SolicitacoesCombinadas

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Versão 2009 1
SOLICITAÇÕES COMBINADAS (FLEXÃO COMPOSTA)
As chamadas Solicitações Simples são:
a) Tração e Compressão (Solicitação Axial): age somente esforço normal N na 
seção
b) Torção: age somente momento torsor T na seção
c) Flexão Pura (Reta ou Oblíqua): age somente momento fletor M na seção
d) Flexão Simples (Reta ou Oblíqua): agem momento fletor M e esforço cortante 
V
As chamadas Solicitações Combinadas são, nada mais nada menos, do que 
combinações das Solicitações Simples.
São de interesse prático o estudo do caso geral (N, T, M e V) e dos seguintes 
casos particulares:
a) Flexão Composta com Esforço Axial (Flexo-Tração ou Flexo-Compressão)
b) Flexão Composta com Torção (Flexo-Torção)
Flexão Composta com Esforço Axial
 y
 x
 
 
 z
(x,y): eixos centrais principais de inércia
Figura 01
A tensão normal num ponto (x,y) qualquer da seção transversal da barra é dada 
por:
=N
A

M x
I x
. y−
M y
I y
. x
onde Ix e Iy são os momentos principais de inércia da seção.
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
Mx My
N
Versão 2009 2
Posição da LN: =0 ou NA 
M x
I x
⋅y−
M y
I y
⋅x=0
 ou y=
I x
M x
⋅M yI y ⋅x− NA 
Conclusão: A LN não passa pelo C.G. da seção, o que somente ocorre na flexão 
simples (reta ou oblíqua).
A equação da LN ainda pode ser escrita como
y= I x . M yI y . M x ⋅x− I x . NA. M x
onde
I x . M y
I y . M x
 é o coeficiente angular da LN e
I x . N
A. M x
 é o coeficiente linear da LN
Tensões Máximas:
As máximas tensões normais de tração e de compressão são, respectivamente,
máx
T = NA
M x
I x
⋅yT−
M y
I y
⋅xT e máx
C = NA
M x
I x
⋅yC−
M y
I y
⋅xC
onde (xT,yT) é o ponto mais afastado da LN, na região tracionada da seção,
(xC,yC) é o ponto mais afastado da LN, na região comprimida e
N é o esforço normal em valor relativo (positivo para tração e negativo 
para compressão).
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
LN
y
x
Figura 02
Versão 2009 3
Tração ou Compressão Excêntrica: 
É um tipo de Flexo-Tração ou de Flexo-Compressão provocada por esforço 
normal N aplicado fora do C.G. da seção.
y
 y
 x P
 P b x
CG a
 
 z
(x,y): eixos centrais principais de inércia
P(a,b): ponto de aplicação do esforço normal N
 Figura 03
Os momentos fletores em torno nos eixos centrais principais são:
M x=N⋅b M y=−N⋅a
A tensão normal num ponto (x,y) qualquer da seção transversal é:
=NA 
M x
I x
⋅y−
M y
I y
⋅x ou =N⋅ 1A bI x⋅y aI y⋅x 
A equação da LN é, então, dada por:
=0 ou 
a.x
I y
 b.y
I x
 1
A
=0
e as interseções da LN com os eixos coordenados:
para x=0 , y 0=−
I x
A.b
e 
para y=0 , x0=−
I y
A.a
assim podemos concluir que a LN não passa pelo quadrante onde a força está 
aplicada
⇒ se a > 0 e b > 0 (1o quadrante) então x0 < 0 e y0 < 0, ou seja a LN passa 
pelos 2º. 3º e 4º quadrantes.
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
N
Versão 2009 4
Se a força N for aplicada no ponto B (x0;y0) a nova equação da LN será:
1
A

y0
I x
⋅y
x0
I y
⋅x=0
as interseções com os eixos coordenados serão:
para x=0 , y=−
I x
A.y0
=b
para y=0 , x=−
I y
A.x0
=a
a LN interceptará os eixos coordenados nos pontos (a;0) e (0;b).
- Força percorrendo um segmento de reta:
Aplicando a força em P(r,s) a equação da linha neutra é:
1
A
 s
I x
⋅y r
I y
⋅x=0
interseção com os eixos coordenados:
x=0n=−
I x
A.s
 e y=0m=−
I y
A.r
Na Fig. 4, observa-se que B(-a; -b) é um ponto sobre a LN quando a força 
N está aplicada em P(r ; s), assim
1
A
 s
I x
⋅−b r
I y
⋅−a=0
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
y
x
P
s
r
m
n
b
aaaB
B1
B2
Fig. 4
Versão 2009 5
Aplicando a força em B(-a; -b) a equação da nova linha neutra será:
1
A
−b
I x
⋅y−a
I y
⋅x=0
Observando estas duas últimas expressões, pode-se concluir que o ponto 
P(r ; s) é um ponto da linha neutra correspondente à força aplicada no ponto B. 
Desta forma, se a força percorre um segmento de reta B1 B2 a linha neutra 
gira em torno de um determinado ponto P.
- distância da linha neutra ao centróide da seção
 y
 LN
 P
 yo x
 
 Figura 05
Se a LN é a reta ax + by + c = 0, então a distância d do CG (origem dos eixos x e 
y) é:
d= c
a²b2
Assim, 
d= 1
A⋅ x0I y 2 y0I x 2
Observação: À medida que (xo,yo) se aproxima do CG da seção, a distância d 
aumenta, isto é, a LN se afasta. Se a LN passa pela seção, teremos 
tensões de tração e de compressão; caso contrário, o sinal da tensão 
será único em todos os pontos da seção e, por conseguinte, teremos 
apenas tensões de tração ou de compressão.
Núcleo Central da Seção (NC): 
Lugar geométrico dos pontos de aplicação do esforço normal N, para os quais as 
tensões σ , em toda a seção, têm um único sinal; isto é, lugar geométrico dos 
pontos (xo,yo) tais que a LN tangencie a seção.
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
x0
Versão 2009 6
 Variação da tensão normal σ ao longo da seção:
(a) (b) (c)
(a): A LN passa pela seção
(b): A LN tangencia a seção
(c): A LN não passa pela seção
Figura 06
O contorno do Núcleo Central pode ser obtido a partir da equação da LN ou da 
fórmula da distância entre a LN e o CG.
Exemplos:
a) Seção Circular:
y
 . (xo,yo)
 d x
d = R
 LN
 Figura 07
A= . R² I x= I y=
 . R4
4
Distância entre a LN (tangenciando a seção) e o CG: d = R
d= 1
A⋅ x0I y 2 y0I x 2
=R
⇒ x0 ² y0 ²= R4 
4
Logo, o NC é um círculo cujo contorno é a circunferência de raio igual a R/4 e 
centro coincidente com o CG (parte sombreada da figura abaixo)
 y
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
Versão 2009 7
 
 
 R/4 x
 NC
 R/4
 Figura 08
b) Seção Retangular: y
LN
 h/2
 CG x
 h/2
 
 b/2 b/2
 Figura 09
A equação da LN é 
x 0
I y
⋅x
y 0
I x
⋅y 1
A
=0
Se a LN tangencia o vértice conforme figura (situação genérica), 
x= b
2
e y= h
2 
Substituindo estes valores na equação da LN, temos:
6. x0
b

6. y0
h
1=0
que é a equação da reta mostrada na figura abaixo.
 y
 
 b/6
 h/6
 x
 Figura 10
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
A = b.h
Ix = b.h
3/12
Iy = h.b
3/12
Versão 2009 8
Repetindo este raciocínio para a LN tangenciando os demais vértices, teremos 
que o NC será o losango abaixo representado.
 y
 h/6 NC x
 h/6
 b/6 b/6
 Figura 11
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
Versão 2009 9
Flexão Composta com Torção
(x,y): eixos centrais principais de inércia
Figura 12
Neste caso, os momentos fletores Mx e My provocam tensão normal 
=
M x
I x
⋅y−
M y
I y
⋅x
e o momento torsor T provoca tensão de cisalhamento τ cuja expressão varia 
com a forma da seção transversal da barra.
 
O estado de tensão num ponto qualquer da barra é, então,
Assim, nem a tensão normal σ nem a tensão de cisalhamento τ são máximas.
Cálculo das componentes normal e cisalhante em um plano qualquer com 
inclinação θ
dS x=dS .cos
dS y=dS . sen
∑ F N − .dS x . cos− .dS x . sen− .dS y cos .dS=0
− .dS cos² − .dS , sen  .cos−. dS . sen . cos .dS=0
= . cos²  . sen 2
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
τ
 σ σ
τ
τ
τ
 σ
 σ θ
 σ θ
 σ
τ
τ
τ θ
θ
dSdSx
dSy
N
z
x
y
T
Mx
My
Versão 2009 10
ou, sabendo que cos² =1cos 22 e 
sen² =1−cos 2
2
=

2

2
⋅cos 2 . sen 2
∑ F ⊥N  .dS . dS x . sen−.dS x cos .dS y . sen=0
. dS . dS . sen . cos− . dS . cos²  . dS . sen² =0
=−

2
⋅sen 2 . cos 2
Cálculo das tensões normais máxima e mínima (tensões principais):
d  
d 
=0 −2 . . cos p . sen p2.. cos 2 p=0
−
2
⋅sen 2 p . cos 2 p=0 , assim tg 2 p=
2.

  ²4 . ² sen 2 p=
2 .
 ²4 . ²
cos 2p=

 ²4. ²
Substituindo na expressão do cálculo da tensão em um plano qualquer, vem:
 p=

2

2
⋅ 
 ²4 . ²
⋅ 2.
 ²4 . ²
 p=

2
 1
2
⋅  ²4 . ²
 ²4 . ²
=
2
 1
2
⋅ ²4 . ²
 p=

2
±2 2 ² ou máxT =22 2 ² e máxC =2−2 2 ²
Notar que σ Tmáx é sempre positiva (tração) e que σ Cmáx é sempre negativa 
(compressão)
A máxima tensão de cisalhamento é dada por
máx=
máx−min
2
, assim máx=2 2 ²
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
σ
2τ
2θ
Versão 2009 11
Caso Geral
 
 
 
 
 
(x,y): eixos centrais principais de inércia
Figura 13
=N
A

M x
I x
⋅y−
M y
I y
⋅x
 e
=TV xV y (soma vetorial)
A tensão normal σ é função do esforço normal N e dos momentos fletores Mx e 
My. A tensão de cisalhamento τ é resultante da soma vetorial entre a tensão 
devida ao momento torsor T e às tensões devidas aos esforços cortantes Vx e Vy.
O estado de tensão é o mesmo da flexo-torção e as máximas tensões dadas pelas 
fórmulas
máx=

2
±2 2 ² e máx=2 2 ²
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
z
x
y
 N T
Vx
Mx
Vy
My