ÁREAS BG AFA & ESPCEX 10 05 2021

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1. (Afa 2017) No plano cartesiano abaixo estão representados o gráfico da função real definida por e o polígono 
Considere que:
- o ponto é vértice da função 
- os pontos e possuem ordenadas iguais.
- as abscissas dos pontos e são raízes da função 
Pode-se afirmar que a área do polígono em unidades de área, é 
a) b) c) d) 
2. (Espcex 2021) Na figura a seguir, é um quadrado, é o ponto médio de e é o ponto médio de 
A razão entre as áreas do quadrado e do triângulo nessa ordem, é 
a) b) c) d) e) 
3. (Esc. Naval 2012) O triângulo da figura abaixo é equilátero, e A área do triângulo vale 
 
a) b) c) d) 
e) 
4. (Ita 2011/AFA 2015) Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre . Considere as áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética cuja soma é 200 cm2, a medida do segmento , em cm, é igual a
a) b) 5 c) d) e) 10 
5. (Espcex 2018) Seis círculos de raio são inseridos no paralelogramo de área de acordo com a figura abaixo.
Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com os lados do paralelogramo, a área em é 
a) b) c) d) 
e) 
6. (Ime 2015) Seja um trapézio retângulo de bases e com diagonais perpendiculares. Determine a área do trapézio. 
a) b) c) d) 
e) 
7. (Ime 2010) Seja um triângulo de lados , e iguais a 26, 28 e 18, respectivamente. Considere o círculo de centro inscrito nesse triângulo. A distância vale: 
a) b) c) d) e) 
8. (Ime 2011) Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos medindo 3 cm e 4 cm. Os diâmetros dos três semicírculos, traçados na figura abaixo, coincidem com os lados do triângulo ABC. A soma das áreas hachuradas, em cm2, é: 
 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 
9. (Ime 2014) Em um quadrilátero os ângulos e são retos. Considere que e sejam as raízes da equação onde Qual a verdadeira relação satisfeita por e 
a) b) c) 
d) e) 
10. (Afa 2017) Considere, no triângulo abaixo, os pontos e os segmentos e paralelos, respectivamente, a e 
Sabendo que e que a área do triângulo é então a área do paralelogramo hachurado, em é igual a 
a) b) c) d) 
11. (Ita 2021) Os vértices da base de um triângulo isóceles PQR, inscrito numa circunferência de centro são e Se o vértice R pertence ao primeiro quadrante, então a área do triângulo PQR é igual a: 
a) b) 
c) d) 
e) 
12. (Ita 2016) Sejam uma circunferência de raio e uma corda em de comprimento As tangentes a em P e em Q interceptam-se no ponto R exterior a Então, a área do triângulo em PQR, em é igual a 
a) b) c) d) e) 
 
13. (Afa 2012) Conforme a figura abaixo, A é o ponto de tangência das circunferências de centros e 
Sabe-se que os raios dessas circunferências formam uma progressão geométrica crescente.
Se os raios das circunferências de centros e medem, respectivamente, 2r e 3r, então a área da região sombreada vale, em unidades de área, 
a) b) c) d) 
14. (Efomm 2020) Sejam a circunferência com centro em e raio e a circunferência que passa por com centro em e raio Sabendo-se que é o ponto médio do segmento é um dos pontos de interseção entre e e é a interseção da reta com a circunferência o valor da área do triângulo em unidades de área é 
a) b) c) d) e) 
15. (Afa 2014) Na figura abaixo, os três círculos têm centro sobre a reta e os dois de maior raio têm centro sobre a circunferência de menor raio.
A expressão que fornece o valor da área sombreada é 
a) b) c) 
d) 
16. (Esc. Naval 2016) A área da região limitada pelos gráficos das funções e é igual a: 
a) b) c) 
d) e) 
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
[B]
 
Resposta da questão 2:
[D]
Observe a figura:
Temos que:
Logo:
 
Resposta da questão 3:
[B]
Pelo Teorema de Menelaus, aplicado no triângulo vem 
 
Agora, como pela propriedade das proporções, temos 
Portanto, sabendo que encontramos
 
Resposta da questão 4:
[C]
Escrevendo a PA temos:
(100, 100 – 5x, 5x) 
Logo, 
 
Resposta da questão 5:
[E]
Na figura, temos
 é um triângulo equilátero, pois 
 é ponto de tangência entre e logo, 
 é ponto de tangência entre e logo, 
 é ponto de tangência entre e logo, 
 é ponto de tangência entre e logo, 
 é ponto de tangência entre e logo, 
Como 
Como e é um retângulo, logo, 
Analogamente, portanto, 
Os triângulos e são congruentes, pelo caso LAL, logo, 
No triângulo 
Os triângulos e são congruentes, pelo caso LAL, logo, 
No triângulo 
Assim, temos:
 
Resposta da questão 6:
[C]
Desenhando o trapézio com os dados do enunciado, tem-se:
Por semelhança de triângulos, pode-se escrever:
 
Resposta da questão 7:
[D] 
Área do triângulo: A 
A =
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
 
Resposta da questão 8:
[A]
 é a área da região que se obtém subtraindo a área do triângulo ABC da área do semicírculo de diâmetro BC.
 é a área do semicírculo de diâmetro 3cm e
 é a área do semicírculo de diâmetro 4cm.
 que é a área pedida.
Logo:
 
Resposta da questão 9:
[E]
Como e são raízes da equação podemos escrever:
 
Resposta da questão 10:
[B]
Calculando:
 
Resposta da questão 11:
[E]
Raio da circunferência:
Seja o ponto médio do segmento temos que:
Temos a figura:
Logo, a área do triângulo vale:
 
Resposta da questão 12:
 [E]
No triângulo temos:
Logo, a área do triângulo será dada por:
 
Resposta da questão 13:
[C]
A razão da P.G. formada pelos raios será dada por portanto o raio da terceira circunferência será 
Calculando agora as áreas assinaladas A1 e A2: A = A1+ A2
 
Resposta da questão 14:
[C]
Do enunciado, segue a seguinte figura:
Como é ponto médio de os triângulos e são equivalentes. O mesmo vale para os triângulos e 
Logo, os triângulos é equivalente ao triângulo 
Daí,
Note que é um ângulo inscrito de medida igual a logo, a medida do arco é Assim, 
Daí,
Então,
Note que:
No triângulo 
Daí,
Portanto,
Como os triângulos e são equivalentes,
 
Resposta da questão 15:
[D]
A área hachurada será igual a área de uma circunferência maior (raio somada à área da “lua” remanescente da outra circunferência maior (raio subtraindo-se a área da circunferência menor (raio Pode-se deduzir graficamente:
Deduz-se, portanto, que área de uma circunferência maior é igual a 
Para calcular a área da “lua” remanescente da outra circunferência de raio (área hachurada em azul nas figuras a seguir) é preciso subtrair o equivalente a duas áreas verdes (ver figuras a seguir). Para calcular a área verde, é preciso calcular a área do setor circular de menos a área de um triângulo equilátero de lado 
Assim, pode-se escrever que a área total hachurada em cinza é igual a:
 
Resposta da questão 16:
[D]
Sendo A e B os pontos de intersecção entre e pode-se escrever:
 
Desenhando os gráficos das funções e os pontos calculados, tem-se:
 
 
1163.
+
30143
.
3
+
1053.
+
1163.
-
36203
.
3
+
ABCDE.
a
b
ab
2
2
ab
2
+
æö
ç÷
èø
ab
ab
2
+
æö
ç÷
èø
2ab
ab
2
+
æö
ç÷
èø
2
ab
ab
2
+
æö
ç÷
èø
ABC
AB
BC
AC
O
AO
104
6
104
3
C
2104
3
104
3104
ABCD,
$
ABC
µ
CDA
µ
sen(BDC)
µ
sen(BCA)
2
xbxc0,
++=
f.
b
c?
22
b2c1
+=
422
b2cbc
+=
2
b2c1
+=
22
b2c1
-=
2
b2c1
-=
ABC
PAB,
Î
QBC,
Î
B
RAC
Î
PQ
QR
AC
AB.
BQ3cm,
=
QC1cm
=
ABC
2
8cm,
2
cm,
D
2
3
4
5
O(5,0),
=
P(4,22)
=
Q(8,0).
=
2(33).
-
3(33).
+
3(33).
-
A
6(33).
+
6(33).
-
l
4cm
PQ
l
4cm.
.
l
2
cm,
E
23
.
3
32
.
2
6
.
2
23
.
5
43
.
3
1
C,
2
C
3
C.
1
C
f.
2
55
r
8
π
2
29
r
4
π
2
61
r
8
π
2
8r
π
1
C,
A
1,
2
C,
A,
B
ABCDE,2.
D
AB,
E
1
C
F
ED
AEF,
15
2
8
+
1
8
16
15
1
4
+
315
8
15
4
515
8
AB
2
1763
r
9
π
-
2
1193
r
12
π
+
2
1543
r
9
π
-
2
1363
r
12
π
+
2
y9x,
=-
1
4
8
y|x|
=
322x
y
4
+
=
32
(32)
4
π
-
3
(2)
4
π
-
3
(22)
4
π
-
3
(32)
4
π
-
3
(322)
4
π
-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
vv
2
vv
2
2
D
2
B
b(1)1
xx
2a2(1)2
19
C,
24
119
y2y
224
x1
f(x)xx2A2,0eE1,0
x2
D0,yf(0)0022D0,2
Bx,22xx2xx10B1,2
---
ü
==®=-
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×-
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-
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ï
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þ
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ï
=--+®-
ý
=-
ï
þ
®=--+=®
®=--+®-×+=®-
1
4
4
1,50,50,50,251
S22S4
228
éù
+×
æö
=××+®=
ç÷
êú
èø
ëû
AEFAEDAFD
AEF
2
AEF
22
AEF
2
AEF
2aa
sen
2bb
AAA
11
A2a2a2absen
22
a
A2aab
b
A2aa
Aa
θ
θ
==
=-
=××-×××
=-××
=-
=
(
)
2
ABCD
2
AEF
ABCD
AEF
2a
A
A
a
A
4
A
=
\=
ABC,
MADBEC516EC
11
56
MBDCEAEA
EC3
8
EA
××=Û××=
Û=
ABACAEEC10,
==+=
EC3ECEA38
83
EAEA
80
EA.
11
++
=Û=
Û=
µ
MAE60,
=°
µ
1
(MAE)MAEAsenMAE
2
1803
5
2112
1003
.
11
=×××
=×××
=
2222
.x.x
200220010010
22
+-+=Û=Û=Û=
ll
lllll
1
8
2
1005x20
'005xx
23
+
-=Û=
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
3
4
A,1
B,1
C,1
D,1
λ
λ
λ
λ
ABC
ABACBC2.
===
1
T
1
λ
MQ,
1
ATMQ
^
2
T
ABCD
2
λ
MQ,
2
BTMQ
^
3
T
2
λ
QP,
3
BTQP
^
4
T
4
λ
QP,
E
4
DTQP
^
5
T
4
λ
NP,
5
DTNP
^
122112
ATTBTT90,AT//BT.
==°
1212
AT//BT,ATBT1
==
122112
ATTBTT90,ATTB
==°
AB//MQ.
BD//QP,
BC
ˆ
MQP60.
=°
3
QBT
2
QBT
32
60
ˆˆ
BQTBQT30.
2
°
===°
3
BQT,
3
3
3
1
tg30
QT
31
3QT
QT3
°=
=
=
4
PDT
5
PDT
45
120
ˆˆ
TPDTPD60.
2
°
===°
4
PTD,
F
2
6431243
Xsen60
33
64312433
X
332
36203
Xcm
3
++
=××°
++
=××
+
=
36(3626)(3628)(3618)7210
---=
36.r7210
r210
=
=
(
)
2
22
AO8210
AO6440
AO104
=+
=+
=
222
BC34BC5cm
=Þ
+=
12
AA
+
3
A
4
A
DE
3412
AA AA
(
A
)
-
=++
222
345
43
222
A6
2222
πππ
æö
æöæöæö
ç÷
ç÷ç÷ç÷
×
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èøèøèø
=+--=
ç÷
ç÷
ç÷
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ˆ
ˆ
BCA e BDC
αβ
==
2a2b180ab90
+=°Þ+=°
sen
α
sen
β
(
)
(
)
22
22222
sensenb
sensenc
sensenbsen2sensensenb12cbb2c1
αβ
αβ
αβααββ
+=-
ì
í
×=
î
+=-Þ+××+=Þ+=Þ-=
2
RQCRQC
RQC
ABC
2
PBQPBQ
PBQ
RQC
hachuradoABCPBQRQChachurado
SS
CQ1111
1
S
2
CB4S416168
SS
399
9
S
2
1
S111
2
9
1
SSSS8S3
22
æö
=®==®=®=
ç÷
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æö
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ç÷
èø
=--=--®=
rOQ3
==
M
PQ,
2
2
2
OM36OM3
=-Þ=
RM33
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(
)
(
)
2633
PQRM
A
22
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×-
×
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\=-
ABCD
ˆ
OPR906030
=°-°=°
PMR,
h3h23
tg30hcm
2323
°=Þ=Þ=
PQR
12343
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233
××
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3r3
,
2r2
=
9r
.
2
2
9r
22
(2r)(3r)
2
A
222
π
ππ
æö
æö
ç÷
×
ç÷
ç÷
××
èø
=+-
ç÷
èø
4561
2
A2r
88
ππ
π
=×+=
AEF,
D
AB,
AED
BED
ADF
BDF.
AEF
BEF.
(
)
(
)
EBD
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1
S12sen2
2
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πα
α
αα
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=
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$
AEF
1.
,
β
¼
AGF
2.
β
$
ABF2.
β
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(
)
(
)
(
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DBF
DBF
DBF
DBF
1
S12sen2
2
Ssen2
Ssen
Ssen
β
β
πα
α
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=-
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(
)
BEF
BEF
S2sencossen
Ssen2cos1
ααα
αα
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=×+
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2
22
2
1
2x
2
15
x
4
15
x
2
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ç÷
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=
=
151
sen
22
15
sen
4
11
cos
22
1
cos
4
α
α
α
α
=×
=
=×
=
2.
BEF
BEF
BEF
151
S21
44
153
S
42
315
S
8
æö
=××+
ç÷
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=×
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AEB
BEF
AEF
315
S
8
=
r),
r),
r2).
2
r.
π
r
120
°
3.
r.
222
22
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222
2222222
222
r120r3r
rr2
36044
r4r3r33r8r6r3
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412412
3r12r8r6r33r4r6r3
412412
9r4r6r
π
πππ
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êú
êú
ëû
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22
2
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r
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ππ
æö
++
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ç÷
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y
4
+
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y|x|,
=
22
A,
322x
22
322x
y
x
4
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3232
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B,
22
æö
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ç÷
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+
ç÷
+
ïèø
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í
æö
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=
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ç÷
ç÷
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(
)
22
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22
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2
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22
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22
3232
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22
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2
2
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3
SSSS32
4
42
π
π
æöæö
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ç÷ç÷
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ç÷ç÷
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×
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×
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4.
5.
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==
CD6.
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MAE
f
2003
11
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11
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2
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11
2002
2
AB
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10
3
20
3
25
3
2
f(x)xx2
=--+
1cm
MNPQ,
2
Xcm,
X,
2
cm,