Lista de Cálculo Numérico - 3

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Cálculo Numérico
Autor: Profº Gustavo Hermano Gusmão de Souza
Contato: prof.gustavo.matematicamente@outlook.com
3 de agosto de 2021
1 Qusetão 1. Aproxime a integral dada usando
(i) a regra do trapézio e (ii) a regra de Simp-
son com número especificado de subintervalos.
a)
∫ 6
4
1√
x
dx; n = 4.
Integrando:∫ 6
4
1√
x
dx =
∫ 6
4
x−
1
2 dx =
x
1
2
1
2
|64 = (2
√
x)|64 = 2
√
6−2
√
4 = 2
√
6−4 = 0, 8990.
(i) a regra do trapézio:
Para esta regra utilizaremos a formula de integração que basicamente utiliza-se
de um polinômio interpolador de grau que se aproxima da integral no intervalo
[a, b] e subdividindo este intervalo em n subintervalos iguais.∫ b
a
f(x) dx ≈ h
2
n∑
i=0
cif(xi).
Com c0 = cn = 1 e ci = 2, com i = 1, 2, ..., n− 1.
h =
(b− a)
4
=
(6− 4)
4
= 0, 5.
i xi f(xi) ci ci · f(xi)
0 4, 0 0, 5 1 0, 5
1 4, 5 0, 4714 2 0, 9428
2 5, 0 0, 4472 2 0, 8944
3 5, 5 0, 4264 2 0, 8528
4 6, 0 0, 4082 1 0, 4082∑
3, 5983
1
h
2
n∑
i=0
ci
1
√
xi
=
0, 5
2
· 3, 5983 = 0, 8996.
Logo, ∫ 6
4
1√
x
dx ≈ 0, 8996.
(ii) a regra de Simpson:
∫ b
a
f(x) dx ≈ h
3
n∑
i=0
cif(xi).
Com c0 = cn = 1 e
ci =
{
2, se i é par
4, se i é ı́mpar
e i = 1, 2, ..., n− 1.
h =
(b− a)
4
=
(6− 4)
4
= 0, 5.
i xi f(xi) ci ci · f(xi)
0 4, 0 0, 5000 1 0, 5000
1 4, 5 0, 4714 4 1, 8856
2 5, 0 0, 4472 2 0, 8944
3 5, 5 0, 4264 4 1, 7056
4 6, 0 0, 4082 1 0, 4082∑
5, 3939
h
3
n∑
i=0
ci
1√
x
=
0, 5
3
· 5, 3939 = 0, 8990
Logo, ∫ 6
4
1√
x
dx ≈ 0, 8990.
b)
∫ 0
1
1√
1 + x2
dx; n = 4.
(i) a regra do trapézio:
2
h =
(b− a)
4
=
(1− 0)
4
= 0, 25.
i xi f(xi) ci ci · f(xi)
0 0 1 1 1
1 0, 25 0, 9412 2 1, 8824
2 0, 50 0, 8000 2 1, 6000
3 0, 75 0, 6400 2 1, 2800
4 1, 00 0, 5000 1 0, 5000∑
6, 2624
h
2
n∑
i=0
ci
1√
1 + x2i
=
0, 25
2
· 6, 2624 = 0, 7854.
Logo, ∫ 1
0
1√
1 + x2
dx ≈ 0, 7854.
(ii) a regra de Simpson:
h =
(b− a)
4
=
(1− 0)
4
= 0, 25.
i xi f(xi) ci ci · f(xi)
0 0 1, 0000 1 1, 0000
1 0, 25 0, 9412 4 3, 7647
2 0, 5 0, 8000 2 1, 6000
3 0, 75 0, 6400 4 2, 5600
4 1 0, 5000 1 0, 5000∑
9, 4247
h
3
n∑
i=0
ci ·
1√
1 + x2
=
0, 25
3
· 9, 4247 = 0, 7854.
Portanto, ∫ 1
0
1√
1 + x2
dx ≈ 0, 7854.
3
2 Qusetão 2. Use a regra do trapézio para esti-
mar a área delimitada pela curva y =
√
x3 + 1,
pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 1.
Tome o número de subintervalos como n = 4. Dáı,
h =
1− 0
4
= 0, 25.
i ti y(xi) ci ci · y(xi)
0 0, 00 1, 00000 1 1, 00000
1 0, 25 1, 00778 2 2, 01556
2 0, 50 1, 06066 2 2, 12132
3 0, 75 1, 19242 2 2, 38485
4 1, 00 1, 41421 1 1, 41421∑
8, 93595
h
2
·
n∑
i=0
ci · y(xi) =
0, 25
2
· 8, 93595 = 1, 11699.
Desse modo a estimativa da área delimitada pela curva y =
√
x3 + 1 e pelas
retas x = 0 e x = 1 é 1,11699. Isto é,∫ 1
0
√
x3 + 1 dx ≈ 1, 11699.
4
3 Qusetão 3. Use a regra de Simpson (com n =
10) para estimar o valor da integral
∫ 3
1
1√
2π
e−
x2
2 .
Note que o integrando é uma função densi-
dade de probabilidade. Que probabilidade esta
integral representa?
i ti f(xi) ci ci · f(xi)
0 1, 0 0, 267488 1 0, 267488
1 1, 2 0, 214664 4 0, 858656
2 1, 4 0, 165517 2 0, 331034
3 1, 6 0, 122618 4 0, 490472
4 1, 8 0, 087276 2 0, 174552
5 2, 0 0, 059685 4 0, 238738
6 2, 2 0, 039216 2 0, 078431
7 2, 4 0, 024756 4 0, 099025
8 2, 6 0, 015015 2 0, 030031
9 2, 8 0, 008750 4 0, 035001
10 3, 0 0, 004899 1 0, 004899∑
2, 608326
h =
3− 1
10
= 0, 2
h
3
·
n∑
i=0
ci · f(xi) =
0, 2
3
· 2, 608326 = 0, 173888.
A função densidade de probabilidade, a grosso modo, representa a área sob uma
função delimitada por um intervalo no eixo x. Os valores da função densidade
de probabilidade são sempre positivos e a integral sobre todo o espaço é igual
a 1 o que representa 100% da área total. Assim, o resultado (0, 1739) obtido
neste exerćıcio representa aproximadamente 17, 39% da área total.
5
4 Qusetão 5. Carla precisa saber a área de sua
piscina para comprar uma cobertura para ela,
mas isso é dif́ıcil porque a forma da piscina é
muito irregular. Suponha que Carla faça as
medidas mostradas na figura abaixo em inter-
valos de 4 metros ao longo da base da piscina.
Calcule a área da piscina, utilizando a regra
de Simpson para estimar a área da piscina.
i ti f(xi) ci ci · f(xi)
0 0 0 1 0
1 4 10 4 40
2 8 9 2 18
3 12 8 4 32
4 16 9 2 18
5 20 11 4 44
6 24 13 2 26
7 28 12 4 48
8 32 8 2 16∑n
i=0 ci · f(xi) 242
h =
32− 0
8
= 4.
h
3
·
n∑
i=0
ci · f(xi) =
4
3
· 242 = 322, 67m2.
5 Qusetão 6. Um carro percorre uma pista em
84 segundos. A velocidade do carro a cada
intervalo de 6 segundos está mostrada na se-
guinte tabela:
t(s) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84
v(m/s) 0 20 22 22 24 30 33 34 37 34 35 33 30 18 0
Qual é o comprimento da pista?
6
i ti v(ti) ci ci · v(ti)
0 0 0 1 0
1 6 20 4 80
2 12 22 2 44
3 18 22 4 88
4 24 24 2 48
5 30 30 4 120
6 36 33 2 66
7 42 34 4 136
8 48 37 2 74
9 54 34 4 136
10 60 35 2 70
11 66 33 4 132
12 72 30 2 60
13 78 18 4 72
14 84 0 1 0∑n
i=0 ci · v(ti) 1126
h =
84− 0
14
= 6.
h
3
·
n∑
i=0
ci · v(ti) =
6
3
· 1126 = 2225.
Portanto, o comprimento da pista é de 2225 metros.
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