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UFPE \u2013 A´REA 2 \u2013 CCEN \u2013 DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
A´LGEBRA LINEAR - SEGUNDO SEMESTRE DE 2010

PROVA FINAL

Nome: Turma:

1. (2,5 pts) Seja T : R3 \u2192 R3 dado por

T (x, y, z) = (ax+ y, x+ y + z, x+ y).

(a) Determine os valores de a de modo que T na\u2dco seja injetivo.
(b) Determine uma base para Ker(T ).
(c) Determine uma base para Im(T ).

2. (1,0 pt) Mostre que todo operador linear ortogonal T : V \u2192 V e´ sobrejetivo.

3. (2,0 pts) Sejam \u3b2 = {(1, 1), (1, 0)} e \u3b3 = {(1, 3), (2, 4)} bases de R2, e T : R2 \u2192 R2
um operador linear em que

[T ]\u3b2\u3b3 =

[
1 \u22121
\u22121 2

]
.

(a) Calcule [T ]\u3b2\u3b2.

(b) Determine T (x, y).

4. (2,0 pts) Considere em R4 o produto interno cano\u2c6nico e W = [(1,\u22121, 0, 1)].

(a) Determine uma base para W\u22a5.
(b) Determine uma base ortonormal para W\u22a5.

5. (2,5 pts) Encontre a equac¸a\u2dco reduzida e identifique a co\u2c6nica abaixo

x2 + 2xy + y2 +
\u221a
2x+ 3

\u221a
2y + 2 = 0.

OBS: ENTENDER O ENUNCIADO DAS QUESTO\u2dcES E´ PARTE INTE-

GRAL DA PROVA; NA\u2dcO FAC¸A CONSULTAS AO FISCAL. NA\u2dcO E´ PER-

MITIDO DESTACAR AS FOLHAS DA PROVA NEM USAR FOLHAS ADI-

CIONAIS. NA\u2dcO E´ PERMITIDO USO DE CELULAR E CALCULADORA.

USE O VERSO DESTA FOLHA APENAS PARA BORRA\u2dcO.