Lista de Exercícios Topologia do Espaço Rn

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UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Francisco Beltrão
Lista de exerćıcios de cálculo II sobre Topologia do Espaço Rn
Professor Maycow Gonçalves Carneiro
Exerćıcio 1. Identifique quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em R2 ou R3, deter-
minando caso positivo o centro e o raio.
(a) x2 + y2 − 2y < 3
(b) x2 + y2 + z2 + 6z < 0
(c) x2 + y2 < z2
(d) x2 + y2 + 2x > (x− 1)2 + (y − 2)2
(e) x2 + y2 − 1 > 0
(f) x2 + 4x + y2 < 5
(g) x2 + y2 + z < 2
Exerćıcio 2. Seja A = {(x, y) ∈ R2| 2 < x < 3 e − 1 < y < 1}
(a) Representar graficamente o conjunto A, identificando se A é um conjunto aberto.
(b) Determinar a fronteira de A.
Exerćıcio 3. Repetir o exerćıcio 2 para o conjunto B = {(x, y, z) ∈ R3| − 1 < x < 1, −1 <
y < 1 e − 1 < z < 1}
Exerćıcio 4. Verificar quais dos conjuntos a seguir são conexos:
A = {(x, y) ∈ R2| 2x2 + 5y2 ≤ 10}
B = {(x, y) ∈ R2| − 1
2
≤ x ≤ 1
2
}
C = {(x, y, z) ∈ R3| 3x2 + 9y2 + z2 ≥ 18}
D = {(x, y) ∈ R2| y > 1|x| , x 6= 0}
Exerćıcio 5. Representar graficamente os seguintes subconjuntos de R2. Identificar os con-
juntos abertos.
(a) A = {(x, y) ∈ R2| x2 − 4x + y2 < 0}
(b) B = {(x, y) ∈ R2| x2 − 4x + y2 ≥ 0}
(c) C = {(x, y) ∈ R2| |y| < 3}
(d) D = {(x, y) ∈ R2| |x|+ |y| ≤ 0}
(e) E = {(x, y) ∈ R2| x ≥ 2y − 3}
Exerćıcio 6. Verificar se o conjunto A = {(x, y) ∈ R2|x, y ∈ N} tem ponto de acumulação.
Exerćıcio 7. Identificar as afirmações verdadeiras:
(a) P (0, 0) é ponto de acumulação do conjunto A = {(x, y) ∈ R2| y > x}.
(b) Os pontos P (0, 4) e Q(2, 2) pertencem à fronteira do conjunto A = {(x, y) ∈ R2| y >
4− x2}.
(c) P (0, 0) é ponto de acumulação da bola aberta B((0, 0), r), qualquer que seja r > 0.
(d) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
(e) R2 é um conjunto aberto.
(f) Todo ponto de acumulação de um conjunto A pertence a esse conjunto.
1
(g) O conjunto {(x, y) ∈ R2| x, y ∈ Q} não tem ponto de acumulação.
(h) Todos os pontos de um conjunto aberto A são pontos de acumulação de A.
(i) Se A é um conjunto aberto, nenhum ponto da fronteira de A pertence a A.
REFERÊNCIAS
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LEITHOLD, Louis; O Cálculo com Geometria Anaĺıtica, Vol. II, 3a Edição, Harbra 1994.
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