ANÁLISE MATEMÁTICA AV - 1

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17/07/2021 UNIASSELVI - Centro Universitário Leonardo Da Vinci - Portal do Aluno - Portal do Aluno - Grupo UNIASSELVI
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Acadêmico: Douglas Alberto da Silva Wenglarek (2459185)
Disciplina: Análise Matemática (MAT27)
Avaliação: Avaliação I - Individual ( Cod.:670406) ( peso.:1,50)
Prova: 34449086
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Um dos mais icônicos escritos da matemática do século XIX foi o famoso Formulaire de
Mathematiques, de Giuseppe Peano.
Nele Peano, matemático italiano, formulou os famosos axiomas dos números naturais.
Ferramenta que desenvolveu fortemente a Análise Matemática. São eles:
? Zero é um número.
? Se a é um número, o sucessor de a é um número.
? Zero não é o sucessor de um número.
? Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais.
? Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S,
então todo número está em S.
Baseado nisto, assinale a opção de uma proposição que pode ser provada a partir do uso
destes axiomas:
 a) Seja X um conjunto finito e Y um subconjunto de X. Então Y também é finito e possui no
máximo o mesmo número de elementos de X.
 b) Raiz de 2 é um número irracional.
 c) Todo subconjunto dos números naturais é enumerável.
 d) Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p).
2. No dia a dia nos deparamos com situações diversas, onde temos que contar, enumerar
objetos, etc. No cotidiano você dispõe de um ambiente e objetos inseridos nele, na
matemática temos conjuntos e elementos pertencentes a este conjunto. Desta forma,
podemos definir um conjunto enumerável se:
 a) Existir uma função bijetora entre ele e o conjunto dos números naturais.
 b) Se ele for obrigatoriamente apenas finito.
 c) Ser um subconjunto dos números reais.
 d) Ser o conjunto de partida de uma função linear.
3. Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da analise matemática, faz-
se necessário construir os raciocícios ligados aos métodos de transformação. A parte mais
importante e mais complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada
para demonstrar certo teorema, propriedade ou proposição. Baseado nisto, para mostrar que
a raiz de 2 é irracional, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por:
 a) Contradição.
 b) Absurdo.
 c) Prova direta.
 d) Indução.
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4. Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da análise matemática, faz-
se necessário construir os raciocínios ligados aos métodos de transformação. A parte mais
importante e mais complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada
para demonstrar certo teorema, propriedade ou proposição. Baseado nisto, para mostrar que
a raiz de 2 é irracional, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por:
 a) Indução.
 b) Prova Direta.
 c) Absurdo.
 d) Contradição.
5. A multiplicação de números naturais é uma operação fundamental, mas que em Análise
Matemática exige uma visão mais ampla para permitir realizar-se vários dos procedimentos
de cálculo que utilizamos sem perceber. Por exemplo, em uma equação 2m = 2n, podemos
cancelar os valores iguais em ambos os membros da igualdade. Isso se deve ao fato de
existir a Lei do corte, uma propriedade importante desta operação. Sobre as propriedades
válidas para a multiplicação de números naturais, classifique V para as opções verdadeiras e
F para as falsas:
( ) Associatividade.
( ) Comutatividade.
( ) Distributividade.
( ) Elemento Neutro.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - F - V - F.
 b) F - F - F - V.
 c) V - V - V - V.
 d) V - V - V - F.
6. Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. No entanto, os mais importantes da
matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo.
Sobre a sentença que pode ser provada pelo método da demonstração direta, assinale a
alternativa CORRETA:
 a) Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
 b) Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
 c) Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
 d) Teorema de Tales.
7. Muitas vezes, para utilizarmos a demonstração por indução, é necessário primeiramente
concluir o termo geral da sequência ou série que se está trabalhando. Assinale a alternativa
CORRETA que apresenta o termo geral da série gerada pela soma dos números naturais
ímpares:
 a) (n²+n)/2n
 b) n²
 c) n(n²+2)/2n
 d) n(n+2)/2
8. Georg Cantor, matemático russo, denominou de conjuntos enumeráveis aqueles conjuntos
em que é possível contar e numerar os seus elementos. Assim, é enumerável todo conjunto
equipotente ao conjunto dos naturais. Em outras palavras, podemos dizer que um conjunto X
é enumerável se:
 a) For infinito ou possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
 b) For finito ou possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
 c) For infinito e possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
 d) For finito e possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
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9. O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes
aos números naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é
importante também conhecer seu significado e sua posição dentro da Matemática. Em outras
palavras, entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números
naturais. O conjunto dos números naturais é fundamentado pelos axiomas de Peano. Sendo
assim, sobre os itens que contém axiomas de Peano, classifique V para as sentenças
verdadeiras e F para as falsas:
( ) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 não é sucessor de ninguém.
( ) Um número natural possui apenas um sucessor.
( ) Se um subconjunto X pertence a N é tal que 1 pertence a N e o seu sucessor pertence a
X, então X = N.
( ) A função que associa dois números naturais é bijetiva.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - V - V - F.
 b) V - V - F - F.
 c) F - F - V - F.
 d) F - V - F - V.
10.Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito
curta e intuitiva, porém a pratica pode ser muito complicada. Para demonstrar alguma
proposição por absurdo você deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso
mostrar que a veracidade da negação implica que a negação é falsa, que de acordo com a
hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. Baseado nesta técnica,
analise as sentenças a seguir que podem ser provadas por redução ao absurdo:
I- Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0.
II- Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável.
III- Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n².
IV- Provar que raiz de 3 é irracional.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As sentenças II e III estão corretas.
 b) As sentenças I, II e IV estão corretas.
 c) As sentenças I e IV estão corretas.
 d) As sentenças I e II estão corretas.
Prova finalizada com 10 acertos e 0 questões erradas.