ProcessosEstocasticos_Aula

Prévia do material em texto

Processos Estocásticos
Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias 
que descreve a evolução de algum processo no tempo.
Definição 1.
Um processo estocástico {X(t), t ∈ T} é uma coleção de variáveis aleatórias onde t representa, na maioria 
das vezes, o tempo. X(t) são variáveis aleatórias que representam o estado do processo no tempo t.
 Se T é um conjunto enumerável, então {X(t), t ∈ T} é um processo estocástico discreto no tempo.
 Se T é um conjunto não enumerável, então {X(t), t ∈ T} é um processo estocástico contínuo no tempo.
Exemplos:
a) {Xn, n = 0, 1, 2, ....} é um processo estocástico discreto no tempo indicado por inteiros positivos.
b) {Xt, t ≥ 0 } é um processo estocástico contínuo no tempo indicado por números reais positivos.
O Espaço de Estados de um processo estocástico representa o conjunto de todos possíveis valores das 
variáveis aleatórias X(t). Cada um desses possíveis valores é denominado estado do processo 
Definição 2.
Um processo estocástico contínuo {X(t), t ∈ T} possui incrementos independentes se para todos os inteiros 
t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ .... ≤ tn, as variávies aleatórias X(t1 )-X(t0), X(t2 )-X(t1 ), X(t3 )-X(t2), X(tn )- X(tn-1) são independentes.
Definição 3.
Um processo estocástico contínuo {X(t), t ∈ T} possui incrementos estacionários se X(t1+s)-X(t1) tem a 
mesma distribuição de X(t2+s)-X(t2), para todo t ∈ T.
X(t)
t
0
 t
1
 t
2
 t
3
 t
n-1
 t
n
 t
X(t)
t
1
 t
1
+s t
2
 t
2
+s t
Processo de Poisson
”Incerteza é a marca indelével do universo.
Assim um evento terá, pela sua própria natureza, uma chance, maior ou menor,
conhecida ou desconhecida, e sua probabilidade será relativa aos nossos
conhecimentos naquilo que lhe diz respeito.” Poisson, 1837. (Sceaux, França)
Dennis Poisson
Um Processo de Poisson com parâmetro (ou taxa de chegada λ) é um processo estocástico contínuo no 
tempo {X(t), t ≥ 0 }, satisfazendo as seguintes condições:
a) t = 0, X(0) = 0.
b) Para todo t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ .... ≤ tn, os incrementos em intervalos não sobrepostos X(t1 )-X(t0), X(t2 )-X(t1 ), 
X(t3 )-X(t2), X(tn )- X(tn-1) são variáveis aleatórias independentes.
c) Para t ≥ 0, s > 0 e k > 0, os incrementos apresentam Distribuição de Poisson:
( ) ( )[ ] ( ) t
k
e
k
tksXstXP λλ −⋅==−+
!
t – intervalo de tempo.
k – número de eventos que ocorrem no intervalo de tempo t.
 (número de bits; pacotes; chamadas; requisições)
O Processo de Poisson X(t), é um processo de contagem onde a probabilidade de ocorrência de um 
determinado número de eventos k em qualquer intervalo de tempo t é definido pela equação de Poisson.
Exemplo 1:
O número de requisições que chegam a um servidor é em média 30 requisições/min. Qual a probabilidade 
de chegarem 4 requisições no intervalo [t1, t1+ 10s]?
streqksreqreq 104/5,0min/30 ==≡=λ
( ) ( )[ ] ( ) 1755,0
4
105,0410 105,0
4
11 =⋅
⋅− ⋅−e
!
==tX+tXPk = 4 req
t
1
 t
1
+10 t
t= 10sX(t)
Propriedades do Processo de Poisson
Propriedade 1.
Na condição c, os incrementos são estacionários, pois a equação de Poisson não depende de s.
Os incrementos dependem somente do comprimento do intervalo t.
O valor esperado de uma variável aleatória de Poisson é dado por:
( ) ( )[ ] tsXstXE λ=−+
Considerando que os incrementos são estacionários a equação acima é válida para qualquer valor de s.
Se s = 0:
( ) ( )[ ] tXtXE λ=− 0
Propriedade 2.
A probabilidade que exatamente um evento ocorre em um intervalo de tempo arbitrariamente pequeno de 
comprimento h, dada pela equação de Poisson:
( ) ( )[ ] hr ehsXshXPP λλ −⋅==−+= 1
Expandindo em série de Taylor:
( ) ( ) ( ) ( )
( )hOhP
n
hhhh
hP
r
n
r
+=







 −
++
−
+
−
+
−
+⋅=
λ
λλλλ
λ
!
....
!3!2!1
1
321
O(h) representa qualquer função de h tal que:
( ) 0lim
0
=
→ h
hO
h
A probabilidade que nenhum evento ocorra no intervalo h:
( ) ( )[ ] )(10 hOhesXshXPP hr +−===−+= − λλ
A probabilidade de ocorre mais de um evento no intervalo h:
( ) ( )[ ] )()(21 hOhOsXshXPPr ≅−=>−+=
Exemplo 2:
Uma conversação em uma rede ad-hoc sem fio é severamente perturbada por sinais interferentes de 
acordo com o Processo de Poisson de taxa λ = 0,1 interferência/min.
a) Qual a probabilidade que nenhum sinal interferente ocorra nos 2 primeiros minutos de 
conversação?
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 8187,0
!0
21,0
!
002 21,0
0
=⋅
⋅
=⋅⋅==− ⋅−⋅− ee
k
tXXP t
k
λλ
b) Dado que os 2 primeiros minutos não sofrem interferências qual é a probabilidade que no próximo 
minuto, precisamente um sinal interferente ocorrerá?
Eventos Independentes:
Para todo t, os incrementos em intervalos não 
sobrepostos são variáveis aleatórias independentes.
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) 0905,0
!1
11,0
123002/123 11,0
1
=⋅
⋅
==−≡=−=− ⋅−eXXPXXXXP
Exemplo 3:
Durante um certo intervalo de tempo [t1, t1+10s] chegam ao roteador em média 40 pacotes/s. Um 
provedor de serviço de Internet (ISP) quer determinar a probabilidade de chegarem 20 pacotes no intervalo 
[t1, t1+ 1s] e 30 pacotes no intervalo [t1, t1+3s]. Considere o processo de chegada Possoniano.
Eventos Independentes:
Para todo t, os incrementos em intervalos não 
sobrepostos são variáveis aleatórias independentes.
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]101t3t20t1t30t3t20t1t 11111111 =XX,=XXP==XX,=XXP +−+−+−+−+
Eventos independentes – a probabilidade conjunta será dada pelo produto das duas:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 26240
10
140
20
1111 1010
240
20
140101t3t20t1t −⋅−⋅− ⋅⋅⋅⋅⋅+−+⋅−+ =e
!
e
!
==XXP=XXP
Teoremas do Processo de Poisson
Teorema 1
Um processo de contagem N(t) que satisfaz às condições:
a) N(0) = 0.
b) N(t) tem incrementos estacionários e independentes.
c) P[N(h)=1]= λh + O(h)
d) P[N(h)>1]= O(h)
Então o processo N(t) é Poisson com taxa λ.
Prova. 
Temos que demonstrar que as condições c) e d) são equivalentes às condições c) do processo de Poisson.
( )[ ]ntNPtPn ==)( 
k=0 k=1X(t)
0 1 2 3 t
X(t)
t1 t1+1 t1+3 t
k=20 k=10
Demonstrando para n=0:
( )[ ] ( )[ ]0)(,0)(0)(0 ==−+==+=+ tNtNhtNPhtNPhtP
( ) ( )[ ] [ ]0)(0)(0 =⋅=−+=+ tNPtNhtNPhtP
( ) ( )[ ] [ ]0)(00 =⋅==+ tNPhNPhtP
Intervalos não sobrepostos 
Temos:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 101
10
==+=→== ∑∑
∞
=
∞
= kk
khNPhNPkhNP
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]∑
∞
>
=−=−==
1
110
k
khNPhNPhNP
( )[ ] ( ) hhOhOhhNP λλ −=++−== 1)()(10
( ) )()()(1)()( 00000 tPh
tPhtP
htPhtP ⋅−=
−+
⇒−⋅=+ λλ Observe a derivada Po´(t)
Seja: tectP ⋅−⋅= λ)(0 . Para determinar o valor de c:
( )[ ] 100)(0 =→=== ⋅− ceNPtP tλ .
Por analogia:
( ) ( )[ ] ( ) t
k
e
k
tksXstXP λλ −⋅==−+
!
Teorema 2
Seja {X(t), t ≥ 0} um processo de Poisson com taxa λ>0 e sejam t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ .... ≤ tn, os tempos de ocorrência 
de eventos sucessivos. 
Então os intervalos de tempo que separam dois eventos sucessivos (interarrival times) ℑn = tn – tn-1 são 
variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas exponencialmente com média 1/λ.
Pacotes espaçados de forma aleatória 
ℑn possui distribuição exponencial com média 1/λ
Prova: Para qualquer s ≥ 0 e qualquer n ≥ 1 o evento {ℑn > s} é equivalente ao evento { X(tn-1+s)– X(tn-1 )= 0}, 
ou seja, não ocorreram chegadas no intervalo s.
{ } [ ] Snnn etXstXPsP ⋅−−− ==−+=>ℑ λ0)()( 11
O que implica que qualquer intervalo de chegada tem uma distribuição exponencial:
{ } XnX exPxF ⋅−−=≤ℑ= λ1)(
XX
X edx
xF
xf ⋅−⋅== λλ
)(
)(
Teorema 3
Dado que exatamente um evento de um processo de Poisson {X(t), t ≥ 0} tem ocorrido no intervalo [0, t] o 
instante de ocorrência deste evento é uniformemente distribuído no intervalo [0, t].
Prova: Representando por s o instante de ocorrência do evento, 0 ≤ s ≤ t, devemos calcular a probabilidade 
[ ] { } { }[ ]{ }[ ]1)(1)(
1)(/ 11 =
=≤ℑ
==≤ℑ
tXP
tXsP
tXsP

Usando a equivalência de eventos:
{ } { }1)()( 001 =−+↔≤ℑ tXstXs
Devido à estacionaridade do Processo de Poisson:
{ } { }[ ] { } { }[ ] { } { }[ ]0)()(1)(1)(1)(1)(1 =−======≤ℑ sXtXsXtXsXtXs 
Aplicando a independência de incrementos sobre intervalos não sobrepostos, resulta:
[ ] [ ] [ ][ ]1)(
0)()(1)(
1)(/1 =
=−⋅=
==≤ℑ
tXP
sXtXPsXPtXsP
Por meio da equação de Poisson:
[ ]
t
s
et
eestXsP t
StS
=
⋅
⋅⋅⋅
==≤ℑ
−
−−−
λ
λλ
λ
λ )(
1 1)(/
Teorema 4
Se X(t) e Y(t) são dois processos de Poisson independentes com taxas λx e λy, então Z(t) = X(t) + Y(t) 
também é Poisson com taxa λz = λx + λy. 
Prova.
{ } { } { }sss YXZ >ℑ>ℑ↔>ℑ 
[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) SSSSYXYXZ ZYXYX eeeesPsPssPsP λλλλλ −+−−− ==⋅=>ℑ⋅>ℑ=>ℑ>ℑ=>ℑ ,
A soma de dois processos de Poisson independentes também é Poisson com taxa igual à soma das taxas 
individuais.
Exemplo 4:
Seja X(t) = X1(t) + X2(t) a soma de dois processos de Poisson independentes com taxas λ1 e λ2. Se o processo 
X(t) tiver uma chegada qual a probabilidade que esta chegada venha do processo X1(t)?
[ ] { } { }[ ][ ]
{ } { }[ ]
[ ]1
01
1
11
1/1 2111 =X(t)P
=(t)X=(t)XP
=X(t)P
=X(t)=(t)XP
==X(t)=(t)XP
∩
≡
∩
[ ] [ ]
[ ]
( )
( ) ( ) 21
1
21
21
21
121
1
01
λ+λ
λ
=tλ+etλ+λ
tetetλ
=X(t)P
=(t)XP=(t)XP
=
λ
λλ
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅
−
−−
Exemplo 5:
A chegada de pacotes de voz (VoIP) na entrada de um roteador é um processo de Poisson com taxa λ = 0,1 
pacotes/minuto. Devido a um upgrade para instalar um WFQ com regra de prioridade, o roteador é 
desligado durante 10 minutos. 
a) Qual a probabilidade de não receber pacotes VoIP enquanto desligado?
( ) ( )[ ] 1100,10010 −⋅−⋅−− e=e=e==XXP tλ
b) Qual a probabilidade de chegarem mais que 10 pacotes VoIP durante o período de upgrade?
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ∑∑∑ −−⋅− −⋅−⋅⋅−≤−−−
10
0
1
10
0
1
10
0
1111110010110010
=k=k
k
=k
tλ
k
k!
e=e
k!
=e
k!
tλ=XXP=>XXP
Série de Taylor: ∑
∞
=
=+++++=
0
432
!
...
!4!3!2
1
k
k
x
k
xxxxxe ∑∑
=
∞
=
≅=
10
00
1
!
1
!
1
kk kk
e
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0110010110010 11 =⋅−≅≤−−− − eeXXP=>XXP
c) Se durante o upgrade chegar 1 pacote qual é o minuto mais provável em que o pacote chegou?
 A distribuição é uniforme, qualquer intervalo possui a mesma probabilidade.
Exemplo 6:
Uma série de seqüências de teste com um número variável de N bits todos iguais a 1 são transmitidos em 
um canal de comunicação. Devido aos erros de transmissão, cada bit 1 pode ser corrompido 
independentemente dos outros e chegar corretamente com probabilidade p. O comprimento N das 
seqüências é uma variável aleatória de Poisson com comprimento médio de λ bits. Neste teste, a soma Y 
dos bits na seqüência é analisada para determinar a qualidade do canal. Calcule a fdp de Y.
Y – variável aleatória binomial de parâmetros (N, p)
[ ] [ ] [ ]∑
∞
=
=⋅====
0
/
n
nNPnNkYPkYP
[ ] ( )∑
∞
=
−− ⋅⋅⋅⋅



==
0 !n
n
knk e
n
qp
k
n
kYP λλ
p – probabilidade de não ocorrer erros
q = 1- p – probabilidade de ocorrer erros
k – quantidade de bits com erro
n – seqüência de bits
Binomial – quantas combinações poderão existir para 
representar bits errados.
[ ]
( ) ( ) ( )
∑∑∑
∞
=
−−
−
−∞
=
−
−−−∞
=
−−
−
⋅⋅⋅
⋅
⋅=⋅
−
⋅⋅⋅⋅=
−
⋅⋅⋅==
0
)(
00 )!(!)!(!)!(! n
knkn
k
k
n
k
knknk
n
nknk
kn
q
k
ep
kn
q
k
ep
kn
q
k
epkYP λ
λλ
λλλ λλλ
Mudança de variáveis:



∞=→∞=
=→=
−=
mn
mkn
knm
0
[ ] ( ) p
k
q
kk
m
mmkk
e
k
pe
k
ep
m
q
k
epkYP λλ
λλ λλλλ −−∞
=
−
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅== ∑ !!!! 0
Exemplo 7:
Num roteador são suportadas quatro classes de QoS. Cada classe possui pacotes chegando de acordo com 
um processo de Poisson com taxas λj (j = 1, 2, 3, 4). Suponha que o roteador falhe no instante t1 e 
permaneça durante um intervalo de tempo T.
Qual é a função densidade de probabilidade do número total de pacotes das quatro classes que chegam no 
intervalo T?
Seja a taxa total: ∑
=
=
4
1j
T jλλ
O número médio de pacotes das 4 classes no buffer do roteador durante o intervalo T:
[ ] ∑
=
⋅=⋅==
4
1j
T jTTnNE λλ
A função densidade de probabilidade do número total de chegadas:
[ ] λλ −⋅== e
n
nNP
n
!
Exemplo 8:
Pacientes chegam a um consultório de acordo com um Processo de Poisson de taxa = 0,1 pacientes/min. O 
doutor não irá atender um paciente até que pelo menos três pacientes estejam na sala de espera.
a) Encontre o tempo médio de espera até que o primeiro paciente seja admitido pelo doutor.
[ ] min301,03 =→⋅=→⋅ TTTλ=NE T
b) Qual é a probabilidade de que ninguém seja atendido na primeira hora?
Não haverá atendimento se houver menos de 3 pessoas na sala de espera na primeira hora: 
( )[ ] ( ) ( ) ( ) 0,6600,1
2
600,1
1
600,1
02
0
25
!2
600,1
!1
600,1
!0
600,1k60.][ −⋅−⋅−⋅−
=
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== ∑ eeee=XPNaoAtendP
k
Exemplo 9:
Pacotes de dados transmitidos por um modem sobre uma linha telefônica formam um processo de Poisson 
de taxa 15 pacotes/segundo. Usando Mk para denotar o número de pacotes transmitidos na k-ésima hora, 
encontre a fmp conjunta de M1e M2: ( )212,1 ,mmp mm . 
Teorema 8.2 (apostila): Para um processo de Poisson N(t) de taxa λ, a fmp conjunta é dada por:
)(,...0,
)!()!(!
),...,( 11
112
2
1
1
1)(),...,(
2121211
1 −
−
α−−α−−α−
−λ=α≤≤≤
−
⋅α⋅⋅⋅
−
⋅α⋅⋅α
−
iiik
kk
nn
k
nnn
ktNtN ttnnnn
e
nn
e
n
e=nnp
kk
k
t
mm
e
m
e
m
e=mmp
mmmm
MM λ=α=α=α
⋅α
=⋅α⋅⋅α
α−+α−α−
21
21
21
2
2
1
1
21, !!!!
),(
22211
21
Exemplo 10:
Um help desk para ADSL atende somente 3 tipos de pedidos por parte dos usuários. Os pedidos chegam ao 
help desk de acordo com um processo de Poisson com diferentes taxas: 
λ1 = 8 pedidos / hora - problemas de login
λ2 = 6 pedidos / hora - problemas de hardware
λ3 = 6 pedidos / hora - problemas de software
Os processos de chegada são independentes. O período de atendimento é das 8:00 às 18:00. Responda:
a) Qual é o numero esperado de pedidos em um dia?
rapedidos/ho20321 =++= λλλλ T
[ ] apedidos/di160=Tλ=NE T ⋅
b) Qual a probabilidade que em 20 minutos exatamente três pedidos cheguem relativos a problemas 
de hardware?
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( ) 866
3
8
32
3
21
3
1
33
1
23
1
13
1
33
1
23
1
1
101,73
1
3
1
3
3
16
3
1
3
03003,0,
−
⋅−⋅−⋅−
−−− ×⋅⋅




 ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅
=ee
!
e=tete
!
tλte
=XP=XP=XP==X=X=XP
λλλ
c) Qual a probabilidade que nenhum pedido chegue nos últimos 15 minutos de funcionamento?
( )[ ] 3
20
4
1 106,74
1
0 −
⋅−
− ×⋅⋅ =ete==XP TλT
d) Qual a probabilidade que exatamente um pedido chegue entre 10:00 e 10:12 e dois pedidos 
cheguem entre 10:06 e 10:30?
{ } { }[ ] ==)X()X(=)X(P 20,10,510,2 −∩
{ } { } { }[ ]∑ −∩−−∩=
1
0
10,20,510,10,20,1
=k
k+=)X()X(k=)X()X(k=)X(P
 
∑ −−
−
−− ×⋅
−
⋅⋅⋅
1
0
3
1
6
1
22 102,18
1
6
1
22
=k
k+kk
=
k)!+(
e
k)!(
e
k!
e=
0 6 12 30 60 t
0 0,1 0,2 0,5 1
k=2
k=1X(t)
0 6 12 30 60 t
0 0,1 0,2 0,5 1
1-KKX(t) 1+K
e) Se no instante t+s existem k+m pedidos, qual é a probabilidade que k pedidos foram recebidos até o 
instante t?
[ ] { } { }[ ][ ]
[ ] [ ]
[ ]m+k=s)+X(tP
m=X(t)s)+X(tPk=X(t)P=
m+k=s)+X(tP
m+k=s)+X(tk=X(t)P=m+k=s)+X(tk=X(t)P −⋅∩/
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) mk
mk
mk
st
mk
s
m
t
k
st
s
st
t
mk
mk
mk
st
m
s
k
t
e
mk
st
e
m
se
k
t
= 




+
⋅




+
⋅+=
+
+
⋅
=
⋅
+
+λ
⋅λ⋅⋅λ
+
+λ−
+
λ−λ−
!!
!
!
!!
!
!!
[ ]
mk
st
s
st
t
m
mk
mkstXktXP 




+
⋅




+
⋅


 +
=+=+= )(/)(
Exemplo 11:
Em uma linha de produção de resistores de 1000, a resistência real de cada resistor é uma variável aleatória 
R com distribuição uniforme entre 950 e 1050.Assuma que os valores das resistências dos diferentes 
resistores são independentes. A companhia tem uma encomenda de resistores de 1% de tolerância 
(resistências entre 990 e 1010). Um testador automático toma um resistor por segundo e mede sua 
resistência exata (este teste demora 1 segundo). O processo estocástico N(t) denota o número de resistores 
com tolerância de 1% encontrados em t segundos. A variável aleatória Tr segundos é o tempo decorrido até 
encontrarmos r resistores com tolerância de 1%.
(a) Calcule p, a probabilidade de um resistor ter tolerância de 1%.
[ ] 20,0
100
20%1 == =RP Tol
(b) Qual é a fmp de N(t)?
tnpp
n
t
np ntntN ,...,1,0,)1()()( =−⋅



= −
(c) Calcule E[T1], o tempo esperado para encontrar o primeiro resistor com tolerância de 1%.
 V.A. com Distribuição Binomial: [ ] pt=tNE ⋅)( [ ] seg
p
=TE 5
20,0
11
1 ==
0 t t+s t
X(t)
k
K+m
0 t t+s t
X(t)
k m
950 990 1010 1050
(d) Qual a probabilidade do primeiro resistor com tolerância 1% ser encontrado em exatamente 5 segundos.
08192,05)2,01(2,0
1
5
)1()1()( 151)()( ⋅=−⋅⋅



=⇒−⋅⋅



= −− tN
ntn
tN pppn
t
np
(e) E[T2|T1 = 10], a esperança condicional do tempo necessário para encontrar o segundo resistor com 
tolerância de 1%, dado que o primeiro foi encontrado em 10 segundos.
[ ] [ ] seg
p
TE=TE 15510112 =+=+
Exemplo 12:
A chegada de ataques de vírus em um PC pode ser modelada por um processo de Poisson com taxa λ=6 
ataques/h.
a) Qual a probabilidade que exatamente um ataque irá ocorrer entre 1 PM e 2 PM?
[ ] ( ) ( ) 66
1
6
!1
16
!
1)1()2( −−⋅− ⋅=⋅⋅=⋅⋅==− eee
k
tXXP t
k
λλ
b) Suponha que no momento em que o PC é ligado não houve ataque, mas ao desligá-lo 60 ataques 
ocorreram. Qual o valor médio do tempo em que o PC ficou ligado?
[ ] [ ] htXEtttXE 10
6
60)()( ===→⋅=
λ
λ
c) Dado que ocorreram 6 ataques entre 1 PM e 2 PM qual é a probabilidade de que o quinto ataque 
chegou entre 1:30 PM e 2 PM?
Vamos representar o instante de chegada do quinto ataque por T.
[ ] )(6)1(/)( tFXtTXP T==<
{ } { }[ ] { } { }[ ]
[ ]6)1(
0)1(6)(6)1(5)()(
=
==+===
XP
XtXPXtXPtFT

[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
65 56
6)1(
0)()1(6)(1)()1(5)()( tt
XP
tXXPtXPtXXPtXPtFT −==
=−⋅=+=−⋅==
0,89062564/572/11 =− =)(F)(F TT
d) Qual é o valor esperado do instante em que o quinto ataque ocorra?
Dado uma variável aleatória T o seu valor esperado:
[ ] dxxfxTTE T )(∫==
 Def. 
dt
tdFtf TT
)(
)( = ( )5430 tt=(t)fT −⋅
 [ ] ( ) min42,85714h0,71428630
1
0
65 ⇒=−⋅=⋅ ∫∫ tt(t)dtft=T=TE T
 0 5 ataque 1h