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Engenharia de Produção
Lista 06

A Integral Definida

A partir do estudo do esboço gráfico feito em sala de aula podemos afirmar
que, sendo f uma função definida num intervalo fechado [a,b], uma boa
aproximação para o valor da área definida pela curva f, acima do eixo x e
entre as retas x=a e x=b é dada pela soma ∑

=

∆
n

i
ii xf

1
)(ξ , onde n é a quantidade

de subintervalos que dividem o intervalo [a,b], xi∆ é o comprimento o i-ésimo
subintervalo ( )( 1−−=∆ iii xxx , com a=x0 e b=xn) e iξ um ponto aleatoriamente
escolhido no interior do i-ésimo intervalo. Tal soma é chamada uma SOMA
DE RIEMANN.

Definição: Se f é uma função definida no intervalo fechado [a,b], então a
integral definida de f, de a até b, denotada por ∫

b

a

dxxf )( é dada por

∑∫
=→∆

∆=
n

1i
i

0
)f( )( lim xdxxf i

b

a

ξ
 se o limite existir.

( ∆ é a norma da partição ∆ , isto é, o comprimento do maior subintervalo
dessa partição).

A afirmação “a função f é integrável no intervalo fechado [a,b]” é sinônimo
da afirmação “a integral definida de f de a até b existe”.

Teorema

Se uma função é contínua em um intervalo fechado [a,b] então f é integrável
em [a,b]. (Note que embora a continuidade seja suficiente para garantir a
existência da integral definida, pode haver funções descontínuas cuja integral
existe).

Teorema (FUNDAMENTAL DO CÁLCULO)

Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e F uma função tal que
F´(x) = f(x) para todo x em [a,b] (isto é, F é primitiva de f). Então

)()()( aFbFdxxf
b

a

−=∫

Propriedades da Integral Definida

(a) ∫∫ =
b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()( (b) ∫ =
a

a

dxxf 0)( (c) ∫ ∫−=
b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

(d) ∫∫∫ ±=±
b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
 (e) ∫ ∫∫ +=

c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()( ; a < c < b

Exercícios

Calcular as integrais definidas das funções dadas nos intervalos especificados:

(a) f(x) = x2 de 1 a 3 (b) f(x) = 12 32 +xx de 0 a 2 (c) xxxf += 1)( de 3 a 0

(d) f(x) = |x+2| de -3 a 4 (e) f(x) = xlnx de 1 a e (f) 12 )25()( −−= xxf de 0 a 5