PSM12 T1 (2021)

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PSM12 – Trabalho T1 2021 
 
1 Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva – IEPG/UNIFEI 
 
TRABALHO T1 – OTIMIZAÇÃO NÃO-LINEAR MULTIDIMENSIONAL SEM RESTRIÇÕES 
1) Seja a função bidimensional   158152 212231  xxxxf x . Determine: 
a) Os pontos estacionários que atendem à condição de otimalidade de primeira ordem; 
b) A matriz Hessiana em cada um dos pontos estacionários; 
c) Encontre os autovalores de cada matriz Hessiana do item anterior utilizando as propriedades 
do traço tr[H] e do determinante |H|, tal que: 
   
2
4
2
HHH 

trtr
i
 
 
2) Determine o ponto estacionário para a função   21212221 loglog25.1 xxxxxxf x e avalie 
se este ponto é um máximo, um mínimo ou um ponto de sela. 
 
3) Considere a função: 
 
  33221232221 24252 xxxxxxxxf x 
 
a) Encontre os pontos estacionários da função; 
b) Obtenha a matriz Hessiana para a função; 
c) Escreva um polinômio característico para os autovalores da matriz Hessiana da função 
utilizando a forma: 
 
  0122110 bbbbbP nnnn    IH 
Com: 
            
        32123
2
1210
1
3
1
1
2
1
11
HHH
HHH
trtrbtrbb
trtrbbtrbb
n
nnn


 
Onde: n é o grau mais alto do polinômio e é igual à dimensão da matriz H (ou igual ao número 
de variáveis de decisão da função objetivo). 
 
d) Esboce o gráfico para o polinômio característico e justifique a escolha dos pontos iniciais de 
busca; 
e) Determine os autovalores da matriz Hessiana fazendo o polinômio característico igualar-se a 
zero; 
f) Avalie a convexidade da função e a natureza do ponto estacionário baseado nos autovalores 
encontrados no item (e). 
 
4) Determine o gradiente da função exponencial   23221 xxexf x . 
 
PSM12 – Trabalho T1 2021 
 
2 Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva – IEPG/UNIFEI 
 
5) Encontre o vetor de variáveis de decisão que minimizam o valor da função: 
 
 
   211222121 22 xxexxxxxf x 
 
6) Para todas as funções a seguir, determine: 
a) os pontos estacionários e os autovalores da matriz Hessiana nesses pontos; 
b) a natureza de f(x) quanto à convexidade e a classificação dos pontos estacionários. 
   
   
   
   
       
    1222
2
2
2
1
3
221
3
1
2
2
2
12
3
1
3
2
21
3
2
3
1
2
2
221
2
1
cos26
5
8124
26633
342
1
2
1
2
2
xxxf
exxf
xxxxf
xxxxxf
xxxxf
xxxxxf
xx







x
x
x
x
x
x
 
 
7) Determine três números positivos x1, x2 e x3 cuja soma seja 100 e cujo produto seja máximo. 
 
8) Determine a menor distância entre o ponto (2, 0, -3) e o plano x1 + x2 + x3 = 1 
 
9) Uma caixa de papelão “sem tampa” deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as 
dimensões x1, x2 e x3 da caixa que minimizem a quantidade de papelão utilizado. 
 
10) Uma caixa retangular de comprimento 2x1, largura igual a 2x2 e altura de 2x3 está inscrita em 
uma esfera tal que cada vértice da caixa satisfaz a condição de que x12+ x22 + x32= r2. Determine 
os valores de x1, x2 e x3 que maximizam o volume da caixa em função do raio da esfera (r).