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ÁLGEBRA LINEAR
Subespaços Vetoriais
Prof. Susie C. Keller
Subespaços Vetoriais
 Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço 
vetorial V, subconjuntos S que sejam espaços vetoriais 
“menores”.
 Tais conjuntos S são chamados SUBESPAÇOS 
VETORIAIS.
 Se V = IR2 (o plano), S pode ser uma reta que passa 
pela origem.
 A reta S funciona sozinha como um Espaço Vetorial, 
pois satisfaz os oito axiomas que o definem.
Subespaços Vetoriais
 Para mostrar que S é Subespaço Vetorial de V, 
deveríamos testar os oito axiomas do Espaço Vetorial.
 Porém, como S é parte de V, não há necessidade da 
verificação de certos axiomas em S.
 Exemplo: 
A2 : u + v = v + u,  u, v  V
 Se a propriedade acima (comutativa) é válida para 
todos os vetores de V, logicamente será válida para 
todos os vetores de S.
Subespaços Vetoriais
 Teorema:
 Um subconjunto S, não vazio, de uma espaço 
vetorial V, é um subespaço vetorial de V se forem 
satisfeitas as seguintes condições:
 u, v S, u + v  S
   IR,  u  S, u  S
 Sendo válidas essas duas condições em S, os oito 
axiomas de espaço vetorial também se verificam.
Subespaços Vetoriais
 Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois 
subespaços:
 O conjunto {0}, chamado de subespaço zero ou 
nulo,
 O próprio espaço vetorial V,
 Esses dois são os subespaços triviais de V, os demais 
são denominados subespaços próprios de V.
 Para V = IR2, os subespaços triviais são: {(0,0)} e IR2, 
enquanto os subespaços próprios são as retas que 
passam pela origem.
Subespaços Vetoriais
 Exemplos:
 Sejam V = IR2 e S = {(x, y)  IR2/ y = 2x} ou 
S = {(x, 2x); x IR}.
 Evidentemente S ≠  pois (0,0)  S.
 Verificando as condições I e II:
 Para u = (x1, 2x1)  S e v= (x2, 2x2)  S tem-se:
I) u + v = (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 + x2))  S 
II) u = (x1, 2x1) = ( x1, 2( x1))  S 
 As duas condições são satisfeitas pois a segunda 
componente do vetor continua sendo o dobro da primeira.
Subespaços Vetoriais
 Portanto S é um Subespaço Vetorial de IR2 e, representa uma reta 
que passa pela origem.
 Se somarmos dois vetores que estão sobre a reta, a resultante é um 
vetor que está sobre a reta.
 Se multiplicarmos um vetor da
reta por um número real, teremos
como resultante um vetor que está 
sobre a reta.
Subespaços Vetoriais
 O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem, por 
exemplo:
S = {(x, 4 - 2x); x  R}, não é um espaço vetorial do IR2.
 Se somarmos os vetores u = (1,2) e v = (2,0),
obteremos u + v = (3,2)  S
 Ainda se  ≠ 1, u  S
Por exemplo 
 = 2, u = 2 (1,2) = (2,4)  S
Subespaços Vetoriais
 Para qualquer subconjunto S de um espaço vetorial V, sempre 
que 0  S, S não é subespaço vetorial de V.
 No entanto, se 0  S, S pode ser ou não um subespaço 
vetorial.
 Ex.: S = {(x, |x|), x  R}
Se u =(3,3) e v = (-2,2)
u + v = (1,5)  S
Ainda se  < 0, u  S,
-1(3,3) = (-3,-3)  S.
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
S é subespaço vetorial de IR3.
Subespaços Vetoriais
Sejam
e:


























IR ba, ; 
0
b
 
0
a
S
IR dc,b,a, ; 
d
b
 
c
a
)2,2( MV
Subespaços Vetoriais
S
00
ba 11






 IR e S 
00
ba 22






Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Logo S é subespaço de M(n, n)
Subespaços Vetoriais
Logo S é subespaço de M(2, 2)
Subespaços Vetoriais
Sejam V = M(3, 1) e S o conjunto-solução de um sistema linear 
homogêneo a três variáveis.
Consideremos o sistema homogêneo.








0z3yx
0zyx2
0z2y4x3
Subespaços Vetoriais
Fazendo:
O sistema, em notação matricial, será dado por AX = 0, sendo X 
elemento do conjunto solução S.
Se:


































0
0
0
 0 e 
z
y
x
X ,
311
112
243
A






















2
2
2
2
1
1
1
1
z
y
x
X ve 
z
y
x
Xu
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
 Assim, o conjunto solução S do sistema linear homogêneo é um subespaço 
vetorial de M(3, 1).
Subespaços Vetoriais
 Observações:
 Esse conjunto solução S pode ser também considerado 
subespaço de IR3, pois um vetor (x, y, z)  IR3 tem notação 
matricial:
 Esse subespaço S é também chamado espaço solução do sistema 
AX = 0.
 Se tivermos um sistema homogêneo de m equações com n
variáveis, o espaço solução será um subespaço de IRn. 
 Se um sistema linear é não homogêneo, o seu conjunto solução S 
não é um subespaço vetorial.










z
y
x
Subespaços Vetoriais
 Interseção de dois Subespaços Vetoriais
 Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V: S é 
a interseção de S1 e S2 (S = S1 S2), ou seja é o 
conjunto de todos os vetores v  V tais que v 
S1 e S2. 
Subespaços Vetoriais
 Teorema:
A interseção S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um 
subespaço vetorial de V. 
De fato:
I) Se u, v S1, então u + v  S1;
se u, v S2, então u + v  S2.
Logo:
u + v  S1 S2 = S
Subespaços Vetoriais
II) Para qualquer   IR:
se v S1, então v  S1;
se v S2, então v  S2.
Logo:
v  S1 S2 = S
Subespaços Vetoriais
 Exemplos:







































IR ca, ; 
0
0
 
c
a
S IR ba, ; 
0
b
 
0
a
S
IR dc,b,a, ; 
d
b
 
c
a
V
21
1) Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas
de ordem 2:
Sejam S1 e S2 subespaços vetoriais de V:
Subespaços Vetoriais
2) Seja o espaço vetorial IR3 = {(a,b,c); a,b,c IR} e os subespaços 
vetoriais
S1 = {(a,b,0); a,b IR} e S2 = {(0,0,c); c IR}.
A interseção S1  S2 é o subespaço vetorial S = {(0,0,0)} = {0}.
A interseção S = S1  S2 é um espaço vetorial de V:
 IR a ; 
0
0
 
0
a
S













Subespaços Vetoriais
 Soma de dois Subespaços Vetoriais
 Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V: S é 
a soma de S1 e S2 (S = S1+ S2), ou seja é o 
conjunto de todos os vetores u + v de V tais que 
u  S1 e v  S2. 
Subespaços Vetoriais
 Teorema:
A soma S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um 
subespaço vetorial de V. De fato:
I) Se u1, u2 S1, então u1 + u2  S1;
se v1, v2 S2, então v1 + v2  S2.
Por outro lado:
u1 + v1  S
u2 + v2  S
Logo:
(u1 + v1) + (u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2)  S1 + S2 = S
Subespaços Vetoriais
II) Para qualquer   IR:
se u1 S1, então u1  S1;
se v1 S2, então v1  S2.
Por outro lado:
u1 + v1  S
logo:
(u1 + v1) = u1 + v1  S1 + S2 = S
Subespaços Vetoriais
 Exemplos:
A soma S dos subespaços vetorias S1 e S2 referidas no exemplo anterior é 
um subespaço vetorial de V:












 IR c b,a, ; 
0
b
 
c
a
S












 IR ba, ; 
0
b
 
0
a
S1












 IR ca, ; 
0
0
 
c
a
S2
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
 Soma Direta de dois Subespaços Vetoriais
 Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. 
Diz-se que V é a soma direta de S1 e S2, e se 
representa por V = S1  S2, se V = S1 + S2 e c
S2 = {0}.
Subespaços Vetoriais
 Teorema:
Se V é a soma direta de S1 e S2, todo vetor v V se escreve de 
modo único, na forma:
v = u + w
onde 
u S1 e w S2 
De fato, de V = S1  S2, temos que, para qualquer v  V:
v = u + w, onde u S1 e w  S2
Suponhamos que v pode ser expresso também por:
v = u’ + w’, onde u’ S1 e w’ S2
(1)
(2)
Subespaços Vetoriais
Das equações (1) e (2) temos que:
u + w = u’ + w’
ou
u – u’ = w’– w
onde
u – u’  S1 e w’ – w  S2
Lembrando que S1 S2 = {0}:
u – u’ = w’ – w = 0
isto é:
u = u’ e w’ = w .
Subespaços Vetoriais
 Exemplo: