DERIVADAS PARCIAIS I

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Resumo
Sumário
1 Sobre o documento
2 Requisitos
3 Introdução
4 Derivadas Parciais no R2
5 Derivadas Parciais no R3
6 Generalização para o Rn
1 Sobre o documento
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2 Requisitos
Para o bom entendimento deste resumo é importante que o leitor tenha conhecimento
dos seguintes temas:
• Definição de funções de duas variáveis Reais com valores Reais;
• Derivadas de funções reais a valores reais.(Derivada no Cálculo 1).
3 Introdução
O documento aqui exposto trata-se de um resumo sobre derivadas parciais com
funções reais de duas variáveis. Um outro documento será postado fazendo uma
generalização para o Rn. Para as resoluções das outras seções acesse: Lista de
Cálculo
4 Derivadas Parciais no R2
Seja z = f(x, y) uma função real de duas variáveis e seja (x0, y0) ∈ Df . Fixado y0
podemos definirar uma função g de uma variável real dada por
g(x) = f(x, y0)
A derivada da função g em x0, quando existe, é chamada Derivada parcial de f em
relação a x, no ponto (x0, y0) e é comumente indicada por
∂f
∂x
(x0, y0)
De acordo com a definição de derivada
∂f
∂x
(x0, y0) = g
′(x0) = lim
x→x0
g(x)− g(x0)
x− x0
Portanto
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
x→x0
f(x, y0)− f(x0, y0)
x− x0
= lim
∆x→0
f(x0 +∆x, y0)− f(x0, y0)
∆x
Seja A ⊂ Df formado por todos os pontos (x, y) de modo que
∂f
∂x
(x, y) existe;
fica assim definida esta nova função
∂f
∂x
: Df ⊆ R2 → R
a qual chamaremos de derivada parcial de primeira ordem de f em relação a x.
Analogamente, definimos a derivada parcial de f em relação a y.
OBS: Na prática, se queremos calcular a derivada parcial da função f em relação
a x, tratamos y como ”constante”e derivamos, como se fosse no calculo 1, a função
em relação a x.
Exemplo: Seja f(x, y) = 2xy − 4y
(a) ∂f
∂x
(x, y)
(b) ∂f
∂y
(x, y)
(c) ∂f
∂x
(1, 1)
(d) ∂f
∂y
(−1, 1)
Soluções:
(a) Devemos olhar y como constante e derivar em relação a x:
∂f
∂x
(x, y) =
∂
∂x
(2xy − 4y) = 2y
Isso facilita bastante nosso trabalho uma vez que por definição teríamos:
∂f
∂x
= lim
∆→0
f(x+∆x, y)− f(x, y)
∆x
= lim
∆→0
2(x+∆x)y − 4y − (2xy − 4y)
∆x
= lim
∆→0
2(x+∆x)y − 4y − 2xy + 4y
∆x
= lim
∆→0
2(x+∆x)y − 2xy
∆x
= lim
∆→0
2xy + 2(∆x)y − 2xy
∆x
= lim
∆→0
2(∆x)y
∆x
= 2y
(b) Neste caso devemos observar x como constante e derivar em relação a y.
Assim,
∂f
∂y
(x, y) =
∂
∂y
(2xy − 4y) = 2x− 4
(c) Pelo item a, temos
∂f
∂x
(x, y) = 2y
Logo,
∂f
∂x
(1, 1) = 2 · 1 = 2
(d) Pelo item a, temos
∂f
∂y
(x, y) = 2x− 4
Logo,
∂f
∂x
(−1, 1) = 2(−1)− 4 = −6
5 Derivadas Parciais no R3
Sejam w = f(x, y, z) e (x0, y0, z0) ∈ Df . Mantendo-se y0 e z0 constantes podemos
considerar a função g(x) = f(x, y0, z0). A derivada desta função em x = x0 é
denominada derivada parcial de f em relação a x. E denotamos por
∂f
∂x
(x0, y0, z0) = lim
∆x→0
f((x+∆x, y0, z0))− f((x0, y0, z0))
∆x
De maneira análoga definimos ∂f
∂y
(x0, y0, z0) e
∂f
∂z
(x0, y0, z0)
6 Generalização para o Rn
A generalização é conseguida da mesma forma. Deixe uma coordenada qualquer xi
variando e fixe todas as outras. Deste modo, conseguimos novamente a função g e
por consequência ∂f
∂xi
.
EXERCÍCIO PROPOSTO
Observando a construção das derivadas parciais em R2 e R3. Ache uma fórmula
para a deridada parcial de f em xi.