Prática 2 - Pêndulo Simples - Fisica experimental

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL PARA ENGENHARIA
SEMESTRE 2021.1
PRÁTICA 2 – PÊNDULO SIMPLES
ALUNO: Leonardo de Freitas Vasconcelos dos Santos
MATRÍCULA: 385200
CURSO: Engenharia de computação
TURMA: 35
PROFESSOR: Ícaro Daniel Dias de Carvalho
1 – OBJETIVO:
Explicitar os processos físicos diversos aplicados a um experimento de pêndulo simples,
apresentar os métodos e cálculos demonstrativos utilizados no decorrer dos procedimentos e
em outra instância descriminar a força da gravidade no local de experimentação, objetivando
a resolução dos questionários propostos pela disciplina para fixação de aprendizado. 
2 – MATERIAIS:
Material em vídeo de experimentos com pêndulos simples com Nildo Loiola - UFC:
https://www.youtube.com/watch?v=xGhlJtBvTzw
Que em suma utiliza uma estrutura de pêndulo contendo cordas de diferentes comprimentos,
pesos de diferentes massas uma régua e marcadores angulares.
Aplicação padrão para smartfones – Cronômetro
Simulação de pêndulo interativo my physics lab:
https://www.myphysicslab.com/pendulum/pendulum-en.html
Simulação de pêndulo interativo Laboratório do Pêndulo
https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_pt_BR.html
1
https://www.myphysicslab.com/pendulum/pendulum-en.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_pt_BR.html
3 – INTRODUÇÃO:
O Pêndulo simples é um experimento de movimento harmônico simples, ele foi observado
por Galileu Galilei no livro Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo publicado
em 1632. O sistema consiste na montagem de uma massa puntiforme atrelada a um fio
inextensivo, ao soltar o peso de uma amplitude pequena, ele iniciará um movimento de
periódico e conservativo se movendo de acordo com uma força de restauração, descrevendo
um movimento harmônico simples (MHS).
Esse experimento baseado em suas observações descreveu o período do sistema como não
dependente da massa presente no mesmo, somente do comprimento da base do fio até o
centro de massa do objeto e da gravidade no local. 
Como foi constatado por Galileu para oscilações de pequena amplitude, o período do
pêndulo simples não depende da amplitude de soltura. Esse fato foi verificado
experimentalmente por ele no livro e essa propriedade foi chamada de isocronismo do
pêndulo.
Como cita o livro Física 2B de Bernard M. Marecha (volume 1 e 2) a relação entre 
período, massa e constante de Hooke é:
T = 2π √(MK )
(equação 1)
Sendo T o período de oscilação do pêndulo (s), M a massa do objeto (g) e o K é a força
restauradora (N).
Nas figuras abaixo podemos ver o sistema representado com as forças que atuam no
objeto, na primeira temos a força de tração no fio e a força peso sempre apontando na direção
da gravidade (verticalmente para baixo), considerando o sistema e o eixo que será utilizado
2
nos cálculos a força peso deverá ser decomposta para que os eixos sejam compatíveis, logo,
fazendo uma relação entre o ângulo apresentado na figura 1 e a força peso, decompomos P em
duas outras forças que agora estão situadas criando um eixo de 90° que pode ser trabalhado.
Após observar as figuras, nota-se que as forças de tração e Py (N) derivada da força peso
rivalizam, e apenas Px (N) é responsável pelo movimento do pêndulo.
Sendo Px (N) uma derivação de P (N) com o ângulo Θº no eixo oposto, podemos escrevê-lo
como Px (N) = P (N)*Sen Θº, este é o vetor que representa a força restauradora do sistema,
ela sempre aponta para lado contrário do movimento (negativo), colocando em equações:
F = - P*sen Θ → F = - m*g*sen Θ 
(equação 2)
Neste momento para uma situação específica em que o ângulo Θ é menor que 15° (a
situação adotada em todo o trabalho) podemos utilizar o isocronismo do pêndulo já citado
anteriormente para tratar sen Θ° como Θ° propriamente dito, pois a diferença de valor entre
eles é minúscula.
3
Figura 1: Esquemático de um sistema pêndulo com 
forças tração e peso disponível em:
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/pendulo-simples.htm
Figura 2: Sistema pêndulo com tração e força peso 
decomposto no eixo padrão disponível em:
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/pendulo-simples.htm
Transformamos a equação:
F = - m * g * sen Θ 
Em
F = - m*g* Θ 
Segundo a fórmula do teorema dos arcos que 
pôde ser observada na aula da prática em questão, 
podemos substituir Θ° pela distância A⃗B(cm) 
representada, dividida pelo raio da circunferência 
que seria o comprimento da base ao centro de 
massa do objeto (L (cm)):
A⃗B
L
Logo: F = - m*g* 
A⃗B
L
Manipulando esta equação obtemos:
 F = - 
m∗g
L
∗ A⃗B 
(equação 3)
Interpretando - 
m∗g
L
 como a força restauradora do sistema e A⃗B como a distância entre os
dois pontos nós podemos substituir a força restauradora na equação 1
T = 2π √(MK ) → T = 2π √( Mm∗g / L) → T = 2π √(Lg)
(equação 4)
4
Figura 3: Esquemático de um sistema pêndulo com 
amplitude e arco da distância C⃗AB disponível em:
https://www.todamateria.com.br/pendulo-simples/
Mostrando que para os nossos casos de elongações baixas somente a gravidade e o
comprimento do fio importam, utilizaremos a equação 4 como base para os experimentos
realizados.
4 – PROCEDIMENTO:
Massas utilizadas nas experiências:
M1: MASSA MENOR = 12,5 g
M2 : MASSA MAIOR = 37,5 g
Esta é tabela de medições dos períodos dos sistemas observáveis no vídeo de
experimentação apresentado pelo professor Nildo Loiola e preenchido por mim, aqui temos os
resultados dos 8 primeiros experimentos, eu medi 3 vezes 10 oscilações de cada sistema,
realizando a média ponderada delas e em seguida e elevando o valor do período ao quadrado
como foi pedido na tabela.
L(cm) Θ(Graus) M(gramas) 10T(s) Tm(s) (Tm)^2(s)
L1 = 20 Θ1 =15 M1 = 12,5 10*T1 = 9,0 10*T1 = 9,2 10*T1 = 9,1 0,91 0,83
L2 = 40 Θ2 =15 M1 = 12,5 10*T2 = 12,7 10*T2 = 12,8 10*T2 = 12,8 1,28 1,63
L3 = 60 Θ3 =15 M1 = 12,5 10*T3 = 15,8 10*T3 = 15,8 10*T3 = 15,7 1,58 2,49
L4 = 80 Θ4 =15 M1 = 12,5 10*T4 = 18,2 10*T4 =18,1 10*T4 = 18,0 1,81 3,28
L5 = 100 Θ5 =15 M1 = 12,5 10*T5 = 20,3 10*T5 = 20,1 10*T5 = 20,2 2,02 4,08
L6 = 120 Θ6 =15 M1 = 12,5 10*T6 = 22,3 10*T6 = 22,3 10*T6 = 22,2 2,22 4,95
L7 = 140 Θ7 =15 M1 = 12,5 10*T7 = 24,2 10*T7 = 23,9 10*T7 = 23,8 2,39 5,74
(Tabela 1)
Na tabela 2 eu apresento o resultado das minhas medições dos experimentos realizados no
vídeo disponibilizado para o estudo do período em relação à influência de amplitudes
variáveis inferiores a 15 graus dentro do sistema.
Observei que a mudança das medições é muito baixa, não passando da casa dos
centésimos de segundos, o que pode ser considerado um erro humano segundo o professor
Ícaro Daniel.
L(cm) Θ(Graus) M(gramas) 10T(s) Tm(s) (Tm)^2(s)
L5 = 100 Θ =15 M1 = 12,5 10*T5 = 20,3 10*T5 = 20,1 10*T5 = 20,2 2,02 4,08
L8 = 100 Θ8 =10 M1 = 12,5 10*T8 = 20,0 10*T8 = 20,0 10*T8 = 20,0 2,00 4,00
(Tabela 2)
5
Já na tabela número três temos como variante a massa do sistema, os resultados das
medições dos experimentos realizados em vídeo para o estudo do período em relação à
influência da massa no sistema, que também concluo ser um erro desprezível considerando as
forças dissipativas como a resistência do ar em um objeto de maior área.
L(cm) Θ(Graus) M(gramas) 10T(s) Tm(s) (Tm)^2(s)
L8 = 100 Θ8 =10 M1 = 12,5 10*T8 = 20,0 10*T8 = 20,0 10*T8 = 20,0 2,00 4,00
L9 = 100 Θ9 =10 M1 = 37,5 10*T9 = 20,3 10*T9 = 20,2 10*T9 =20,3 2,03 4,10
(Tabela 3)
Com os dados das tabelas pude constatar as hipóteses do que realmente influencia neste
movimento, com algumas mudanças na equação 4 também poderia determinar até mesmo a
gravidade do local onde a experiência foi feita, como mostrarei a seguir:
T = 2π √(Lg)
(equação 4)
Com a proporcionalidade entre T e √(Lg) , eliminei esta raiz elevando toda a equação ao
quadrado, ficando assim com:
 T 2=4 π 2( L
g
)
(equação5)
Isolando o G e considerando as medições das variáveis obtive:
 
ΔT 2
Δ L
4π 2
=( 1
g
) →
4 π 2
( ΔT
2
Δ L
)
=g
(equação 6)
Com uma simples manipulação da equação cheguei a uma variação que explicita a
gravidade baseada em todos os outros valores que já possuímos, provenientes da tabela 1.
6
A seguir apresento os dois gráficos pedidos no roteiro, o gráfico 1 representa o gráfico T
(período em segundos) em função de L (comprimento em cm)
Aqui vale observar que a linha de tendência dos resultados tem um comportamento
parecido com o de uma função logarítmica, uma função exponencial com concavidade para
baixo que diminui a variação de F(x) a medida que x caminha
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Gráfico 1: Gráfico representando os valores da tabela 1 de T (s) em função de L (cm): 
Fonte: Print de tela, gráfico plotado através do libreoffice calc, imagem autoral, 17/06/2021
Já no gráfico 2 representa os valores de o período de oscilação ao quadrado em função do
comprimento, vale observar que assim, anulamos a raiz da variável, obtendo assim um
resultado linear na linha de tendência das medições.
5 – QUESTIONÁRIO:
1º) Dos resultados experimentais é possível concluir que os períodos independem das massas?
Justifique.
Considerando os resultados experimentais apresentados na tabela número 3, a variação de
tempo entre os dois sistemas, com mais e menos peso, é mínima a ponto de ser
desconsideráveis, acredito que num sistema ideal onde não haja força de arraste com o ar e a
precisão de medição não contivesse erros humanos não haveria nenhuma variação entre os
dois resultados.
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Gráfico 2: Gráfico representando os valores da tabela 1 de T2 ( s2 ) em função de L (cm): 
Fonte: Print de tela, gráfico plotado através do libreoffice calc, imagem autoral, 17/06/2021
2º) Dos resultados experimentais o que se pode concluir sobre os períodos quando a
amplitude passa de 10º para 15o? Justifique.
O tempo de cada oscilação apresentada na tabela 2 tem variações também
desconsideráveis, testando a lei do isocronismo do pêndulo já citada na introdução, para
amplitudes de soltura menores que 15° (que é o caso dos dois experimentos) o período do
movimento não é afetado.
3º) Qual a representação gráfica que se obtém quando se representa T x L?
Explique.
A representação gráfica é uma exponêncial com concavidade para baixo (Gráfico 1),
característica de uma função logarítmica, ela se dá pela proporcionalidade do período T para
com o comprimento do fio citado na fórmula 3, em que T é quadraticamente proporcional a L,
a raiz quadrada tem um comportamento muito parecido com uma função logarítimica.
4º) Qual a representação gráfica que se obtém quando se representa T2 x L? Explique.
Da mesma forma que na questão anterior, explorando a relação de T2 e L na fórmula
geral 3, podemos observar que ao elevar a equação ao quadrado a relação de ambos se torna
9
Gráfico 1: Gráfico representando os 
valores da tabela 1 de T (s) em função 
de L (cm): 
Fonte: Print de tela, gráfico plotado 
através do libreoffice calc, imagem 
autoral, 17/06/2021
diretamente proporcional, ocasionando em um gráfico de reta com valores da escala que
crescem proporcionalmente.
5º) Determine o valor de g a partir do gráfico de T2 x L (indique os valores numéricos
utilizados nos cálculos).
Utilizando a equação 6 anteriormente desenvolvida termos g= 4π
2
( ΔT
2
Δ L
)
 utilizamos
qualquer medição da tabela número 1.
L4 = 80 Θ4 =15 M1 = 12,5 10*T4 = 18,2 10*T4 =18,1 10*T4 = 18,0 1,81 3,28
L5 = 100 Θ5 =15 M1 = 12,5 10*T5 = 20,3 10*T5 = 20,1 10*T5 = 20,2 2,02 4,08
temos que ΔT 2=2,49 s2−1,63 s2=0,86 s2 Δ L=60 cm−40cm=20cm
Aplicando:
g= 39,5 cm
( 0,80 s
2
20
)
=987,5 cm / s2 → g = 9,87 m/ s2
10
Gráfico 2: Gráfico representando os 
valores da tabela 1 de T2 ( s2 ) 
em função de L (cm): 
Fonte: Print de tela, gráfico plotado 
através do libreoffice calc, imagem 
autoral, 17/06/2021
Como já sabemos que a gravidade da terra em valores aproximados é de 9,81 m/ s2
obtivemos um erro percentual de 0,61%.
6º) De acordo com seus resultados experimentais, qual o peso de uma pessoa de 63,00 kg no
local onde foi realizada a experiência?
A força peso é dada pelo produto da massa com a gravidade, levando em consideração a
gravidade achada de 9,87 m/ s2 , uma massa de 63 kg temos
9,87m/ s2 * 63,00 kg = 621 N
7º) Qual o peso da pessoa da questão anterior em Marte? (indique os valores numéricos
utilizados nos cálculos). Não deixe de indicar a referência sobre o valor da aceleração da
gravidade de Marte utilizado.
Segundo o artigo científico “An improved gravity model for Mars” a gravidade de marte mais
precisa calculada é de 3,721 m/s²
Sabendo disso calculamos o peso de uma pessoa de 63,00 kg:
3,721 m/ s2 * 63,00 kg = 234,4 N
8º) De acordo com o valor de g encontrado experimentalmente nesta prática, qual seria o
comprimento para um período de 1,7 s? (indique os valores numéricos utilizados nos
cálculos).
Algebrizando a equação 5:
T 2=4 π 2( L
g
)
Evidenciando L na equação obtemos a nova equação:
L=
T 2(s2)∗g (m /s2)
4 π 2
Logo, substituindo os valores dados pela questão:
L=
2,89 s2∗987(cm /s2)
39,478417
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O resultado de L (comprimento) da questão é aproximadamente 72,3 (cm)
6 – CONCLUSÃO:
O relatório teve como objetivo evidenciar as relações entre os fenômenos físicos que
atuam em um determinado cenário, o pêndulo simples, ele esclareceu diversas propriedades
deste sistema e estabeleceu várias singularidades que fazem o sistema ser útil e um ótimo
objeto de estudo para os meios da física.
As práticas feitas no relatório mostraram diversas ligações com outras fórmulas e
teoremas da física, além de introduzir métodos de medição na prática que se mostraram bem
exatos, conseguindo valores muito aproximados da realidade, como é o caso do cálculo da
gravidade no ponto que demonstrou níveis de erro percentual muito baixos.
O conhecimento sobre essas forças de atuação, esquemáticos, gráficos e equações
desenvolvidos em razão deste relatório e de seu questionário exibe uma ampla abordagem do
assunto, vagueando por diversas áreas de estudo da física fundamental e somando teorias e
métodos já vistos a uma nova base de conhecimento.
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7 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
Fendt, W. , 21 de maio de 1998 Centro de ensino e pesquisa a plicada IFUSP, Artigo sobre
pêndulo simples
http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/mecanica/universitario/cap13/cap13_35.htm, acesso em 15
de junho de 2021, 09:03 h
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https://www.myphysicslab.com/pendulum/pendulum-en.html, acesso em 16 de junho de 2021,
10:16 h
Lewis, A ; Morgan M. (ed), THE EXPERIMENT GROUP'S EXCITING EXPERIMENTS, 
Galileo's Pendulum Experiments, 
http://galileo.rice.edu/lib/student_work/experiment95/galileo_pendulum.html, acesso em 15 
de junho de 2021, 09:38 h
Kilhian .K , O baricentro da mente, Arcos e circunferência, 
https://www.obaricentrodamente.com/2014/09/arcos-de-circunferencia.html, acesso em 16 de 
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Galilei, G. Diálogo sobre os dois máximos sistemas do mundo ptolomaico e
copernicano ,tradução e publicação por editora 32, 2011, 1º edição.
Haliday, David, Resnick, Robert, Walker, Jearl, Fundamentos de Física 1 – Mecânica, 10º 
edição, 2016, editora Gen / LTC.
Marechal B. M., Cristina T. L., Física 2B – Módulo 1 e 2, 2º edição, Fundação cecierj, 
disponível em: https://canal.cecierj.edu.br/012016/cb58baca0e2c23945d802a14af2c48db.pdf 
Acesso em 16 de junho de 2021, 14:40 h.
13
https://canal.cecierj.edu.br/012016/cb58baca0e2c23945d802a14af2c48db.pdf
https://www.obaricentrodamente.com/2014/09/arcos-de-circunferencia.html
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https://www.myphysicslab.com/pendulum/pendulum-en.html
http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/mecanica/universitario/cap13/cap13_35.htmD. E. Smith, F. J. Lerch, R. S. Nerem, M. T. Zruber, G. B. Patel, S. K. Fricked, And F. G. 
Lemoine, An improved gravity model for Mars: Goddard Mars Model, Journal of 
Geophysical Research, 1º edição, 25 de novembro de 1993.
14
	Como cita o livro Física 2B de Bernard M. Marecha (volume 1 e 2) a relação entre período, massa e constante de Hooke é:
	Lewis, A ; Morgan M. (ed), THE EXPERIMENT GROUP'S EXCITING EXPERIMENTS, Galileo's Pendulum Experiments, http://galileo.rice.edu/lib/student_work/experiment95/galileo_pendulum.html, acesso em 15 de junho de 2021, 09:38 h
	Kilhian .K , O baricentro da mente, Arcos e circunferência, https://www.obaricentrodamente.com/2014/09/arcos-de-circunferencia.html, acesso em 16 de junho de 2021, 10:15.
	Haliday, David, Resnick, Robert, Walker, Jearl, Fundamentos de Física 1 – Mecânica, 10º edição, 2016, editora Gen / LTC.
	Marechal B. M., Cristina T. L., Física 2B – Módulo 1 e 2, 2º edição, Fundação cecierj, disponível em: https://canal.cecierj.edu.br/012016/cb58baca0e2c23945d802a14af2c48db.pdf Acesso em 16 de junho de 2021, 14:40 h.
	D. E. Smith, F. J. Lerch, R. S. Nerem, M. T. Zruber, G. B. Patel, S. K. Fricked, And F. G. Lemoine, An improved gravity model for Mars: Goddard Mars Model, Journal of Geophysical Research, 1º edição, 25 de novembro de 1993.