Aula 1 Noção de Vetores

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Aula 1 – Noção de Vetores
Noção Intuitiva, Reta, Segmentos, Propriedades, Vetores
1. Noção Intuitiva – Grandezas 
 Escalares - Grandezas escalares são aquelas que ficam completamente definidas por um número real e acompanhadas por uma unidade.
56 kg
39 °C
6h11min ou 18h11min
1. Noção Intuitiva – Grandezas 
 Vetoriais - Grandezas vetoriais são aquelas onde não podemos definir completamente, isto é, são apenas definidas pelo seu módulo, ou seja, pelo número e pela sua unidade correspondente.
Grandezas Vetoriais precisam ter:
Módulo (comprimento ou intensidade);
Direção e;
Sentido.
1. Noção Intuitiva
1.1. Direção e Sentido 
 Direção: Observem as retas r1 e r2 e r3 abaixo
r1
r2
r3
1. Noção Intuitiva
1.1. Direção e Sentido 
 Direção: É o ângulo que o segmento de reta ou a reta faz com a horizontal.
r1
r2
r3
Horizontal
α
α
α
1. Noção Intuitiva
1.1. Direção e Sentido 
 Sentido: Quando um segmento de reta possuir uma seta em sua extremidade, ela é chamada de segmento orientado. Indica o sentido para onde o segmento está “apontando”.
2. Vetor
 
 Vetor: É segmento orientado que possui módulo (comprimento ou intensidade), direção e sentido. 
2. Vetores no Geogebra
 
 Criar vetor
Vetor fora da origem e na origem
Coordenadas do vetor 
2. Vetores Equipolentes e Unitário
 
 Equipolentes: Dois vetores são equipolentes, se e somente se (see), possuírem mesmo módulo, mesmo sentido e mesma direção.
Vetor Unitário: É vetor que possui mesmo sentido e mesma direção, mas seu módulo é 1 u.m. (unidade de medida)
= 1
2. Vetores – Representação e Módulo
 
 Vetores podem ser representados como , , ou ainda como (diferença das coordenadas final e inicial).
 Módulo do Vetor: É valor do seu comprimento ou intensidade, representado por ou conhecida por “Norma” do vetor. Seu valor é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença de suas coordenadas, isto é, .
Conhecida como distância entre dois pontos.
2. Vetores – Exercícios
 
 Calcular o Módulo dos Vetores:
Representar no Geogebra.
2 Vetores
2.2. Casos Particulares dos Vetores
 Sejam os vetores e , então seguem-se as seguintes particularidades:
a) Dois vetores e são iguais, indicado por = , se tiverem módulo, sentido e direção iguais (equipolentes).
b) Dois vetores e são paralelos, // , se tiverem a mesma direção.
c) Dado vetor , o vetor é oposto de e representado por ou .
d) Qualquer ponto no espaço é a representação do vetor nulo ou zero e indicado por ou .
e) Um vetor é unitário se .
f) Chamamos de versor de um vetor não nulo, o vetor unitário que possui mesma direção e sentido que 
g) Dois vetores e são ortogonais, , se algum deles formar um ângulo de 90° com o outro.
h) Dois vetores e são colineares, se estiverem na mesma reta suporte e coplanares se estiverem no mesmo plano.
3. Operação com Vetores
3.1. Adição
 Sejam os vetores representados pelos segmentos orientados . 
 A adição dos vetores o segmento , dado pela soma das coordenadas de 
3. Operação com Vetores
3.1. Adição – Regra do Paralelogramo
 Para efetuar a adição usando a regra do paralelogramo, traça-se retas paralelas aos vetores A intersecção dessas retas é a extremidade do vetor . 
3. Operação com Vetores
3.1. Subtração
 Sejam os vetores representados pelos segmentos orientados . 
 A subtração dos vetores é dada pela adição de com o oposto de , logo .
3. Operação com Vetores
3.1. Adição e Subtração
 Portanto, a adição e subtração dos vetores são representados pelas diagonais do paralelogramo formado por estes vetores.
3. Vetores – Exercícios de Operações
 
 Sejam os vetores , Efetue as operação:
Representar no Geogebra.
3. Vetores – Exercícios de Operações
3.3. Multiplicação por um Escalar e Versor
 Dado um vetor não nulo e um escalar , chamamos de produto do escalar pelo vetor de , tal que,
a) Módulo: ;
b) Direção: a mesma de ;
c) Sentido: o mesmo de se > 0 e oposto de se < 0.
Representar no Geogebra.
 Versor: O versor de um vetor é o vetor unitário 
3. Vetores – Exercícios
 
 Prove que o vetor é versor do vetor .
Dado o vetor , achar o vetor paralelo a que tenha:
Mesmo sentido e 2x o módulo de 
Sentido contrário de e a metade de 
Mesmo sentido e módulo 4.
3. Vetores – Exercícios
 
 Prove que o vetor é versor do vetor .
De fato,
C.Q.D. (Como Queríamos Demonstrar)
 
3. Vetores – Exercícios
 
 Dado o vetor , achar o vetor paralelo a que tenha:
a) Mesmo sentido e 2x o módulo de 
b) Sentido contrário de e a metade de 
Mesmo sentido e módulo 4.
, logo .
3. Vetores – Teorema
 
 Dois vetores , não colineares, são sempre coplanares. Como tem direção de e tem direção , logo, o vetor será sempre um vetor representado no mesmo plano de , sejam quaisquer os escalares . 
Representar no Geogebra.
3. Vetores 
3.4. Ângulo entre Vetores
 Sejam os vetores não nulos, então o ângulo formado pelas semirretas e de mesma origem , onde e e com ( em radianos) ou 
 Particularidades:
a) Se , então tem mesma direção mas sentidos contrários;
b) Se , então tem mesma direção e mesmo sentido;
c) Se , então são ortogonais, . Com isto podemos deduzir que 
; (demonstrar para a Prova)
d) O ângulo formado pelos vetores é o suplemento do ângulo entre .