra maior, para a esquerda e para a direita, e, sobre a dobra menor, para cima e para baixo, determinando um retângulo;
- sobre as menores dimensões deste retângulo, desenhar dois triângulos equiláteros; 
- sobre uma das maiores dimensões do retângulo, tomar um triângulo isósceles de altura 
- sobre a outra das maiores dimensões do retângulo, desenhar um trapézio isósceles, cuja medida do ângulo da base maior é igual a e a altura é igual a 
A figura abaixo é uma planificação total de um dos envelopes.
Considere 
Se o pacote de papel é vendido com folhas e se for confeccionado apenas um envelope com cada uma das folhas de um pacote, então, a quantidade gasta, em gramas, de papel é maior que 
a) b) e menor que 
c) e menor que d) e menor que 
Resposta:[A]
Considere a figura.
Sendo e temos Logo, como vem Desse modo, encontramos
Desde que temos
Os triângulos equiláteros congruentes e têm lado cuja medida é Logo, vem
Ademais, como temos
Em consequência, a quantidade gasta, em gramas, de papel é
 
 14. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Para decorar uma parede no interior de sua casa, Marisa comprou quadros conforme figura abaixo.
Cada quadro contém:
- um hexágono regular;
- seis quadrados, cada um com um lado coincidente com um dos lados do hexágono;
- seis setores circulares idênticos de centro nos vértices do hexágono e cuja medida do raio é igual à medida do lado do quadrado.
As figuras foram pintadas de três cores diferentes: preto, branco e cinza.
Para cada pintados no quadro, cobra-se reais.
Cada quadro foi comprado pelo custo da pintura mais reais.
Considere e 
Pode-se afirmar que Marisa pagou, por um quadro, em reais, mais de 
a) e menos de b) e menos de 
c) e menos de d) 
Resposta:ANULADA
Questão anulada no gabarito oficial.
É fácil ver que o raio de cada setor circular, o lado do hexágono e o lado de cada quadrado medem cada.
Logo, a área pintada é dada por
Em consequência, o valor pago por Marisa em um quadro foi
 
 
15. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Um jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro quadrado, dividido em outros quadrados menores e congruentes, conforme figura abaixo, devem conseguir alinhar VERTICALMENTE, HORIZONTALMENTE ou em DIAGONAL, quatro algarismos iguais.
Cada jogador, após escolher o algarismo com o qual irá preencher os quadrados menores, escreve um número por vez, em qualquer quadrado menor do tabuleiro, e passa a vez para o adversário.
Vence o primeiro que alinhar os quatro algarismos iguais.
No quadrado abaixo, estão registradas, numa partida desse jogo, as jogadas de Lucas, que escolheu o algarismo e as jogadas de Mateus, que escolheu o algarismo 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.
( ) Se o próximo jogador for Lucas, ele não terá chance de ganhar o jogo, nessa jogada.
( ) Se o próximo jogador for Mateus, então, para garantir a vitória nessa jogada, ele poderá escrever o algarismo em duas posições.
( ) Se Mateus for o próximo a jogar e NÃO escrever o algarismo em um quadrado que dê a vitória a ele, então, Lucas poderá ganhar a partida na jogadaseguinte à de Mateus.
Sobre as proposições, tem-se que 
a) apenas uma é falsa. b) todas são verdadeiras. 
c) apenas duas são falsas. d) todas são falsas. 
Resposta:[A]
Seja o algarismo que será escrito na linha e coluna 
Se o próximo jogador for Lucas, ele não terá chance de ganhar o jogo, nessa jogada, uma vez que não existem, com exceção da primeira coluna, três algarismos em nenhuma linha, coluna ou diagonal.
Se o próximo jogador for Mateus, então, para garantir a vitória nessa jogada, ele poderá escrever ou 
Se Mateus não ganhar na sua vez, como dissemos anteriormente, Lucas não poderá ganhar a partida na jogada seguinte. 
 
16. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) Você conhece o jogo chamado Dominó?
“Existem várias versões que tentam decifrar de onde veio o jogo, mas nenhuma delas até hoje pôde ser confirmada. Acredita-se, porém, que ele tenha surgido na China, inventado por um soldado chamado Hung Ming, que teria vivido de 243 a 181 a.C. (...) O nome dominó provavelmente deriva da expressão latina domino gratias, que significa “graças a Deus”, dita pelos padres europeus enquanto jogavam. Atualmente, o dominó é jogado em quase todos os países do mundo, mas é mais popular na América Latina.”
(Disponível em: <<https://super.abril.com.br/mundo-estranho/qual-ea-origem-do-domino/>> Acesso em 26 de fevereiro de 2019.)
As peças de um dominó tradicional são divididas em duas metades. Nelas aparecem representados os números ou geralmente pintados em quantidades de pontos tal como a figura anterior.
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.
( ) Dentre todas as peças do jogo, a probabilidade de se escolher uma peça em que os dois números representados são diferentes entre si é igual a 
( ) A probabilidade de se escolher a peça dentre todas as peças do jogo, é maior que 
( ) Dentre as peças que só têm representados números pares em ambas as metades, são aquelas em que há um par de números iguais.
Sobre as proposições, tem-se que 
a) apenas uma afirmação é verdadeira. 
b) apenas duas afirmações são verdadeiras. 
c) todas as afirmações são verdadeiras. 
d) nenhuma afirmação é verdadeira. 
Resposta:
[C]
A probabilidade de que os números sejam diferentes é igual a
A probabilidade de escolher uma peça qualquer é 
As peças que só têm representados números pares em ambas as metades são
 e 
Logo, dentre essas peças, as que apresentam um par de números iguais correspondem a 
 
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OH2
=
GH6
=
JL2
=
AOOL5
==
LM2
=
CD
1y0,
-<<
KN
(
)
ABDCOSOJ,
+++
26
3
28
3
29
3
32
3
CD
suur
BDDO2.
==
AO5,
=
ABAOBO1.
=-=
2
yy0yy0
×>×Þ>
BO
ya(xx)(xx)
=×-×-
B,E
O.
B(4,0),
=-
O(0,0)
=
E(1,4),
=-
4
4a(1)(14)a.
3
=×-×-+Û=-
D
x2,
=-
D
416
y(24)(2).
33
=-×-+×-=
16
DC.
3
=
2
yy1y1y1.
×<-×<Þ<
O
G(2,6)
=
y3x.
=
RE
yy4,
==
RR
4
43xx.
3
=Û=
RS
xx,
=
4
OS.
3
=
OL5
=
JL2,
=
OJOLJL3.
=-=
2
0y1.
<<
164
ABDCOSOJ13
33
32
.
3
+++=+++
=
A4,
21cm
29,7cm
2
75gm.
8cm
3cm
3cm
6cm;
3x2,
-<<-
45
°
3cm.
31,7
=
A4
500
800.
750
800.
700
750.
2x3,
<-<
650
750.
BJCK3cm
==
µ
µ
JABKDC45,
º=°
AJDK3cm.
==
AD16cm,
=
BC10cm.
=
2
1
(ABCD)(1016)339cm.
2
=×+×=
AH6cm,
=
111
,
3x2
<-<
2
(ADFH)16696cm.
=×=
AIH
DEF
6cm.
2
2
63
(AIH)(DEF)15,3cm.
4
==@
GL6cm,
=
2
1
(FGH)16648cm.
2
=××=
75
500(3996215,348)801800.
10000
××++×+@>
2
500cm
50
0
77
3
π
=
31,7
=
100
150.
150
200.
200
250.
250.
1.
32
8m
4
=
2
222
383
688739,2m.
2
π
×
×++×@
739,210000
5077R$739.277,00.
500
×
×+=
16
5,
7.
7
7
ij
a
P
i
j.
5
42
a7
=
14
a7.
=
28
0,1,2,3,4,5
6,
75%.
Q,
3,5%.
40%
21
100%75%.
28
×=
1
100%3,57%.
28
×@
{0,0},{0,2},{0,4},{0,6},{2,2},{2,4},{2,6
},{4,4},{4,6}
{6,6}.
4
100%40%.
10
×=
a,b
c
66626662
66
111111
111111
(abc)(abc)
P
bc
(ba)(ba)
Q
(ab)(ab)
------
------
++---
=
+
--+
=
+--
QP
20
b2a
a2b
b
a
2
1b
a2
66626662
66
666666666666
66
666
66
6
(abc)(abc)
P
bc
(abcabc)(abcabc)
bc
4a(bc)
bc
4a
++---
=
+
+++--++-++
=
+
+
=
+
=
111111
111111
11
11
(ba)(ba)
Q
(ab)(ab)
1111
baba
1111
abab
abab
abab
abab
abab
abab(ab)(ab)
(ab)(ab)abab
b
.
a
------
------
--
--
--+
=
+--
æöæö
--+
ç÷ç÷
èøèø
=
æöæö
+--
ç÷ç÷
èøèø
-
-+
=
+
+-
+-++-
=×
+--++
=
6
3
b
QP4a
a
b
2a
a
a2b.
=
=×
=
200
x
30