Matemática-financeira-e-as-tecnologias-da-informação-e-comunicação-APOSTILA

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NÚCLEO DE PÓS GRADUAÇÃO 
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO 
Coordenação Pedagógica – IBRA 
DISCIPLINA 
A matemática financeira e as 
tecnologias da informação e 
comunicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 03 
 
1 MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................................................ 04 
1.1 Integração das TIC nos processos educacionais – possibilidades ...................... 04 
1.2 A história da Matemática Financeira ................................................................... 06 
1.3 O advento dos Bancos e a Matemática Financeira ............................................. 11 
1.4 A moeda e seu valor ........................................................................................... 15 
1.4.1 Funções da moeda ........................................................................................... 16 
 
2 O ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ........................................................ 19 
 
3 O USO DAS TECNOLOGIAS A SERVIÇO DA APRENDIZAGEM 
MATEMÁTICA .......................................................................................................... 28 
3.1 As calculadoras ................................................................................................... 28 
3.1.1 A história e o desenvolvimento das calculadoras financeiras ........................... 29 
3.2 A matemática financeira no currículo escolar ...................................................... 38 
3.3 O uso da informática na Educação matemática .................................................. 39 
3.3.1 o uso do computador ........................................................................................ 40 
3.3.2 o uso da planilha na matemática financeira ..................................................... 41 
 
4 A FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA E A UTILIZAÇÃO 
DAS TICS .................................................................................................................. 47 
4.1 As políticas públicas e as TIC ............................................................................. 51 
4.2 A incorporação das TIC na prática pedagógica ................................................... 52 
4.3 As TIC como objetos curriculares da matemática ............................................... 55 
4.4 As TIC e as novas demandas educacionais ........................................................ 57 
 
REFERÊNCIAS UTILIZADAS E CONSULTADAS ................................................... 60 
 
AVALIAÇÃO ............................................................................................................. 64 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
Esta disciplina objetiva analisar a utilização das Tecnologias de Informação e 
Comunicação (TIC), como ferramentas possibilitadoras de melhoria na qualidade do 
ensino e da aprendizagem da Matemática Financeira. 
Para tanto, abordar-se-á a Matemática Financeira e a Integração das TIC nos 
processos educacionais, analisando as suas possibilidades e desafios. 
Nesse sentido, daremos inicio com a história da Matemática Financeira, o 
advento dos Bancos e da moeda, bem como, seu valor intrínseco e real, além das 
suas inúmeras funções. 
Dando continuidade à nossa proposta de utilização das TIC, faremos uma 
contextualização do ensino da matemática financeira e, em seguida, trataremos do 
uso das TIC a serviço dessa aprendizagem e de seu ensino, objetivando conhecer as 
diversas tecnologias utilizadas e desenvolvidas pela Matemática, como ferramentas 
de auxilio à solução de problemas. 
Em sendo, traçaremos um histórico das tecnologias utilizadas, desde o ábaco 
até os computadores de última geração, passando pelas calculadoras, sua história e 
desenvolvimento. 
Abordaremos, também, a Matemática Financeira no currículo escolar e o uso 
da Informática na Educação Matemática, através do computador. 
E, por fim, analisaremos a formação de professores de matemática e a sua 
preparação para a utilização das TIC; as políticas públicas de uso e incentivo ao uso 
das TIC na educação; a incorporação das TIC na prática pedagógica; as TIC como 
objetos curriculares da Matemática, bem como, as novas demandas surgidas desse 
novo paradigma educacional, que surge da necessidade de se acompanhar a rápida 
evolução tecnológica dos novos tempos. 
 
 
 
Assim, esperamos que você desenvolva seus conhecimentos e que faça, 
também, uma excelente leitura, obtendo o sucesso que almejas. 
Outras informações e aprofundamentos devem ser buscados através da leitura 
da bibliografia utilizada e relacionada ao final desta. 
 
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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
O mundo está em constante mudança e, junto com ele a Educação em suas 
faces e formas, posto que isso se torna necessário na medida em que é preciso 
atender às demandas que surgem dessas mudanças. 
A tecnologia está fortemente associada ao desenvolvimento da educação, 
mesmo não sendo o único fator determinante: dos trens americanos avançando para 
o oeste, levando a Educação sistemática por via postal, até o ciberespaço definido por 
Gibson (1984, p. 51) como sendo, originalmente, o espaço criado pelas comunicações 
mediadas por computador. Segundo o próprio Gibson o termo veio rebatizar e dar 
novas características ao que se chamava até então de ―esfera de dados‖. Esse novo 
espaço vem invadindo casas e cativando a atenção de adultos e crianças. 
O avanço técnico dos meios de comunicação sempre impulsionou o 
desenvolvimento de experiências de ensino a distância, principalmente no decorrer do 
século XX. Na expressão ―ensino a distância‖, a ênfase é dada ao papel do professor 
(como alguém que ensina a distância). Portanto, elege-se a expressão ―educação a 
distância‖ que é mais abrangente, embora nenhuma das expressões seja 
perfeitamente adequada. 
O maior impulso a esse crescimento, porém, foi dado com o advento e 
desenvolvimento das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) e sua 
apropriação pela Educação nesse início de século XXI. 
 
1.1 Integração das TIC nos processos educacionais: possibilidades 
 
Inúmeros autores tais como, Belloni (2006), Primo (2009) e Castells (2007), 
destacam as possibilidades da Educação apoiada pelas TIC. 
Belloni (2006) ressalta que as TIC oferecem possibilidades inéditas de interação 
mediatizada (professor-aluno; estudante-estudante) e de interatividade com materiais 
de boa qualidade e grande variedade. Por sua vez, Pipitone, Raffo e 
 
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Silva (2004) afirmam que a Internet abre a possibilidade para uma comunicação 
interativa, proporcionando possibilidades de comunicação a distância entre alunos e 
professores e dos alunos entre si. 
Marco Silva (2008) e Primo (2009) abordam a Educação e as contribuições do 
potencial de interatividade das TIC para concretizar a interação entre pessoas (aluno-
aluno e professor-aluno), como potenciais objetos de aprendizagem. Esse novo 
paradigma leva ao princípio da aprendizagem significativa permitida pelo advento da 
sociedade em rede (CASTELLS, 2007). 
Porem é preciso refletir sobre o uso das TIC na Educação. Negroponte (1995) 
defende a tese de que o mundo se divide em átomos e bits, aqueles carregados de 
materialidade, estes símbolos do novo elemento imaterial que tenderia a predominar 
no futuro: a informação eletrônica. 
Todas as mídias, tanto as novas como as velhas, fazem parte do universo de 
socialização das crianças, participando, de modo ativo e inédito na história da 
humanidade, da socialização das novas gerações, este processo tão complexo que 
transforma a criança em ser social capaz de viver de modo competente, isto é, 
sociável, em sociedade. 
Novos textos surgem na paisagem audiovisual que os jovens contemplame 
aprendem, sozinhos ou com outros jovens, a ler e a interpretar. Imagens coloridas 
fixas e em movimento, sons ambientes, música, linguagem oral e escrita, teatro, todas 
estas formas de expressão - linguagens - estão mixadas numa mesma mensagem, 
construindo significados, carregando representações, difundindo símbolos. 
Observando a mistura de linguagens novas e velhas, veiculadas em novos 
meios de comunicação, o eixo da discussão sobre educação a distância se desloca, 
passando a ser a mediatização técnica da mensagem educacional e não mais a 
distância física entre o sujeito que aprende e o sistema que ensina. A mediatização 
técnica, isto é, a concepção, a fabricação e o uso pedagógico de materiais multimídia, 
geram novos desafios para os agentes envolvidos nestes processos de criação tais 
como, professores, realizadores, técnicos etc., independentemente das formas de 
uso: o fato de que esses materiais possam vir a ser utilizados por estudantes em 
grupo, com professor em situação presencial (no laboratório da universidade, por 
 
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exemplo), ou a distância por um estudante solitário, em qualquer lugar e em qualquer 
tempo, só aumenta a complexidade desses desafios. Há que considerar, como 
fundamentos dessa mediatização, os contextos, as características e demandas 
diferenciadas dos estudantes que vão gerar leituras e aproveitamentos fortemente 
diversificados. 
Em virtude das inúmeras possibilidades de comunicação a distância que as 
tecnologias de telecomunicações oferecem, o próprio conceito de distância está se 
transformando, como as relações de tempo e espaço. Também o conceito de 
interatividade carrega em si grande ambiguidade, oscilando entre um sentido mais 
preciso de virtualidade técnica e um sentido mais amplo de interação entre sujeitos, 
mediatizada pelas máquinas. Cabe perguntar que espécie de interação pode existir 
entre o sistema complexo que produz o jogo na Internet e seus milhões de usuários 
jovens espalhados pelo mundo, ou mesmo entre estes últimos? 
Como eixo pedagógico central, essa integração pode ser uma estratégia de 
grande valia, desde que se considerem estas técnicas como meios e não como 
finalidades educacionais, e que elas sejam utilizadas em suas duas dimensões 
indissociáveis: ao mesmo tempo como ferramentas pedagógicas extremamente ricas 
e proveitosas para a melhoria e a expansão do ensino e como objeto de estudo 
complexo e multifacetado, exigindo abordagens criativas, críticas e interdisciplinares, 
e podendo ser um tema transversal de grande potencial aglutinador e mobilizador. 
Diante de todo o exposto anteriormente, integrar as TIC nos processos 
educacionais faz-se urgente, e, a razão mais importante e óbvia é porque elas já estão 
presentes e influentes em todas as esferas da vida social, cabendo à escola, 
especialmente à escola pública, atuar no sentido de compensar as terríveis 
desigualdades sociais e regionais que o acesso desigual a estas máquinas está 
gerando. E com a Matemática não é diferente. É o que veremos a seguir. 
 
1.2 A história da Matemática Financeira 
 
Os elementos históricos sobre o tema permitem uma melhor compreensão dos 
conceitos atuais da matemática financeira. Assim, apresentam-se algumas 
 
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referências, desde a sua origem, por meio das primeiras trocas comerciais, passando 
pelo uso de equivalências nas trocas, a criação da moeda, até as formas 
contemporâneas de utilização de conteúdos de matemática financeira para a 
resolução de problemas. 
A matemática financeira, historicamente, esteve muito ligada ao conceito e ao 
significado de comércio, tanto que a maioria dos autores de livros desta área do 
conhecimento denominou suas obras de Matemática comercial e financeira. Humberto 
Grande, no prefácio da obra de Carvalho e Cylleno (1971, p. 3), chega a escrever que 
―a história do comércio é a própria história da civilização‖ e, ainda, que ―o comércio 
é o sangue da economia‖. 
De acordo com Ifrah (1997), as primeiras manifestações de comércio surgiram, 
então, com a fixação do homem à terra, quando estes passaram a permutar o produto 
que sobrava, através do escambo, que consistia na troca direta de mercadorias como 
o gado, sal, grãos, pele de animais, cerâmicas, cacau, café, conchas, entre outras. De 
acordo com o mesmo autor: 
escambo, é a fórmula segundo a qual se trocam diretamente (e, portanto sem 
a intervenção de uma ―moeda‖ no sentido moderno da palavra) gêneros e 
mercadorias correspondentes a matérias primas ou a objetos de grande 
necessidade (IFRAH, 1997, p. 145, grifo do autor). 
 
Esse sistema de troca direta, que durou vários séculos, originou o surgimento 
de vocábulos como ―salário‖: pagamento feito através de certa quantidade de sal. 
Houve então a necessidade de criação de um sistema onde fosse possível determinar 
o valor dos objetos a serem trocados. Inicialmente foi feito o uso de mercadorias de 
alta procura como referência de valor: boi, sal etc., posto que, neste período, o ouro e 
a prata ainda não possuíam valor intrínseco. 
Como podemos perceber, não havia ainda o dinheiro. Este, somente irá surgir, 
quando surge a necessidade de representar valores, posto que, as trocas tornaram-
se muitas e de diferentes formas. Assim, tivemos a cunhagem das primeiras moedas, 
geralmente em metal, parecidas com as que conhecemos. 
A moeda de troca, no sentido moderno do termo, começou, então, a ser 
utilizada quando o metal passou a ser fundido em pequenos lingotes ou peças, que 
 
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eram facilmente manejáveis, de peso igual e selados com a marca oficial de uma 
autoridade pública, a única que podia certificar o bom preço e o bom quilate. 
A invenção desse sistema ideal de troca comercial, segundo a opinião da 
maioria dos especialistas, foi atribuída à Grécia da Ásia (ou Ásia Menor) e à Lídia 
(atual Turquia), no século VII a.C. Em razão das múltiplas vantagens que comportava, 
seu uso teria se espalhado rapidamente por Grécia, Fenícia, Roma e entre inúmeros 
outros povos, inclusive na China. (IFRAH, 1997, p. 152). 
Antes porem, devemos voltar à questão da definição do que vem a ser o 
conceito de Matemática Financeira, já abordado por nós, na disciplina Matemática 
Financeira e cidadania, que também faz parte desse curso. Nela, destacamos o 
conceito de Gitman (2001), que diz ser, a Matemática Financeira, a ciência que estuda 
a evolução do dinheiro no tempo. 
Essa evolução a que Gitman se refere nada mais é que o juro. Em sendo, é 
bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao 
longo da História. Essa palavra surgiu naturalmente quando o homem percebeu existir 
uma relação entre o dinheiro e o tempo. 
Com isso processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda 
levariam a ideia de juros, devido ao valor do dinheiro no tempo. 
Para calculá-los, utilizava-se de tábuas matemáticas, com alto grau de 
habilidade computacional. Já existiam distribuições de produtos agrícolas e de 
cálculos aritméticos baseados nessas transações. As citadas tábuas mostram que os 
sumérios antigos estavam familiarizados com os tipos de contratos legais e usuais, 
como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos, 
hipotecas, escrituras de venda e endossos. Muitos desses conceitos são praticados 
no mercado financeiro até hoje. 
No auge da atividade comercial surgiu uma outra atividade: o comércio do 
dinheiro. Isto ocorreu porque cada país tinha sua moeda própria, e devido ao fato dos 
comerciantes e das pessoas viajarem frequentemente ao exterior, era necessário ter 
a moeda específica de cada país. Com o tempo, alguns comerciantes já conheciam 
 
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bem as moedas, começando assim a acumulá-las em grande quantidade, e a partir 
daí dedicando-se exclusivamente ao escambo de dinheiro, isto é, o comércio de 
dinheiro, sendo chamados de cambistas.As palavras, ―banqueiro‖ e ―banco‖ 
surgiram porque os cambistas exerciam essa profissão sentados em um banco de 
madeira. 
Assim, num espaço de tempo relativamente curto, acumularam-se fantásticas 
somas em dinheiro nas mãos dos cambistas. Paulatinamente, foram se ocupando de 
uma nova atividade: guardar e emprestar dinheiro. 
Imaginemos, então, um cambista qualquer que tenha acumulado, desta forma, 
em seus cofres, imensa quantidade de dinheiro. Era natural que a seguinte ideia lhe 
ocorresse: porque estas grandes somas de dinheiro haverão de permanecer em nosso 
poder sem qualquer lucro para mim? [...] emprestarei parte deste dinheiro a quem 
pedir, sob a condição de que seja devolvido num prazo determinado. E como meu 
devedor empregará o dinheiro como quiser durante este período – talvez em 
transações comerciais -, é natural que eu obtenha alguma vantagem. Por isso, além 
do dinheiro emprestado, deverá entregar-me, no vencimento do prazo estipulado, uma 
soma adicional (ROBERT, 1989, p. 55-56). 
Em sendo, o crédito é a confiança que leva alguém a entregar a outra pessoa 
certa importância, em dinheiro ou em mercadorias, com valor monetariamente fixado, 
importância que deve ser paga após o decurso de determinado tempo. Quando a 
importância é emprestada em dinheiro, acrescentam-se tantos por cento sobre a soma 
a devolver, pelo seu uso. 
O crédito deve ser sempre associado ao tempo, ao final do qual aquele que 
contraiu o empréstimo deve devolver ao credor a quantia emprestada. Deve, no 
entanto, também haver um pagamento pelo preço do empréstimo, o juro. 
Assim, o crédito é uma relação econômica associada ao tempo e ao juro. O juro 
é, portanto, a recompensa do empréstimo do capital por certo tempo. 
Desta forma podemos dizer que juro é a remuneração do capital emprestado, 
podendo ser entendido, de forma simplificada, como o aluguel pago pelo uso do 
dinheiro durante certo período de tempo. 
 
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Antes da expansão comercial e do desenvolvimento do capitalismo, a cobrança 
de juros constituía um problema ético. Chamado de usura, era terminantemente 
proibido pela Igreja na Idade Média. Mas com o desenvolvimento do comércio, as 
novas exigências de capitais mais vultosos acabaram estimulando a sua cobrança. A 
Igreja teve então de fazer concessões e passou a proibir somente a cobrança de juros 
em empréstimos destinados ao consumo pessoal. 
No século XVI, a reforma calvinista aceitou e justificou ―teologicamente‖ a 
cobrança dos juros. Na Inglaterra em 1545 o Rei Henrique VIII reconheceu a sua 
legalidade. A Igreja Católica só o fez 300 anos depois, e, no Islamismo o assunto ainda 
é polêmico. Mas foi somente no século XVIII que os estudiosos começaram a buscar 
uma justificativa econômica para a cobrança de juros sobre os empréstimos 
monetários. 
O investimento pode ser definido como a aplicação de recursos visando, direta 
ou indiretamente, a produção de bens e serviços, tornando possível aumentar o 
consumo ou a renda no futuro. O total da renda de um indivíduo pode se destinar ao 
consumo ou à poupança. O investimento somente pode ser feito se houver poupança. 
À medida que aumenta a renda individual e, portanto, são satisfeitas as necessidades 
básicas do consumidor, aumenta a sua capacidade de poupança e sua inclinação ao 
investimento. Surge então uma importante observação: nem sempre aquele que tem 
um bom projeto de investimento dispõe da poupança para viabilizá-lo. Neste caso, 
poderia ―alugar‖ a poupança de outro que possui os recursos, mas não deseja 
empreender. Aí está, de forma bastante simplificada, a origem dos juros e do sistema 
financeiro. 
Assim, os agentes de intermediação financeira (bancos, financeiras, etc.) 
tornam possível a compatibilização das necessidades de uns com as disponibilidades 
de outros, mediante remuneração pelo serviço, funcionando semelhantemente a um 
mercado de mercadorias: o mercado financeiro. 
Considerando que o crédito está relacionado com o tempo e com o juro e que 
é fundamental estabelecer regras que quantifiquem os valores envolvidos nos 
contratos, surgiu a disciplina Matemática Financeira. No mercado financeiro existe 
pagamento de juros pelo empréstimo de capital. Os juros somados ao capital 
 
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representam acréscimo de valor ao longo do tempo. Pode-se, então, dizer que a 
Matemática Financeira tem por objetivo estudar a evolução do dinheiro ao longo do 
tempo. 
 
 
 
1.3 O advento dos Bancos e a Matemática Financeira 
 
Existe uma ligação profunda entre o desenvolvimento dos bancos e a utilização 
dos cálculos da matemática comercial, posto que, de acordo com Gonçalves (2007, p. 
6), o surgimento dos bancos está diretamente ligado ao cálculo de juros compostos e 
o uso da Matemática Financeira, de modo geral. 
Na época em que o comércio começava a chegar ao auge, uma das atividades 
do mercador foi também a do comércio de dinheiro: com o ouro e a prata. Nos diversos 
países eram cunhadas moedas de ouro e prata. (GONÇALVES, 2007, p. 4). Assim os 
bancos foram um dos grandes propulsores práticos para o avanço da Matemática 
Comercial e Financeira e da Economia durante os séculos X até XV. Pois sem essa 
motivação para o aprimoramento dos cálculos, talvez, essa área de Matemática não 
estivesse tão avançada nos dias atuais. 
Infere-se que, para alcançar uma precisão nos cálculos, houve toda uma 
evolução histórica nas formas utilizadas para resolver os problemas, a partir das 
primeiras trocas comerciais. Segundo Medeiros (2003), ―foram os dedos das mãos 
e dos pés os primeiros instrumentos que o homem primitivo utilizou para atender a 
diferentes necessidades como a de controlar a quantidade de animais dos rebanhos 
utilizados em seu sustento.‖ (p. 19). Mais tarde, com o aumento das transações 
comerciais, o homem criou instrumentos que, ao longo do tempo, foram se 
sofisticando. Para a contagem dos objetos, podem-se citar o ábaco (invenção 
atribuída aos chineses no século 20 a.C.), as tabelas, réguas de cálculos e tábuas 
matemáticas. 
Durante a expansão do comércio e as guerras de conquista, as diferentes 
moedas dos países eram trocadas, pois o pagamento sé podia ser feito com o dinheiro 
 
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do país específico. Consequentemente, dentro das fronteiras de cada país, as moedas 
eram cambiadas por dinheiro do respectivo país. 
Por outro lado, os comerciantes e outras pessoas possuidoras de muito dinheiro 
e que viajavam por outros países, precisavam de dinheiro de diversos países ao qual 
compravam como moeda nacional. Com o passar do tempo, alguns comerciantes 
ficaram conhecendo muito bem as moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las 
em grandes quantidades. Desta forma, dedicaram-se exclusivamente ao câmbio de 
dinheiro e a comercializá-lo. 
Em pouco tempo os cambistas acumularam grandes somas de dinheiro e com 
isso, passaram a guardar e a emprestar. Isso acontecia, pois na época não era 
recomendado que as pessoas ficassem com o dinheiro em casa, devido à falta de 
segurança. 
Então essas pessoas entregavam seu dinheiro à custódia do cambista rico, que 
o guardava e devolvia ao dono quando ele pedisse. Como os cambistas perceberam 
que tinham acumulado em seus cofres grandes quantias de dinheiro, era natural que 
a ideia de lucrar por esse serviço viesse à tona. 
Percebe-se que a palavra lucro estava diretamente relacionada ao conceito de 
finanças. Era pouco provável que todos os donos do dinheiro, ao mesmo tempo, e 
num mesmo dia, exigissem a devolução do dinheiro imediata. 
Então passaram a emprestar estas quantias a quem pedisse, sob a condição 
de que fosse devolvido num prazo determinado, evidentemente, cobrando uma 
vantagem adicional, o juro. 
Por isso quando as pessoas que precisaram do dinheiro o devolviam, esse era 
devolvido com um incremento, no qual. 
Assim tiveram início as operações creditícias, aqueles que por ventura seencontravam sem dinheiro, comerciantes, senhores feudais e raras vezes o próprio rei 
ou o erário nacional, recorriam aos cambistas que lhes emprestava grandes quantias 
de dinheiro a juros razoáveis. 
 
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O juro era pago pelo usufruto do dinheiro recebido ou, na verdade, era a 
―compensação do temor‖ de quem emprestava o dinheiro. 
Em alguns casos os juros alcançaram quantias incríveis. Na Roma antiga os 
usurários exigiam de 50 a 100 por cento e na Idade Média, de 100 a 200 por cento, 
podendo chegar a percentuais maiores, na relação direta com a necessidade do 
solicitante e do montante da soma. 
Devido a esse acontecimento o juro passou a ser chamado de usurário, o 
dinheiro recebido emprestado, de capital do usurário e o credor, de usureiro. O 
cambista exercia sua profissão sentado em um banco no mercado local. Daí a origem 
da palavra ―banqueiro‖ e ―banco‖. 
Os primeiros bancos da História foram criados pelos sacerdotes. No mundo 
antigo, entre os egípcios, babilônios e mais tarde entre os gregos e romanos, estava 
amplamente difundido o costume dos cidadãos, mais abastados, confiarem a custódia 
de seu dinheiro aos sacerdotes do seu ouro. 
A Igreja cristã não só deu continuidade à tradição das operações creditícias dos 
antigos sacerdotes, que consideravam pagãos, mas desenvolveu-se em grande 
escala. 
As iniciadoras desta atividade foram às cidades-estados da Itália, que tinham 
um vasto comércio, cujo raio de ação se estendia aos limites do mundo conhecido. 
O primeiro banco privado foi fundado pelo duque Vitali no século XII, em 1157, 
em Veneza. Após esse, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. 
A Igreja não teve alternativa senão aceitar a realidade. Assim os bancos foram um dos 
grandes propulsores da Matemática e Financeira e da Economia durante os séculos 
X até XV. Sem essa motivação para o aprimoramento dos cálculos, talvez, essa área 
da Matemática não estivesse tão avançada nos dias atuais. 
Atualmente dentro de um Banco temos dois grupos de clientes: o das pessoas 
que tem dinheiro e quer guardá-lo e o das que precisam de dinheiro e tomam-no 
emprestado. 
 
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Se esses grupos não se conhecem, não é possível a realização de negócios 
entre eles. Mesmo que se conhecessem, poderia não haver confiança entre as 
pessoas, a ponto de umas pedirem dinheiro emprestado às outras. 
Então os bancos oferecem para o grupo de pessoas que têm dinheiro uma 
forma segura de guardá-lo, como uma conta de poupança, um recibo de depósito 
bancário (RDB) ou um certificado de depósito bancário (CDB) e lhes pagam juros ou 
rendimentos. 
Para o grupo das pessoas que precisam de dinheiro, os bancos fazem 
empréstimos e recebem juros pelo serviço. Como podemos ver, o que mudou foi só o 
tempo, os procedimentos são quase os mesmos da época dos cambistas. Dessa 
maneira, os bancos movimentam dinheiro. Usam as economias de uns para emprestar 
para outros. 
As pessoas que guardam seu dinheiro no banco deixam-no depositado por 
algum tempo. Sabendo disso, os bancos só conservam em seus cofres uma pequena 
parte de tudo que recebem, para atender aos clientes que solicitarem alguma quantia. 
A outra parte, bem maior, é emprestada a outras pessoas. Com a diferença entre os 
juros que recebem das pessoas que tomam o empréstimo e os juros que pagam às 
pessoas que guardam o dinheiro (em uma poupança, RDB, CDB, por exemplo), os 
bancos pagam a seus empregados e obtêm seus lucros. 
Essa diferença é conhecida no mercado financeiro como Spread, conceito já 
abordado por nós, através da Disciplina Matemática Financeira e Cidadania, que 
compõe este curso. 
Esse indicador não pode ser negativo. Se isso acontecer é porque o banco está 
pagando um juro maior para quem guardou o dinheiro e está recebendo um juro menor 
de quem lhe deve ou está emprestando para pessoas que fazem maus negócios. 
Para evitar que isso aconteça, existem leis que protegem os que depositam seu 
dinheiro nos bancos e autoridades que fiscalizam o cumprimento dessas leis. 
 
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Como se pode observar o que realmente mudou foram os mecanismos de 
controle existentes numa negociação financeira para diminuir o risco. E um dos 
mecanismos exigidos é o conhecimento a Matemática Financeira. 
O uso da aritmética na resolução de problemas matemáticos já existia bem 
antes dos escritos sobre ela, porém, quando se necessitou efetuar contagens mais 
extensas, o processo de contar teve de ser escrito e sistematizado. 
Com o crescimento significativo da atividade comercial no Renascimento e o 
interesse pela educação, foram elaborados os primeiros escritos populares sobre a 
aritmética, tendo sido impressas várias obras na Europa, ainda antes do século XVII, 
e, de acordo com Eves (2004, p. 299), ―essas obras eram de dois tipos, basicamente 
aquelas escritas em latim por intelectuais de formação clássica, muitas vezes ligados 
a escolas da Igreja, e outras escritas no vernáculo por professores práticos 
interessados em preparar jovens para carreiras comerciais.‖ A obra denominada 
Aritmética de Treviso é considerada a mais antiga aritmética impressa, anônima e 
extremamente rara nos dias de hoje. 
Publicada na cidade de Treviso, em 1478, trata-se de uma aritmética 
amplamente comercial, dedicada a explicar a escrita dos números, a efetuar cálculos 
com eles e que contém aplicações envolvendo sociedades e escambo. Como os 
algoritmos iniciais do século XIV, ela também inclui questões recreativas. Foi o 
primeiro livro de matemática a ser impresso no mundo ocidental (GONÇALVES, 2007, 
p. 6). 
 
1.4 A moeda e seu valor 
 
A moeda foi criada para facilitar as trocas, viabilizando, com isto, a 
especialização do trabalho. 
Seria impossível imaginar a atual organização socioeconômica sem a moeda, 
o crédito e as instituições que a emitem e intermedeiam. Hoje a importância da moeda 
decorre não só de suas tradicionais funções de meio de troca, de unidade de conta 
(ou de valor), reserva de valor e padrão de pagamentos diferidos, mas também do seu 
 
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preço (juros) e da sua estabilidade interna (inflação/deflação) e externa (câmbio). 
Influencia e serve de referência para avaliar as condições e perspectivas econômicas 
do país que a emite. 
O aumento da importância da moeda está ligado ao desenvolvimento do 
processo da divisão do trabalho e consequente perda da autossuficiência econômica 
dos indivíduos. Salvo em comunidades extremamente afastadas da civilização, um 
homem dos nossos tempos produz parcela minúscula daquilo que consome. Portanto, 
a perda de autossuficiência é uma contingência do progresso e da produção em 
massa, alcançáveis apenas com intensa divisão do trabalho. Ou seja, quanto mais um 
país se desenvolve mais se especializam seus indivíduos, e maior passa a ser a 
interdependência entre eles. Obviamente o corolário imediato da divisão do trabalho 
é o estabelecimento das trocas. 
A introdução da moeda no sistema econômico conduziu à dissociação de cada 
troca em duas operações: uma de compra e outra de venda. A moeda, por sua vez, 
passou a desempenhar as seguintes funções fundamentais: 
➢ intermediário de trocas; 
➢ unidade de conta ou valor; 
➢ reserva de valor; e, 
➢ padrão de pagamentos diferidos. 
 
1.4.1 Funções da moeda 
 
O papel da moeda como intermediário das trocas é inerente à sua própria 
definição. 
O segundo papel, o de unidade de valor ou de conta, resume-se na praxe de 
exprimir o valor de troca das mercadorias em termos de uma unidade comum – o 
padrão monetário. A existência desse padrão deu origem aos sistemas atuais de 
preços, tornou possível a contabilização da atividade econômica e permitiu a 
construção de sistemas agregativos de contabilidade social. 
Essas duas funções são consideradas como atuando no espaço. 
 
18 
 
 
 
Dentre as funções no tempo, a principal é a de reservade valor, que decorre 
do desdobramento das trocas em compras e vendas. No momento em que um 
indivíduo vende serviços ou mercadorias recebendo moeda em troca, pode guardála 
para gastar no futuro. O que leva à preferência pela utilização da moeda como reserva 
de valor é a sua pronta e imediata aceitação, pois tem como característica a liquidez 
por excelência, podendo ser convertida em outros ativos, financeiros ou reais. 
A outra função no tempo, que corresponde ao papel da moeda como padrão de 
pagamentos diferidos, decorre das facilidades relacionadas ao crédito e da 
distribuição temporal de formas de adiantamentos. Dessa forma, são viabilizados os 
processos de investimento, de produção e de consumo, pois a moeda permite interpor 
parcelas de pagamentos ao longo das etapas de geração dos bens econômicos. 
A moeda tem também como característica a função liberatória, pois detém o 
poder de saldar dívidas, de liquidar débitos e de livrar o detentor de uma situação 
passiva. O poder liberatório é garantido pelo Estado, que pode forçar o curso da 
moeda, impondo sua aceitação como forma de pagamento. Além disso, a moeda é 
um instrumento que traduz o poder econômico, político e social. 
À medida que se admite a moeda como um título de crédito, os que a detêm 
possuem direitos de haver sobre os bens e serviços disponíveis no mercado, tanto 
maiores e mais amplos quanto maior for o montante disponível de moeda. 
Em períodos caracterizados por altas taxas de inflação, muitas vezes causadas 
por emissões desenfreadas, as funções da moeda passam a ser negadas econômica 
e socialmente. As primeiras a sofrerem esse processo são as funções no tempo, pois 
com a perda de valor a moeda deixa de ser usada como reserva de valor e, em 
seguida, como padrão de pagamentos diferidos. 
A persistência de taxas de inflação elevadas interfere também nas funções da 
moeda no espaço, que é substituída por outros ativos que passam a desempenhar o 
papel de unidade de conta. Num regime hiper-inflacionário, a moeda pode perder até 
mesmo sua função de intermediária de troca. 
 
19 
 
 
 
A perda do poder de compra da moeda eleva os custos de sua retenção e de 
contabilidade das transações. O uso de ativos alternativos como meio de conta 
provoca dissociação entre o meio de conta e o meio de troca. No Brasil, por exemplo, 
entre 1981 e 1986, muitos contratos eram celebrados em ORTNs (Obrigações 
Reajustáveis do Tesouro Nacional), enquanto o acerto final se dava em cruzeiros. 
Essa separação trouxe ineficiência para o sistema econômico, pois os cálculos para 
converter os preços dos bens em ORTNs (ou em dólar) e reconvertêlos para a moeda 
por ocasião de sua venda envolviam um custo fixo por transação, independentemente 
do valor total da operação. Do ponto de vista do vendedor, entretanto, a dissociação 
era vantajosa, pois ele se livrava da necessidade de repetida remarcação dos preços 
denominados em valores monetários. 
A separação entre meio de conta e meio de troca se acentua nas fases de 
inflação elevada, que se caracterizam por remarcações frequentes, atingindo 
preponderantemente os bens e serviços transacionados em maiores intervalos de 
tempo. A denominação de preços em ORTNs foi adotada principalmente em 
transações de longo prazo, como nos financiamentos para aquisição de moradias. 
A inflação elevada também reduz sensivelmente a eficiência da moeda como 
reserva de valor, principalmente na ausência de mecanismos de correção. É 
importante destacar, contudo, que nos anos que antecederam a implementação do 
Plano Real (1994), o uso intenso de indexadores, que corrigiam os valores de 
praticamente todas as transações, foi o que impediu a ― dolarização da economia 
brasileira. 
Assim, podemos concluir que a matemática financeira esteve presente nos 
vários períodos da História, apenas realizada com diferentes recursos. 
Muitos termos utilizados no mercado financeiro derivaram da maneira como o 
dinheiro no passado era negociado. O próprio nome, Banco, está atrelado ao lugar 
onde aconteciam os negócios. Verifica-se também que a figura da Igreja contribui para 
o aparecimento dos Bancos. Os procedimentos usados no passado para cálculo dos 
juros e obtenção do lucro praticamente não mudaram. Somente as garantias 
aumentaram para diminuir os riscos tantos para os clientes como para os Bancos. 
 
20 
 
 
 
Em sendo, refletir sobre a importância da matemática financeira e sua história 
significa perceber que a construção dos conhecimentos é um processo contínuo. Por 
outro lado, visualizar a matemática contextualizada, através dos tempos, permite que 
o estudante se aproprie das significações atuais de uma forma completamente nova 
e inovadora; que veja as atividades comerciais e financeiras atuais permeadas de 
conhecimentos que ainda podem evoluir. 
O valor da história está também na compreensão da evolução das práticas 
sociais e dos conhecimentos atrelados a elas, não como conhecimentos fechados ou 
perenes. 
Contudo, podemos afirmar que, o conhecimento e uso correto da Matemática 
Financeira, torna a vida mais fácil e mais ágil, principalmente se utilizarmos das 
benesses das novas tecnologias, na resolução dos cálculos matemáticos e 
financeiros. 
Mas, antes, vejamos o ensino da Matemática Financeira. 
 
 
 
 
2 O ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Atualmente, a Matemática Financeira está presente em todos os níveis da 
educação básica e não se pode relegar ao segundo plano sua importância para a 
compreensão das relações econômicas e financeiras atuais. Desse modo, a 
apropriação dos significados dos conceitos da área da Matemática Financeira é 
fundamental. 
Segundo Araújo (1992, p. 13), ―a Matemática Financeira é um ramo da 
Matemática aplicada. Mais precisamente é aquele ramo da Matemática que estuda o 
comportamento do dinheiro no tempo‖ e Hazzan e Pompeo (2004, p. 1) afirmam que 
―a Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo [...].‖. Por outro 
 
21 
 
 
 
lado, Laureano e Leite (1987) formulam um conceito mais amplo, referindo-se ao 
desenvolvimento e ao domínio deste ramo da Matemática: 
como pudemos constatar, a Matemática Financeira desenvolveu-se 
juntamente com o sistema econômico, conhecido por Economia de Mercado. 
Dominá-la, por conseguinte, tornou-se como que impositivo, quer pelas 
implicações do trabalho assalariado, quer pelas operações de compra e 
venda, quer pelos investimentos de capital. (p. 03). 
 
Até pouco tempo atrás, a maior parte das obras deste ramo da Matemática 
trazia bem clara a denominação de Matemática Comercial e Financeira. Carvalho e 
Cylleno (1971) distinguiram a Matemática Comercial (juros e descontos simples, ligas, 
moeda, câmbio e títulos de renda) da Matemática Financeira (juros e descontos 
compostos, rendas certas, empréstimos, depreciação e as tábuas financeiras). 
Acredita-se que a classificação de comercial ou financeira esteja mesmo ligada à 
forma de resolução dos problemas. Os cálculos relacionados à utilização de fórmulas 
matemáticas, porcentagens, juros e descontos simples, por exemplo, estão mais 
próximos do conceito de comércio; os cálculos de juros compostos, séries de 
pagamentos, amortizações de empréstimos bancários são entendidos como 
financeiros, pois, em geral, utilizam-se calculadoras financeiras para a solução dos 
problemas apresentados. 
Atualmente, já se encontram obras com os títulos Matemática financeira 
(Araújo, 1992; Campos Filho, 2001) e Matemática financeira aplicada (Puccini, 2001; 
Branco, 2002). 
Santos (2005, p. 157), ao tentar responder à questão sobre o que a Matemática 
Financeira estuda, salienta, que: 
de uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira é o 
ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no 
tempo. A Matemática Financeira busca quantificar as transações que ocorrem 
no universo financeirolevando em conta a variável tempo, ou seja, o valor 
monetário no tempo (time value money). As principais variáveis envolvidas no 
processo de quantificação financeira são a taxa de juros, o capital e o tempo. 
 
Para entender melhor a definição da autora, poder-se-ia afirmar que um 
determinado valor — capital em dinheiro — hoje poderá não ser o mesmo em outro 
tempo, porque, além das variáveis capital e tempo, existe a taxa de juros, justificada 
 
22 
 
 
 
pelo uso ou empréstimo do dinheiro, ou pela inflação (aumento geral dos preços de 
produtos e serviços). 
A Matemática Financeira, como parte ou ramo da Matemática, segundo a 
maioria dos autores consultados para a elaboração dessa disciplina, é composta de 
vários conteúdos interligados e interdependentes, formando um sistema de conceitos 
que, de acordo com Vigotski (2005, p. 116), 
nos conceitos científicos que a criança adquire na escola, a relação com um 
objeto é mediada, desde o início, por algum outro conceito. Assim, a própria 
noção de conceito científico implica uma certa posição em relação a outros 
conceitos, isto é, um lugar dentro de um sistema de conceitos. 
 
Portanto, no inicio, este estudo era feito utilizando-se cálculos lineares, 
baseados em razão, proporção, regra de três simples e composta. Passado algum 
tempo passou a ser efetuado com cálculos exponenciais, determinando a utilização 
da potenciação, radiciação e o logaritmo. 
Razão, proporção, porcentagem, regra de três, juro simples e composto são 
considerados conteúdos básicos da matemática financeira, constituindo um sistema 
de conhecimentos pela relação existente entre eles. 
Bigode (2000, p. 218) apresenta um conceito de razão relacionado a uma taxa 
percentual: ―é a razão entre um número e 100.‖ Acrescenta que ―uma razão cujo 
segundo termo é igual a 100 é chamada de taxa percentual.‖ (p. 226). 
Ao tratar de razão e proporção, verifica-se que há uma relação com a regra de 
três. Segundo Souza e Spinelli (1999, p. 274), uma proporção é uma igualdade 
formada por duas razões. Como em cada razão há dois números, em uma proporção 
há quatro. Nos problemas com grandezas diretamente proporcionais, normalmente 
são conhecidos três números da proporção, sendo necessário calcular o quarto. Esse 
método de resolução de problemas com grandezas proporcionais é chamado de regra 
de três. 
A porcentagem, também conhecida por ―percentagem‖, ou, ainda, por ―taxa 
de porcentagem‖, é utilizada quase diariamente nos meios de comunicação, 
especialmente na divulgação de pesquisas de opinião e em indicadores econômicos. 
 
23 
 
 
 
De acordo com Balielo e Sodré (2005, p. 17), ―o termo por cento é proveniente do 
Latim per centum e quer dizer por cem‖. 
Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada ―taxa de 
porcentagem‖. A expressão ―por cento‖, segundo estes autores, aparece nas 
primeiras obras de aritmética do século XV, na Itália, e o símbolo % teria surgido como 
uma abreviatura da palavra ―cento‖, utilizada nas operações mercantis. Santos 
(2005, p. 157) mostra a importância desses conceitos, ao fazer as seguintes 
afirmações: 
porcentagem é uma comparação. A porcentagem está presente em inúmeras 
situações. Não há como entender o mundo do capital, das compras, das 
vendas, do planejamento financeiro, etc. sem entender porcentagem. 
Precisamos entendê-la para realizar cálculos, Interpretar gráficos, tabelas, e 
principalmente, usá-la a nosso favor. 
 
Sobre esse conteúdo, Bigode (2000, p. 226) traz a seguinte definição: ―As 
porcentagens expressam relações entre uma quantidade e o número 100. Daí o nome 
porcentagem.‖ Cita um exemplo de pesquisa de opinião sobre hábitos de um grupo 
populacional, com os resultados comparados, utilizando o número de 100 pessoas 
como base: ―23 em cada 100 habitantes usam o sabonete Cheiroso (23%); de cada 
100 habitantes, 11 preferem vôlei a futebol (11%); 90 em cada 100 famílias assistem 
ao Jornal Regional (90%)‖. 
Na resolução de problemas envolvendo porcentagem, pode-se utilizar o método 
da regra de três, como no exemplo a seguir: se uma mercadoria recebeu um 
abatimento (desconto) de 15%, correspondente a R$ 1.200,00, qual o seu preço 
inicial? Para montar uma proporção, parte-se dos dados conhecidos das grandezas 
―taxa de porcentagem‖ e ―valor em reais‖ e pode-se indicar com ―x‖ o termo 
desconhecido. Então, 15% está para R$1.200,00 e 100% para ―x‖. A partir da 
montagem da proporção e da aplicação da propriedade fundamental das proporções 
―o produto dos meios é igual ao produto dos extremos‖ (GIOVANI; PARENTE, 1993, 
p. 5), por exemplo, encontra-se o preço inicial. 
O conceito de juro, quando analisado apenas sob o aspecto 
econômicofinanceiro, leva à afirmação de que é a remuneração pelo empréstimo de 
um capital (dinheiro). Se se está devendo, pagam-se juros; quando se aplica um valor 
 
24 
 
 
 
no banco ou se empresta dinheiro, recebem-se juros. Santos (2005, p. 161) define juro 
como sendo [...] aquela quantia que é cobrada ou recebida a mais sobre um valor 
emprestado ou aplicado durante certo tempo à referida taxa. Quando pedimos dinheiro 
emprestado a um banco, sempre teremos que pagar juros pelo empréstimo obtido. 
Quando efetuamos depósitos em poupança ou outro tipo de investimento, o valor 
excedente que recebemos por mantermos nosso capital aplicado é o juro. É como se 
fosse um aluguel que se paga pelo uso do dinheiro. 
Entretanto, juro pode ser definido sob diferentes prismas, como o político, o 
econômico, o jurídico ou até filosófico. A Economia conceitua juros como sendo a 
remuneração paga, pelo tomador de um empréstimo, ao detentor do capital 
emprestado. 
Juridicamente, os juros são ditos ―frutos civis‖ do capital, remuneração pela 
disponibilidade de uma importância em dinheiro por determinado tempo. Quando são 
consideradas decisões de governos, está presente o enfoque político no conceito de 
juro, com critérios objetivos e subjetivos, os quais consistiam na escassez de capital 
e renúncia à liquidez monetária, aliada à oferta e procura da moeda em investimentos 
os juros passaram a ser instrumentos de políticas de desenvolvimento econômico com 
manipulação da oferta monetária disponível. 
Do prisma filosófico, tem-se o conceito do filósofo e economista Giannetti (2005, 
p. 10): [...] a realidade dos juros não se restringe ao mundo das finanças, como supõe 
o senso comum, mas permeia as mais diversas e surpreendentes esferas da vida 
prática, social e espiritual, a começar pelo processo de envelhecimento a que nossos 
corpos estão inescapavelmente sujeitos. Os juros são o prêmio da espera na ponta 
credora – os ganhos decorrentes da transferência ou cessão temporária de valores do 
presente para o futuro; e são o preço da impaciência na ponta devedora – o custo de 
antecipar ou importar valores do futuro para o presente. 
Os juros são classificados em simples ou compostos, dependendo do regime 
de capitalização. No caso do juro simples, a taxa percentual incide somente sobre o 
capital inicial e não se incorpora no capital, mesmo com o passar do tempo, tendo um 
crescimento linear. No juro composto, o regime de capitalização é diferente, porque a 
cada período o juro gerado é incorporado ao capital atual (saldo devedor) e sua 
 
25 
 
 
 
acumulação se dá de forma exponencial. O regime de capitalização do juro composto 
é o mais utilizado no sistema financeiro e nos cálculos de empréstimos. 
Com o fim da década de 1950 o surto inflacionário e o seu reflexo nos 
rendimentos das aplicações financeiras motivaram o aparecimento de fórmulas 
matemáticas baseadas em exponenciação substituindo o cálculo linear até então 
utilizado. 
Em virtude dos cálculos feitos de forma exponencial e da não existência de 
máquinas de calcular, adotaram-se tabelas de coeficientes para simplificar os cálculos 
de logaritmos, exponenciação e radiciaçãoque apareciam com frequência nas 
fórmulas matemáticas adotadas. 
―Então passou a ser comum a adoção de tabelas que eram simplificações das 
tábuas de logaritmos‖ (PUCCINI, 2000, p. 9). 
A Tabela Price, como é conhecida no Brasil é um artifício utilizado em cálculos 
de taxa de juros, prazos, prestações, quando não é utilizado um computador ou uma 
máquina financeira. Entretanto para problemas de taxas de juros e períodos não 
inteiros, comuns no mercado financeiro, a mesma não é recomendável, face a 
complexidade dos cálculos. 
A citada tabela foi elaborada por Richard Price, em 1771, com o objetivo de 
produzir um sistema mais confiável para a seguradora inglesa Equitable Society. 
Essas tabelas permitiam calcular as probabilidades de vida e morte. 
A partir desse estudo e da elaboração das tábuas de mortalidade surge então 
a coleção das Tabelas de Juro Composto (Tables of Compound Interest), batizada no 
Brasil como Tabela Price. 
É importante destacar que Price elaborou suas tabelas de juro composto a 
pedida da Society for Equitable Assurance on Live (p.174, vol. I ed. 1803), com a 
finalidade de estabelecer um método de pagamento para seguro de vida e 
aposentadorias que acabou sendo usado por seguradoras do mundo todo até hoje. 
 
26 
 
 
 
No caso do Brasil, sua maior utilização dá-se, até agora, na área de financiamentos 
de bens de consumo do Sistema Financeiro de Habitação. 
Antes do advento das calculadoras financeiras e, para alguns professores 
resistentes ainda hoje ao uso de calculadoras e planilhas, o ensino da Matemática 
Financeira se dá principalmente com o uso das tabelas de Price. Esse recurso tornase 
necessário no juro composto pela razão de todas as fórmulas trabalharem com 
exponenciação. 
Existem também tabelas para calcular valor presente de fluxo único, prestações 
em função do valor presente e valor futuro, cálculo do valor atual e valor futuro de 
fluxos parcelados para somente períodos e taxas inteiros, ou seja, o problema de 
prazos e taxas não inteiros permanece. 
No final da década de 1960, com o surgimento das primeiras calculadoras 
eletrônicas e a facilidade de cálculo proporcionada por elas, essas tabelas foram 
gradativamente abandonadas. 
Contudo, veja alguns exemplos: aos termos prestações iguais de um 
financiamento, por exemplo, podemos determinar outras variáveis como a taxa, o 
número de períodos, etc. Para tanto, se vamos financiar um carro de $ 17.000 em 60 
prestações com uma taxa de 1,5% a.m. Podemos descobrir a prestação, a ser paga, 
através da HP12C, digitamos: 17000 (CHS) (PV) 
1.5 (i) 
60 (n) 
(PMT) 
O resultado será uma prestação de $ 431,68. 
No Excel, podemos determinar através da função financeira: 
 
27 
 
 
 
 
 Função financeira do Excel que determina a Prestação. 
 
Não é preciso preencher o VF, pois neste caso teremos somente o VP (quanto 
vamos financiar) 
Podemos fazer estes cálculos manualmente. 
Sabemos que, na primeira Prestação: 
a 1ª. capitaliza juros durante (n-1) períodos; FV= PMT * (1+i)n 1 a 2ª. prestação 
capitaliza juros durante (n-2) períodos; FV= PMT * (1+i)n 2 a penúltima prestação 
capitaliza juros durante 1 período, e seu valor futuro será: 
FV = PMT* (1+ i)n 
* a última prestação não capitaliza juros, e seu valor final do período n é igual a PMT 
Deste modo: FV= PMT * (1+i)n 1 + PMT * (1+i)n 2 +.........+ PMT* (1+ i) + PMT 
FV= PMT * [(1+i)n 1 + (1+i)n 2 +.........+ (1+ i) + 1] (Equação I) Ao 
multiplicar (1+i), nos dois termos temos: 
FV* (1+i)= PMT* [(1+i)n + (1+i)n 1 +.........+ (1+ i)2 + 1* (1+i)] (Equação II) 
 
 
EquaçãoII – Equação I 
 
 
 
 
28 
 
 
 
FV* (1+i) = PMT * [(1+i) + (1+i) +.........+ (1+ i) + 1* (1+i)] 
__ FV 
= PMT * [(1+i) + (1+i) +.........+ (1+ i) + 1] 
FV* (1+i)- FV = PMT* [(1+i)n + (1+i)n 1 +.........+ (1+ i)2 + 1* (1+i)] - PMT * [(1+i)n 1 
+ (1+i)n 2 +.........+ (1+ i) + 1] 
FV*i = PMT * [(1+i)n -1 Isolando 
PMT, temos: 
FV*i 
PMT = [(1+i) n -1] (III) 
 
Sabendo que, FV = PV * (1+i)n Substituímos 
em III: 
PV* (1 i)n *i 
PMT = [(1+i) n -1] 
No nosso exemplo, temos: 
PV= 17.000 i= 1,5% a..m. 
n= 60 meses 
Teremos, PMT = 
PMT = = 431,69 
E obtemos o mesmo resultado. 
 
A partir da prestação é possível entender como ocorre um tipo de amortização. 
Vamos imaginar uma compra de $ 100, em 5 vezes, a uma taxa de juros de 5% a.m. 
Teremos, então: 
 
PV* (1 i)n *i 
PMT = [(1+i) n -1] 
PMT = 23,09 
 
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela do Sistema Price 
Mês Prestação 
PMT 
Juros 
Jt=i * S t 1 
Amortização 
At=PMT - Juros 
Saldo Devedor 
Sd=S t 1-At 
0 - - - 100 
1 23.09 Jt= 0,05 *100=5 At=23,09– 5= 
=18,09 
Sd=100-18,09= 
Sd= 81,91 
 23,09 Jt=0,05*81,91= 
Jt=4,09 
At= 23,09-4,09=19 Sd=81,91-19= 
Sd=62,91 
 23,09 Jt=0,05 * 62,91= 
Jt= 3,14 
At= 23,09-3,14= 
=19,94 
Sd=62,91-19,94 
=42,96 
 23,09 Jt= 0,05*42,96= 
Jt=2,15 
At= 23,09-2,15= 
At= 20,94 
Sd=42,96- 20,94 
=22,02 
 23,09 Jt= 0,05*22,02= 
=1,01 
At=23,09-1,01= 
At=22,08 
Sd= 22,02-22,08= 
-0,06 
Zerando o saldo! 
 
 
Qual será a prestação de um empréstimo de 200.000, que será pago pela Tabela 
Price, com uma taxa de juros de 10% a.m. a ser liquidada em 4 meses? 
Solução: 
NA HP 12 C, temos: 
Digite 200000 (CHS) (PV) 
10 (i) 
4 (n) 
PMT 
O resultado será: PMT= 63.094,16 
Tabela do Sistema Price 
Mês PMT Juros Amortização Saldo devedor 
0 - - - 200.000 
1 63094,16 20000,00 43094,16 156905,84 
 
30 
 
 
 
2 63094,16 15690,58 47403,58 109502,26 
3 63094,16 10950,23 52143,93 57358,33 
4 63094,16 5735,83 57358,33 0,00 
 
Portanto, estes são alguns exemplos da tecnologia sendo utilizada a serviço do 
ensino e aprendizagem da Matemática. Vejamos, a seguir, outras tecnologias e sua 
utilização. 
3 O USO DAS TECNOLOGIAS A SERVIÇO DA APRENDIZAGEM 
MATEMÁTICA 
 
3.1 As calculadoras 
 
Os cálculos matemáticos aplicados à área financeira ganharam muito em 
agilidade, com o advento das calculadoras financeiras, cujas funções, desenvolvidas 
especialmente para essa área, deixaram para trás as tão conhecidas tabelas 
financeiras. 
A Calculadora é uma máquina que realiza automaticamente operações 
aritméticas e executa determinadas funções matemáticas. As calculadoras modernas 
têm origem na máquina aritmética idealizada por Pascal em 1642, que valia-se dela 
para fazer a contabilidade do pai. O mecanismo estava contido numa caixa, e os 
números, gravados em discos, de 0 a 9 e podiam ser lidos numa janela aberta na 
tampa. A máquina de Pascal era capaz de somar e de fazer subtrações, porem, 
somente multiplicava por adições sucessivas. 
A primeira máquina capaz de multiplicar e dividir foi inventada por Leibniz 
(1794), mas não era inteiramente digna de confiança. Leibniz conseguiu, no entanto, 
demonstrar, com sua calculadora, a superioridade do sistema binário sobre o decimal, 
para computadores mecânicos. A álgebra binária, cujos fundamentos foram 
estabelecidos por George Boole, está na raiz dos cérebros eletrônicos. 
Em 1820 uma máquina fidedigna e apta a exercer as quatro operações 
fundamentais, foi posta à venda por Charles Xavier Thomas. A automatização do 
processo começou com Charles Babage (1812). Sua calculadora universal fracassou, 
 
31 
 
 
 
mas a ideia era fecunda - como provam as inúmeras calculadoras automáticas em 
uso. 
Desde então, as calculadoras tornaram-se cada vez mais complexas, 
permitindo cálculos combinados com operações diversas, memórias com dados 
reutilizáveis, a impressão de resultados etc. Na era da eletrônica e da física de estado 
sólido, base dos chamados microprocessadores, as calculadoras tornaramse leves e 
portáteis (calculadoras de bolso, do tamanho de um maço de cigarro),dotadas de 
circuitos miniaturizados, especializadas segundo os tipos de uso, tais como, as 
aritméticas, as cientificas e as financeiras. 
Na década de 1970, surgiram calculadoras mais complexas, que efetuavam um 
número maior de operações. Em seguida surgem às calculadoras científicas e as 
financeiras, as primeiras voltadas para a área das exatas. Essas últimas auxiliaram no 
ensino tornando-o mais dinâmico já que havia funções para resolução de problemas 
específicos de cada matéria. 
 
3.1.1 História e o desenvolvimento das calculadoras financeiras 
 
De acordo com informações obtidas no Museu das calculadoras, no seguinte 
endereço: <http://museu.boselli.com.br/historia.htm>, as pedras foram as primeiras 
medidas de quantidade, utilizadas para contar, antes mesmos de haver o conceito de 
números. Daí a palavra cálculo que vem do latim ―calcúlus‖ e significa ―pedrinha‖. 
Ainda de acordo com o mesmo site, o ábaco teria sido o antepassado da 
calculadora moderna. Existem relatos de ábacos primitivos encontrados e com 
datação de: 
500 AC ÁBACOS DE AREIA 
300 AC TÁBUA DE SALAMIS (GREGOS) 
200 AC CALCULI (ROMANO) 
100 AC ÁBACO DE MÃO (ROMANO) 
1000 DC* QUIPO (ASTECA) - Feito de vários fios e nós 
http://museu.boselli.com.br/historia.htm
http://museu.boselli.com.br/historia.htm
http://museu.boselli.com.br/historia.htm
 
32 
 
 
 
* REUTER, 19/07/2005: Arqueólogos que trabalham em Caral, a mais antiga 
cidade das Américas (localizada no Peru), dizem ter encontrado quipos com quase 
5.000 anos de idade. 
Entre os diversos tipos de ábacos, relacionam-se: 
1200 DC SUAN-PAN (CHINÊS) – duas contas em cima e cinco em baixo. 
1600 DC SCET (RUSSO) dez contas em barras de deslizamento curvas. 
1620 DC SOROBAN (JAPONÊS) – uma conta em cima e cinco em baixo. 
1930 DC SOROBAN (MODERNO) – uma conta em cima e quatro em baixo. 
Já por volta do ano de 1500, Leonardo Da Vince desenvolveu um projeto de 
uma máquina constituída por várias engrenagens para fazer cálculos. Apesar de não 
ter construído tal mecanismo é a primeira informação que se tem sobre uma máquina 
de calcular. 
Em 1617, o matemático John Napier, inventor do logaritmo, desenvolveu um 
sistema de multiplicação utilizado ―barrinhas‖ de madeiras, denomina ―Bastões de 
Napier‖ ou ―Bastões de Neper‖ (não há consenso na literatura quanto ao sobrenome 
correto desse matemático). 
Pouco depois, em 1623, Wilhel Schickard criou na Alemanha um aparelho que 
somava e subtraia até 6 dígitos e que era operado por manivela. Logo depois, em 
1638, foi criada a régua de cálculo, pelo inglês William Oughtred e baseava-se na 
Tábua de Logaritmos criada por John Napier em 1614. 
Já a primeira máquina com o fim de fazer contas, de que se tem notícias foi 
uma máquina somadora, desenvolvida pelo francês Pascal de Blaise, em 1642 e 
comercializada. Na época ele tinha apenas 21 anos de idade e sua intenção era 
diminuir o trabalho de seu pai, coletor de impostos, que passava muitas horas fazendo 
contas dos tributos recolhidos. 
A máquina media aproximadamente 50 cm por 10 cm por 8 cm, era construída 
em metal, com 8 seletores movimentados por estilete. 
Com base nessa mesma máquina, em 1672, Gottfried Wilhelm Von Leibniz 
fabricou uma máquina de calcular capaz de fazer as quatro operações. 
 
33 
 
 
 
Em 1727, Jacob Leupold, baseando-se no principio da máquina de Leibniz, 
idealizou uma máquina de calcular circular. 
Em 1820, Charles Xavier Thomas de Colmar, produziu a primeira máquina em 
grande escala. Era uma somadora denominada de ―Arithmometer‖ ou também a 
―Máquina de Thomas‖, que foi baseada na máquina de Leibniz. Esse tipo de 
calculadora foi reproduzido por vários fabricantes até o final do século XIX, quando 
então se massificou a calculadora de cilindro de pinos inventada por Willgodt T. 
Odhner. 
Em 1822, Charles Babbage desenvolveu uma complexa calculadora de 
engrenagem, que, segundo muitos, deu origem aos computadores. 
Em 1838, o inglês Thomas Fowler desenvolveu um sistema baseado nas 
tabelas de números binários e ternários para facilitar cálculos aritméticos. Mais tarde 
usou um princípio similar para construir uma calculadora ternária. Seu protótipo, que 
media 15 cm por 7,5 cm, feito em madeira, foi apresentado aos membros da sociedade 
real inglesa em maio 1840. Fowler faleceu alguns anos após, e a máquina nunca 
entrou na produção. 
O americano Frank Stephen Baldwin em 1875 patenteia uma calculadora com 
cilindro de pinos, nesse conceito os nove cilindros da calculadora de Leibniz, é 
substituído por um único com engates e pinos capazes de fazer as quatro operações 
de forma muito mais simples. 
O sueco Willgodt T. Odhner patenteou o seu sistema de calculadora com 
cilindro de pinos em 1878, semelhante conceito utilizado pelo Baldwin. Esses dois 
projetos, apesar de muito parecidos, os dois modelos foram desenvolvidos 
separadamente. 
A geração de máquinas de calcular mecânica que prosperou até o final de sua 
fabricação manteve o conceito original de Odhner e de Baldwin, com o mecanismo 
denominado de ―cilindro de pinos‖. Centenas de fabricantes utilizaram esse sistema 
até a década de 1970, quando elas deixaram de ser fabricadas, sendo substituídas 
pelas máquinas elétricas e eletrônicas. 
 
34 
 
 
 
Em 1892, a firma de Grimme, Natalis & company A.G. adquiriu as patentes da 
máquina de Odhner, e começou a fabricar as máquinas da marca Brunsviga, que teve 
grande aceitação no mercado, antes, porem, em 1889 Felt teria inventado a primeira 
calculadora com impressão. 
Outra máquina baseada no Arithometer foi a Madas, capaz de fazer as quatro 
operações, foi produzida pelo H. W. Egli em 1913, utilizando o mecanismo automático 
de divisão, patenteado em 1902, por Alexander Rechnitzer, da Checoslováquia. 
Até 1912, Baldwin fez diversos modelos baseados em seu princípio, mas a 
primeira operação comercial bem sucedida aconteceu somente quando juntou 
esforços com o americano Jay Randolph Monroe adaptando um teclado cheio (full 
keyboard) e fundou, em 1912, a Monroe Calculating Machine Co. Em 1924 a Monroe 
lança as calculadoras eletromecânicas. 
A Curta é considerada a mais brilhante calculadora já inventada em todos os 
tempos, mecânica de reduzidas dimensões (do tamanho e formato de um copo 
normal) e mecanismo impecável. 
O austríaco Curt Herzstark desenvolveu o projeto da Curta enquanto era 
prisioneiro do campo de concentração nazista de Buchenwald. Os líderes do campo 
sabiam de seu trabalho e o apoiavam, visando presentear Hitler, pela vitória no fim da 
guerra, com aquela invenção. Apesar de toda ajuda que teve para terminar o 
desenvolvimento da calculadora no campo de concentração, Curt teve o bom senso 
de não o concluir enquanto estava preso. 
Curt foi libertado em abril de 1945 e em abril de 1947 começou a produção 
comercial que continuou até 1973, quando então não havia mais espaço para competir 
com as calculadoras eletrônicas. 
De todas as máquinas financeiras atualmente disponíveis no mercado a HP 
12C é, provavelmente, a mais antiga. Foi lançada em 1981. Pela sua popularidade no 
Brasil e nos cursos da área econômica essa calculadora é citada na maioria dos livros 
e sites de Matemática Financeira. 
 
35 
 
 
 
Não se deve negligenciar a utilidade dos recursos das calculadoras financeiras, 
particularmente a HP 12 C, que além de programável (como poucas) e portátil (como 
todas), é a mais popular na sua categoria (o que torna prontamente disponível em 
qualquer ambiente de negócios) (SCHNEIDER 2008). 
Suas características principais incluem o fato de possuir mais de 120 funções 
específicas para usos em negócios, as quais permitem trabalhar com 20 diferentes 
fluxos de caixa, operações com taxas internas de retorno e valores presentes líquidos. 
Note-se que a 12C não possui uma das principais teclas de calculadoras 
algébricascomuns, que é a tecla do sinal de igual. A razão dessa inexistência consiste 
no fato de trabalhar a lógica RPN (Reverse Polish Notation). Enquanto em uma 
operação algébrica comum os operandos devem ser intercalados por operadores, na 
lógica RPN os operandos devem ser colocados primeiramente e os operadores após. 
A lógica RPN segundo o HP Museum (http://hpmuseum.org) foi criada com 
base nos trabalhos apresentados por Jan Lukasiewicz (1878-1956), matemático 
polonês, nos anos 20. Consiste, basicamente, em um sistema lógico formal que 
permite a especificação de expressões matemáticas sem o uso de parênteses, por 
meio da colocação dos operadores antes (notação prefixada), ou depois (notação pós-
fixada), dos operandos. 
A notação prefixada recebeu o nome de Notação Polonesa, em homenagem a 
Jan Lukasiewicz. A HP ajustou a notação pós-fixada para o teclado das calculadoras, 
mediante o uso de memórias que estão posicionadas conforme uma pilha para 
armazenamento dos operandos e funções específicas para o manuseio das pilhas. 
Assim, denominou a lógica criada de Notação Polonesa Reversa, ou, simplesmente, 
RPN mantendo a homenagem ao seu criador. 
Por exemplo, para somar 5 e 4 no sistema algébrico deve-se fazer 5 + 4 = 9. 
Em uma operação com lógica RPN, é necessário entrar com o número 5 e o número 
4 e, depois, com o operador da adição. Para poder separar os números (isto é, indicar 
para a calculadora que o 4 e o 5 são dois números distintos e não 45), a 12C 
disponibiliza a tecla ENTER. Assim, para somar 4 e 5 será necessário pressionar as 
teclas 4 ENTER 5 +. 
 
36 
 
 
 
Alguns sites e catálogos de vendas destacam a superioridade mecânica de 
outras máquinas, como a 17BII (15 vezes mais rápida e com armazenamento e 
processamento quatro vezes superior) ou a 19BII (também 15 vezes mais rápida e 
com capacidade nove vezes superior de processamento de informações). 
Sendo assim, quais seriam as razões da persistência do uso da 12C a ponto, 
de justificar a sua utilização durante 20 anos. 
Conforme o HP Museum algumas justificativas do seu uso seria: 
- É uma calculadora puramente RPN, sem opções algébricas para confundir o 
comprador, ou o usuário. As calculadoras mais novas, 17B e 19B, foram lançadas em 
versões algébricas, rapidamente substituídas pelas versões BII, com RPN opcional; 
- Os compradores, geralmente profissionais ligados a áreas de negócios, são 
sempre ligeiramente conservadores, o que os torna aficionados pela 12C, já 
tradicional no mercado; 
- Possui um excelente design; 
- Como todas as outras calculadoras da série 10C, possui uma boa e sólida 
aparência, retangular (medindo 7,5cm de largura por 12,5 cm de comprimento feita na 
proporção da razão áurea, lembrando um cartão de crédito), especialmente quando 
comparada com outros modelos de calculadoras disponíveis no mercado. 
De maneira geral, as duas principais características da calculadora poderiam 
ser representadas por sua robustez (durabilidade) e simplicidade (é fácil de operar, 
possuindo as principais funções necessárias em matemática financeira, por exemplo). 
Outra função útil é o feedback com o usuário. Isso acontece quando ocorre 
alguma falha, resultado de um procedimento incorreto, muitas vezes indicado por uma 
mensagem de erro. Assim o usuário pode constatar, desde que saiba os códigos de 
erro, a falha que está cometendo. As principais mensagens de erro são: 
- ERROR 0: erro em operações matemáticas; 
- ERROR 1: ultrapassagem da capacidade de armazenamento ou 
processamento; 
- ERROR 2: operações estatísticas com erro; 
- ERROR 3: erro no cálculo da taxa interna de retorno (IRR); 
 
37 
 
 
 
- ERROR 4: erro em operações com a memória da calculadora; 
- ERROR 5: erro em operações de juros compostos. Provavelmente sinal errado; 
- ERROR 6: problema com o uso dos registradores de armazenamento; 
- ERROR 7: problemas na troca de sinal no fluxo de caixa no cálculo da taxa 
interna de retorno (IRR); 
- ERROR 8: problemas de calendário; 
- ERROR 9: problemas no auto-teste. O circuito da máquina não está 
funcionando corretamente ou alguns procedimentos no autoteste apresentaram 
falhas. 
Com a crescente utilização das planilhas, como o Excel, a utilização da 12C 
ficou limitada a operações financeiras rápidas que envolvem cálculos mais simples. 
Com a evolução das planilhas eletrônicas, como o Excel, igualmente 
apresentado neste texto, os usos da HP 12C ficaram limitados a rápidas operações, 
ou cálculos mais simples. Didaticamente, ainda representa excelente recurso, em 
função de executar as principais funções financeiras e apresentar um custo muito mais 
baixo que o de um microcomputador portátil, por exemplo. (BRUNI, 2003). 
Por exemplo, para calcular quais os juros ganhos de um capital de $ 100, a uma 
taxa de 10% a.m. durante 2 meses. 
Na HP 12C, o procedimento para o regime de juros simples será: 
Tecle 100 , a tecla CHS, e a tecla PV 
Para o período, é preciso estar em dias: Tecle 60 e a tecla n 
Para a taxa de juros, é preciso estar ao ano, e sabemos que 10% a.m = 120% 
a.a. 
Tecle 120 e a tecla i 
E agora, aperte a tecla e a tecla 
E teremos o seguinte resultado na tela da HP 12C: 
 
38 
 
 
 
 
Figura 2: Simulador da HP12C. 
 
Percebemos, então, que R$ 20,00 são os juros obtidos. Se apertarmos a tecla 
+, podemos obter o montante R$ 120,00. 
Se teclarmos em: veremos na tela: 
O resultado 100, mostrando que era o capital inicial; 
O resultado $ 19, 73; porque se for calculado no ano civil teremos: 
Juros = PV * i * n 
120% 
Juros = 100 * *60 = 19, 73 
 
365 
Deste modo, os valores nas memórias temporárias, X, Y e Z, serão: 
 
 
39 
 
 
 
 
 
Quadro 2: Memórias da HP 12C 
Memória Valores Comentários 
X 20,00 Juros com 360 dias 
Y 100,00 Principal aplicado 
Z 19,73 Juros com 300 dias 
 
 
Outros exemplos, com atividade: 
1) Em que prazo um empréstimo de $ 55.000 pode ser quitado por meio de um 
único pagamento de $ 110.624,80 se a taxa de juros compostos for de 15% 
a.m.? 
Solução: 
 FV=PV* (1+i)n 
PV= $ 55.000 110.624,80= 55.000 * (1+0,15)n 
FV= $ 110.624,80 (1,15)n 
i=15% a.m. 2,0114 = (1,15)n n=? 
 ln 2,0114 = ln (1,15)n 
 0,6988= n * 0,1398 n= 
 = 4,9986 aproximando para n=5 meses 
 
 
40 
 
 
 
Obs.: Toda vez que precisarmos determinar período em problemas, com regime de 
juros compostos, é preciso colocar logaritmo nos dois membros da equação, para que 
a variável ―n‖ ―caia‖. 
 
Na HP 12 C: 
Tecle 55000, CHS, PV; 
Tecle 110624.8 e FV; 
Tecle 15 e ―i‖; 
Aperte ―n‖ 
 
Qual é o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% a.a, resulta 
em $ 14.000?. 
 Solução: 
n= 6 anos FV=PV* (1+i)n 
i= 15% aa 14.000=PV * (1,15)6 
FV = $ 14.000 PV= 
 
 PV = 6052,48 
 
Na HP12C, teremos: 
Tecle 6 e ―n‖ 
Tecle 15 e ―i‖ 
Tecle 14000 e ―FV‖ 
 
41 
 
 
 
Tecle ―PV‖ 
 
Contudo, apesar da preferência de muitos autores pela 12-C existem outras 
calculadoras financeiras que adotam interface semelhante e são igualmente úteis, 
como a HP 10BII, a 12C Platinum e a 17BII+. 
Essas calculadoras juntamente com a 12-C resolvem diretamente, através de 
teclas financeiras ―n‖, ―i‖, ―PV‖, ―FV‖, ―PMT‖ (definidas abaixo), os principais 
problemas de matemática financeira que envolve pagamento único e séries de 
pagamentos iguais, calculados no regime de capitalização composta. 
Com o teclado financeiro, as calculadoras passaram também a agilizar os 
cálculos onde os números de períodos de aplicação e a taxa de juros não eram 
inteiros, simplificando e aumentando a precisão dos resultados. 
 
3.2 A Matemática Financeira no currículo escolar 
 
Ao destacar a presença da matemática financeira (MF) no dia a dia das 
pessoas, Santos (2005, p. 13)manifesta a preocupação com a sua ausência no 
currículo escolar, particularmente no Ensino Médio: percebe-se que a MF está muito 
presente no dia-a-dia de qualquer pessoa através dos problemas de ordem financeira 
comuns da vida moderna, o que possibilita uma aproximação com a vida do aluno fora 
da escola. 
No entanto, mesmo sendo um conteúdo imediatamente aplicável fora da escola 
e de extrema importância na formação do cidadão, verifica-se sua ausência no 
currículo escolar. 
Parente e Caribé reforçam a ideia da presença desta parte da matemática no 
cotidiano e da sua importância para as pessoas, afirmando que ―a matemática 
financeira está hoje presente no cotidiano das pessoas. É com ela que é calculado o 
aumento do pão e do ônibus, o reajuste das prestações e o saldo devedor da casa 
própria.‖ (1996, p. 3). 
 
42 
 
 
 
Os autores confirmam a importância da matemática financeira, justificando, 
assim, a inquietação com as dificuldades apresentadas pelos estudantes na resolução 
de problemas simples, relacionados com o dia a dia de qualquer cidadão. 
Juntamente com o desenvolvimento da pesquisa e da necessária introdução 
nos currículos escolares da matemática financeira alia-se a utilização da informática 
como método de ensino. Pois até a década de 1990, a grande maioria dos professores 
de matemática utilizava como ferramenta na elaboração de suas atividades docentes, 
basicamente o livro didático, na qual propiciava o aluno um ensino passivo. O mundo 
globalizado e da era digital como é agora permite um ensino ativo onde o aluno 
aprende pela descoberta. Aprendendo através da descoberta a tarefa do aluno é 
interpretar e encontrar sentido na informação que lhe é dada. No método de ensino 
ativo, coloca-se uma situação diante do aluno e espera-se que ele pense, que 
interprete as informações e que gere ideias que se transforme em ações aplicáveis a 
determinada situação. 
―A informática é a última, até a data, dessas grandes invenções que têm 
ritmado o desenvolvimento da espécie humana, reorganizando sua cultura e abrindo-
lhe uma nova temporalidade‖ (LEVY, 1998, p. 35). 
 
3.3 O uso da Informática na Educação Matemática 
 
O processo de mudança no ensino aprendizagem caracteriza-se pela inserção 
de novas tecnologias no processo educacional levando o aluno a participar mais 
ativamente das atividades. 
O uso da informática parece uma alternativa viável para atrair o aluno e fazer 
com que ele aprenda de forma criativa e agradável os conteúdos propostos. 
Além disso, o computador reduz o tempo de cálculo e em alguns casos é a 
única alternativa para a resolução de problemas, sendo possível aproveitar todas as 
informações para a análise de dados. 
A procura pela informação, no Brasil, está sendo usada como principal fonte de 
dados e conhecimentos, o comércio ainda é visto com certa fragilidade, e o número 
 
43 
 
 
 
de brasileiros em relação ao total da população que tem acesso a Internet é pequeno 
se comparado ao da população norte americana. 
Em sendo, espera-se que através da informática o aluno adquira conhecimento 
e identifique novas aplicações da matemática financeira para que esta ciência tenha 
fundamento, o aluno entenda os seus diversos conceitos e tenha motivação para 
aprender e para pensar criticamente. Frases como ―isso é assim, porque é assim‖; 
ou ―não questione‖, ―memorize esta fórmula‖ não tem mais significado dentro da 
sala de aula, é preciso que o educador estimule o pensamento crítico do aluno tanto 
em sala de aula como fora. 
É imprescindível a orientação do professor, incentivando a meta cognição, o 
―pensar sobre o pensar‖, seja no ―acerto‖ seja no ―erro‖. Em outros casos, pôr 
exemplo, uma vez que já tenham sido construídos os conceitos de aritmética e 
ortografia, esses softwares podem ser utilizados na sistematização de informações. 
As crianças costumam gostar muito dos recursos utilizados nesses programas (sons, 
gráficos de cor e animação). 
Muitos alunos, com grande desvalorização pessoal, baixo autoconceito, se 
beneficiam desses ―sucessos‖ imediatos, sentindo-se mais capazes e motivados, 
quando são aplaudidos ao final de uma tarefa pelo próprio computador. Tal fato pode 
servir de ponte, com tais crianças, para o desenvolvimento posterior de um trabalho 
que valorize outros processos de construção do pensamento. 
 
3.3.1 O uso do computador 
 
Com o computador espera-se que o aluno tenha uma aprendizagem 
significativa. A aprendizagem significativa não envolve apenas a compreensão, mas 
também atitudes e habilidades, incluindo a participação do aluno no sentido de 
vivenciar, sentir, interagir, aplicar, praticar e fazer. Além desses, o gosto, o prazer e a 
motivação estão presentes neste tipo de aprendizagem. 
 
44 
 
 
 
Características do ensino tradicional como repetição, memorização são 
evitados na aprendizagem significativa. O conteúdo deve ter ligação com a realidade 
do aluno e o ambiente dever ser favorável para o mesmo aprender. 
Segundo diversos autores, para que a aprendizagem seja significativa são 
necessárias três condições: os novos materiais que serão aprendidos devem ser 
potencialmente significativos; ou seja, suficientemente substanciais e não arbitrários, 
para poderem ser relacionados com as ideias relevantes que o sujeito possua. 
A estrutura cognitiva prévia do sujeito deve possuir as necessárias ideias 
relevantes, para que possam ser relacionadas com os novos conhecimentos. 
1) Os novos materiais que serão aprendidos devem ser potencialmente 
significativos; ou seja, suficientemente substanciais e não arbitrários, para poderem 
ser relacionados com as ideias relevantes que o sujeito possua; 
2) A estrutura cognitiva prévia do sujeito deve possuir as necessárias ideias 
relevantes, para que possam ser relacionadas com os novos conhecimentos; 3) O 
sujeito deve manifestar uma disposição significativa para a aprendizagem, o que 
estabelece a exigência de uma atitude ativa e a importância dos fatores de atenção e 
motivação. 
 
 
3.3.2 O uso da planilha na Matemática Financeira 
 
A planilha, a partir de 1980, com a popularização dos computadores passou a 
ser um incremento indispensável na Matemática Financeira pela sua capacidade de 
executar um grande número de cálculos exigidos pela área. 
Os programas geralmente utilizados agregam maior volume de cálculos, 
interfaces visuais e versatilidade e provém de empresas de software de maior 
penetração global. 
As planilhas geralmente são indicadas para empresas e instituições financeiras 
que processam um volume de cálculos financeiros repetitivos consideráveis ou 
 
45 
 
 
 
simuladores que envolvam uma grande quantidade de variáveis simplificando e 
agilizando a informação e o atendimento para seus clientes, fatores muito cobrados 
nos dias de hoje de concorrência acentuada. 
O surgimento das planilhas eletrônicas significou um grande avanço, pois entre 
a enorme gama de funções oferecidas por meio de microcomputador, está a função 
financeira, que nos permite a realização dos mais diversos cálculos. 
Aos poucos os professores e alunos vão assimilando que a utilização da 
planilha torna-se indispensável e que mais cedo ou tarde, mesmo os que são 
resistentes, por imposição do mercado de trabalho serão obrigados a dominar e 
conhecer. 
A utilização multiforme dos computadores para o ensino está se propagando na 
escola, na casa, na formação profissional e contínua. Essa utilização carrega em si 
uma redefinição da função docente e de novos modos de acesso aos conhecimentos 
(LEVY, 1998, p. 26-27). 
Apesar da sua agilidade, eficiência e vantagem a planilha ainda não está 
disseminada como recurso pedagógico no ensino de Matemática Financeira. 
Embora a planilha seja uma ferramenta que está ao alcance de todos, sua 
utilização ainda é restrita e as causas merecem serem investigadas. Os